第一章 1.3 第1课时 直线方程的点斜式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

参 考 答 案 第一章　直线与圆 §１　直线与直线的方程 １．１　一次函数的图象与直线的方程 １．２　直线的倾斜角、斜率及其关系 课前预习学案 知识梳理 知识点二　０　倾斜程度　倾斜程度 [思考] １．[提示]　都不对． 知识点三　≠　y２－y１x２－x１ 　≠ [思考] ２．[提示]　不是．若直线没斜率,则其倾斜角为９０°． 知识点四１．tanα　３．(x２－x１,y２－y１)　k [思考] ３．[提示]　相等．对于一条直线来说其斜率是一个定值,与所 选择点的位置无关,所以取任意不同的两点的坐标计算同一 条直线的斜率一定相等． ４．[提示]　(１,１)． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)√　(４)√　(５)√ ２．B　[由倾斜角的定义知直线l的倾斜角为１３５°．] ３．解析:[AB → ＝(－５－２,－２－１)＝(－７,－３)．] 答案:(－７,－３) ４．解析:∵k＝tanα＝１．∴α＝４５°． 答案:４５° 课堂互动学案 [例１]　[解]　由题意画出草图．由图可知: 当α为钝角时,倾斜角为α－９０°, 当α为锐角时,倾斜角为α＋９０°, 当α为直角时,倾斜角为０°． 综上,直线l转动前的倾斜角为 α＋９０°(０°＜α＜９０°), α－９０°(９０°≤α＜１８０°)．{ [例２]　[解析]　(１)设直线l的斜率为k,则k＝m－ ３２＋１ ＝ tan２π３＝－ ３ ,故m＝－２ ３． (２)一条直线过点A(１,０)和B(－２,３),则该直线的斜率为 ３－０ －２－１＝－１ , 故该直线的倾斜角为１３５°． [答案]　(１)A　(２)C [例３]　[解]　AB → ＝(４－１,５－２)＝(３,３)是直线l的一个方 向向量．因此直线的斜率k＝１,直线的倾斜角θ满足tanθ＝ １,从而可知θ＝４５°． [例４]　[解]　(１)如 图 所 示,由 题 意 可 知 kPA＝ ４－０ －３－１＝－１ ,kPB＝ ２－０ ３－１＝１． ①要使直线l与线段AB 有公共点,则直线 l的斜率k 的取值范围是k≤－１或k≥１． ②由题意可知,直线l的倾斜角介于直线 PB 与PA 的倾斜角之间,又PB 的倾斜角是４５°,PA 的倾 斜角是１３５°,所以α的取值范围是４５°≤α≤１３５°． (２)∵α＝４５°,∴直线l的斜率k＝tan４５°＝１． ∵点P１,P２,P３ 都在直线l上,∴kP１P２＝kP２P３ ∴ ５－y１ x２－２ ＝１－５３－x２ ＝１,解得x２＝７,y１＝０． 变式训练 １．D　[如图,当l向上方向的部分在y 轴左侧时,倾斜角为９０° ＋α;当l向上方向的部分在y 轴右侧时,倾斜角为９０°－α． ] ２．解:(１)kMN ＝ m－１－１ m＋１－２m＝１ ,解得m＝３２． (２)l的倾斜角为９０°,即l平行于y轴,所以m＋１＝２m,得m＝１． ３．解:MN → ＝(２－３,３＋ ３－３)＝(－１,３),∴直线l的一个方 向向量为(－１,３),由于法向量与方向向量垂直． ∴法向量v＝(３,１),斜率k＝３＋ ３－３２－３ ＝－ ３ ,由tanθ＝ － ３知θ＝１２０°． ４．(１)A　[如图所示,直线PB,PA 的斜率分别 为kPB＝１,kPA＝－３, 结合图形可知k≥１或k≤－３．] (２)解析:三点A(１,１),B(０,－１),C(a,b)在 同一直线上,∴kAB＝kBC,∴ －１－１ ０－１ ＝ －１－b ０－a , 化为:２a－b＝１．故答案为:１． 答案:１ 当堂达标 １．A　[kAB ＝ ３－ ２ － ２－(－ ３) ＝ ３－ ２ ３－ ２ ＝１,故 直 线 的 倾 斜 角 为４５°．] ２．A　[∵平面内三点A(１,－a),B(２,a２),C(３,a３)共线, ∴kAB＝kAC,即 a２＋a ２－１＝ a３＋a ３－１ ,即a(a２－２a－１)＝０,解得a ＝０或a＝１± ２．] ３．解析:由d＝(３,３)＝３ １,３３ æ è ç ö ø ÷,设c＝ １,３３ æ è ç ö ø ÷,则d∥c,由 向量d＝(３,３)是直线l的一个方向向量,则c＝ １,３３ æ è ç ö ø ÷ 也 为直线l的一个方向向量．则直线l的斜率为 ３３ ,所以倾斜 角为 π ６． 答案:π ６ ;３ ３ ４．解:直线l的斜率k＝１＋m ２ ３－２ ＝１＋m ２≥１,所以k＝tanα≥１． 又y＝tanα在 ０,π２( ) 上是增函数,因此 π ４≤α＜ π ２． １．３直线的方程 第１课时　直线方程的点斜式 课前预习学案 知识梳理 知识点一　每一点 知识点二　b　k(x－x０)　y＝kx＋b [思考] [提示]　不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂 直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)×　(４)√ ２．D　[由直线的点斜式方程可知,该直线方程为y－０＝３(x＋ ２),即y＝３(x＋２),选 D．] ３．D　[由题意知,直线的斜率k＝－１,又在y轴上截距为－１, 故直线方程为y＝－x－１,选 D．] ４．(－１,２) 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由点斜式方程可知,所求直线的方程为y－ ５＝４(x－２),即４x－y－３＝０． (２)∵直线的倾斜角为４５°,∴此直线的斜率k＝tan４５°＝１, ∴直线的点斜式方程为y－３＝x－２,即x－y＋１＝０． (３)∵直线与x轴平行,∴倾斜角为０°,斜率k＝０, ∴直线方程为y＋１＝０×(x＋１),即y＝－１． (４)∵直线与x 轴垂直,斜率不存在,∴不能用点斜式表示 这条直线的方程,由于直线所有点的横坐标都是１,故这条 直线方程为x＝１． [例２]　[解]　(１)由题意得k＝２,b＝－１,由斜截式得y＝２x－１． (２)∵y＝ ３x＋１的斜率为 ３,∴其倾斜角为６０°,故所求直 线的倾斜角为３０°,∴k＝tan３０°＝ ３３ ,又b＝－２,∴所求直 线方程为y＝ ３３x－２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [例３]　[解]　显然,直线l与两坐标轴不垂直,否则不构成三 角形,设其斜率为k(k≠０),则直线l的方程为y－３＝k(x＋２), 令x＝０,得y＝２k＋３,令y＝０,得x＝－３k－２ , 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 １ ２ (２k＋３) －３k－２( ) ＝４, 即(２k＋３) ３k＋２( )＝±８． 若(２k＋３) ３k＋２( )＝８,则整理得４k ２＋４k＋９＝０,无解． 若(２k＋３) ３k＋２( )＝－８,则整理得４k ２＋２０k＋９＝０, 解之,得k＝－１２ 或k＝－９２． 所以直线l的方程为y－３＝－ １２ (x＋２)或y－３＝－ ９２ (x ＋２),即y＝－１２x＋２ 或y＝－９２x－６． 变式训练 １．解:(１)直线斜率为tan４５°＝１, ∴直线方程为y－４＝x＋１． (２)直线斜率为tan６０°＝ ３,∴所求直线的方程为y－０＝ ３(x－０)． (３)直线斜率为０,∴直线方程为y－１＝０×(x＋１)． ２．解:(１)易知k＝－１,b＝－２,故直线的斜截式方程为y＝－x －２． (２)由于直线的斜率k＝－４３ ,且过点A(６,－４),根据直线 的点斜式方程得直线方程为y＋４＝－ ４３ (x－６),化成斜截 式为y＝－４３x＋４． (３)直线方程２x＋y－１＝０可化为y＝－２x＋１,由直线的斜 截式方程知:直线的斜率k＝－２,在y轴上的截距b＝１,直 线与y轴交点的坐标为(０,１)． ３．解:由题意知,直线l的斜率k 存在且k＜０,则直线l的方程 为y－２＝k(x－３)(k＜０),且有A ３－２k ,０( ) ,B(０,２－３k), ∴S△ABO＝ １ ２ (２－３k)３－２k( )＝ １ ２ １２＋ (－９k)＋ ４(－k)[ ] ≥１２ １２＋２ (－９k)􀅰 ４ (－k)[ ]＝ １ ２× (１２＋１２)＝１２, 当且仅当－９k＝ ４－k 且k＜０,即k＝－２３ 时,等号成立． 即△ABO 的面积的最小值为１２．故所求直线l的方程为２x ＋３y－１２＝０． 当堂达标 １．C　[方程可化为y－(－２)＝－[x－(－１)],所以直线过点 (－１,－２),斜率为－１．选 C．] ２．B　[由题图可知直线的倾斜角为钝角,且直线在y 轴上的 截距为负值,故k＜０,b＜０．] ３．解析:∵直线的倾斜角是６０°,∴其斜率k＝tan６０°＝ ３, ∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为３,∴直线在y轴 上的截距是３或－３, ∴所求直线的斜截式方程是y＝ ３x＋３或y＝ ３x－３． 答案:y＝ ３x＋３或y＝ ３x－３ ４．解:直线y＝ ３x＋ ３的斜率k＝ ３, 则其倾斜角α＝６０°,所以直线l的倾斜角为１２０°． 直线l的斜率为k′＝tan１２０°＝－ ３． 所以直线l的点斜式方程为y－４＝－ ３(x－３)． 第２课时　直线方程的两点式 课前预习学案 知识梳理 [思考] １．[提示]　不能,因为１－１＝０,而０不能做分母．过点(２,３), (５,３)的直线也不能用两点式表示． ２．[提示]　都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个,一 是中间必须用“＋”号连接,二是等号右边为１． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√　(４)√ ２．D　[过点A,B的直线方程为y－２３－２＝ x－３ ４－３ ,即x－y－１＝０．] ３．C　[由截距式得,所求直线的方程为x２＋ y ３＝１． ] ４．解析:直线方程为y－９１－９＝ x－３ －１－３ ,化为截距式为 x －３２ ＋y３ ＝１,则在x轴上的截距为－３２． 答案:－３２ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)直线BC过点B(０,－３),C(－２,１),由两点 式方程得y＋３ １＋３＝ x－０ －２－０ ,化简得２x＋y＋３＝０． (２)由 中 点 坐 标 公 式,得 BC 的 中 点 D 的 坐 标 为 (０－２２ , －３＋１ ２ ),即D(－１,－１)． 又直 线 AD 过 点 A (－４,０),由 两 点 式 方 程 得y＋１０＋１＝ x＋１ －４＋１ ,化简得x＋３y＋４＝０． [例２]　[解]　 法 一:设 直 线 在x 轴、y 轴 上 的 截 距 分 别 为 a,b． ①当a≠０,b≠０时,设l的方程为xa ＋ y b ＝１． ∵点(４,－３)在直线上,∴４a＋ －３ b ＝１ , 若a＝b,则a＝b＝１,直线l的方程为x＋y－１＝０． 若a＝－b,则a＝７,b＝－７,此时直线l的方程为x－y－７＝０． ②当a＝b＝０时,直线过原点,且过点(４,－３), ∴直线l的方程为３x＋４y＝０． 综上知,所求直线l的方程为x＋y－１＝０或x－y－７＝０或 ３x＋４y＝０． 法二:设直线l的方程为y＋３＝k(x－４), 令x＝０,得y＝－４k－３;令y＝０,得x＝４k＋３k ． ∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等． ∴|－４k－３|＝ ４k＋３k ,解得k＝１或k＝－１或k＝－３４． ∴所求的直线方程为x－y－７＝０或x＋y－１＝０或３x＋４y＝０． [例３]　[解]　(１)设A(a,０),B(０,b)(a＞０,b＞０)． 设直线l的方程为xa ＋ y b ＝１ ,则１ a＋ １ b＝１ , 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b) １a＋ １ b( ) ＝２＋ a b ＋ b a ≥２＋２ ab 􀅰b a ＝４ ,当且仅当a＝b＝２时等号成立,此时 直线l的方程为x＋y－２＝０． (２)设直线l的斜率为k,则k＜０,直线l的方程为y－１＝ k(x－１),则A １－１k ,０( ) ,B(０,１－k), 所以|MA|２＋|MB|２＝ １－１＋１k( ) ２ ＋１２＋１２＋(１－１＋k)２＝ ２＋k２＋１ k２ ≥２＋２ k２􀅰１k２ ＝４, 当且仅当k２＝１ k２ ,即k＝－１时等号成立,此时直线l的方程 为y－１＝－(x－１),即x＋y－２＝０． 变式训练 １．解:(１)由两点式,得所求方程为y－３４－３＝ x－４ ５－４ ,即x－y－１＝０． (２)由于A,B 两点的纵坐标相等,故不能用两点式,所求的 直线方程为y＝１． (３)由于A,B 两点的横坐标相等,故不能用两点式,所求的 直线方程为x＝２． ２．解:(１)根据直线方程的截距式,得直线方程为 x－３＋ y ４＝１ , 化简得４x－３y＋１２＝０． (２)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为０时, 可设直线l的方程为xa ＋ y －a＝１． 又因为l过点A(３,４),所以３a＋ ４ －a＝１ ,解得a＝－１．所以 直线l的方程为 x－１＋ y １＝１ ,即x－y＋１＝０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１２􀅰 参考答案 􀳀[变式训练] ４．(１)设点A(３,－５),B(－２,－２),直线l过 点P(１,１)且与线段AB 相交,则直线l的斜 率k的取值范围是 (　　) A．(－∞,－３]∪[１,＋∞) B．[－３,１] C．[－１,３] D．以上都不对 (２)已知点A(１,１),B(０,－１),C(a,b)在同 一直线上,则２a－b＝　　　　　　． [当堂达标] １．过点A(－ ３,２)与点B(－ ２,３)的直线 的倾斜角为 (　　) A．４５°　　　　　　　　B．１３５° C．４５°或１３５° D．６０° ２．若平面内三点A(１,－a),B(２,a２),C(３,a３) 共线,则a等于 (　　) A．１± ２或０ B．２－ ５２ 或０ C．２± ５２ D． ２＋ ５ ２ 或０ ３．直线l的一个方向向量d＝(３,３),则直线l的 倾斜角是　　　　,直线的斜率是　　　　． ４．直线l经过A(３,１),B(２,－m２)(m∈R)两 点,求直线l的倾斜角α的取值范围． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．３直线的方程 第１课时　直线方程的点斜式 　 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解直线方程的点斜式的推导过程 ２．掌握直线方程的点斜式并会应用 ３．了解截距的概念,了解直线的斜截式方程与 一次函数的关系 通过对直线的点斜式方程的学习,培养逻辑推 理、数学运算的数学素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　笛卡尔出生于法国,毕业 于普瓦捷大学,法国著名哲学 家、物理学家、数学家,被黑格 尔称为“近代哲学之父”． 笛卡尔的思想核心是:把几何学的问题归 结成代数形式的问题,用代数学的方法进行计 算、证明,从而达到最终解决几何问题的目的． 依照这种思想他创立了“解析几何学”． 我们知道给定一点和一个 方向可以唯一确定一条直线, 这样,在平面直角坐标系中给 定一个点P０(x０,y０)和斜率k就能唯一确定 一条直线,也就是说这条直线上任意一点坐标 (x,y)与点P０ 的坐标(x０,y０)和斜率k之间的 关系 是 完 全 确 定 的,那 么 这 一 关 系 如 何 表 示呢? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５􀅰 第一章　直线与圆 [知识梳理] [知识点一]　直线l的方程的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一般地,如果一条直线l上　　　　的坐标 都是一个方程的解并且以这个方程的解为 坐标的点都在直线l上,那么这个方程称为 直线l的方程 [知识点二]　直线的点斜式方程和斜截式方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 名称 点斜式 斜截式 已知 条件 点P(x０,y０)和斜 率k 斜率k和直线在y 轴 上的截距　　 图示 方程 y－y０＝　　　　 　　　　 适用 范围 斜率存在 特别地:(１)当直线的斜率为０,即k＝０时,直 线l与x 轴平行(或重合)直线l方程为y ＝y０ (２)当直线与x轴垂直时,则直线的斜率不存 在,直线l的方程为x＝x０． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　直线的点斜式方程能否表示坐标平 面上的所有直线呢? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)直线的点斜式方程能表示平面上的所有 直线． (　　) (２)y －y０ x－x０ ＝k与y－y０＝k(x－x０)都是直线 的点斜式方程． (　　) (３)直线的斜截式方程y＝kx＋b即为一次函 数的解析式． (　　) (４)直线的纵截距是直线与y 轴交点的纵 坐标． (　　) ２．过点P(－２,０),斜率为３的直线的方程是 (　　) A．y＝３x－２　　　　B．y＝３x＋２ C．y＝３(x－２) D．y＝３(x＋２) ３．倾斜角为１３５°,在y轴上的截距为－１的直 线方程是 (　　) A．y＝x＋１ B．y＝x－１ C．y＝－x＋１ D．y＝－x－１ ４．无论k取何值,直线y－２＝k(x＋１)所过的 定点是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　直线的点斜式方程 [例１]　根据下列条件,求直线的方程: (１)经过点A(２,５),斜率是４; (２)经过点B(２,３),倾斜角是４５°; (３)经过点C(－１,－１),与x轴平行; (４)经过点D(１,１),与x轴垂直． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　若直线的斜率存在,则直线 方程为y－y０＝k(x－x０);若直线的斜率 不存在,则直线方程为x＝x０． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　利用点斜式求直线方程的方法 (１)用点斜式求直线的方程,首先要确定直 线的斜率和其上一个点的坐标．注意在 斜率存在的条件下,才能用点斜式表示 直线的方程; (２)已知两点坐标求直线的方程,可以先求 斜率,再用点斜式求直线的方程． 特别注意:斜率不存在时,可直接写出过点 (x０,y０)的直线方程x＝x０． 􀳀[变式训练] １．根据条件写出下列直线方程的点斜式． (１)经过点A(－１,４),倾斜角为４５°; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 (２)经过原点,倾斜角为６０°; (３)经过点D(－１,１),倾斜角为０°． 　　　直线的斜截式方程 [例２]　求满足下列条件的直线方程: (１)斜率为２,在y轴上的截距为－１; (２)倾斜角为直线y＝ ３x＋１的倾斜角的 一半,在y轴上的截距为－２; 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　　根据条件确定直线的斜率 及直线在y轴上的截距,代入斜截式即可． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 斜截式方程的求法 已知直线的斜率与y轴上的截距,可直接 写出直线的方程;已知直线的斜截式方程, 可得直线的斜率与y轴上的截距．直线的 斜截式方程形式简单,特点明显,是运用较 多的直线方程的形式之一． 􀳀[变式训练] ２．(１)写出直线斜率为－１,在y轴上截距为－２ 的直线的斜截式方程; (２)求过点A(６,－４),斜率为－４３ 的直线的 斜截式方程; (３)已知直线l的方程为２x＋y－１＝０,求 直线的斜率,在y轴上的截距以及与y 轴交 点的坐标． 　　　点斜式、斜截式的应用 [例３]　已知直线l经过点P(－２,３),且与两 坐标轴围成的三角形的面积为４,求直线l 的方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用点斜式设出方程,求出 纵横截距,利用三角形的面积为４列方程 求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求解与直线方程有关的三角形面积问题, 应先设出斜率,写出直线方程,通过直线的 纵、横截距列方程或建立目标函数,求解． 􀳀[变式训练] ３．已知直线l过点P(３,２), 且与x 轴、y 轴的正半轴 分别交于A,B 两点,如图 所示,求△ABO 的面积的 最小值及此时直线l的方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 第一章　直线与圆 [当堂达标] １．已知直线的方程是y＋２＝－x－１,则 (　　) A．直线经过点(－１,２),斜率为－１ B．直线经过点(２,－１),斜率为－１ C．直线经过点(－１,－２),斜率为－１ D．直线经过点(－２,－１),斜率为１ ２．直线y＝kx＋b在平面直角坐 标系中的位置如图所示,则k,b 满足 (　　) A．k＞０,b＞０　　B．k＜０,b＜０ C．k＜０,b＞０ D．k＞０,b＜０ ３．倾斜角为６０°,与y轴的交点到坐标原点的 距离为３的直线的斜截式方程是　　　　． ４．直线l经过点P(３,４),它的倾斜角是直线y ＝ ３x＋ ３的倾斜角的２倍,求直线l的点 斜式方程． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　直线方程的两点式 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围 ２．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围 ３．会熟练应用两点式、截距式方程求直线的方程 １．通过直线两点式方程的推导,提升逻辑 推理的数学素养 ２．通过直线的两点式方程和截距式方程的 学习,培养直观想象和数学运算的数学 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　我们知道在直角坐标 系内确定一条直线的几何 要素:点和倾斜角(斜率), 即已知直线上的一点和直 线的斜率可以确定一条直线,或已知两点也可 以确定一条直线.这样,在直角坐标系中,给 定一个点P０(x０,y０)和斜率k,可得出直线方 程.若给 定 直 线 上 两 点 P１(x１,y１)P２(x２, y２),你能否得出直线的方程呢? [知识梳理] [知识点一]　直线的两点式方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两 点 式 P１(x１,y１), P２(x２,y２), 其中x１≠x２,y１≠y２ y－y１ y２－y１ ＝ x－x１ x２－x１ 斜率存在 且不为０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．过点(１,３)和(１,５)的直线能用两 点式表示吗? 为什么? 过点(２,３),(５,３) 的直线呢? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　直线的截距式方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截 距 式 在x,y 轴 上 的截 距 分 别 为a,b且a≠ ０,b≠０ x a ＋ y b ＝１ 斜 率 存 在 且 不为 ０,不 过 原点 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．方程x２－ y ３＝１ 和x ２＋ y ３＝－１ 都是 直线的截距式方程吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册