第五章 计数原理 B卷·素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂单元双测卷（北师大版2019）

１２．解析:如图,将４个区域标上A,B,C,D,当使用２种 颜色时,涂色种数为C２６×２＝３０种． A B C D 当使用３种颜色时,可能(A,C)或(A,D)或(B,D)涂 同一颜色,涂色方案有 C３６􀅰A３３􀅰３＝３６０(种)．所以 涂色方案共有３６０＋３０＝３９０(种)． 答案:３９０ １３．解析:令x＝１,得 ４x＋３x( ) ７ ６ ７－x( ) ７ 的展开式中 各项系数之和为(４＋３)７× ６７－１( ) ７ ＝ ７× －１７( )[ ] ７ ＝－１．] 答案:－１ １４．解析:由题意得 第０行有１个数,为１, 第１行有２个数,依次是C０１、C１１, 第２行有３个数,依次是C０２、C１２、C２２, 􀆺 则第 ９ 行 有 １０ 个 数,其 中 第 ５ 个 数 为 C４９ ＝ ９×８×７×６ ４×３×２×１＝１２６ , 第９行排在奇数位置的所有数字之和为C０９＋C２９＋C４９ ＋􀆺＋C８９＝２９－１＝２５６． 答案:１２６　２５６ １５．解:(１)(x＋ ３ x)n 的二项展开式中所有项的二项式 系数之和, C０n＋C１n＋􀆺＋Cnn＝２n＝１０２４, 所以n＝１０． (２)Tr＋１＝Cr１０(x)１０－r( ３ x)r＝Cr１０x５－ r ６ ,r＝０,１, 􀆺,１０, 因此r＝０,６时,有理项为T１＝C０１０x５＝x５,T７＝C６１０ x４＝２１０x４． １６．解:(１)令x＝０,则展开式可化为a０＝２１００． (２)令x＝１,得a０＋a１＋a２＋􀆺＋a９９＋a１００＝(２－ ３)１００　① 令x＝－１,得a０－a１＋a２－a３＋􀆺＋a１００＝(２＋ ３)１００　② 联立①②得:a１＋a３＋􀆺＋a９９ ＝ (２－ ３)１００－(２＋ ３)１００ ２ ． (３)原式＝[(a０＋a２＋􀆺＋a１００)＋(a１＋a３＋􀆺＋ a９９)]􀅰[(a０＋a２＋􀆺＋a１００)－(a１＋a３＋􀆺＋a９９)] ＝(a０＋a１＋a２＋􀆺＋a１００)(a０－a１＋a２－a３＋􀆺＋ a９８－a９９＋a１００) ＝(２－ ３)１００(２＋ ３)１００＝１． １７．解:(１)由题意从４人中选出２人,他们的编号和座位 编号一致,其余两人的不一致,只有一种坐法,故坐 法种数为C２４×１＝６; (２)假设第一位同学先选座位,有３种选法, 如果与他选的座位编号相同编号的同学选和第一位 同学编号相同的座位, 则其余两人只有１种坐法; 如果与他选的座位编号相同编号的同学选其余两编 号的座位,有２种选法,其余２人只有１种坐法,故共 有的坐法种数为３×(１＋２)＝９; (３)编号１,２的两位同学必须相邻,可以坐编号为１, ２或２,３或３,４的座位,两人内部全排列,其余两人 余下的位置上随便选座位,有 A２２＝２种坐法,故共有 的坐法种数为３A２２A２２＝１２． １８．解:(１)由题意,可知n２＋１＝６ ,所以n＝１０． 所 以 Tr＋１ ＝Cr１０x １０－r ２ ２rx－２r ＝Cr１０２rx １０－５r ２ ,因 为 １０－５r ２ ∈Z 且０≤r≤１０,r∈N,所以r＝０,２,４,６,８, １０．所以展开式中所有有理项的项数为６． (２)设第r＋１项的系数最大, 则 Cr１０２r≥Cr－１１０ ２r－１, Cr１０２r≥Cr＋１１０ ２r＋１,{ 即 ２ r≥ １ １１－r , １ １０－r≥ ２ r＋１． ì î í ï ï ïï 解得１９ ３≤r≤ ２２ ３． 因为r∈N,所以r＝７． 所以展开式中系数最大的项为 T８＝C７１０２７x－ ２５ ２ ＝１５３６０x－ ２５ ２ ． １９．解:(１)假定n 个不尽相异元素的所有排列数有N 种,在每种排列中,如果把相同的元素当成不相同的 元素,则n个元素的所有排列数可增加为N􀅰Ar１r１ 􀅰 Ar２r２􀆺A rkrk 种; 另一方面,n个不同的元素的全排列有 Ann 种, ∴N􀅰Ar１r１ 􀅰A r２r２ 􀆺Arkrk ＝A n n,即 N＝ Ann Ar１r１􀅰A r２r２ 􀆺Arkrk ＝ n ! r１!r２! 􀆺rk! ． 即得n个不尽相异元素的全排列数． (２)将比赛结果的胜、负、平看作三种元素,按题意, １０场比赛的结果是五胜三负二平, 即是 一 个 不 尽 相 异 元 素 的 全 排 列,由(１)知,共 有 １０! ５! ３! ２!＝２５２０ 种可能情况． 第五章　计数原理(B卷) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 D C B B A B C B ABCACD BD １．D　[由题意知:Cn－１n ＋Cnn＝n＋１＝７,解得:n＝６, ∴展开式的第４项的二项式系数最大, ∴C３６sin３x＝ ５ ２ ,即２０sin３x＝５２ ,∴sinx＝１２ ,又x∈ [０,π],∴x＝π６ 或５π ６． ] ２．C　[不同的选法有:C１５C１４C２３C０６＋C２５C０４C１３C１６＝５×４×３ ×１＋１０×１×３×６＝６０＋１８０＝２４０(种)．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １５１ 参考答案 ３．B　[(１＋x)６ 的展开式的通项为Tr＋１＝Cr６xr, 所以 １＋２ x２( )(１＋x) ６ 展 开 式 中 含 x３ 的 项 为 １􀅰 C３６x３＋ ２ x２ 􀅰C５６x５＝２０x３＋１２x３＝３２x３, 所以 １＋２ x２( )(１＋x) ６ 展开式中x３ 的系数为３２．] ４．B　[甲和另一个人一起分到A 班有 C１３A２２＝６(种)分 法,甲一个人分到A 班有C２３A２２＝６(种)分法,故共有６ ＋６＝１２种分法．] ５．A　[由题意,若三位数的回文数是偶数,则末(首)位 可能为２,４,６,８如果末(首)位为２,中间一位数有１０ 种可能,同理可得,如果末(首)位为４或６或８,中间 一位数均有１０种可能,所以有４×１０＝４０(个)．] ６．B　[由题知,x(x－２)７＝a０＋a１(x－１)＋a２(x－１)２ ＋􀆺＋a８(x－１)８, 且x(x－２)７＝[(x－１)＋１][(x－１)－１]７,则a５＝C５７ 􀅰(－１)２＋１􀅰C４７􀅰(－１)３＝－１４, a６＝C６７􀅰(－１)１＋１􀅰C５７􀅰(－１)２＝１４,所以a５＋a６ ＝－１４＋１４＝０．] ７．C　[法一:因为(２＋ax)(１＋x)５＝(２＋ax)×(１＋５x ＋１０x２＋１０x３＋５x４＋x５), 所以x２ 的系数为２０＋５a,由题意得２０＋５a＝２５,解得 a＝１．设(２＋x)(１＋x)５＝a０＋a１x＋􀆺＋a６x６,令x＝ １,得(２＋１)(１＋１)５＝a０＋a１＋􀆺＋a６＝９６． 法二:由乘法分配律知(２＋ax)(１＋x)５ 的展开式中 x２ 的系数为２􀅰C２５＋aC１５＝２０＋５a, 所以２０＋５a＝２５,解得a＝１, 设(２＋x)(１＋x)５＝a０＋a１x＋􀆺＋a６x６, 令x＝１,得(２＋１)(１＋１)５＝a０＋a１＋􀆺＋a６＝９６．] ８．B　[按每一位数上算筹的根数分类,一共有１５种情 况:(５,０,０),(４,１,０),(４,０,１),(３,２,０),(３,１,１),(３, ０,２),(２,３,０),(２,２,１),(２,１,２),(２,０,３),(１,４,０), (１,３,１),(１,２,２),(１,１,３),(１,０,４)． 由题图可知,２根及２根以上的算筹可以表示两个数 字,则上述情况能表示的三位数的个数分别为２,２,２, ４,２,４,４,４,４,４,２,２,４,２,２,故５根算筹能表示的三位 数的个数为２＋２＋２＋４＋２＋４＋４＋４＋４＋４＋２＋２ ＋４＋２＋２＝４４．] ９．ABC　[每人有四项工作可以安排,所以５人都安排 一项工作的不同方法数为４５,故选项 A 中说法错误; 每项工作至少有１人参加,则有一项工作安排２人,其 他三项工作各１人,所以共有C１４C２５A３３ 种不同方法数, 选项B中 A４５C１４ 是每项工作先安排１人,还剩下１人 在四项工作中选择,这样会有重复,比如:“甲、乙、丙、 丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机,戊安排翻译”与 “戊、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机,甲安 排翻译”重复计算,故选项B中说法错误;选项 C中是 先分组后分配,C３５C１２ 代表的是５人分成３人,１人,１ 人三组,C２５C２３ 代表的是５人分成２人、２人、１人三组, 然后三组人分配三项工作,乘 A３３,然而在分组的过程 中都有重复,比如:３人、１人、１人分组中,先选择了 甲、乙、丙三人一组,剩下丁、戊分两组只有一种分法, 而不是C１２ 种分法,故选项C中说法错误;选项 D分两 类考虑,第一类:司机安排１人,方法数为 C１３,另外４ 人分３组,方法数为C２４(４人选２人为１组,另外２人 分２组只有一种分法),然后３组人安排除司机外的三 项工 作,方 法 数 为 A３３,则 不 同 安 排 方 案 的 种 数 是 C１３C２４A３３;第二类:司机安排２人,方法数为 C２３,剩下３ 人安排另外三项工作,方法数为 A３３,则不同安排方案 的 种 数 是 C２３A３３,由 分 类 加 法 计 数 原 理 得,共 有 (C１３C２４A３３＋C２３A３３)种不同的安排方案,故选项 D 中说 法正确．] １０．ACD　[令x＝１,可得 １＋ax( ) ２x－ １ x( ) ６ 的展开 式中各项系数的和为(１＋a)×１＝２,∴a＝１,故选项 A正确; ∵ １＋ax( ) ２x－ １ x( ) ６ ＝ １＋１x( )(６４x ６－１９２x４＋ ２４０x２－１６０＋６０x－２－１２x－４＋x－６),故展开式中常 数项为－１６０,故选项B不正确; １＋ax( ) ２x－ １ x( ) ６ 的展开式中各项系数绝对值的 和,即项 １＋ax( ) ２x＋ １ x( ) ６ 的各系数和,为(１＋a) 􀅰３６＝１４５８,故选项C正确; 根据 １＋ax( ) ２x－ １ x( ) ６ ＝ １＋１x( )(６４x ６－１９２x４ ＋２４０x２－１６０＋６０x－２－１２x－４＋x－６)＝６４x６－ １９２x４＋２４０x２－１６０＋６０x－２－１２x－４＋x－６＋６４x５ －１９２x３＋２４０x－１６０x ＋６０x －３－１２x－５＋x－５,可得 若r为偶数,则展开式中xr 和xr－１的系数相等,故 选项 D正确．] １１．BD　[对于 A,若１班不再分配名额,则２０个名额分 配到５个班级,每个班级至少１个,根据插空法,有 C４１９种分配方法,故 A错误; 对于B,若１班有除劳动模范之外学生参加,则２０个 名额分配到６个班级,每个班级至少１个,根据插空 法,有C５１９种分配方法,故B正确; 对于CD,若每个班至少３人参加,相当于１６个名额 被占用,还有４个名额需要分到６个班级,分５类:① ４个名额到一个班,有６种;②一个班３个名额,一个 班１个名额,有 A２６＝３０种;③两个班都是２个名额, 有C２６＝１５种;④两个班１个名额,一个班２个名额, 有C１６C２５＝６０;⑤四个班都是１个名额,有C４６＝１５种, 则共有１２６种,故C错误,D正确．] １２．解析:从１０部专著中选择２部的所有可能情况有 C２１０＝４５种, 所选２部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专 著的可能情况有C１７C１３＋C２７＝４２种,故所求概率为 ４２ ４５ ＝１４１５． 答案:１４ １５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２５１ 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 １３．解析:(a＋２b－３c)６＝[(a＋２b)－３c]６,展开式的通 项为:Tr＋１＝Cr６(a＋２b)６－r(－３c)r, 取r＝３,则T４＝C３６(a＋２b)６－３(－３c)３＝－５４０c３􀅰 (a＋２b)３, (a＋２b)３ 的 展 开 式 的 通 项 为:Tm＋１ ＝Cm３a３－m (２b)m, 取m＝２,得到T３＝C２３a(２b)２＝１２ab２, 故ab２c３ 的系数为－５４０×１２＝－６４８０． 答案:－６４８０ １４．解析:∵Amx＝x(x－１)􀆺(x－m＋１), ∴A３３＋１＝(３＋１)(３＋１－１)(３＋１－２)＝(３＋ １)(３)(３－１)＝２ ３, ∵f(x)＝A３x＝x(x－１)(x－２)＝x３－３x２＋２x, 则f′(x)＝３x２－６x＋２． 令f′(x)＜０,即:３x２－６x＋２＜０, 解得:３－ ３ ３ ＜x＜ ３＋ ３ ３ ,∴函数f(x)的单调递减区 间为:１－ ３３ ,１＋ ３３ æ è ç ö ø ÷． 答案:２ ３　 １－ ３３ ,１＋ ３３ æ è ç ö ø ÷ １５．解:(１)若５对夫妇都相邻,A,B 相邻,可将每对夫妇 划分为１组,A,B 划分为１组,再将这６组人围坐成 一圈,共有 A５５ 种坐法, 由于每一组内两人还有顺序问题,所以共有 A５５×２６ ＝７６８０种坐法; (２)分成三步来完成,第一步,排甲、乙二人的太太的 座位,有２种坐法,甲、乙二人的座位也随之确定, 第二步,排其余３对夫妇的座位,有２３A３３ 种坐法, 第三步,排A,B 二人的座位,有 A２４ 种坐法, 根据分步乘法计数原理,共有２×２３A３３×A２４＝１１５２ 种坐法． １６．解:(１)各 项 的 二 项 式 系 数 的 和 为 C０１０＋C１１０＋C２１０ ＋􀆺＋C１０１０＝２１０＝１０２４． (２)奇数项的二项式系数的和为 C０１０＋C２１０＋􀆺＋C１０１０ ＝２９＝５１２; 偶数项的二项式系数的和为 C１１０＋C３１０＋􀆺＋C９１０＝ ２９＝５１２． (３)设(２x－３y)１０＝a０x１０＋a１x９y＋a２x８y２＋􀆺＋ a１０y１０(∗),各 项 系 数 之 和 即 为a０＋a１＋a２＋􀆺 ＋a１０, 由于(∗)是恒等式,故可用“赋值法”求解． 令(∗)中x＝y＝１,得各项系数之和为(２－３)１０＝ (－１)１０＝１． (４)奇数项系数的和为a０＋a２＋a４＋􀆺＋a１０,偶数项 系数的和为a１＋a３＋a５＋􀆺＋a９． 由(３)知a０＋a１＋a２＋􀆺＋a１０＝１． ① 令(∗)中x＝１,y＝－１,得a０－a１＋a２－a３＋􀆺＋ a１０＝５１０．② ①＋②,得２(a０＋a２＋􀆺＋a１０)＝１＋５１０, 故奇数项系数的和为１＋５ １０ ２ ; ①－②,得２(a１＋a３＋􀆺＋a９)＝１－５１０, 故偶数项系数的和为１－５ １０ ２ ． １７．解:(１)男女合在一起共有８人,每个车上２人,可以 分四个步骤完成,先安排２人上第一辆车,共有 C２８ 种,再安排第二辆车共有 C２６ 种,再安排第三辆车共 有C２４ 种,最后安排第四辆车共有C２２ 种,这样不同的 分配方法有C２８􀅰C２６􀅰C２４􀅰C２２＝２５２０(种)． (２)要求男女各１人,因此先把男售票员安排上车, 共有 A４４ 种不同方法,同理,女售票员也有 A４４ 种方 法,由分步乘法计数原理,男女各１人的不同分配方 法为 A４４􀅰A４４＝５７６(种)． (３)男女分别分组,４位男售票员平分成两组共有 C２４ ２ ＝３种不同分法,４位女售票员平分成两组也有 C２４ ２＝ ３种不同分法,这样分组方法就有３×３＝９(种),对 于其中每一种分法又有 A４４ 种上车方法,因而不同的 分配方法有９􀅰A４４＝２１６(种)． １８．解:(１)内科医生８名,外科医生x(x≥３)名,现要派 ３名医生参加赈灾医疗队,某内科医生必须参加,该 事件等同于从剩下７名内科医生,外科医生x(x≥３) 名,派２名医生参加赈灾医疗队,即 C２７＋x＝６６,C２７＋x ＝ (７＋x)(６＋x) ２×１ ＝６６ ,即x２＋１３x－９０＝０,解得x＝５． (２)∵(１＋x)n(１＋x)n＝(C０n＋C１nx＋C２nx２＋􀆺＋ Cnnxn)(C０n＋C１nx＋C２nx２＋􀆺＋Cnnxn)∴xn＋１的系数 C１nCnn＋C２nCn－１n ＋C３nCn－２n ＋􀆺＋Cn－１n C２n＋CnnC１n ∴原式可以看作(１＋x)n(１＋x)n 展开式中xn＋１的 系数减C１nCnn,即Cn＋１２n －n． １９．解:(１)①C:４,２,３,１,则逆序对有(４,２),(４,３),(２, １),(４,１),(３,１),则S(C)＝５; ②C:２,４,３,１,则逆序对有(４,３),(３,１),(４,１),(２, １),则S(C)＝４; (２)考察排列D:d１,d２,􀆺,dn－１,dn 与排列D１:dn, dn－１,􀆺,d２,d１, 因为数对(di,dj)与(dj,di)中必有一个为逆序对(其 中１≤i＜j≤n), 且排列D 中数对(di,dj)共有C２n＝ n(n－１) ２ 个, 所以S(D)＋S(D１)＝ n(n－１) ２ ． 所以排列 D 与D１ 的逆序对的个数的算术平均值 为n(n－１) ４ ． 而对于数字１,２,􀆺,n的任意一个排列A:a１,a２,􀆺, an,都可以构造排列A１:an,an－１,􀆺,a２,a１, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３５１ 参考答案 且这 两 个 排 列 的 逆 序 对 的 个 数 的 算 术 平 均 值 为n(n－１) ４ ． 所以所有S(A)的算术平均值为n (n－１) ４ ． (３)证明:①当j＝i＋１,即ai,aj 相邻时, 不妨设ai＜ai＋１,则排列A′为a１,a２,􀆺,ai－１,ai＋１, ai,ai＋２,􀆺,an, 此时排列A′与排列A:a１,a２,􀆺,an 相比,仅多了一 个逆序对(ai＋１,ai), 所以S(A′)＝S(A)＋１, 所以S(A)＋S(A′)＝２S(A)＋１为奇数． ②当j≠i＋１,即ai,aj 不相邻时, 假设ai,aj 之间有m 个数字,记排列 A:a１,a２,􀆺, ai,k１,k２,􀆺,km,aj,􀆺,an, 先将ai 向右移动一个位置,得到排列A１:a１,a２,􀆺, ai－１,k１,ai,k２,􀆺,km,aj,􀆺,an, 由①,知S(A１)与S(A)的奇偶性不同, 再将ai 向右移动一个位置,得到排列A２:a１,a２,􀆺, ai－１,k１,k２,ai,k３,􀆺,km,aj,􀆺,an, 由①,知S(A２)与S(A１)的奇偶性不同, 以此类推,ai 共向右移动m 次,得到排列Am:a１,a２, 􀆺,k１,k２,􀆺,km,ai,aj,􀆺,an, 再将aj 向左移动一个位置,得到排列,Am＋１:a１,a２, 􀆺,ai－１,k１,􀆺,km,aj,ai,􀆺,an, 以 此 类 推,aj 共 向 左 移 动 m ＋１ 次,得 到 排 列, A２m＋１:a１,a２,􀆺,aj,k１,􀆺,km,ai,􀆺,an, 即为排列A′, 由①可知仅有相邻两数的位置发生变化时,排列的 逆序对个数的奇偶性发生变化, 而排列A 经过２n＋１次的前后两数交换位置,可以 得到排列A′, 所以排列A 与排列A′的逆序数的奇偶性不同, 所以S(A)＋S(A′)为奇数． 综上,得S(A)＋S(A′)为奇数． 第六章　概率(A卷) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 C A A A A C B B ACD AD ACD １．C　[因为某人通过普通话二级测试的概率是１４ ,他连 续测试３次,所以其中恰有１次通过的概率是:P＝ C１３( １ ４ )(１－１４ )２＝２７６４． ] ２．A　[依题意P(A)＝１２ ,P(AB)＝１４ ,所以P(B|A) ＝P (AB) P(A)＝ １ ４ １ ２ ＝１２． ] ３．A　[根据正态分布的 对 称 性,P(１＜X＜５)＝１－ ２P(X≥５)＝１－２×０．２＝０．６,] ４．A　[因为ξ~B(n,p),所以E(ξ)＝np＝３,D(ξ)＝np􀅰(１ －p)＝９４． 所 以 ３(１－p)＝ ９４ ,解 得 p＝ １４． 所 以 n＝１２．] ５．A　[∵一次同时抛掷２枚质地均匀的硬币,恰好出现 ２枚硬币均正面向上的概率为１２× １ ２＝ １ ４ , ∴X~B ４,１４( ),∴EX＝４× １ ４＝１． ] ６．C　[设取到的两个球为同色为事件 A,这两个球都为 黑球为事件B, 则P(A)＝ C２２＋C２３ C２５ ＝２５ ,P(AB)＝ C２２ C２５ ＝１１０ , 所以P(B|A)＝P (AB) P(A)＝ １ ４． ] ７．B　[恰好５局时游戏终止的事件 M,输方第５局必 输,前４局平两局输两局的事件为 M１,第４局必输, 前３局输２局赢１局的事件为 M２, 则 M＝M１＋M２,M１ 与 M２ 互斥,显然游戏终止时A 可以是输方,B 也可以是输方, 于是得P(M１)＝２C２４ １ ３( ) ２ × １３( ) ２ ×１３＝ ４ ８１ , P(M２)＝２C２３ １ ３( ) ２ ×１３× １ ３( ) ２ ＝２８１ , P(M)＝P(M１＋M２)＝P(M１)＋P(M２)＝ ６ ８１＝ ２ ２７ , 所以恰好５局时游戏终止的概率为２２７． ] ８．B　[设“只用现金支付”为事件A,“既用现金支付也 用非现金支付”为事件B,“不用现金支付”为事件C, 则P(C)＝１－P(A)－P(B)＝１－０．４５－０．１５＝０．４．] ９．ACD　[由题得小汽车的普及率为３４ , A．这５个家庭均有小汽车的概率为 ３４( ) ５ ＝ ２４３１０２４ , 所以该命题是真命题; B．这５个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 C３５ ３ ４( ) ３ １ ４( ) ２ ＝１３５５１２ ,所以该命题是假命题; C．这５个家庭平均有３．７５个家庭拥有小汽车,是真 命题; D．这５个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小 汽车的概率为C４５ ３ ４( ) ４ １ ４( )＋ ３ ４( ) ５ ＝８１１２８ , 所以该命题是真命题．] １０．AD　[根据正态曲线关于x＝μ对称,且μ越大图象 越靠近右边, 所以μ１＜μ２＝μ３,BC错误;又σ越小数据越集中,图 象越瘦长, 所以σ１＝σ２＜σ３,AD正确．] １１．ACD 　[因为q＋０．４＋０．１＋０．２＋０．２＝１,所以q＝ ０．１,故 A正确; 又EX＝０×０．１＋１×０．４＋２×０．１＋３×０．２＋４×０．２ ＝２, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４５１ 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 　　　　　第五章　计数原理 　　　　　B卷􀅰素养提升卷 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共 ４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的． １．在关于sinx(x∈[０,π])的二项式(１＋ sinx)n 的展开式中,末尾两项的二项式 系数之和为７,且二项式系数最大的项的 值为５ ２ ,则x＝ (　　 ) A．π３ B． π ３ 或２π ３ C．π６ D． π ６ 或５π ６ ２．在２０２０年中俄高加索联合军演的某一 项演练中,中方参加演习的有５艘军舰, ４架飞机;俄方有３艘军舰,６架飞机．若 从中、俄两方中各选出２个单位(１架飞 机或一艘军舰都作为一个单位,所有的 军舰两两不同,所有的飞机两两不同), 且选出的四个单位中恰有一架飞机的不 同选法共有 (　　) A．５１种 B．２２４种 C．２４０种 D．３３６种 ３．１＋２x２ æ è ç ö ø ÷(１＋x)６ 展开式中x３ 的系数为 (　　) A．２６ B．３２ C．４６ D．５０ ４．要将甲、乙、丙、丁４名同学分到A、B、C 三个班级中,要求每个班级至少分到一 人,则甲被分到A 班的分法种数为 (　　) A．６ B．１２ C．２４ D．３６ ５．数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中 有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺 读也可以逆读．数学中有回文数,如３４３, １２５２１等．两位数的回文数有１１,２２,３３, 􀆺,９９共９个,则在三位数的回文数中偶 数的个数是 (　　) A．４０ B．３０ C．２０ D．１０ ６．已知x(x－２)７＝a０＋a１(x－１)＋a２(x－ １)２＋􀆺＋a８(x－１)８,则a５＋a６＝(　　) A．－１４ B．０ C．１４ D．－２８ ７．已知(２＋ax)(１＋x)５ 的展开式中x２ 的 系数为 ２５,则展开式中所有项的系数 和为 (　　) A．－９０ B．９７ C．９６ D．－９８ ８．算筹是在珠算发明以前我国独创的计算 工具,为我国古代数学的发展做出了很 大贡献．在算筹计数法中,以“纵式”和 “横式”两种方式来表示数字,如表所示: 表示多位数时,个位用纵式,十位用横 式,百位用纵式,千位用横式,以此类推, 遇零则置空,如图所示: 如果把５根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中,那么可以表示的三位数 的个数为 (　　) A．４６ B．４４ C．４２ D．４０ 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共 １８分．在每小题给出的四个选项中,有多项 符合题目要求．全部选对的得６分,部分选 对的得部分分,有选错的得０分． ９．现安排甲、乙、丙、丁、戊５名同学参加 ２０２２年杭州亚运会志愿者服务活动,有 翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安 排,则以下说法错误的是 (　　) A．若每人都安排一项工作,则不同的方 法数为５４ B．若每项工作至少有１人参加,则不同 的方法数为 A４５C１４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页１第　卷 　章五第　题试学数 C．如果司机工作不安排,其余三项工作 至少安排１人,则这５名同学全部被 安 排 的 不 同 方 法 数 为 (C３５C１２ ＋ C２５C２３)A３３ D．每项工作至少有１人参加,甲、乙不会 开车但能从事其他三项工作,丙、丁、 戊都能胜任四项工作,则不同安排方 案的种数是C１３C２４A３３＋C２３A３３ １０．已知 １＋ax æ è ç ö ø ÷ ２x－１x æ è ç ö ø ÷ ６ 的展开式中各 项系数的和为２,则下列结论正确的有 (　　 ) A．a＝１ B．展开式中常数项为１６０ C．展开式系数的绝对值的和１４５８ D．若r为偶数,则展开式中xr 和xr－１ 的系数相等 １１．某中学为提升学生劳动意识和社会实 践能力,利用周末进社区义务劳动,高 三一共６个班,其中只有１班有２个劳 动模范,本次义务劳动一共２０个名额, 劳动模范必须参加并不占名额,每个班 都必须有人参加,则下列说法正确的是 (　　 ) A．若１班不再分配名额,则共有 C４２０种 分配方法 B．若１班有除劳动模范之外学生参加, 则共有C５１９种分配方法 C．若每个班至少３人参加,则共有９０ 种分配方法 D．若每个班至少３人参加,则共有１２６ 种分配方法 三、填空题:本大题共３小题,每小题５分, 共１５分． １２．我国古代有着辉煌的数学研究成果． «周髀算经»«九章算术»«海岛算经»«孙 子算经»«缉古算经»等１０部专著有着 丰富多彩的内容,是了解我国古代数学 的重要文献．这１０部专著中有７部产生 于魏晋南北朝时期．某中学拟从这１０ 部专著中选择２部作为“数学文化”校 本课程学习内容,则所选２部专著中至 少有一部是魏晋南北朝时期专著的概 率为　　　　． １３．(a＋２b－３c)６ 的展开式中ab２c３ 的系数 为　　　． １４．规定 Amx＝x(x－１)􀆺(x－m＋１),其中 x∈R,m∈N＋,且 A０x＝１,这是排列数 Amn(n,m∈N＋,且m≤n)的一种推广．则 A３３＋１＝　　　　,则函数f(x)＝A３x 的 单调递减区间为　　　　． 四、本大题共５小题,共７７分,解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． １５．(本小题满分１３分)有５对夫妇和A,B 共１２人参加一场婚宴,他们被安排在 一张有１２个座位的圆桌上就餐(旋转 之后算相同坐法)． (１)若５对夫妇都相邻而坐,A,B 相邻 而坐,共有多少种坐法? (２)５对夫妇都相邻而坐,其中甲、乙二 人的太太是闺蜜要相邻而坐,A,B 不相 邻,共有多少种坐法? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页２第　卷 　章五第　题试学数 １６．(本小题满分１５分)在(２x－３y)１０的展 开式中,求: (１)各项的二项式系数的和; (２)奇数项的二项式系数的和与偶数项 的二项式系数的和; (３)各项系数之和; (４)奇 数 项 系 数 的 和 与 偶 数 项 系 数 的和． １７．(本小题满分１５分)把４位男售票员和 ４位女售票员平均分成４组,到４辆公 共汽车里售票,如果同样两人在不同汽 车上服务算作不同的情况． (１)有几种不同的分配方法? (２)每小组必须是一位男售票员和一位 女售票员,有几种不同的分配方法? (３)男售票员和女售票员分别分组,有 几种不同的分配方法? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页３第　卷 　章五第　题试学数 １８．(本小题满分１７分)我们曾用组合模型 发现了组合恒等式Cmn＋１＝Cmn ＋Cm－１n ,这 里所使用的方法,实际上是将一个量用 两种方法分别算一次,由结果相同来得 到等式,这是一种非常有用的思想方 法,叫做“算两次”,对此,我们并不陌 生,例如列方程时就要从不同的侧面列 出表示同一个量的代数式． (１)某医院有内科医生８名,外科医生x (x≥３)名,现要派３名医生参加赈灾医 疗队,已知某内科医生必须参加的选法 有６６种,求x的值; (２)化简:C２nCn－１n ＋C３nCn－２n ＋􀆺＋Cn－１n C２n ＋CnnC１n． １９．(本小题满分１７分)在数字１,２,􀆺,n(n ≥２)的任意一个排列 A:a１,a２,􀆺,an 中,如果对于i,j∈N＋,i＜j,有ai＞aj, 那么就称(ai,aj)为一个逆序对．记排列 A中逆序对的个数为S(A)．如n＝４时,在 排列 B:３,２,４,１中,逆序对有(３,２), (３,１),(２,１),(４,１),则S(B)＝４． (１)设排列C:a１,a２,a３,a４,写出两组具 体的排列 C,分别满足:①S(C)＝５, ②S(C)＝４; (２)对于数字１,２,􀆺,n的一切排列A, 求所有S(A)的算术平均值; (３)如果把排列A:a１,a２,􀆺,an 中两个 数字ai,aj(i＜j)交换位置,而其余数字 的位置保持不变,那么就得到一个新的 排列,A′:b１,b２,􀆺,bn,求证:S(A)＋ S(A′)为奇数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页４第　卷 　章五第　题试学数 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 第五章　计数原理􀅰B卷 数学答题卡 选择题(１－８小题,每小题５分,９－１１小题,每小题６分,共５８分) １ A B C D ４ A B C D ７ A B C D １０ A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１ A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３ A B C D ６ A B C D ９ A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 非选择题　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(每小题５分,共１５分) １２．　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题(共７７分) １５．(１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 卷 􀅰章五第　)页４共(　页１第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(１５分) １７．(１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 卷 􀅰章五第　)页４共(　页２第　卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 卷 􀅰章五第　)页４共(　页３第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 卷 􀅰章五第　)页４共(　页４第　卡题答学数