第一章 直线与圆 A卷·基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂单元双测卷（北师大版2019）

请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 第一章　直线与圆􀅰A卷 数学答题卡 选择题(１－８小题,每小题５分,９－１１小题,每小题６分,共５８分) １ A B C D ４ A B C D ７ A B C D １０ A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１ A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３ A B C D ６ A B C D ９ A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 非选择题　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(每小题５分,共１５分) １２．　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　 解答题(共７７分) １５．(１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 卷 􀅰章一第　)页４共(　页１第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(１５分) １７．(１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 卷 􀅰章一第　)页４共(　页２第　卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 卷 􀅰章一第　)页４共(　页３第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 卷 􀅰章一第　)页４共(　页４第　卡题答学数 数 新高考 第 学 同步单元双测卷 A卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.过点P(一2,1)且倾斜角为90的直线方程为 鉴 ( A.y=1 B.x=-2 C.y=-2 D.x=1 2.若圆x2+y2十2x一2y十m=0的半径为 址 √3，则实数m= 3 B.-1 中 C.1 3.圆(x-3)2十(y一4)”=1上一点到原点 的距离的最大值为 ( A.4 B.5 C.6 D.7 4.已知圆x2-2a.x+y2=0(a>0)截直线 x-y=0所得弦长是2，√2，则a的值为 益 ( A.2 B.2 C.6 D.3 5.若直线l的倾斜角a满足0≤α< 2π 3 且a≠受，则其斜率k满足 器 A.-5<k≤0 B.k>-3 C.k>≥0或k<-3 D,≥0，或<- 3 数学试题第一章△ 章直线与圆 ·基础达标卷 6.集合M={(x,y)x2+y2≤4}N={(x, y)|(x-1)2+(y-1)≤r2,r>0},且M ∩V=N,则r的取值范围是 A.(0,2-1) B.(0,1] C.(0,2-√2] D.(0,2] 7.已知两定点A(一3,5)，B(2,8),动点P 在直线x-y+1=0上，则|PA|+PB 的最小值为 A.5/13 B.√/34 C.55 D.2/26 8.如图，圆C与x轴相切于 点T(1,0),与y轴正半轴 交于两点A,B(B在A的 上方)，且AB引=2.过点A 任作一条直线与圆O:.x2+y=1相交于M, V两点，的值为 A.2 B.3 C.2√2 D.w2+1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 18分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分 9.已知直线l1:x十my-1=0,l2:(m-2)x +3y十3=0，则下列说法正确的是 A.若L1∥l2,则m=一1或m=3 B.若11∥12，则m=3 C.若l1⊥l2,则m=一 2 D.若l1⊥12，则m= 第1页（共4页） 10.已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+ 4x一2y十4=0相交于A、B两点，下列 说法正确的为 ( A.两圆有两条公切线 B.直线AB的方程为y=2x+2 C.线段AB的长为 D.圆O上点E,圆M上点F,EF的最 大值为√5十3 11.已知直线y=x十b与曲线y=3一 √4x一x,下列说法正确的是() A.b=1士2√2时，直线与曲线有且仅有 一个交点 B.一1<b≤3时，直线与曲线有且仅有 一个交点 C.1一2√2<b≤一1时，直线与曲线有 两个交点 D.b>3或b<1一2√2时，直线与曲线没 有交点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分， 共15分 12.直线1与直线x+y一2=0垂直，且它在 y轴上的截距为4，则直线（的方程为 13.如图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置 时，拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面 下降1m后，水面宽为 m. 14.已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条 互相垂直的弦，且垂足为M(1,w2),则四边 形ABCD的面积的最大值为 数学试题第一章A 四、本大题共5小题，共77分，解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)已知圆C:(x+2)2+y =5,直线1：mx-y+1十2m=0,m∈R (1)判断直线与圆的位置关系，并说明 理由： (2)若直线（与圆C交于AB两点，求弦 AB的中点M的轨迹方程. 第2贞（共4页） 16.(本小题满分15分)已知圆C:(x一1)2 +(y-2)2=25和直线1：(2m+1)x+ (m+1)y-7m一4=0. (1)证明：不论m为何实数，直线l都与 圆C相交于两点： (2)求直线1被圆C截得的弦长最小时 直线1的方程； (3)已知点P(x,y)在圆C上，求x2+y 的最大值 数学试题第一章A 17.(本小题满分15分)已知直线L,:(2+ m)x+(1-2m)y+4-3m=0. (1)求证：无论m为何实数，直线l,恒过 一定点M: (2)若直线12过点M,且与x轴负半轴、 y轴负半轴围成三角形面积最小，求直 线L2的方程， 卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)已知P是直线3.x十 4y+8=0上的动点，PA、PB是圆C:x 十y一2x一2y十1=0的两条切线，A、B 是切点。 (1)求四边形PACB面积的最小值： (2)直线上是否存在点P,使∠BPA= 60°？若存在，求出P点的坐标：若不存 在，说明理由， 数学试题第一章A 19.(本小题满分17分)一动点到两定点距 离的比值为非零常数入，当入≠1时，动 点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯 圆.已知两定点A、B的坐标分别为A (4,0)、B(1,0),动点M满足AM =2BM. (1)求动点M的阿波罗尼斯圆的方程： (2)过P(2,3)作该圆的切线1，求L的 方程 卷第4页（共4页）参考答案 第一章　直线与圆(A卷) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 B B C B C C D D BD AD BCD １．B　[由于过P(－２,１)的直线倾斜角为９０°,即直线垂 直于x轴,所以其直线方程为x＝－２．] ２．B　[由题意,圆的方程可化为(x＋１)２＋(y－１)２＝２ －m,所以半径为 ２－m＝ ３,解得m＝－１．] ３．C　[圆(x－３)２＋(y－４)２＝１的圆心为 ３,４( ),半径 为１,圆心到原点的距离为 ３２＋４２＝５,所以圆上一点 到原点的距离的最大值为５＋１＝６．] ４．B　[由圆x２－２ax＋y２＝０(a＞０),得(x－a)２＋y２＝ a２,则圆心坐标为(a,０),半径为a,圆心到直线x－y ＝０的距离d＝|a| ２ ＝ ２２a． 又半弦长为 ２,由垂径定理 可得:１ ２a ２＋２＝a２,解得a２＝４．∵a＞０,∴a＝２．] ５．C　[由０≤α＜π２ ,得tanα≥０,由π２＜α＜ ２π ３ ,tanα＜ － ３,故k≥０,或k＜－ ３．] ６．C　 [由 M∩N＝N 得N⊆M,∴圆x２＋y２＝４与圆 (x－１)２＋(y－１)２＝r２ 内切或内含,∴２－r≥ ２, 即０＜r≤２－ ２．] ７．D　[∵两定点A(－３,５),B(２,８), 动点P 在直线x－y＋１＝０上, ∴点A(－３,５),B(２,８)在直线x－y＋１＝０同侧, 设点A 关于直线x－y＋１＝０的对称点为C(a,b), 则 a－３ ２ － ５＋b ２ ＋１＝０ b－５ a＋３＝－１ ì î í ï ï ïï ,解得a＝４,b＝－２,∴C(４,－２), ∴|PA|＋|PB|的最小值为: |BC|＝ (４－２)２＋(－２－８)２＝２ ２６．] ８．D　[∵圆C 与x 轴相切于点T(１,０),∴圆心的横坐 标为１．取 AB 中点E,∵|AB|＝２,∴|BE|＝１,则 |BC|＝２．即圆的半径为 ２,则圆心C(１,２),E(０,２)． 又|AB|＝２,且E 为AB 的中点,∴A(０,２－１),B(０, ２＋１)．∵N 在圆O 上,∴可设N(cosα,sinα), 则|NA|＝ cos２α＋[sinα－(２－１)]２ ＝ ２(２－１)(２－sinα)． |NB|＝ cos２α＋[sinα－(２＋１)]２ ＝ ２(２＋１)(２－sinα)． ∴|NB||NA|＝ ２＋１ ２－１ ＝ ２＋１．] ９．BD　[直线l１∥l２,则３－m(m－２)＝０,解得m＝３或 m＝－１,但m＝－１时,两直线方程分别为x－y－１＝ ０,－３x＋３y＋３＝０,即x－y－１＝０,两直线重合,只 有m＝３时两直线平行,A错,B正确;l１⊥l２,则m－２ ＋３m＝０,m＝１２ ,C错,D正确．] １０．AD　[对于 A,因为两圆相交,所以两圆有两条公切 线,故 A正确;对于 B,因为圆O:x２＋y２＝４,圆 M: x２＋y２＋４x－２y＋４＝０,两圆作差得４x－２y＋４＝ －４即y＝２x＋４,所以直线AB 的方程为y＝２x＋４, 故B错误; 对于C,圆O:x２＋y２＝４的圆心为(０,０),半径为２, 则圆心到直线 AB 的距离d＝ ４ ４＋１ ＝４ ５５ ,所以 |AB|＝２ ２２－ ４ ５ ５ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝４ ５５ ,故C错误; 对于 D,圆 M:x２＋y２＋４x－２y＋４＝０ 的 圆 心 M (－２,１),半径为１, 所以|EF|max＝|OM|＋２＋１＝ ５＋３,故 D正确．] １１．BCD　[把y＝３－ ４x－x２化成 为(x－２)２＋(y－３)２＝４,因为 ０≤x≤４,y≤３, 所以曲线表示圆的下半部分,如 图,C(２,３),A(０,３),B(４,３)． 当y＝x＋b过A 时,b＝３,直线与曲线有且仅有一个 交点,当y＝x＋b过B 时,b＝－１,这时直线与曲线 有两个交点,当y＝x＋b与曲线相切时,|２－３＋b| ２ ＝２,解得b＝１－２ ２(b＝１＋２ ２舍去)． ∴当b＞３或b＜１－２ ２时,直线与曲线无交点;当 －１＜b≤３或b＝１－２ ２时,直线与曲线有且仅有一 个交点;当１－２ ２＜b≤－１时,直线与曲线有两个 交点,] １２．解析:设直线l的方程为x－y＋m＝０,又它在y轴上 的截距为４, ∴m＝４,∴直线l的方程为x－y＋４＝０． 答案:x－y＋４＝０ １３．解析:以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的 直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标 系,如下图所示: 由题意可知:设圆的方程为:x２＋(y＋r)２＝r２(其中 r为圆的半径),因为拱顶离水面２m,水面宽１２m, 所以设A(６,－２),代入圆的方程中得:r＝１０,所以圆 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９２１ 参考答案 的方程为:x２＋(y＋１０)２＝１００,当水面下降１m 后, 设A′(x０,－３)(x０＞３)代 入 圆 的 方 程 中 得:x０＝ ５１．∴水面宽为２x０＝２ ５１． 答案:２ ５１ １４．解析:设圆O 的圆心到AC、BD 的距离分别为d１ 和 d２,则S＝ １ ２|AC| 􀅰|BD|≤１２ (|AC| ２＋|BD|２ ２ )＝ AC２＋BD２ ４ ＝ ４(４－d１２＋４－d２２) ４ ＝８－ (d１２＋d２２)＝ ８－|OM|２＝５,当|AC|＝|BD|＝２􀅰 １０２ ＝ １０ 时, 最大面积为１ ２ ( １０)２＝５． 答案:５ １５．解:(１)直 线:mx－y＋１＋２m＝０,也 即 y－１＝ m(x＋２),故直线恒过定点(－２,１), 又(－２＋２)２＋１２＜５,故点(－２,１)在圆C内, 此时直线l一定与圆C 相交． (２)设点 M(x,y),当直线AB 斜率存在时, kAB＝y －１ x＋２ ,又kMC＝ yx＋２ ,kAB×kMC＝－１,即y －１ x＋２× y x＋２＝－１ , 化简可得:(x＋２)２＋ y－１２( ) ２ ＝１４ ,(x≠－２); 当直线 AB 斜率不存在时,显然 中 点 M 的 坐 标 为 (－２,１)也满足上述方程． 故 M 点的轨迹方程为:(x＋２)２＋ y－１２( ) ２ ＝１４． １６．解:(１)因为l:(２m＋１)x＋(m＋１)y－７m－４＝０, 所以(２x＋y－７)m＋(x＋y－４)＝０ 令 ２x＋y－７＝０, x＋y－４＝０,{ 解得 x＝３, y＝１,{ 所以直线l过定点(３,１)．而(３－１)２＋(１－２)２＜２５, 即点(３,１)在圆内部． 所以直线l与圆C 恒交于两点． (２)过 圆 心 (１,２)与 点 (３,１)的 直 线l１ 的 方 程 为 y＝－１２x＋ ５ ２ , 被圆C截得的弦长最小时,直线l必与直线l１ 垂直, 所以直线l的斜率k＝２,所以直线l的方程为y－１ ＝２(x－３),即２x－y－５＝０． (３)因为x２＋y２＝(x－０)２＋(y－０)２,表示圆上的点 (x,y)到(０,０)的距离的平方, 因为圆心到原点的距离d＝ １２＋２２＝ ５ 所以(x２＋y２)max＝(５＋ ５)２＝３０＋１０ ５ １７．解:(１)证明:l１:(２＋m)x＋(１－２m)y＋４－３m＝０⇒ m(x－２y－３)＋(２x＋y＋４)＝０． x－２y－３＝０ ２x＋y＋４＝０{ ⇒ x＝－１ y＝－２{ ,则 M(－１,－２)． 所 以 无 论 m 为 何 实 数,直 线 l１ 恒 过 一 定 点M(－１,－２)． (２)由题 知 直 线l２ 的 斜 率k＜０,设 直 线:l２:y＋２ ＝k(x＋１), 令x＝０,y＝k－２,令y＝０,x＝２k－１． S＝ １２|k－２| 􀅰|２k －１|＝ １ ２ ２－ ４ k－k＋２ ＝ １ ２ ４－ ４ k－k , ∵k＜０,∴ － ４k ＞０ ,∴ －k＞０,∴ － ４k －k≥ ２ －４k( )(－k)＝４, 当且仅当－４k＝－k 即k＝－２时取等, ∴y＋２＝－２(x＋１),即:２x＋y＋４＝０． １８．解:(１)易知C(１,１)．|AC|＝１,如图,连接PC, 易知S四边形PACB＝２S△PAC＝２× １ ２×|AP|×|AC| ＝|AP|．因为|AP|２＝|PC|２－|CA|２＝|PC|２－１, 所以当|PC|最小时,|AP|最小．|PC|的最小值即为 点C 到直线３x＋４y＋８＝０的距离,故|PC|min＝ |３×１＋４×１＋８| ３２＋４２ ＝３, 所以|PC|２min＝９,所以|AP|min＝ ９－１＝２ ２, 即四边形PACB 面积的最小值为２ ２． (２)不存在．理由:由(１)知圆心C 到直线的最小距离 为３,即|CP|＝３,要使∠BPA＝６０°,则|PC|＝２,显 然不成立,所以这样的点P 是不存在的． １９．解:(１)设动点 M 坐标为(x,y), 则AM＝ (x－４)２＋y２,BM＝ (x－１)２＋y２． 又知AM＝２BM,则 (x－４)２＋y２ ＝２ (x－１)２＋y２,得x２＋y２＝４． 故动点 M 的阿波罗尼斯圆的方程为x２＋y２＝４． (２)当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则直线l的 方程 为:y＝kx－２k＋３,l 与 圆 相 切,则 d＝ |－２k＋３| k２＋１ ＝２,得:k＝５１２ , 此时l的方程为:５x－１２y＋２６＝０,当直线l的斜率 不存在时,此时直线l的方程为:x＝２,与圆相切．综 上:直线l的方程为x＝２与５x－１２y＋２６＝０． 第一章　直线与圆(B卷) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 A A D D D B C C AC CD ACD １．A　[由于过点P(－２,１)且与x 轴平行,所以其直线 方程为y＝１．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０３１ 数学(BS)􀅰选择性必修第一册