期中模拟测试卷 A卷·基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂单元双测卷（北师大版2019）

请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 期中模拟测试卷􀅰A卷 数学答题卡 选择题(１－８小题,每小题５分,９－１１小题,每小题６分,共５８分) １ A B C D ４ A B C D ７ A B C D １０ A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１ A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３ A B C D ６ A B C D ９ A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 非选择题　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(每小题５分,共１５分) １２．　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　 解答题(共７７分) １５．(１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 卷 􀅰卷试测拟模中期　)页４共(　页１第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(１５分) １７．(１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 卷 􀅰卷试测拟模中期　)页４共(　页２第　卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 卷 􀅰卷试测拟模中期　)页４共(　页３第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 卷 􀅰卷试测拟模中期　)页４共(　页４第　卡题答学数 　　　　期中模拟测试卷 　　　　A卷􀅰基础达标卷 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共 ４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的． １．直线x－ ３y＋a＝０(a为常数)的倾斜角 θ为 (　　) A．３０° B．６０° C．１２０° D．１５０° ２．已知向量a＝(－２,－３,１),b＝(２,０,４), c＝(－４,－６,２),则下列结论正确的是 (　　) A．a⊥c,b⊥c B．a∥b,a⊥c C．a∥c,a⊥b D．以上都不对 ３．已知双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的顶点 到渐近线的距离为a ２ ,则该双曲线的离心 率为 (　　 ) A．２ ３３ B．２ C．３２ D．２ ３ ４．已知倾斜角为θ的直线l与直线x＋２y －３＝０垂直,则sinθ＝ (　　 ) A．－ ５５ B． ５ ２ C．－２ ５５ D． ２ ５ ５ ５．如图,已知正方体ABCDＧ A′B′C′D′,点E是A′C′的 中点,点F 是AE 的三等 分 点,且 AF ＝ １２EF , 则AF → ＝ (　　 ) A．AA′ → ＋１２AB → ＋１２AD → B．１２AA′ → ＋１２AB → ＋１２AD → C．１２AA′ → ＋１６AB → ＋１６AD → D．１３AA′ → ＋１６AB → ＋１６AD → ６．已知等轴双曲线的焦距为８,左、右焦点F１, F２ 在x轴上,中心在原点,点A 的坐标为 (２,２ ３),P 为双曲线右支上一动点,则 |PF１|＋|PA|的最小值为 (　　 ) A．２ ２＋２ B．２ ２＋４ C．４ ２＋２ D．４ ２＋４ ７．已知圆 M:x２＋y２－２ay＝０(a＞０)截直 线x＋y＝０所得线段的长度是２ ２,则 圆 M 与圆N:(x－１)２＋(y－１)２＝１的 位置关系是 (　　 ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 ８．如图,F１,F２ 分别是双 曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０, b＞０)的两个焦点,以 坐标原点O为圆心,|OF１|为半径的圆与 该双曲线左支交于A,B 两点,若△F２AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为 (　　 ) A．３ B．２ C．２ ３－１ D．３＋１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页１第　卷 　卷试测拟模中期　题试学数 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共 １８分．在每小题给出的四个选项中,有多项 符合题目要求．全部选对的得６分,部分选 对的得部分分,有选错的得０分． ９．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面 角,下列结论正确的有 (　　) A．AD 与BC 所成的角为３０° B．AC与BD 所成的角为９０° C．BC与平面ACD 所成角的正弦值为 ３３ D．平面ABC与平面BCD 的夹角的正切 值是 ２ １０．已知直线l:y＝２x＋３被椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)截得的弦长为７,则下列 直线中被椭圆C 截得的弦长一定为７ 的有 (　　 ) A．y＝２x－３ B．y＝２x＋１ C．y＝－２x－３ D．y＝－２x＋３ １１．如 图,棱 长 为 １ 的 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中,P 为线段A１B 上的动点 (不含端点),则下列结论正确的是 (　　) A．直线D１P 与AC 所成的角可能是 π ６ B．平面D１A１P⊥平面A１AP C．三棱锥D１ＧCDP 的体积为定值 D．平面APD１ 截正方体所得的截面可 能是直角三角形 三、填空题:本大题共３小题,每小题５分, 共１５分． １２．若抛物线y２＝ax的焦点与双曲线x ２ ４－y ２ ＝１的左焦点重合,则a＝　　　　　． １３．如图,在四棱柱 ABCDＧA１B１C１D１ 中, 底面ABCD 是平行四 边形,点 E 为BD 的 中点,若A１E → ＝xAA１ → ＋yAB → ＋zAD →,则x＋y＋z＝　　　． １４．双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的的 离心率为 ３,当a＝１时,直线x－y＋m ＝０与双曲线C 交于不同的两点A,B, 且线段AB 的中点在圆x２＋y２＝５上, 则m 的值　　　　． 四、本大题共５小题,共７７分,解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． １５．(本小题满分１３分)已知曲线C:x２－y２ ＝１和直线l:y＝kx－１． (１)若l与C 有两个不同的交点,求实数 k的取值范围; (２)若l与C 交于A、B 两点,O 是坐标 原点,且△AOB 的面积为 ２,求实数k 的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页２第　卷 　卷试测拟模中期　题试学数 １６．(本小题满分１５分)如 图所示,在三棱柱ABCＧ A１B１C１ 中,CC１⊥平面 ABC,AC⊥BC,AC＝ BC＝２,CC１＝３,点D,E 分别在棱AA１ 和棱CC１ 上,且AD＝１, CE＝２,点 M 为棱A１B１ 的中点． (１)求证:C１M⊥B１D; (２)求二面角BＧB１EＧD 的正弦值; (３)求直线AB 与平面DB１E 所成角的 正弦值． １７．(本小题满分１５分)已知定圆A:(x＋ ３)２＋y２＝１６,动圆 M 过点B(３,０), 且和圆A 相切． (１)求动圆圆心 M 的轨迹E 的方程; (２)设不垂直于x轴的直线l与轨迹E 交于不同的两点P、Q,点 N(４,０)．若 P、Q、N 三 点 不 共 线,且 ∠ONP ＝ ∠ONQ．证明:动直线PQ 经过定点． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页３第　卷 　卷试测拟模中期　题试学数 １８．(本小题满分１７分)在 四棱 锥 PＧABCD 的 底 面ABCD 中,BC∥AD, CD⊥AD,PO ⊥ 平 面 ABCD,O是AD 的中点,且PO＝AD＝ ２BC＝２CD＝２． (Ⅰ)求证:AB∥平面POC; (Ⅱ)求二面角OＧPCＧD 的余弦值; (Ⅲ)线段PC上是否存在点E,使得AB ⊥DE,若存在,指出点E 的位置,若不 存在,请说明理由． １９．(本小题满分１７分)定义:由椭圆的两 个焦点和短轴的一个端点组成的三角 形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个 椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这 两个椭圆是“相似椭圆”,并将“特征三 角形”的相似比称为椭圆的相似比．已 知椭圆C１: x２ ４＋ y２ ２＝１ ,椭圆C２ 与C１ 是 “相似椭圆”,已知椭圆C２ 的短半轴长 为b． (１)写出椭圆C２ 的方程(用b表示); (２)若椭圆C２ 的焦点在x 轴上,且C２ 上存在两点 M,N 关于直线y＝２x＋１ 对称,求实数b的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页４第　卷 　卷试测拟模中期　题试学数 四面体四个顶点分别为(０,０,０),(２,０,０),(０,２,０), (０,０,２),此 四 面 体 的 体 积 为 VQ′ ＝ １ ３ ×２× １ ２×２×２( )＝ ４ ３ , 由对称性知,V１＝８VQ′＝ ３２ ３ 对于P 的子集P′构成的几何体为棱长为１的正方 体,即P′＝{(x,y,z)|０≤x≤１,０≤y≤１,０≤z≤１}, Q′＝{(x,y,z)|x＋y＋z≤２,x≥０,y≥０,z≥０}, 显然P′∩Q′为两个几何体公共部分, 记Q１(１,１,０),Q２(１,０,１),Q３(０,１,１),Q４(１,１,１)． 容易验证Q１,Q２,Q３ 在平面x＋y＋z＝２上,同时也 在P′的底面上． 则P′∩Q′为截去三棱锥Q４ＧQ１Q２Q３ 所剩下的部分． P′的体积VP′＝１×１×１＝１,三棱锥Q４ＧQ１Q２Q３ 的 体积为VQ４ＧQ１Q２Q３＝ １ ３×１× １ ２× (１×１)＝１６． 故P′∩Q′的体积VP′∩Q′＝VP′－VQ４ＧQ１Q２Q３＝１－ １ ６ ＝５６． 当由对称性知,V２＝８VP′∩Q′＝ ２０ ３． 期中模拟测试卷(A卷) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 A C A D D D B D BD ACD BC １．A　[因为直线x－３y＋a＝０的倾斜角为θ,θ∈[０,π)． 直线化为y＝ ３３x＋ ３ ３a ,则斜率k＝tanθ＝ ３３ , ∴θ＝３０°．] ２．C　[a􀅰b＝(－２,－３,１)􀅰(２,０,４)＝－４＋４＝０,所 以a⊥b,a＝(－２,－３,１),c＝(－４,－６,２),c＝２a,所 以a∥c,b􀅰c＝(２,０,４)􀅰(－４,－６,２)＝－８＋８＝０, 所以b⊥c．] ３．A　[设双曲线的右顶点(a,０),双曲线的渐近线y＝ b ax ,即bx－ay＝０,依题意得|ba－０| b２＋a２ ＝a２ ,即３b２＝ a２,所 以 离 心 率e＝ ca ＝ c２ a２ ＝ a ２＋b２ a２ ＝ ４b ２ ３b２ ＝２ ３３ ． ] ４．D　 [因为直线l与直线x＋２y－３＝０垂直,所以 tanθ􀅰 －１２( )＝－１,tanθ＝２． 又θ为直线倾斜角,解得sinθ＝２ ５５ ． ] ５．D　[∵点E 是A′C′的中点,点F 是AE 的三等分点, 且AF＝１２EF ,∴AF→＝１３AE →＝１３ (AA′→＋A′E→)＝ １ ３ AA′ →＋１２A′C′ →( )＝１３AA′ →＋１６A′C′ → ＝ １３AA′ → ＋ １６ (A′B′→ ＋A′D′→)＝ １３AA′ → ＋ １６AB → ＋１６AD →．] ６．D　[如图,由双曲线第一定义 得|PF１|－|PF２|＝２a①, 又由三角形三边关系可得|PA| ＋|PF２|≥|AF２|②(当点P 为 与AF２ 与双曲线的交点时取到 等号),①＋②得:|PF１|＋|PA|≥２a＋|AF２|,故 |PF１|＋|PA|)min＝２a＋|AF２| 由双曲线为等轴双曲线,且焦距为８可得c＝４,a２＝b２ ＝８,则a＝２ ２,F２(４,０),|AF２|＝ ２２＋(２ ３)２＝４ 则(|PF１|＋|PA|)min＝２a＋|AF２|＝４ ２＋４．] ７．B　[化简圆 M:x２＋(y－a)２＝a２⇒M(０,a),r１＝a⇒ M 到直线x＋y＝０的距离d＝a ２ ⇒ a ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋２＝a２⇒ a＝２⇒M(０,２),r１＝２, 又N(１,１),r２＝１⇒|MN|＝ ２⇒|r１－r２|＜|MN|＜ |r１＋r２|⇒两圆相交．] ８．D　[连结AF１,则AF１⊥AF２, 并且∠AF２F１＝３０°, ∴|AF１|＝c,|AF２|＝ ３c, ∵|AF２|－|AF１|＝２a,即(３ －１)c＝２a, ∴ca ＝ ２ ３－１ ＝ ３＋１．] ９．BD　[取 BD 的 中 点O,连 接 AO,CO,则AO⊥BD,∵正方形 ABCD 沿对角线BD 折成直二 面角,故平面ABD⊥BCD平面, 而平 面 ABD ∩ 平 面 BCD ＝ BD,AO⊂平面ABD,故AO⊥ 平面BCD．∴以O 为原点,OC 所在直线为x 轴,OD 所在直线为y 轴,OA 所在直线 为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设OC＝１,则A(０,０,１),B(０,－１,０),C(１,０,０),D(０,１,０), ∴BA→＝(０,１,１),AD→＝(０,１,－１),BC→＝(１,１,０), AC→＝(１,０,－１),BD→＝(０,２,０)．∵cos‹AD→,BC→›＝ AD→􀅰BC→ |AD→||BD→| ＝ １ ２× ２ ＝１２ ,因为‹AD→,BC→›∈[０,π], 故‹AD→,BC→›＝π３ ,∴异面直线AD 与BC 所成的角为 ６０°,故A错误;∵AC→􀅰BD→＝０,∴AC⊥BD,故B正确;设 平 面 ACD 的 法 向 量 为 t ＝ (x,y,z),则 t􀅰AC→＝x－z＝０, t􀅰AD→＝y－z＝０,{ 取z＝１,得x＝１,y＝１,∴t＝(１,１,１), 设BC与面ACD所成角为θ,则sinθ＝|cos‹BC→,t›|＝ |BC→􀅰t| |BC→|􀅰|t| ＝ ２ ２× ３ ＝ ６３ ,故 C错误;易知平面BCD 的一个法向量为n＝(０,０,１),设平面ABC 的法向量 为m＝(x′,y′,z′),则 m􀅰BA→＝y′＋z′＝０, m􀅰BC→＝x′＋y′＝０,{ 取x′＝１ 得y′＝－１,z′＝１∴m＝(１,－１,１),设两个平面的夹 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４４１ 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 角为α(α为锐角),则cosα＝|cos‹m,n›|＝ |m 􀅰n| |m|􀅰|n| ＝ ３３ ,故sinα＝ ６３ ,故tanα＝ ２．∴平面ABC与平面 BCD 的夹角的正切值是 ２,故 D正确．] １０．ACD　[由于椭圆C 关于原点、x 轴、y轴对称．对于 A选项,直线y＝２x－３与直线l关于原点对称,则直 线y＝２x－３截椭圆C 所得弦长为７,A 选项合乎要 求;对于B选项,直线y＝２x＋１与直线l平行,直线 y＝２x＋１截椭圆C 所得弦长大于７,B选项不合乎 要求;对于C选项,直线y＝－２x－３与直线l关于x 轴对称,则直线y＝－２x－３截椭圆C所得弦长为７, C选项合乎要求;对于 D选项,直线y＝－２x＋３与 直线l关于y 轴对称,则直线y＝－２x＋３截椭圆C 所得弦长为７,D选项合乎要求．] １１．BC　[对于 A,以D 为原点, DA 为x 轴,DC为y 轴,DD１ 为z 轴,建 立 空 间 直 角 坐 标 系,D１(０,０,１),A(１,０,０), C(０,１,０),设P(１,a,b)(０＜ a＜１,０＜b＜１), D１P →＝(１,a,b－１),AC→＝ (－１,１,０), cos‹D１P →,AC→›＝ D１P →􀅰AC→ |D１P →||AC→| ＝ a－１ １＋a２＋(b－１)２× ２ ＜０ ∵０＜a＜１,０＜b＜１,∴π２＜ ‹D１P →,AC→›＜３π４ ∴直线D１P 与AC 所成的角为 π ４ ,π ２( ),故A错误; 对于B,正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,A１D１⊥AA１, A１D１⊥AB, ∵AA１∩AB＝A,∴A１D１⊥平面A１AP, ∵A１D１ ⊂ 平 面 D１A１P,∴ 平 面 D１A１P ⊥ 平 面 A１AP,故B正确; 对于C,∴S△CDD１＝ １ ２×１×１＝ １ ２ ,P 到平面CDD１ 的距离BC＝１, ∴三棱锥D１ＧCDP 的体积: VD１ＧCDP＝VPＧCDD１＝ １ ３× １ ２×１＝ １ ６ 为定值, 故C正确;对于 D,平面APD１ 截正方体所得的截面 不可能是直角三角形,故 D错误．] １２．解析:双曲线x ２ ４－y ２＝１的左焦点为(－ ５,０), 因为抛物线y２＝ax的焦点与双曲线x ２ ４－y ２＝１的左 焦点重合, 所以a＜０,a４＝－ ５ ,得a＝－４ ５． 答案:－４ ５ １３．解析:在四棱柱 ABCDＧA１B１C１D１ 中,底面 ABCD 是平行四边形,点E 为BD 的中点,所以A１E →＝A１A → ＋AB→ ＋BE→ ＝A１A → ＋AB→ ＋ １２BD → ＝A１A → ＋AB→ ＋１２ (BA→＋AD→) ＝－AA１ →＋１２AB →＋１２AD → 由题:A１E →＝xAA１ →＋yAB→＋zAD→, 所以x＝－１,y＝１２ ,z＝１２ ,即x＋y＋z＝０． 答案:０ １４．解析:当a＝１时,e＝ca ＝ ３ ,所以c＝ ３,又c２＝a２ ＋b２,得b２＝２ 所以双曲线C 的方程为x２－y ２ ２＝１． 设A、B 两点的 坐标分别为(x１,y１),((x２,y２),线段 AB 的中点为 M(x０,y０), 由 x２－y ２ ２＝１ x－y＋m＝０ { ,得 x２－２mx－m２－２＝０(判 别 式Δ＞０), ∴x０＝ x１＋x２ ２ ＝m ,y０＝x０＋m＝２m,, ∵点 M(x０,y０),在圆x２＋y２＝５上, ∴m２＋４m２＝５,∴m＝±１． 答案:±１ １５．解:(１)由 y＝kx－１ x２－y２＝１{ ,得(１－k ２)x２＋２kx－２＝０． ∵直线与双曲线有两个不同的交点, ∴ １－k２≠０ Δ＝４k２＋８(１－k２)＞０{ 解得－ ２＜k＜ ２,且k≠±１,∴k 的取值 范 围 为 (－ ２,－１)∪(－１,１)∪(１,２)． (２)结合(１),设A(x１,y１)、B(x２,y２)．则x１＋x２＝ － ２k １－k２ ,x１x２＝－ ２ １－k２ , ∴|AB|＝ １＋k２|x１－x２|＝２ １＋k２× ２－k２ |１－k２| , ∵点O 到直线l的距离d＝ １ １＋k２ , ∴S△OAB＝ １ ２|AB|×d＝ ２－k２ |１－k２| ＝ ２, 即２k４－３k２＝０,解得k＝０或k＝± ６２ ,检验符合． 故实数k的值为０,６２ ,－ ６２． １６．解:(１)证明:依题意,以C 为原点,分别以CA,CB, CC１ 的方向为x 轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直 角坐标系,如图所示, 可得C(０,０,０),A(２,０,０),B(０,２,０),C１(０,０,３), A１(２,０,３),B１(０,２,３),D(２,０,１), E(０,０,２),M(１,１,３)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５４１ 参考答案 依题 意,C１M →＝(１,１,０),B１D →＝ (２,－２,－２), 所以C１M →􀅰B１D →＝２－２＋０＝０, 所以C１M⊥B１D． (２)因为CA⊥BC,CA⊥CC１,C１C∩ BC＝C,所以CA⊥平面BCC１B１, 所以CA→＝(２,０,０)是 平 面 BB１C 的一个法向量,又EB１ →＝(０,２,１),ED→＝(２,０,－１)． 设n＝(x,y,z)为平面DB１E 的法向量, 则 n􀅰EB１ →＝０ n􀅰ED→＝０{ ,即 ２y＋z＝０ ２x－z＝０{ ,不 妨 设 x＝１,可 得n＝(１,－１,２), cos‹CA→,n›＝ CA →􀅰n |CA→|􀅰|n| ＝ ２ ２× ６ ＝ ６６ , ∴sin‹CA→,n›＝ １－cos２‹CA→,n›＝ ３０６ , ∴二面角BＧB１EＧD 的正弦值为 ３０ ６ ． (３)依题意,AB→＝(－２,２,０),由(２)知n＝(１,－１,２) 为平面DB１E 的一个法向量, 设 AB 与 平 面 DB１E 所 成 角 为θ,所 以 sinθ＝ cos‹AB→,n›＝ AB→􀅰n |AB→|􀅰|n| ＝ ３３ , ∴直线AB 与平面DB１E 所成角的正弦值为 ３ ３． １７．解析:(１)圆A 的圆心为A(－ ３,０),半径r１＝４．设 动圆 M 的半径为r２,依题意有r２＝|MB|．由|AB| ＝２ ３,可知点B 在圆A 内,从而圆 M 内切于圆A, 故|MA|＝r１－r２, 即|MA|＋|MB|＝４＞２ ３．所以动点 M 的轨迹E 是以A、B 为焦点,长轴长为４的椭圆, 其方程为x ２ ４＋y ２＝１． (２)证明:设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠０),联立 y＝kx＋b, x２＋４y２＝４,{ 消去y得, (１＋４k２)x２＋８kbx＋４b２－４＝０,Δ＝１６(４k２－b２＋１)． 设P(x１,kx１＋b),Q(x１,kx１＋b), 则x１＋x２＝－ ８kb １＋４k２ ,x１x２＝ ４b２－４ １＋４k２ ． 于是kPN＋kQN＝ kx１＋b x１－４ ＋ kx２＋b x２－４ ＝ ２kx１x２－(４k－b)(x１＋x２)－８b (x１－４)(x１－４) , 由∠ONP＝∠ONQ 知kPN＋kQN＝０． 即２kx１x２－(４k－b)(x１＋x２)－８b＝２k ４b２－４ １＋４k２ －(４k －b)－８kb １＋４k２ －８b ＝８kb ２－８k １＋４k２ ＋３２k ２b－８kb２ １＋４k２ －８b＝０,得b＝－k, Δ＝１６(３k２＋１)＞０． 故动直线l的方程为y＝kx－k,过定点(１,０)． １８．解:(Ⅰ)连接OC, ∵O 是AD 的中点,AD＝２BC ＝２,BC∥AD,∴OA∥BC,且 OA＝BC＝１, ∴四边形 AOCB 是平行四边 形,∴AB∥OC, ∵AB 不 在 平 面POC 内,OC 在平面POC 内, ∴AB∥平面POC; (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,四边形OBCD 也为平行四边形, 又OD＝CD＝１,CD⊥AD,∴四边形OBCD 是正方 形,则OB⊥OD, 又PO⊥平面ABCD,故以O 为坐标原点,OB,OD, OP 所在直线分别为x 轴,y轴,z轴建立如图所示的 空间直角坐标系, 则O(０,０,０),P(０,０,２),C(１,１,０),D(０,１,０),PC→＝ (１,１,－２),OP→＝(０,０,２),DC→＝(１,０,０), 设 平 面 OPC 的 一 个 法 向 量 为 m ＝ (x,y,z), 则 m􀅰PC→＝x＋y－２z＝０ m􀅰OP→＝２z＝０{ , 可取m＝(１,－１,０), 设平 面 PCD 的 一 个 法 向 量 为 n ＝ (a,b,c), 则 n􀅰PC→＝a＋b－２c＝０ n􀅰DC→＝a＝０{ , 可取n＝(０,２,１), 设二面角OＧPCＧD 的平面角为θ, 则cosθ＝|cos‹m,n›|＝|m 􀅰n |m||n||＝ ２ ２􀅰 ５ ＝ １０５ ; 所以二面角OＧPCＧD 的余弦值为 １５５ ． (Ⅲ)假设线段PC 上存在点E,且满足PE→＝λPC→(０ ≤λ≤１),使得AB⊥DE, 设E(r,t,s),则(r,t,s－２)＝λ(１,１,－２)＝(λ,λ,－２λ), 故 r＝λ t＝λ s＝２－２λ{ ,即E(λ,λ,２－２λ), ∴DE→＝(λ,λ－１,２－２λ),又A(０,－１,０),B(１,０,０), AB→＝(１,１,０), ∴AB→􀅰DE→＝λ＋λ－１＝０,解得λ＝１２ , 故线段PC上存在点E,且满足PE→＝１２PC →,使得AB ⊥DE． １９．解:(１)由椭圆C２ 与C１ 是相似椭圆,得 a２ b２ ＝４２＝ ２ １ , ∴椭圆C２ 的方程为 x２ ２b２ ＋y ２ b２ ＝１或y ２ ２b２ ＋x ２ b２ ＝１． (２)由题设知:椭圆C２ 为 x２ ２b２ ＋y ２ b２ ＝１, 设 M(x１,y１),N(x２,y２),M,N 的中点为E,lMN:y ＝－１２x＋m． 联立lMN 与椭圆C２ 的方程,整理得３x２－４mx＋ ４(m２－b２)＝０, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６４１ 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 ∴Δ＞０,即b２＞２３m ２ 且x１＋x２＝ ４m ３ ＝２xE , ∴xE＝ ２m ３ ,yE＝－ １ ２xE＋m＝ ２m ３ , 由E ２m３ ,２m ３( ) 在直线y＝２x＋１上,得m＝－ ３ ２ ,于 是b２＞２３m ２＝３２ , ∴b的取值范围为 ６ ２ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷． 期中模拟测试卷(B卷) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 D D A C B C A A AC ABCABD １．D　[圆x２＋２x＋y２＝０的标准方程为(x＋１)２＋y２＝ １,圆心为C(－１,０),直线x＋y＝０的斜率为－１,故所 求直线方程为y＝－(x＋１),即x＋y＋１＝０．] ２．D　[在平面直角坐标系中绘制函数 y＝|x|与圆x２＋y２＝４的图象; 如图所示,为半径为２的圆的１４ , ∴面积为１４×π×２ ２＝π．] ３．A　[∵圆C:x２＋y２＋２x－４y＋３＝０ 化简为:(x＋１)２＋(y－２)２＝２ ∴圆的圆心坐标:(－１,２),半径为 ２,∵圆C:x２＋y２ ＋２x－４y＋３＝０关于直线２ax＋by＋６＝０对 称, ∴(－１,２)在直线２ax＋by＋６＝０上 可得－２a＋２b＋６＝０,即a＝b＋３,点(a,b)与圆心的 距离为: (a＋１)２＋(b－２)２． ∴点(a,b)向圆C所作切线长为: (a＋１)２＋(b－２)２－２＝ (b＋４)２＋(b－２)２－２≥４ 当且仅当b＝－１时弦长最小,最小值为４．] ４．C　[建立空间直角坐标系,如 图所示．设正方体的棱长为２, 则A(２,０,０),M(０,０,１),O(１, １,０),N(２,１,２), ∴NO→＝(－１,０,－２),AM→＝ (－２,０,１)．∵NO→􀅰AM→＝０, ∴直线NO,AM 的位置关系是 异面垂直．] ５．B　[抛物线y２＝４x的焦点F(１,０), 准线方程为x＝－１,如图所示,过 B 点作BD ⊥AD,作 AM⊥MN, BN⊥MN,由 抛 物 线 的 定 义 可 得 |AM|＝|AF|＝m,|BN|＝|BF| ＝n,|AD|＝m－n,|EF|＝２－n, ∴２－nm－n＝ n m＋n ,化简得:１ n＋ １ m＝ １,∴４m＋n＝(４m＋n)􀅰１＝(４m＋n)􀅰(１n ＋ １ m )＝ ４m n ＋ n m ＋５≥２ ４m n 􀅰n m ＋５＝９ ,当且仅当n＝２m 时 等号成立．所以４m＋n的最小值为９．] ６．C　[∵正四棱柱ABCDＧA１B１C１D１ 的体积为 ３,AB＝１,∴AA１＝ ３,以 D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴, DD１ 为z轴,建立空间直角坐标系, 则A(１,０,０),B１(１,１,３),C(０,１,０), D１(０,０,３),AB１ →＝(０,１,３),CD１ →＝(０,－１,３),设 直 线 AB１ 与 CD１ 所 成 的 角 为 θ,则 cosθ ＝ |AB１ →􀅰CD１ →| |AB１ →|􀅰|CD１ →| ＝ ２ ４􀅰 ４ ＝ １２ ,又 ０°＜θ≤９０°, ∴θ＝６０°,∴直线AB１ 与CD１ 所成的角为６０°．] ７．A　[要求解切线段的长度,只要知道圆心到点P 的 距离和圆的半径,结合勾股定理可知．由于利用基本 不等式及x＋２y＝３得到２x＋４y≥２ ２x４y＝ ２ ２x２２y＝２ ２x＋２y＝２ ２３＝４ ２,当且仅当２x＝４y ＝２ ２,即x＝３２ ,y＝３４ ,所以P(３２ ,３ ４ ),根据两点间 的 距 离 公 式 求 出 P 到 圆 心 的 距 离 ＝ ３ ２－ １ ２( ) ２ ＋ ３４＋ １ ４( ) ２ ＝ ２且圆的半径的平方为 １ ２ ,然 后 根 据 勾 股 定 理 得 到 此 切 线 段 的 长 度 (２)２－１２＝ ６ ２． ] ８．A　[要使在椭圆上存在点 P,使∠F１PF２＝９０°,设 ∠F１PF２＝２α, 只需最大的角大于等于９０°即可,当P 坐标为(０,b)或 (０,－b)时,角最大, 当α＝４５°,此时sinα＝ca ＝ ２ ２ ,故e≥ ２２ , ∵在圆C上存在两点M,N,在直线y＝a上存在一点 Q,使得∠MQN＝９０°,即在直线y＝a上存在一点Q, 使得Q 到圆的圆心(０,１)的距离等于a－１＝２, ∴只需(０,１)到直线y＝a的距离小于或等于２, 即a－１≤２,所以a≤３,即e＝ca ＝ ２ ２ a ≥ ２ ２ ３ ,综上, 故e∈[２ ２３ ,１)．] ９．AC　[根据题意知圆 M 的圆心坐标为 M(１＋cosθ,２＋ sinθ),半径为１,kx－y－k＋２＝０⇒y－２＝k(x－１),直线l 恒过定点N(１,２),|MN|＝ (１－１－cosθ)２＋(２－２－sinθ)２＝１,所以定点 N(１,２) 在圆M 上,无论θ取何值,都有(１－１－cosθ)２＋(２－２ －sinθ)２＝１,因此直线l和圆M 有公共点,所以选项 A正确,选项 B 错误;圆 心 M 到 直 线l 的 距 离d＝ |k(１＋cosθ)－(２＋sinθ)－k＋２| k２＋１ ＝|kcosθ－sinθ| k２＋１ ＝|k ２＋１(sinβcosθ－cosβsinθ)| k２＋１ ＝|sin(β－θ)|, (其中sinβ＝ k k２＋１ ,cosβ＝ １ k２＋１ ,tanβ＝k)当β－θ ＝nπ＋π２ (n∈Z)时,d＝１,所以对任意实数k,tanβ＝ k,所以必存在实数θ,使得直线l与圆M 相切,所以C 正确．当θ＝０°时,β＝nπ＋ π ２ (n∈Z),tanβ不存在,所 以 D不正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７４１ 参考答案