第一章 1.1 一次函数的图象与直线的方程&1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

参 考 答 案 第一章　直线与圆 §１　直线与直线的方程 １．１　一次函数的图象与直线的方程 １．２　直线的倾斜角、斜率及其关系 课前预习学案 知识梳理 知识点二　０　倾斜程度　倾斜程度 [思考] １．[提示]　都不对． 知识点三　≠　y２－y１x２－x１ 　≠ [思考] ２．[提示]　不是．若直线没斜率,则其倾斜角为９０°． 知识点四１．tanα　３．(x２－x１,y２－y１)　k [思考] ３．[提示]　相等．对于一条直线来说其斜率是一个定值,与所 选择点的位置无关,所以取任意不同的两点的坐标计算同一 条直线的斜率一定相等． ４．[提示]　(１,１)． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)√　(４)√　(５)√ ２．B　[由倾斜角的定义知直线l的倾斜角为１３５°．] ３．解析:[AB → ＝(－５－２,－２－１)＝(－７,－３)．] 答案:(－７,－３) ４．解析:∵k＝tanα＝１．∴α＝４５°． 答案:４５° 课堂互动学案 [例１]　[解]　由题意画出草图．由图可知: 当α为钝角时,倾斜角为α－９０°, 当α为锐角时,倾斜角为α＋９０°, 当α为直角时,倾斜角为０°． 综上,直线l转动前的倾斜角为 α＋９０°(０°＜α＜９０°), α－９０°(９０°≤α＜１８０°)．{ [例２]　[解析]　(１)设直线l的斜率为k,则k＝m－ ３２＋１ ＝ tan２π３＝－ ３ ,故m＝－２ ３． (２)一条直线过点A(１,０)和B(－２,３),则该直线的斜率为 ３－０ －２－１＝－１ , 故该直线的倾斜角为１３５°． [答案]　(１)A　(２)C [例３]　[解]　AB → ＝(４－１,５－２)＝(３,３)是直线l的一个方 向向量．因此直线的斜率k＝１,直线的倾斜角θ满足tanθ＝ １,从而可知θ＝４５°． [例４]　[解]　(１)如 图 所 示,由 题 意 可 知 kPA＝ ４－０ －３－１＝－１ ,kPB＝ ２－０ ３－１＝１． ①要使直线l与线段AB 有公共点,则直线 l的斜率k 的取值范围是k≤－１或k≥１． ②由题意可知,直线l的倾斜角介于直线 PB 与PA 的倾斜角之间,又PB 的倾斜角是４５°,PA 的倾 斜角是１３５°,所以α的取值范围是４５°≤α≤１３５°． (２)∵α＝４５°,∴直线l的斜率k＝tan４５°＝１． ∵点P１,P２,P３ 都在直线l上,∴kP１P２＝kP２P３ ∴ ５－y１ x２－２ ＝１－５３－x２ ＝１,解得x２＝７,y１＝０． 变式训练 １．D　[如图,当l向上方向的部分在y 轴左侧时,倾斜角为９０° ＋α;当l向上方向的部分在y 轴右侧时,倾斜角为９０°－α． ] ２．解:(１)kMN ＝ m－１－１ m＋１－２m＝１ ,解得m＝３２． (２)l的倾斜角为９０°,即l平行于y轴,所以m＋１＝２m,得m＝１． ３．解:MN → ＝(２－３,３＋ ３－３)＝(－１,３),∴直线l的一个方 向向量为(－１,３),由于法向量与方向向量垂直． ∴法向量v＝(３,１),斜率k＝３＋ ３－３２－３ ＝－ ３ ,由tanθ＝ － ３知θ＝１２０°． ４．(１)A　[如图所示,直线PB,PA 的斜率分别 为kPB＝１,kPA＝－３, 结合图形可知k≥１或k≤－３．] (２)解析:三点A(１,１),B(０,－１),C(a,b)在 同一直线上,∴kAB＝kBC,∴ －１－１ ０－１ ＝ －１－b ０－a , 化为:２a－b＝１．故答案为:１． 答案:１ 当堂达标 １．A　[kAB ＝ ３－ ２ － ２－(－ ３) ＝ ３－ ２ ３－ ２ ＝１,故 直 线 的 倾 斜 角 为４５°．] ２．A　[∵平面内三点A(１,－a),B(２,a２),C(３,a３)共线, ∴kAB＝kAC,即 a２＋a ２－１＝ a３＋a ３－１ ,即a(a２－２a－１)＝０,解得a ＝０或a＝１± ２．] ３．解析:由d＝(３,３)＝３ １,３３ æ è ç ö ø ÷,设c＝ １,３３ æ è ç ö ø ÷,则d∥c,由 向量d＝(３,３)是直线l的一个方向向量,则c＝ １,３３ æ è ç ö ø ÷ 也 为直线l的一个方向向量．则直线l的斜率为 ３３ ,所以倾斜 角为 π ６． 答案:π ６ ;３ ３ ４．解:直线l的斜率k＝１＋m ２ ３－２ ＝１＋m ２≥１,所以k＝tanα≥１． 又y＝tanα在 ０,π２( ) 上是增函数,因此 π ４≤α＜ π ２． １．３直线的方程 第１课时　直线方程的点斜式 课前预习学案 知识梳理 知识点一　每一点 知识点二　b　k(x－x０)　y＝kx＋b [思考] [提示]　不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂 直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)×　(４)√ ２．D　[由直线的点斜式方程可知,该直线方程为y－０＝３(x＋ ２),即y＝３(x＋２),选 D．] ３．D　[由题意知,直线的斜率k＝－１,又在y轴上截距为－１, 故直线方程为y＝－x－１,选 D．] ４．(－１,２) 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由点斜式方程可知,所求直线的方程为y－ ５＝４(x－２),即４x－y－３＝０． (２)∵直线的倾斜角为４５°,∴此直线的斜率k＝tan４５°＝１, ∴直线的点斜式方程为y－３＝x－２,即x－y＋１＝０． (３)∵直线与x轴平行,∴倾斜角为０°,斜率k＝０, ∴直线方程为y＋１＝０×(x＋１),即y＝－１． (４)∵直线与x 轴垂直,斜率不存在,∴不能用点斜式表示 这条直线的方程,由于直线所有点的横坐标都是１,故这条 直线方程为x＝１． [例２]　[解]　(１)由题意得k＝２,b＝－１,由斜截式得y＝２x－１． (２)∵y＝ ３x＋１的斜率为 ３,∴其倾斜角为６０°,故所求直 线的倾斜角为３０°,∴k＝tan３０°＝ ３３ ,又b＝－２,∴所求直 线方程为y＝ ３３x－２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 §１　直线与直线的方程 １．１　一次函数的图象与直线的方程 １．２　直线的倾斜角、斜率及其关系 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．在平面直角坐标系中,结合一次函数的图象, 探索直线方程的建立 ２．理解并掌握直线的倾斜角和斜率的概念 ３．理解并掌握直线的斜率与倾斜角、方向向量 的对应关系 １．通过倾斜角概念的学习,提升直观想象的 数学素养 ２．通过直线的斜率、方向向量P１P２ → 的的学习, 培养逻辑推理和数学运算的数学素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　 交 通 工 程 上 一 般 用 “坡度”来描述一段道路对 于水平方向的倾斜程度,如 图,一辆汽车沿某条道路从 A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD, 竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB 的值为负实数),则坡度k＝ 上升高度 水平距离＝ DB AD．k＞０ 表示上坡,k＜０表示下坡,为了实际应用与安全, 在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度” 是如何来刻画道路的倾斜程度的呢? [知识梳理] [知识点一]　一次函数的图象与直线的方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一般地,一次函数y＝kx＋b(k≠０)的图象 是一条直线,它是以满足y＝kx＋b的每一 对x,y值为坐标的点构成的,同时函数解 析式y＝kx＋b可以看作二元一次方程. [知识点二]　直线的倾斜角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 定义 在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆 时针方向绕着交点旋转到和直线l首 次重合时所成的角,称为直线l的倾 斜角 规定 当直线l和x 轴平行或重合 时,规定它的倾斜角为　　 记法 α 图示 范围 [０,π) 作用 在平面直角坐标系中,直线的倾斜角 刻画了直线的　　　　,倾斜角越接近 π ２ ,　　　　　越大 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１􀅰 第一章　直线与圆 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．如图中标的倾斜角α对不对? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点三]　直线的斜率 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 如图,在直线l上任取 两个不同的点P１(x１, y１),P２(x２,y２),记 Δx ＝x２－x１(Δx 　　０), Δy＝y２－y１,则在直线 l上点P１ 平移到点P２,相当于在横轴上改 变了Δx,即横坐标的改变量为Δx,在纵轴 上改变了Δy,即纵坐标的改变量为Δy．因 此,比值k＝ΔyΔx 反映了直线l的倾斜程度． 由图可知,k＝ΔyΔx 的大小与两点P１,P２ 在 直线上的位置无关,称k＝　　　　(其中 x１ 　　x２)为经过不同两点P１(x１,y１),P２ (x２,y２)的直线l的斜率． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．所有直线都有斜率吗? 若直线没 有斜率,那么这条直线的倾斜角为多少? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点四]　直线的斜率与倾斜角、方向向量 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 的关系 􀪋􀪋􀪋􀪋 １．由正切函数的概念可知,倾斜角不是π２ 的 直线,它的斜率k和它的倾斜角α 满足k＝ 　　　　(其中α≠π２ ,０≤α＜π)． ２．结合正切函数的图象与性质,发现斜率k与 倾斜角α有如下关系: 图示 倾斜角 (范围) α＝０ ０,π２ æ è ç ö ø ÷ α＝π２ π ２ ,πæ è ç ö ø ÷ 斜率 (范围) k＝０ k＞０ 不存在 k＜０ ３．如图,在直线l上任取两个 不 同 的 点 P１ (x１,y１),P２ (x２,y２)．由平面向量的知识 可知,向量P１P２ → 是直线l的 方向向量,它的坐标是　　　　,直线的倾 斜角α、斜率k、方向向量P１P２ → 分别从不同角 度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中 x轴的倾斜程度,它们之间的关系是k＝ y２－y１ x２－x１ ＝tanα(其中x１≠x２)．若k是直线l 的斜率,则v＝(１,　　)是它的一个方向向 量;若直线l的一个方向向量的坐标为(x, y),其中x≠０,则它的斜率k＝yx ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．在同一直线(与x 轴不重合)上任 意取不同的两点的坐标计算的斜率都相 等吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４．设l是平面直角坐标系中的一条直线,且 倾斜角为４５°,你能写出该直线的方向向 量吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)倾斜角是描述 直 线 的 倾 斜 程 度 的 唯 一 方法． (　　) (２)任何一条直线 有 且 只 有 一 个 斜 率 和 它 对应． (　　) (３)一个倾斜角α不能确定一条直线．(　　) (４)斜率公式与两点的顺序无关． (　　) (５)直线的方向向量与法向量不唯一．(　　) ２．如图所示,直线l的倾斜角为 (　　) A．４５°　　B．１３５°　　C．０°　　D．不存在 ３．直线l经过点A(２,１)和B(－５,－２),则直 线l的一个方向向量为　　　　． ４．一条直线的斜率等于１,则此直线的倾斜角 等于　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　直线的倾斜角 [例１]　已知直线l过原点,l绕原点按顺时针 方向转动角α(０°＜α＜１８０°)后,恰好与y轴 重合,求直线l转动前的倾斜角是多少? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　画草图→标记α→找倾斜角 与α的关系→求倾斜角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　求直线的倾斜角的方法及两点注意 (１)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直 角三角形)求角． (２)两点注意:①当直线与x轴平行或重合 时,倾斜角为０°,当直线与x轴垂直时, 倾斜角为９０°． ②注意直线倾斜角的取值范围是０°≤α ＜１８０°． 􀳀[变式训练] １．一条直线l与x 轴相交,其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(０°＜α＜９０°),则其 倾斜角为 (　　) A．α B．１８０°－α C．１８０°－α或９０°－α D．９０°＋α或９０°－α 　　　斜率的计算 [例２]　(１)已知直线l过点A(－１,３),B (２,m)两点,若直线l的倾斜角是２π３ ,则m＝ (　　) A．－２ ３　　B．０　　C．２ ３　　D．４ ３ (２)一条直线过点A(１．０)和B(－２,３),则 该直线的倾斜角为 (　　) A．３０° B．４５° C．１３５° D．１５０° 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)根据条件,由斜率公式得 到关于m 的方程,再求出m 的值． (２)由题意利用直线的斜率公式求出直 线的斜率,再根据直线的倾斜角和斜率 的关系求出直线的倾斜角． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 直线斜率的计算方法 (１)判断两点的横坐标是否相等,若相等, 则直线的斜率不存在． (２)若两点的横坐标不相等,则可以用斜率公 式k＝y２ －y１ x２－x１ (其中x１≠x２)进行计算． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３􀅰 第一章　直线与圆 􀳀[变式训练] ２．已知直线l过点M(m＋１,m－１),N(２m,１)． (１)当m 为何值时,直线l的斜率是１? (２)当m 为何值时,直线l的倾斜角为９０°? 　　　直线倾斜角与斜率、方向向量的关系 [例３]　已知直线l通过点A(１,２),B(４,５), 求直线l的一个方向向量,并确定直线l的 斜率与倾斜角． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用方向向量定义P１P２ → ＝ (x２－x１,y２－y１)求解 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求方向向量的方法 (１)若A(x１,y１),B(x２,y２)是直线上的两 个不同的点,则直线l的方向向量为AB → ＝ (x２－x１,y２－y１)． (２)直线的方向向量不唯一． 􀳀[变式训练] ３．已知直线l经过点M(３,３)和N(２,３＋ ３), 求直线l的一个方向向量和法向量,并求直 线l的斜率和倾斜角． 　　　直线倾斜角与斜率的综合 [例４]　(１)已知两点A(－３,４),B(３,２),过点P (１,０)的直线l与线段AB有公共点． ①求直线l的斜率k的取值范围; ②求直线l的倾斜角α的取值范围． (２)已知某直线l的倾斜角α＝４５°,又P１(２, y１),P２(x２,５),P３(３,１)是此直线上的三点, 求x２,y１ 的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨] (１)作图 直线与线段 有公共点 → 倾斜角介 于直线PB 与PA 的倾 斜角之间 求斜率 → 求斜率范围及 倾斜角范围 (２)已知直线l的倾斜角,可以求出其斜 率,又点P１,P２,P３ 均在直线l上,故任意 两点连线的斜率均等于直线l的斜率,从 而可以解出x２,y１ 的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)求直线斜率的取值范围时,通常先结合 图形找出倾斜角的范围,再得到斜率的 范围． (２)利用斜率可解决点共线问题,点A,B, C共线 ⇔kAB ＝kAC 或kAB 与kAC 都不 存在． (３)y２ －y１ x２－x１ 的几何意义是直线的斜率,用之 可通过几何方法解决函数的值域问题． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 􀳀[变式训练] ４．(１)设点A(３,－５),B(－２,－２),直线l过 点P(１,１)且与线段AB 相交,则直线l的斜 率k的取值范围是 (　　) A．(－∞,－３]∪[１,＋∞) B．[－３,１] C．[－１,３] D．以上都不对 (２)已知点A(１,１),B(０,－１),C(a,b)在同 一直线上,则２a－b＝　　　　　　． [当堂达标] １．过点A(－ ３,２)与点B(－ ２,３)的直线 的倾斜角为 (　　) A．４５°　　　　　　　　B．１３５° C．４５°或１３５° D．６０° ２．若平面内三点A(１,－a),B(２,a２),C(３,a３) 共线,则a等于 (　　) A．１± ２或０ B．２－ ５２ 或０ C．２± ５２ D． ２＋ ５ ２ 或０ ３．直线l的一个方向向量d＝(３,３),则直线l的 倾斜角是　　　　,直线的斜率是　　　　． ４．直线l经过A(３,１),B(２,－m２)(m∈R)两 点,求直线l的倾斜角α的取值范围． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．３直线的方程 第１课时　直线方程的点斜式 　 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解直线方程的点斜式的推导过程 ２．掌握直线方程的点斜式并会应用 ３．了解截距的概念,了解直线的斜截式方程与 一次函数的关系 通过对直线的点斜式方程的学习,培养逻辑推 理、数学运算的数学素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　笛卡尔出生于法国,毕业 于普瓦捷大学,法国著名哲学 家、物理学家、数学家,被黑格 尔称为“近代哲学之父”． 笛卡尔的思想核心是:把几何学的问题归 结成代数形式的问题,用代数学的方法进行计 算、证明,从而达到最终解决几何问题的目的． 依照这种思想他创立了“解析几何学”． 我们知道给定一点和一个 方向可以唯一确定一条直线, 这样,在平面直角坐标系中给 定一个点P０(x０,y０)和斜率k就能唯一确定 一条直线,也就是说这条直线上任意一点坐标 (x,y)与点P０ 的坐标(x０,y０)和斜率k之间的 关系 是 完 全 确 定 的,那 么 这 一 关 系 如 何 表 示呢? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５􀅰 第一章　直线与圆