期中模拟测试卷 B卷·素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂单元双测卷（北师大版2019）

　　　　　期中模拟测试卷 　　　　　B卷􀅰素养提升卷 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共 ４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的． １．经过圆x２＋２x＋y２＝０的圆心C,且与直 线x＋y＝０平行的直线方程是 (　　) A．x－y＋１＝０ B．x＋y－１＝０ C．x－y－１＝０ D．x＋y＋１＝０ ２．y＝|x|的图象和圆x２＋y２＝４所围成的 较小的面积是 (　　 ) A．π４ B． ３π ４ C．３π２ D．π ３．若圆C:x２＋y２＋２x－４y＋３＝０关于直 线２ax＋by＋６＝０对称,则由点(a,b)向 圆C所作的切线长的最小值是 (　　) A．４ B．３ C．２ D．１ ４．如图所示,在正方体ABＧ CDＧA１B１C１D１ 中,O 是底 面 正 方 形 ABCD 的 中 心,M 是D１D 的中点,N 是A１B１ 的中点,则直线 NO,AM 的位置关系是 (　　) A．平行　　　　　　　　B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直 ５．直线l过抛物线y２＝４x的焦点F 且与抛 物线交于A,B 两点,若线段AF,BF 的 长分别为m,n,则４m＋n的最小值是 (　　) A．１０ B．９ C．８ D．７ ６．若正四棱柱ABCDＧA１B１C１D１ 的体积为 ３,AB＝１,则直线 AB１ 与CD１ 所成的 角为 (　　) A．３０° B．４５° C．６０° D．９０° ７．已知点P(x,y)在直线x＋２y＝３上移 动,当２x＋４y 取得最小值时,过点P(x, y),引圆 x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ y＋１４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１２ 的切 线,则此切线段的长度为 (　　) A．６２ B． ３ ２ C．１２ D． ３ ２ ８．椭圆的焦点F１(－２ ２,０),F２(２ ２,０), 长轴 长 为 ２a,在 椭 圆 上 存 在 点 P,使 ∠F１PF２＝９０°,对于直线y＝a,在圆x２ ＋(y－１)２＝２上始终存在两点 M,N 使 得直线上有点Q,满足∠MQN＝９０°,则 椭圆的离心率的取值范围是 (　　) A．[２ ２３ ,１) B．[２２ ,１) C．[２２ ,２ ２ ３ ] D．(０,２ ２３ ] 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共 １８分．在每小题给出的四个选项中,有多项 符合题目要求．全部选对的得６分,部分选 对的得部分分,有选错的得０分． ９．已知圆M:(x－１－cosθ)２＋(y－２－sinθ)２ ＝１,直线l:kx－y－k＋２＝０,下列四个 选项,其中正确的是 (　　) A．对任意实数k与θ,直线l和圆M 有公 共点 B．存在实数k与θ,直线l和圆M 相离 C．对任意实数k,必存在实数θ,使得直线 l与圆M 相切 D．对任意实数θ,必存在实数k,使得直 线l与圆M 相切 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页１第　卷 　卷试测拟模中期　题试学数 １０．在长方体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,AB＝ BC＝２,AA１＝１,则 直 线 BC１ 与 平 面 BB１D１D 所成角的正弦值不正确的为 (　　) A．６３ B． １０ ２ C．１５５ D． １０ ５ １１．已知点P 是双曲线E:x ２ １６－ y２ ９＝１ 的右 支上一点,F１、F２ 为双曲线E 的左、右 焦点,△PF１F２ 的面积为２０,则下列说 法正确的有 (　　) A．点P 的横坐标为２０３ B．△PF１F２ 的周长为 ８０ ３ C．∠F１PF２ 小于 π ６ D．△PF１F２ 的内切圆半径为 ３ ２ 三、填空题:本大题共３小题,每小题５分, 共１５分． １２．抛物线C:y２＝２px的焦点为F １２ ,０ æ è ç ö ø ÷, 则p＝　　　,过F 的直线l与C 交于 A,B 两点,若线段AB 中点的纵坐标为 １,则|AB|＝　　　． １３．在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C: x２＋(y－１)２＝４,若等腰直角三角形 PAB 的斜边AB 为圆C 的一条弦,则 PC的最大值为　　　　． １４．«九章算术»第五卷中 涉 及 到 一 种 几 何 体 ———羡除,它 下 广 六 尺,上 广 一 丈．深 三 尺,末广八尺,袤七尺．该羡除是一个多 面体 ABCDFE,如图,四边形 ABCD, ABEF均为等腰梯形,AB∥CD∥EF, 平面ABCD⊥平面ABEF,梯形ABCD,梯 形ABEF的高分别为３,７,且AB＝６,CD ＝１０,EF＝８,则AD →􀅰BF → ＝　　　　． 四、本大题共５小题,共７７分,解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． １５．(本小题满分１３分)在直四棱柱ABCDＧ A１B１C１D１ 中,侧棱长为６,底面是边长 为８的菱形,且∠ABC＝１２０°,点E 在 边BC 上,且满足BE＝３EC,动点 M 在 该四棱柱的表面上运动,并且总保持 ME⊥BD１,求: (１)动点 M 的轨迹围成的图形的面积; (２)当 MC 与平面ABCD 所成角最大 时,异面直线 MC１ 与 AC 所成角的余 弦值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页２第　卷 　卷试测拟模中期　题试学数 １６．(本小题满分１５分)在平面直角坐标系 xOy中,圆O:x２＋y２＝６４,以O１(９,０) 为圆心的圆记为圆O１,已知圆O１ 上的 点与圆 O 上的点之间距离的最大值 为２１． (１)求圆O１ 的标准方程; (２)求过点 M(５,５)且与圆O１ 相切的直 线的方程; (３)已知直线l与x 轴不垂直,且与圆 O,圆O１ 都相交,记直线l被圆O,圆O１ 截得的弦长分别为d,d１．若 d d１ ＝２,求 证:直线l过定点． １７．(本小题满分１５分)如 图 所 示,在 等 腰 梯 形 ABCD 中,AD ∥BC, ∠ADC＝６０°,直角梯形 ADFE 所在的平面垂直于平面ABCD, 且∠EAD＝９０°,AE＝AD＝２DF＝２CD ＝２． (１)证明:平面ECD⊥平面ACE; (２)点 M 在线段EF 上,试确定点 M 的 位置,使平面 MCD 与平面EAB 所成的 二面角的余弦值为 ３ ４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页３第　卷 　卷试测拟模中期　题试学数 １８．(本小题满分１７分) 已知在平面直角坐标 系xOy中,抛物线方程 为y２＝２px(p＞０)． (１)若直线y＝－x＋１ 与抛物线相交于 M, N 两点,且|MN|＝２ ６,求抛物线的 方程; (２)直线l过点Q(０,t)(t≠０)交抛物线 于A,B 两点,交x 轴于点C,如图,设 QA → ＝mAC →,QB → ＝nBC →,求证:m＋n为 定值． １９．(本小题满分１７分)已知抛物线P 的焦 点为F(１,０),准线l的方程为x＝－１． 若三角形ABC 的三个顶点都在抛物线 P 上,且FA → ＋FB → ＋FC → ＝０,则称该三角 形为“向心三角形”． (１)是否存在“向心三角形”,其中两个 顶点的坐标分别为(０,０)和(１,２)? 说 明理由; (２)设“向心三角形”ABC 的一边AB 所 在直线的斜率为４,求直线AB 的方程; (３)已知三角形ABC 是“向心三角形”, 证明:点A 的横坐标小于２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页４第　卷 　卷试测拟模中期　题试学数 ∴Δ＞０,即b２＞２３m ２ 且x１＋x２＝ ４m ３ ＝２xE , ∴xE＝ ２m ３ ,yE＝－ １ ２xE＋m＝ ２m ３ , 由E ２m３ ,２m ３( ) 在直线y＝２x＋１上,得m＝－ ３ ２ ,于 是b２＞２３m ２＝３２ , ∴b的取值范围为 ６ ２ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷． 期中模拟测试卷(B卷) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 D D A C B C A A AC ABCABD １．D　[圆x２＋２x＋y２＝０的标准方程为(x＋１)２＋y２＝ １,圆心为C(－１,０),直线x＋y＝０的斜率为－１,故所 求直线方程为y＝－(x＋１),即x＋y＋１＝０．] ２．D　[在平面直角坐标系中绘制函数 y＝|x|与圆x２＋y２＝４的图象; 如图所示,为半径为２的圆的１４ , ∴面积为１４×π×２ ２＝π．] ３．A　[∵圆C:x２＋y２＋２x－４y＋３＝０ 化简为:(x＋１)２＋(y－２)２＝２ ∴圆的圆心坐标:(－１,２),半径为 ２,∵圆C:x２＋y２ ＋２x－４y＋３＝０关于直线２ax＋by＋６＝０对 称, ∴(－１,２)在直线２ax＋by＋６＝０上 可得－２a＋２b＋６＝０,即a＝b＋３,点(a,b)与圆心的 距离为: (a＋１)２＋(b－２)２． ∴点(a,b)向圆C所作切线长为: (a＋１)２＋(b－２)２－２＝ (b＋４)２＋(b－２)２－２≥４ 当且仅当b＝－１时弦长最小,最小值为４．] ４．C　[建立空间直角坐标系,如 图所示．设正方体的棱长为２, 则A(２,０,０),M(０,０,１),O(１, １,０),N(２,１,２), ∴NO→＝(－１,０,－２),AM→＝ (－２,０,１)．∵NO→􀅰AM→＝０, ∴直线NO,AM 的位置关系是 异面垂直．] ５．B　[抛物线y２＝４x的焦点F(１,０), 准线方程为x＝－１,如图所示,过 B 点作BD ⊥AD,作 AM⊥MN, BN⊥MN,由 抛 物 线 的 定 义 可 得 |AM|＝|AF|＝m,|BN|＝|BF| ＝n,|AD|＝m－n,|EF|＝２－n, ∴２－nm－n＝ n m＋n ,化简得:１ n＋ １ m＝ １,∴４m＋n＝(４m＋n)􀅰１＝(４m＋n)􀅰(１n ＋ １ m )＝ ４m n ＋ n m ＋５≥２ ４m n 􀅰n m ＋５＝９ ,当且仅当n＝２m 时 等号成立．所以４m＋n的最小值为９．] ６．C　[∵正四棱柱ABCDＧA１B１C１D１ 的体积为 ３,AB＝１,∴AA１＝ ３,以 D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴, DD１ 为z轴,建立空间直角坐标系, 则A(１,０,０),B１(１,１,３),C(０,１,０), D１(０,０,３),AB１ →＝(０,１,３),CD１ →＝(０,－１,３),设 直 线 AB１ 与 CD１ 所 成 的 角 为 θ,则 cosθ ＝ |AB１ →􀅰CD１ →| |AB１ →|􀅰|CD１ →| ＝ ２ ４􀅰 ４ ＝ １２ ,又 ０°＜θ≤９０°, ∴θ＝６０°,∴直线AB１ 与CD１ 所成的角为６０°．] ７．A　[要求解切线段的长度,只要知道圆心到点P 的 距离和圆的半径,结合勾股定理可知．由于利用基本 不等式及x＋２y＝３得到２x＋４y≥２ ２x４y＝ ２ ２x２２y＝２ ２x＋２y＝２ ２３＝４ ２,当且仅当２x＝４y ＝２ ２,即x＝３２ ,y＝３４ ,所以P(３２ ,３ ４ ),根据两点间 的 距 离 公 式 求 出 P 到 圆 心 的 距 离 ＝ ３ ２－ １ ２( ) ２ ＋ ３４＋ １ ４( ) ２ ＝ ２且圆的半径的平方为 １ ２ ,然 后 根 据 勾 股 定 理 得 到 此 切 线 段 的 长 度 (２)２－１２＝ ６ ２． ] ８．A　[要使在椭圆上存在点 P,使∠F１PF２＝９０°,设 ∠F１PF２＝２α, 只需最大的角大于等于９０°即可,当P 坐标为(０,b)或 (０,－b)时,角最大, 当α＝４５°,此时sinα＝ca ＝ ２ ２ ,故e≥ ２２ , ∵在圆C上存在两点M,N,在直线y＝a上存在一点 Q,使得∠MQN＝９０°,即在直线y＝a上存在一点Q, 使得Q 到圆的圆心(０,１)的距离等于a－１＝２, ∴只需(０,１)到直线y＝a的距离小于或等于２, 即a－１≤２,所以a≤３,即e＝ca ＝ ２ ２ a ≥ ２ ２ ３ ,综上, 故e∈[２ ２３ ,１)．] ９．AC　[根据题意知圆 M 的圆心坐标为 M(１＋cosθ,２＋ sinθ),半径为１,kx－y－k＋２＝０⇒y－２＝k(x－１),直线l 恒过定点N(１,２),|MN|＝ (１－１－cosθ)２＋(２－２－sinθ)２＝１,所以定点 N(１,２) 在圆M 上,无论θ取何值,都有(１－１－cosθ)２＋(２－２ －sinθ)２＝１,因此直线l和圆M 有公共点,所以选项 A正确,选项 B 错误;圆 心 M 到 直 线l 的 距 离d＝ |k(１＋cosθ)－(２＋sinθ)－k＋２| k２＋１ ＝|kcosθ－sinθ| k２＋１ ＝|k ２＋１(sinβcosθ－cosβsinθ)| k２＋１ ＝|sin(β－θ)|, (其中sinβ＝ k k２＋１ ,cosβ＝ １ k２＋１ ,tanβ＝k)当β－θ ＝nπ＋π２ (n∈Z)时,d＝１,所以对任意实数k,tanβ＝ k,所以必存在实数θ,使得直线l与圆M 相切,所以C 正确．当θ＝０°时,β＝nπ＋ π ２ (n∈Z),tanβ不存在,所 以 D不正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７４１ 参考答案 １０．ABC　[以 D 点 为 坐 标 原 点,以 DA,DC,DD１ 所 在 的直线为x轴、y轴、z轴,建 立空间直角坐标系,则A(２, ０,０),B(２,２,０),C(０,２,０), C１(０,２,１),∵BC１ →＝(－２, ０,１),AC→＝(－２,２,０),AC→ 为平面BB１D１D 的一个法向量．∴cos‹BC１ →,AC→›＝ ４ ５􀅰 ８ ＝ １０５ ．∴ 直线BC１ 与平面BB１D１D 所成角 的正弦值为 １０ ５ ． ] １１．ABD　[如图,因为双曲线E: x２ １６－ y２ ９＝１ ,所以c＝ １６＋９＝５ 又因为S△PF１F２ ＝ １ ２×２c|yP|＝ １ ２×１０×|yP|＝ ２０,所以|yP|＝４ 将其代入E:x ２ １６－ y２ ９＝１ 得x ２ １６－ ４２ ９＝１ ,即x＝２０３ ,所 以选项 A正确; 所以P 的坐标为 ２０３ ,±４( ), 故|PF２|＝ ２０ ３－５( ) ２ ＋４２＝１３３ , 由双曲线定义可知|PF１|＝|PF２|＋２a＝ １３ ３＋８＝ ３７ ３ 所以C△PF１F２＝|PF１|＋|PF２|＋２c＝ １３ ３＋ ３７ ３＋１０ ＝８０３ ,所以选项B正确; 因为S△PF１F２＝ b２ tanθ２ ＝ ９ tanθ２ ＝２０,所以tanθ２＝ ９ ２０＜ ３ ３＝tan π ６ , 即θ ２＜ π ６ ,所以 ∠F１PF２＝θ＜ π ３ ,所 以 选 项 C 不 正确; 因为S△PF１F２＝ １ ２ 􀅰r􀅰C△PF１F２ ＝ １ ２ 􀅰r􀅰８０３＝２０ , 所以r＝３２ ,所以选项 D正确．] １２．解析:∵抛物线C:y２＝２px的焦点为F １２ ,０( ), 所以p＝１,设A(x１,y１),B(x２,y２),则y２１＝２x１,y２２ ＝２x２, 又AB 的中点为M(x０,１),直线l的斜率为k, 所以y１＋y２ ２ ＝１ , 所以(y１－y２)(y１＋y２)＝２(x１－x２), 故y１－y２ x１－x２ ＝ ２y１＋y２ ＝１,故k＝１． 故l的方程为y＝x－１２ ,所以x０＝１＋ １ ２． 故|AB|＝２x０＋p２( )＝４． 答案:１　４ １３．解析:连接圆心C 与P,则CP ⊥AB 且 平 分AB,设 交 点 为 D,设∠ACP＝α, 则|CD|＝|AC|cosα, |AD|＝|AC|sinα, ∵等 腰 直 角 △PAB 中,D 为 斜边中点,∴|AD|＝|DP|, ∴|PC|＝|CD|＋|DP|＝２cosα＋２sinα＝ ２ ２sin(α＋π４ ), 当α＋π４＝ π ２ ,即α＝π４ 时,|PC|的长达到最大值, ∴PC的最大值为２ ２． 答案:２ ２ １４．解析:如图示: 过A 分别作CD,EF 的高,垂足分别为N,M, ∵平面ABCD⊥平面ABEF,AB∥CD∥EF, 平面 ABCD∩ 平 面 ABEF＝AB,故 NA⊥ 平 面 ABEF,故AN⊥AB,AN⊥AM,又AM⊥AB, 故AN,AB,AM 两两垂直, 以A 为坐标原点,AB → ,AM → ,AN → 分别为x,y,z轴的正 方向,建立空间直角坐标系A－xyz,则由题意可知: B(６,０,０),D＝(－２,０,３),F(－１,７,０),A(０,０,０), 故BF → ＝(－７,７,０),AD → ＝(－２,０,３),故AD → 􀅰BF → ＝１４, 答案:１４ １５．解:如图,在直四棱柱ABＧ CDＧA１B１C１D１ 中,因 为 底 面是菱形,侧棱垂直底面, 所以AC⊥平面BDD１B１, 所以BD１⊥AC．在 AB 上 取F,使得BF＝３FA,连接 EF,则EF∥AC,所以BD１⊥EF．记AC 与BD 的交 点为O,以O 为坐标原点,建立空间直角坐标系OＧ xyz,则B(４,０,０),D１(－４,０,６),E(１,３ ３,０)．在 BB１上取一点G,记为(４,０,t),于是BD１ →＝(－８,０, ６),EG→＝(３,－３ ３,t)．由BD１ →􀅰EG→＝－２４＋６t＝０, 得t＝４,即BG＝２GB１,所以△EFG 的边为点M 的 运动轨迹．由题意得FG＝ BF２＋BG２＝２ １３,EF 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８４１ 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 ＝３４AC＝ ３ ４×８ ３＝６ ３ ,(１)动点 M 的轨迹围成 的图形的面积为 １ ２×６ ３× (２ １３)２－(３ ３)２＝ １５ ３． (２)显然当 M 与G 重合时,MC 与平面ABCD 所成 角最大．因为M(４,０,４),C１(０,４ ３,６),所以MC１ →＝ (－４,４ ３,２),|MC１ →|＝ (－４)２＋(４ ３)２＋２２＝ ２ １７,因为直线AC的一个方向向量为n＝(０,１,０),所 以cos(MC１ →,n)＝ MC１ →􀅰n |MC１ →||n| ＝ ４ ３ ２ １７ ＝２ ５１１７ ,即异面直 线MC１ 与AC所成角的余弦值为 ２ ５１ １７ ． １６．解:(１)由题设得圆O１ 的半径为４,∴圆O１ 的标准方 程为(x－９)２＋y２＝１６; (２)①当切线的斜率不存在时,直线方程为x＝５符 合题意; ②当切线的斜率存在时,设直线方程为y－５＝k(x－ ５),即kx－y＋(５－５k)＝０,∵直线和圆相切,∴d＝ |５＋４k| k２＋１ ＝４,解 得k＝－ ９４０ ,从 而 切 线 方 程 为y＝ －９４０x＋ ４９ ８． 故切线方程为y＝－９４０x＋ ４９ ８ 或x＝５; (３)证明:设直线l的方程为y＝kx＋m,则圆心O,圆 心O１ 到直线l的距离分别为: h＝ |m| １＋k２ ,h１＝ |９k＋m| １＋k２ , 从而d＝２ ６４－ m ２ １＋k２ ,d１＝２ １６－ (９k＋m)２ １＋k２ ． 由d d１ ＝２,得d ２ d２１ ＝ ６４－ m ２ １＋k２ １６－ (９k＋m)２ １＋k２ ＝４, 整理得m２＝４(９k＋m)２,故m＝±２(９k＋m),即１８k ＋m＝０或６k＋m＝０, ∴直线l为y＝kx－１８k或y＝kx－６k, 因此直线l过点定点(１８,０)或直线l过定点(６,０)． １７．解:(１)证明:∵平面ABCD⊥平面ADFE,平面ABＧ CD∩平面 ADFE＝AD,EA⊥AD,EA⊂平面 ADＧ FE,∴EA⊥平面ABCD, 又CD⊂平面ABCD,∴EA⊥CD, 在△ADC中,CD＝１,AD＝２,∠ADC＝６０°, 由余弦定理得 AC＝ １＋４－２×１×２cos６０°＝ ３, ∴AC２＋CD２＝AD２,∴CD⊥AC, ∵CD⊥EA,AE∩AC＝A,∴CD⊥平面ECA, ∵CD⊂平面ECD,∴平面ECD⊥平面ACE． (２)以C 为坐标原点,CA 为x 轴,CD 为y 轴,过C 作平面ABCD 的垂线为z轴,建立空间直角坐标系, C(０,０,０),A(３,０,０),B(３２ ,－１２ ,０),D(０,１,０),E (３,０,２),F(０,１,１), AB→＝(－ ３２ ,－ １２ ,０),AE→＝ (０,０,２),CD→＝(０,１,０),FE→＝ (３,－１,１),CF→＝(０,１,１), 设FM→＝λFE→＝(３λ,－λ,λ), (０≤λ≤１),则CM→＝CF→＋FM→＝(３λ,１－λ,１＋λ), 设平面ABE 的一个法向量m＝(x,y,z), 则 m􀅰AB→＝－ ３２x－ １ ２y＝０ m􀅰AE→＝２z＝０ { ,取x＝１, 得m＝(１,－ ３,０), 设平面 MCD 的一个法向量n＝(a,b,c), 则 n􀅰CD→＝b＝０ n􀅰CM→＝ ３λa＋(１－λ)b＋(１＋λ)c＝０{ , 令a＝１＋λ,得n＝(１＋λ,０,－ ３λ), ∵平面 MCD 与平面EAB 所成的二面角的余弦值 为 ３ ４ , ∴|cos‹m,n›|＝ |m 􀅰n| |m|􀅰|n|＝ |１＋λ| ２ ４λ２＋２λ＋１ ＝ ３４ , 整理得８λ２－２λ－１＝０,解得λ＝１２ ,或λ＝－１４ (舍), ∴点 M 为线段EF 中点时,平面 MCD 与平面EAB 所成的二面角的余弦值为 ３ ４． １８．解:(１)设 M (x１,y１ ),N (x２,y２ ),联 立 y２＝２px, y＝－x＋１,{ 得x ２－２(１＋p)x＋１＝０; ∵p＞０,∴Δ１＝４(p２＋２p)＞０; 则x１＝p＋１－ p２＋２p,x２＝p＋１＋ p２＋２p; ∴|MN|＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２＝ １＋k２|x１ －x２|＝２ ２ p２＋２p＝２ ６ ⇒p＝１;∴抛物线的方程为y２＝２x①; (２)设A(x３,y３),B(x４,y４),C(x０,０) ∵直线l过点Q(０,t)(t≠０);故可设直线方程为 y＝kx＋t②; ②代入①整理得ky２－２py＋２pt＝０; ∴Δ２＝４p２－８kpt＞０,y３＝p － p２－２kpt k , y４＝p ＋ p２－２pkt k ． 故y３＋y４＝ ２p k ,y３y４＝ ２pt k , ∵QA→＝(x３,y３－t),AC →＝(x０－x３,－y３),QB →＝ (x４,y４－t),BC →＝(x０－x４,－y４); ∴ y３－t＝－my３, y４－t＝－ny４,{ 即 m＝ty３ －１, n＝ty４ －１． ì î í ï ï ïï ;∴m＋n＝ty３ ＋ t y４ －２＝t×y３ ＋y４ y３y４ －２; 即m＋n＝t× ２p k ２pt k －２＝－１,所以m＋n为定值－１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９４１ 参考答案 １９．解:(１)由题意可知,抛物线的标准方程为y２＝４x, 由FA → ＋FB → ＋FC → ＝０,可知,F 为△ABC重心, 设存在“向心三角形”,其中两个顶点的坐标分别为 (０,０)和(１,２),另外的顶点为(x０,y０), 由 ０＋１＋x０ ３ ＝１ , ０＋２＋y０ ３ ＝０ , ì î í ï ï ïï 解得: x０＝２, y０＝－２,{ 显然y ２ ０≠４x０, 故不存在“向心三角形”,其中两个顶点的坐标分别 为(０,０)和(１,２); (２)设A(x１,y１)、B(x２,y２)、C(x３,y３), 由 y２１＝４x１, y２２＝４x２,{ 两式相减,得(y１－y２)(y１＋y２)＝４(x１ －x２),所以 y１－y２ x１－x２ ＝ ４y１＋y２ ＝４,所以y１＋y２＝１, 由题意可知,y１＋y２＋y３＝０,所以y３＝－１,则x３＝ １ ４ ,由x１＋x２＋x３＝３,所以x１＋x２＝ １１ ４ ,所以,线段 AB 的中点 １１８ ,１ ２( ), 因此,直线AB 的方程为y－１２＝４x－ １１ ８( ),整理得 ４x－y－５＝０． 因此,直线AB 的方程４x－y－５＝０; (３)由(２)可 知x１＋x２＋x３＝３,则x２＋x３＝３－ x１,① 由y１＋y２＋y３＝０,y１＝－(y２＋y３), 平方可得y２１＝y２２＋２y２y３＋y２３≤２(y２２＋y２３),当且仅 当y２＝y３ 时取等号,显然y２≠y３, 所以y ２ １ ４＜２ y２２ ４＋ y２３ ４ æ è ç ö ø ÷,即x１＜２(x２＋x３), 将①代入可得x１＜２(３－x１),解得x１＜２, 所以点A 的横坐标小于２． 第五章　计数原理(A卷) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 C B C C D C A A BC ABDACD １．C　[由题意可得,共有(１００－n)－(２０－n)＋１＝８１ 项,所以(２０－n)(２１－n)􀆺(１００－n)＝A８１１００－n．] ２．B　[上衣有４种,长裤有７种,则一条长裤与一件上 衣配成一套,则不同的配法种数为４×７＝２８种．] ３．C　[每位同学都有５种选择,则不同的报名方法有５ ×５＝２５(种)．] ４．C　[按照可能脱落的个数分类讨论, 若脱落１个,则有(１),(４)两种情况, 若脱落２个,则有(１,２),(１,３),(１,４),(２,３),(２,４), (３,４)共６种情况, 若脱落３个,则有(１,２,３),(１,２,４),(２,３,４),(１,３,４) 共４种情况, 若脱落４个,则有(１,２,３,４)共１种情况, 综上共有２＋６＋４＋１＝１３种情况．] ５．D　[６人分成４组共有 C２６C２４C１２C１１ A２２A２２ ＝４５(种)不同的分 组方案,所以共有４５A４４＝１０８０种分配方案．] ６．C　[由题展开式中二项式系数的和为２n＝１２８,解得 n＝７,所以二项式为 ３x＋ ２ ３ x２ æ è ç ö ø ÷ ７ ,则展开式的通项 为Tr＋１＝２r􀅰３７－rCr７x７－ ５ ３r,r＝０,１,２􀆺,７． 所以当r＝０,３,６时,Tr＋１＝２r􀅰３７－rCr７x７－ ５r ３ 为有理 项,所以展开式中有理项共３项．] ７．A　 [完成排戏曲节目演出顺序这件事,可以有两类 办法:京剧排第一,越剧、粤剧排在一起作一个元素与 余下三个作全排列有 A４４,越剧、粤剧有前后 A２２,共有: A２２A４４ 种; 京剧排二三之一有 C１２,越剧、粤剧排在一起只有三个 位置并且它们有先后,有C１３A２２,余下三个有A３３,共有: C１２C１３A２２A３３ 种; 由分 类 计 数 原 理 知,所 有 演 出 顺 序 有:A２２A４４ ＋ C１２C１３A２２A３３＝１２０(种)．] ８．A　[先排大人,有 A５５ 种排法,去掉头尾后,有４个空 位,再分析小孩,用插空法,将２个小孩插在４个空位 中,有 A２４ 种排法,由分步乘法计数原理可知,有 A５５􀅰 A２４ 种不同的排法．] ９．BC　[可以先排４名男生,再将２名女生插入４名男 生形成的５个空位中,因此有 A４４A２５ 种排法． 或者先将６名学生全排列,再减去将２名女生看成一 个元素(即２名女生相邻),与４名男生的全排列,此时 有 A６６－A５５A２２ 种排法．所以选项B,C正确．] １０．ABD　[A．二项式系数之和为 C０２０２１＋C１２０２１＋􀆺＋ C２０２１２０２１＝２２０２１,故 A正确;B．(１－２x)２０２１＝a０＋a１x＋ a２x２＋􀆺＋a２０２１x２０２１ 当x＝－１,３２０２１＝a０－a１＋a２－a３＋􀆺－a２０２１① 当x＝１,(－１)２０２１＝a０＋a１＋a２＋a３＋􀆺＋a２０２１② ①＋②,可得当３２０２１－１＝２(a０＋a２＋􀆺＋a２０２０)⇒ a０＋a２＋􀆺＋a２０２０＝ ３２０２１－１ ２ ,故 B正确;C．①－② 得３２０２１＋１＝－２(a１＋a３＋􀆺＋a２０２１)⇒a１＋a３＋􀆺 ＋a２０２１＝－ ３２０２１＋１ ２ ,故 C错误;D．(１－２x)２０２１＝a０ ＋a１x＋a２x２＋􀆺＋a２０２１x２０２１ 令x＝０,则a０＝１ 令x＝１２ ,则０＝a０＋ a１ ２＋ a２ ２２ ＋􀆺＋ a２０２１ ２２０２１ a１ ２＋ a２ ２２ ＋􀆺＋ a２０２１ ２２０２１ ＝－１,故 D正确．] １１．ACD　[对于 A:先选出前排３人,有 A３７ 种排法,剩 余４人随机排序有 A４４ 种排法,故有 A３７×A４４ 种方 法,正确．对于B:利用插空法,４名女生随机排序有 A４４ 种排法,旁边有５个空位,把男生排进去有 A３５ 种 排法,故有 A４４×A３５ 种方法,B错误．对于 C:把４名 女生放在一起有 A４４ 种排法,再和３名男生排序有 A４４ 种排法,故有 A４４×A４４ 种方法,C正确．对于 D:从 其他６人抽出两人排在两侧有 A２６ 种排法,再把剩余 ５人随机排序有 A５５ 种排法,故有 A２６×A５５ 种方法,D 正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０５１ 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 期中模拟测试卷􀅰B卷 数学答题卡 选择题(１－８小题,每小题５分,９－１１小题,每小题６分,共５８分) １ A B C D ４ A B C D ７ A B C D １０ A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１ A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３ A B C D ６ A B C D ９ A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 非选择题　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(每小题５分,共１５分) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　 １３．　　　　　　　　　１４．　　　　　　　　 解答题(共７７分) １５．(１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 卷 􀅰卷试测拟模中期　)页４共(　页１第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(１５分) １７．(１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 卷 􀅰卷试测拟模中期　)页４共(　页２第　卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 卷 􀅰卷试测拟模中期　)页４共(　页３第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 卷 􀅰卷试测拟模中期　)页４共(　页４第　卡题答学数