第五章 计数原理 A卷·基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂单元双测卷（北师大版2019）

请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 第五章　计数原理􀅰A卷 数学答题卡 选择题(１－８小题,每小题５分,９－１１小题,每小题６分,共５８分) １ A B C D ４ A B C D ７ A B C D １０ A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１ A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３ A B C D ６ A B C D ９ A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 非选择题　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(每小题５分,共１５分) １２．　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题(共７７分) １５．(１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 卷 􀅰章五第　)页４共(　页１第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(１５分) １７．(１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 卷 􀅰章五第　)页４共(　页２第　卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 卷 􀅰章五第　)页４共(　页３第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 卷 􀅰章五第　)页４共(　页４第　卡题答学数 　　　　第五章　计数原理 　　　　A卷􀅰基础达标卷 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共 ４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的． １．设n∈N＋,且n＜２０,则(２０－n)(２１－n) 􀆺(１００－n)等于 (　　) A．A８０１００－n　　　　　　B．A２０－n１００－n C．A８１１００－n D．A８０２０－n ２．现有４件不同款式的上衣和７条不同颜 色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配 成一套,则不同的配法种数为 (　　) A．１１ B．２８ C．７２ D．６０ ３．有２位同学报名参加５个课外活动小组, 每位同学限报其中的一个小组,则不同 的报名方法共有 (　　) A．１０种 B．２０种 C．２５种 D．３２种 ４．如图所示,在A,B间有四个焊接点１,２,３, ４,若焊接点脱落导致断路,则电路不通,则 焊接点脱落的不通情况有(　　　)种． A．９ B．１１ C．１３ D．１５ ５．某校在“数学联赛”考试后选取了６名教 师参加阅卷,试卷共４道解答题,要求将 这６名教师分成４组,每组改一道解答 题,其中２组各有２名教师,另外２组各 有１ 名 教 师,则 不 同 的 分 配 方 案 的 种 数是 (　　) A．２１６ B．４２０ C．７２０ D．１０８０ ６．已知 ３x＋ ２ ３ x２ æ è çç ö ø ÷÷ n 的展开式中二项式系数 和为１２８,则展开式中有理项的项数为 (　　) A．０ B．２ C．３ D．５ ７．２０２１年某地电视台春晚的戏曲节目,准 备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅 戏、评剧６个剧种的各一个片段．对这６ 个剧种的演出顺序有如下要求:京剧必 须排在前三,且越剧、粤剧必须排在一 起,则该戏曲节目演出顺序共有 (　　) A．１２０种 B．１５６种 C．１８８种 D．２４０种 ８．５名大人带两个小孩排队上山,小孩不排 在一起也不排在头尾,则不同的排法种 数有 (　　) A．A５５􀅰A２４ 种 B．A５５􀅰A２５ 种 C．A５５􀅰A２６ 种 D．A７７－４A６６ 种 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共 １８分．在每小题给出的四个选项中,有多项 符合题目要求．全部选对的得６分,部分选 对的得部分分,有选错的得０分． ９．２名女生、４名男生排成一排,则２名女 生不相邻的排法种数为 (　　) A．C２６A４４ B．A４４A２５ C．A６６－A５５A２２ D．A２６A４４ １０．已知(１－２x)２０２１＝ao＋a１x＋a２x２＋ a３x３＋􀆺＋a２０２１x２０２１． (　　) A．展开式中所有项的二项式系数和 为２２０２１ B．展 开 式 中 所 有 奇 次 项 系 数 和 为３ ２０２１－１ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页１第　卷 　章五第　题试学数 C．展 开 式 中 所 有 偶 次 项 系 数 和 为３ ２０２１－１ ２ D． a１ ２＋ a２ ２２ ＋ a３ ２３ ＋􀆺＋ a２０２１ ２２０２１ ＝－１ １１．有３名男生、４名女生,在下列不同条件 下,不同的排列方法数正确的是 (　　) A．排成前后两排,前排３人,后排４人, 共有 A３７×A４４ 种方法 B．全体排成一排,男生互不相邻,共有 A３３×A４４ 种方法 C．全体排成一排,女生必须站在一起, 共有 A４４×A４４ 种方法 D．全体排成一排,其中甲不站在最左 边,也不站在最右边,共有 A２６×A５５ 种方法 三、填空题:本大题共３小题,每小题５分, 共１５分． １２．如图,用６种不同的颜色给图中的４个 格子涂色,每个格子涂１种颜色,要求最多 使用３种颜色,且相邻的２个格子颜色不 同,则不同的涂色方法共有　　　　种． １３．４x＋３x æ è ç ö ø ÷ ７ ６ ７－x æ è ç ö ø ÷ ７ 的展开式中各项系 数之和为　　　　． １４．如图,杨辉三角最早出现于我国南宋数 学家杨辉１２６１年所著的«详解九章算 法»．它揭示了(a＋b)n(n为非负整数) 展开式的项数及各项系数的有关规律． 由此可得图中第９行从左到右数第５个 数是　　　,第９行排在奇数位置的所 有数字之和为　　　． 四、本大题共５小题,共７７分,解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． １５．(本小题满分１３分)已知(x＋３x)n 的 二项展开式中所有项的二项式系数之 和为１０２４, (１)求n的值; (２)求展开式的所有有理项(指数为整 数),并指明是第几项． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页２第　卷 　章五第　题试学数 １６．(本小题满分１５分)设(２－ ３x)１００＝a０ ＋a１x＋a２x２＋􀆺＋a１００x１００,求下列各式 的值; (１)a０; (２)a１＋a３＋a５＋􀆺＋a９９; (３)(a０＋a２＋a４＋􀆺＋a１００)２－(a１＋a３ ＋􀆺＋a９９)２． １７．(本小题满分１５分)编号为１,２,３,４的 四位同学,分别就座于编号为１,２,３,４ 的四个座位上． (１)每位座位恰好坐一位同学,求恰有 两位同学编号和座位编号一致的坐法 种数? (２)每位座位恰好坐一位同学,求每位 同学编号和座位编号都不一致的坐法 种数? (３)每位座位恰好坐一位同学,求编号 １,２的两位同学必须相邻坐在一起的坐 法种数? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页３第　卷 　章五第　题试学数 １８．(本小题满分１７分)已知 x＋２x２ æ è ç ö ø ÷ n 的 展开式中,只有第 ６ 项的二项式系数 最大． (１)求该展开式中所有有理项的项数; (２)求该展开式中系数最大的项． １９．(本小题满分１７分)有n个元素,将其中 相同的元素归成一类,共有k类,这k类 元素中每类分别有r１,r２,􀆺,rk 个,且r１ ＋r２＋􀆺＋rk≤n,将这n个元素全部取 出的排列叫做n 个不尽相异元素的全 排列． (１)求上述n个不尽相异的元素的全排 列数． (２)由结论(１),回答“１个球队与１０个 球队各比赛１次,共有１０场比赛,问五 胜三负二平的可能情形有多少种?” 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页４第　卷 　章五第　题试学数 １９．解:(１)由题意可知,抛物线的标准方程为y２＝４x, 由FA → ＋FB → ＋FC → ＝０,可知,F 为△ABC重心, 设存在“向心三角形”,其中两个顶点的坐标分别为 (０,０)和(１,２),另外的顶点为(x０,y０), 由 ０＋１＋x０ ３ ＝１ , ０＋２＋y０ ３ ＝０ , ì î í ï ï ïï 解得: x０＝２, y０＝－２,{ 显然y ２ ０≠４x０, 故不存在“向心三角形”,其中两个顶点的坐标分别 为(０,０)和(１,２); (２)设A(x１,y１)、B(x２,y２)、C(x３,y３), 由 y２１＝４x１, y２２＝４x２,{ 两式相减,得(y１－y２)(y１＋y２)＝４(x１ －x２),所以 y１－y２ x１－x２ ＝ ４y１＋y２ ＝４,所以y１＋y２＝１, 由题意可知,y１＋y２＋y３＝０,所以y３＝－１,则x３＝ １ ４ ,由x１＋x２＋x３＝３,所以x１＋x２＝ １１ ４ ,所以,线段 AB 的中点 １１８ ,１ ２( ), 因此,直线AB 的方程为y－１２＝４x－ １１ ８( ),整理得 ４x－y－５＝０． 因此,直线AB 的方程４x－y－５＝０; (３)由(２)可 知x１＋x２＋x３＝３,则x２＋x３＝３－ x１,① 由y１＋y２＋y３＝０,y１＝－(y２＋y３), 平方可得y２１＝y２２＋２y２y３＋y２３≤２(y２２＋y２３),当且仅 当y２＝y３ 时取等号,显然y２≠y３, 所以y ２ １ ４＜２ y２２ ４＋ y２３ ４ æ è ç ö ø ÷,即x１＜２(x２＋x３), 将①代入可得x１＜２(３－x１),解得x１＜２, 所以点A 的横坐标小于２． 第五章　计数原理(A卷) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 C B C C D C A A BC ABDACD １．C　[由题意可得,共有(１００－n)－(２０－n)＋１＝８１ 项,所以(２０－n)(２１－n)􀆺(１００－n)＝A８１１００－n．] ２．B　[上衣有４种,长裤有７种,则一条长裤与一件上 衣配成一套,则不同的配法种数为４×７＝２８种．] ３．C　[每位同学都有５种选择,则不同的报名方法有５ ×５＝２５(种)．] ４．C　[按照可能脱落的个数分类讨论, 若脱落１个,则有(１),(４)两种情况, 若脱落２个,则有(１,２),(１,３),(１,４),(２,３),(２,４), (３,４)共６种情况, 若脱落３个,则有(１,２,３),(１,２,４),(２,３,４),(１,３,４) 共４种情况, 若脱落４个,则有(１,２,３,４)共１种情况, 综上共有２＋６＋４＋１＝１３种情况．] ５．D　[６人分成４组共有 C２６C２４C１２C１１ A２２A２２ ＝４５(种)不同的分 组方案,所以共有４５A４４＝１０８０种分配方案．] ６．C　[由题展开式中二项式系数的和为２n＝１２８,解得 n＝７,所以二项式为 ３x＋ ２ ３ x２ æ è ç ö ø ÷ ７ ,则展开式的通项 为Tr＋１＝２r􀅰３７－rCr７x７－ ５ ３r,r＝０,１,２􀆺,７． 所以当r＝０,３,６时,Tr＋１＝２r􀅰３７－rCr７x７－ ５r ３ 为有理 项,所以展开式中有理项共３项．] ７．A　 [完成排戏曲节目演出顺序这件事,可以有两类 办法:京剧排第一,越剧、粤剧排在一起作一个元素与 余下三个作全排列有 A４４,越剧、粤剧有前后 A２２,共有: A２２A４４ 种; 京剧排二三之一有 C１２,越剧、粤剧排在一起只有三个 位置并且它们有先后,有C１３A２２,余下三个有A３３,共有: C１２C１３A２２A３３ 种; 由分 类 计 数 原 理 知,所 有 演 出 顺 序 有:A２２A４４ ＋ C１２C１３A２２A３３＝１２０(种)．] ８．A　[先排大人,有 A５５ 种排法,去掉头尾后,有４个空 位,再分析小孩,用插空法,将２个小孩插在４个空位 中,有 A２４ 种排法,由分步乘法计数原理可知,有 A５５􀅰 A２４ 种不同的排法．] ９．BC　[可以先排４名男生,再将２名女生插入４名男 生形成的５个空位中,因此有 A４４A２５ 种排法． 或者先将６名学生全排列,再减去将２名女生看成一 个元素(即２名女生相邻),与４名男生的全排列,此时 有 A６６－A５５A２２ 种排法．所以选项B,C正确．] １０．ABD　[A．二项式系数之和为 C０２０２１＋C１２０２１＋􀆺＋ C２０２１２０２１＝２２０２１,故 A正确;B．(１－２x)２０２１＝a０＋a１x＋ a２x２＋􀆺＋a２０２１x２０２１ 当x＝－１,３２０２１＝a０－a１＋a２－a３＋􀆺－a２０２１① 当x＝１,(－１)２０２１＝a０＋a１＋a２＋a３＋􀆺＋a２０２１② ①＋②,可得当３２０２１－１＝２(a０＋a２＋􀆺＋a２０２０)⇒ a０＋a２＋􀆺＋a２０２０＝ ３２０２１－１ ２ ,故 B正确;C．①－② 得３２０２１＋１＝－２(a１＋a３＋􀆺＋a２０２１)⇒a１＋a３＋􀆺 ＋a２０２１＝－ ３２０２１＋１ ２ ,故 C错误;D．(１－２x)２０２１＝a０ ＋a１x＋a２x２＋􀆺＋a２０２１x２０２１ 令x＝０,则a０＝１ 令x＝１２ ,则０＝a０＋ a１ ２＋ a２ ２２ ＋􀆺＋ a２０２１ ２２０２１ a１ ２＋ a２ ２２ ＋􀆺＋ a２０２１ ２２０２１ ＝－１,故 D正确．] １１．ACD　[对于 A:先选出前排３人,有 A３７ 种排法,剩 余４人随机排序有 A４４ 种排法,故有 A３７×A４４ 种方 法,正确．对于B:利用插空法,４名女生随机排序有 A４４ 种排法,旁边有５个空位,把男生排进去有 A３５ 种 排法,故有 A４４×A３５ 种方法,B错误．对于 C:把４名 女生放在一起有 A４４ 种排法,再和３名男生排序有 A４４ 种排法,故有 A４４×A４４ 种方法,C正确．对于 D:从 其他６人抽出两人排在两侧有 A２６ 种排法,再把剩余 ５人随机排序有 A５５ 种排法,故有 A２６×A５５ 种方法,D 正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０５１ 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 １２．解析:如图,将４个区域标上A,B,C,D,当使用２种 颜色时,涂色种数为C２６×２＝３０种． A B C D 当使用３种颜色时,可能(A,C)或(A,D)或(B,D)涂 同一颜色,涂色方案有 C３６􀅰A３３􀅰３＝３６０(种)．所以 涂色方案共有３６０＋３０＝３９０(种)． 答案:３９０ １３．解析:令x＝１,得 ４x＋３x( ) ７ ６ ７－x( ) ７ 的展开式中 各项系数之和为(４＋３)７× ６７－１( ) ７ ＝ ７× －１７( )[ ] ７ ＝－１．] 答案:－１ １４．解析:由题意得 第０行有１个数,为１, 第１行有２个数,依次是C０１、C１１, 第２行有３个数,依次是C０２、C１２、C２２, 􀆺 则第 ９ 行 有 １０ 个 数,其 中 第 ５ 个 数 为 C４９ ＝ ９×８×７×６ ４×３×２×１＝１２６ , 第９行排在奇数位置的所有数字之和为C０９＋C２９＋C４９ ＋􀆺＋C８９＝２９－１＝２５６． 答案:１２６　２５６ １５．解:(１)(x＋ ３ x)n 的二项展开式中所有项的二项式 系数之和, C０n＋C１n＋􀆺＋Cnn＝２n＝１０２４, 所以n＝１０． (２)Tr＋１＝Cr１０(x)１０－r( ３ x)r＝Cr１０x５－ r ６ ,r＝０,１, 􀆺,１０, 因此r＝０,６时,有理项为T１＝C０１０x５＝x５,T７＝C６１０ x４＝２１０x４． １６．解:(１)令x＝０,则展开式可化为a０＝２１００． (２)令x＝１,得a０＋a１＋a２＋􀆺＋a９９＋a１００＝(２－ ３)１００　① 令x＝－１,得a０－a１＋a２－a３＋􀆺＋a１００＝(２＋ ３)１００　② 联立①②得:a１＋a３＋􀆺＋a９９ ＝ (２－ ３)１００－(２＋ ３)１００ ２ ． (３)原式＝[(a０＋a２＋􀆺＋a１００)＋(a１＋a３＋􀆺＋ a９９)]􀅰[(a０＋a２＋􀆺＋a１００)－(a１＋a３＋􀆺＋a９９)] ＝(a０＋a１＋a２＋􀆺＋a１００)(a０－a１＋a２－a３＋􀆺＋ a９８－a９９＋a１００) ＝(２－ ３)１００(２＋ ３)１００＝１． １７．解:(１)由题意从４人中选出２人,他们的编号和座位 编号一致,其余两人的不一致,只有一种坐法,故坐 法种数为C２４×１＝６; (２)假设第一位同学先选座位,有３种选法, 如果与他选的座位编号相同编号的同学选和第一位 同学编号相同的座位, 则其余两人只有１种坐法; 如果与他选的座位编号相同编号的同学选其余两编 号的座位,有２种选法,其余２人只有１种坐法,故共 有的坐法种数为３×(１＋２)＝９; (３)编号１,２的两位同学必须相邻,可以坐编号为１, ２或２,３或３,４的座位,两人内部全排列,其余两人 余下的位置上随便选座位,有 A２２＝２种坐法,故共有 的坐法种数为３A２２A２２＝１２． １８．解:(１)由题意,可知n２＋１＝６ ,所以n＝１０． 所 以 Tr＋１ ＝Cr１０x １０－r ２ ２rx－２r ＝Cr１０２rx １０－５r ２ ,因 为 １０－５r ２ ∈Z 且０≤r≤１０,r∈N,所以r＝０,２,４,６,８, １０．所以展开式中所有有理项的项数为６． (２)设第r＋１项的系数最大, 则 Cr１０２r≥Cr－１１０ ２r－１, Cr１０２r≥Cr＋１１０ ２r＋１,{ 即 ２ r≥ １ １１－r , １ １０－r≥ ２ r＋１． ì î í ï ï ïï 解得１９ ３≤r≤ ２２ ３． 因为r∈N,所以r＝７． 所以展开式中系数最大的项为 T８＝C７１０２７x－ ２５ ２ ＝１５３６０x－ ２５ ２ ． １９．解:(１)假定n 个不尽相异元素的所有排列数有N 种,在每种排列中,如果把相同的元素当成不相同的 元素,则n个元素的所有排列数可增加为N􀅰Ar１r１ 􀅰 Ar２r２􀆺A rkrk 种; 另一方面,n个不同的元素的全排列有 Ann 种, ∴N􀅰Ar１r１ 􀅰A r２r２ 􀆺Arkrk ＝A n n,即 N＝ Ann Ar１r１􀅰A r２r２ 􀆺Arkrk ＝ n ! r１!r２! 􀆺rk! ． 即得n个不尽相异元素的全排列数． (２)将比赛结果的胜、负、平看作三种元素,按题意, １０场比赛的结果是五胜三负二平, 即是 一 个 不 尽 相 异 元 素 的 全 排 列,由(１)知,共 有 １０! ５! ３! ２!＝２５２０ 种可能情况． 第五章　计数原理(B卷) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 D C B B A B C B ABCACD BD １．D　[由题意知:Cn－１n ＋Cnn＝n＋１＝７,解得:n＝６, ∴展开式的第４项的二项式系数最大, ∴C３６sin３x＝ ５ ２ ,即２０sin３x＝５２ ,∴sinx＝１２ ,又x∈ [０,π],∴x＝π６ 或５π ６． ] ２．C　[不同的选法有:C１５C１４C２３C０６＋C２５C０４C１３C１６＝５×４×３ ×１＋１０×１×３×６＝６０＋１８０＝２４０(种)．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １５１ 参考答案