专题4 整式中的规律探究-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级上册数学课时通(沪科版2024)

专题四 整式中的规律探究（答案1） 类型1甜与数式有关的规律探究 6.小明做了一个数字游戏： 1.数学活动课上，李老师给出一组按一定规律排列 第一步：取一个自然数n1=5,计算n+1 的数：2，一4,8，一16,32，…，第n个数是( 得a1i A.2 B.-2 第二步：算出a,的各位数字之和得n2,计算 C.(-1)"×2" D.(-1)"+1×2 n+1得ag; 2.对于每个正整数n,设f(n)表示n(n十1)的末 第三步：算出a:的各位数字之和得n,计算 位数字.例如：f(1)=2(1×2的末位数字)， n+1得ag: f(2)=6(2×3的末位数字)，f(3)=2(3× 以此类推，4224= 4的末位数字)，…，则f(1)+f(2)十 7.在综合实践活动中，数学兴趣小组对1一n这n f(3)+·+f(2022)的值为() 个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数 A.4042B.4048 C.4050 D.10 k进行了探究.发现：当n=2时，只有{1,2}一 3.如图所示，下列各正方形中的四个数之间都有 种取法，即k=1;当n=3时，有{1,3}和{2,3 相同的规律，根据此规律，x的值为( 两种取法，即k=2;当n=4时，可得k=4:… 14 26 38 18 若n=6,则k的值为 :若n=24,则 29 320 435 k的值为 A.135 B.153 8.观察下列等式： C.170 D.189 211 4.(2024·淮南三模)有如下数列：a1,a2,a3,a4 第1个等式：a1=2×424 a5a6…,4m-2。-1an,,满足am-2·am= 211 第2个等式：a2=4×6=46 2aw-1,已知a1=1,aa=4,则a2o24=( 211 A.8 B.6 第3个等式：a:=6×8-68 C.4 D.2 2 11 5.推理能力如图所示被称为“杨辉三角”或“贾 第4个等式：a,=8X10810… 宪三角”.其规律是：从第三行起，每行两端的 请解答下列问题： 数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的 (1)按以上规律列出第5个等式： 数之和.图中两平行线之间的一列数：1,3,6， (2)用含有n的代数式表示第n个等 10,15,…,我们把第一个数记为a1,第二个数 式： .(n为正整数) 记为a2,第三个数记为a1,…,第n个数记为 (3)试比较代数式a1十a2十a3十a,+…+a2a24 am,则a,十a2m 的值与，的大小关系 10 10 20、15 一行年级上伊-数学 52 蹈类型2瞄与图形有关的规律探究 13.数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一 9.如图所示，用围棋子按下面的规律摆图形，则 个探究问题：把数字1至8分别填入如图所示 摆第n个图形需要围棋子的枚数是() 的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆 。。。 圈内的数字之差的绝对值不等于1.经过探究 第1个 第2个 第3个 后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈 A.31-2 B.3n+2 的数字a,b.你认为a可以是 C.5n D.5n-2 10.几何直观，根据如图所示箭头的指向规律，从 2022到2023再到2024，箭头的方向是以下 图示中的( 14.如图所示，每个图案均由边长相等的灰、白两 色正方形按规律拼接而成，照此规律，第”个 图案中白色正方形比灰色正方形多 个.（用含n的代数式表示） B 第1个 第2个 第3个 11.推理能力我们将如图所示的两种排列形式 15.(2024·淮南一模)将字母“C”“H”按照如图 的点的个数分别称作“三角形数”（如1,3,6， 所示的规律摆放，依次下去，则第2024个图 10…)和“正方形数”（如1,4,9,16…），在小于 形中“H”的个数是 200的数中，设最大的“三角形数”为m,最大 的“正方形数”为n,则m十n的值为( 。。。 16.(2024·蚌埠期末)如图所示是一组有规律的 角形数 图案，它是由大小相等的正方形和等边三角 形组成的.第1个图案有4个正方形，第2个 止方形数 图案有6个正方形，第3个图案有8个正方 A.33 B.301 C.386 D.571 形，第4个图案有10个正方形，…，以此规 12.如图所示是由相同的小木棒拼成的一组有规 律，第n个图案中有 个正方形（用含 律的图案，第1个图案中有5根小木棒，第 n的代数式表示). 2个图案中有9根小木棒，第3个图案中有 13根小木棒，…，依此规律，第n个图案中有 3 格 第1个 第2个 根小木棒.（用含n的代数式表示） 冰 好 第1个 第2个 第3个 第3个 第4个 53 优学输讲的丝2(4.x-3)=6-3.x十8.x-6=5.x,所以A与B是关 于x的优美多项式 (2)因为A与B是关于x的优美多项式，所以 3A+2B=5,所以A=号(5x-2B).因为B= -3r+x+2m(m是正整数)， 3 所以A=号5x-2(←3x+x+m】 号(6.x2+3.x二3m2) =2x2+x-m2 因为当x=m时，多项式A一B的值是小于100的 整数， 所以A-B=2x2+x-m-（-3x+x+2m 3 =2x2+x-m+3x2-x-2m =5.x2、5 =5m2-5 5 =2m2, 所以m=2,4,6,2+4+6=12, 所以满足条件的所有m的值之和为12. 专题三整式化简求值的方法 1.-10 2.解：1当a=4时，原式=16-12+11. 5 (2)当a=- 时.原式-十1中119 1 —=45 3.1 4.解：因为2a+3a+1=6, 所以2a2+3a=5, 所以6a2+9a+5=3(2a2+3a)+5=3×5+5=20, 所以代数式6a”+9a十5的值为20. 5.解：(1)由2a+3b=6, 得a2+26=8 所以g2+b-5=3-5=-2 (2)由14x+5-21x2=-2, 得-7(3x-2x)=-7, 即3.x-2x=1,所以6.x-4x+5=2(3.x2-2x）+ 5=2+5=7. 6.解：3xy-[5xy-(2xy-3)+3xy] =3x2y-(5.xy-2.xy+3+3x2y) =3x2y-5xy+2xy-3-3.x2y =-3.xy-3, 当x=-1,y=2时， 所以原式=-3×(-1)×2一3=3. 7.16 1 8.解：因为x-2)+y+2=0, 所以x二2=0，y十2=0，所以x=2y=一2 所以2xy°-[5.x-3(2y-1)]+1 =2.xy2-(5.x-6y+3)+1 =2.xy2-5.x+6y-3+1 =2.xy2-5x+6y-2, 当x=2,y=一2时， 原式=2×2x(-}-5×2+6x(-2=1 10-3-2=-14. 9.解：根据题意，得m=4或一4，a十b=0,cd=1, 当m=4时，原式=一8：当m=一4时，原式=0， 则原式的值为一8或0. 10.解：根据题意，得m=0,x=2,y=2, 则原式=(2-3m).x2+(m-3).xy十(6-9m)y2 =2×2°+(0-3)×2×2+6×2 =8-12+24 =20. 11.解：因为M=xy一2x+2y-2=（y-2)x十2y 2,且M与字母x的取值无关， 所以y一2=0，解得y=2. 12.解：(1)原式=3x2+7.x+6-7x-8x2+4=-5.x2+ 10. (2)设看不清的数字为a, 则原式=(a.x+7x+6)-(7x+8.x-4) =a.x+7x+6-7.x-8.x+4 =(a-8)x+10. 因为结果为常数，所以a一8=0，解得a=8,即原题 中的“”为8. 13.解：(1)“囧”字图案中阴影部分的面积为20×20一 2yX2-xy=400-2xy. (2)把x=8,y=4代人400-2.xy,得 原式=400-2×8×4=336. 故此时“囧”字图案中阴影部分的面积是336. 专题四整式中的规律探究 1.D 2.B解析：因为f(n)表示n(n+1)的末位数字，所以 f(1)=2,f(2)=6,f(3)=2,f(4)=0,f(5)=0, f(6)=2,f(7)=6,f(8)=2,…,所以(n)的结果 每5个数值循环一次.因为f(1)十f(2)十f(3)+ f(4)+f(5)=10,2022÷5=404…2,所以(1)+ f(2)+f(3)+·+f(2022)=10×404+f(1)+ f(2)=4048. 3.C 4.D解析：因为am-2·a.=2aw-1,所以2a:=a1· a.又因为a1=1,a1=4,所以ag=2. 依次类推，a4=4,as=2,a6=1,a,=1,as=2,…, 由此可见，这列数按1,2,4,4,2,1循环出现， 又因为2024÷6=337…2，所以a:m4=2. 5.20110解析：观察“杨挥三角”可知第n个数记为 1 a.=1+2+十n= 1 2n(n+1).则a,十am=2× 1 4X(4+1)+2×200×(200+1)=20110. 6.65解析：由题意可知a1=5十1=26： a2=(2+6)2+1=65: a:=(6+5)2+1=122: a,=(1+2+2)2+1=26: 4, 所以这列数字依此以26,65,122循环出现」 因为2024÷3=674…2，所以4：4=65. 7.9144 2 11 8.解：(1a:=10×121012 2 1 1 (2)a.=2m×(2n+2)2m2n+2 3)原式-号}+号6十68++1048 1111,11 1 1 11 1 4050240502 所以a+a+a,十a,十…+a4e< 9.B10.C11.C12.(4n+1)13.1或8 14.4n十315.4050 16.(2m+2) 数学活动探索规律 1.11 2.解：设小勇最初选定的这个三位数的百位上的数字 为a,十位上的数字为b,个位上的数字为c. 则把百位上的数字乘2得2a,再加上2得(2a+2), 再乘5得(10a+10), 结果加上十位上的数字得(10a+10+b),再乘10得 (100a+100+10b), 结果加上个位上的数字得100(a+1)+10b+c. “奥秘”：选定的三位数百位上的数字为结果的百位 上的数字减1，十位上的数字为结果的十位上的数 字，个位上的数字为结果的个位上的数字 当“最后的得数”是763时，小勇最初选定的三位数 是663. 3.5 4.解：(1)三阶幻方如图所示： +3x-4x+1 -2 x+2 x-1x+4x-3 用含x的代数式表示幻方中9个数的和： (x+3)十(x-4)十(x十1)十(x-2)+(x+2)+ x+(x-1)+(x+4)+(x-3)=9.x. (2)如图所示（答案不唯一）： 4 9 8 117 3 6510 (3)m=a十b 2 数学拓展归纳推理 1.解：(1)因为n=1时，正方形有8个，即8=5× 1+3, 周长是18，即18=10×1+8， 当1=2时，正方形有13个，即13=5×2+3， 周长是28，即28=10×2+8， 当n=3时，正方形有18个，即18=5×3+3， 周长是38，即38=10×3+8， 当n=4时，正方形有23个，即23=5×4十3， 周长是48，即48=10×4+8. (2)由(1)可知，第n个图形中正方形有(5n十3)个， 周长是10m+8. 2.解：(1)99a+9b33a+3h3(33a+3b) (2)abcd=1000a+100b+10c十d =(999a+99b+9c)+(a+b+c+d) =9(111a+11b+c)+(a+b+c+d). 因为9(111a十11b十c)能被9整除， 所以若a十b十c十d可以被9整除，则abcd能被9 整除. 3.解：(1)132（答案不唯一） (2)任意一个“智慧数”abc=100a+10(a+c)+c= 110a+11c=11(10a+c), 所以任意一个“智慧数”都能被11整除， 所以张亮的说法正确。 本章综合提升 【知识要点归纳】 积指数高指数不变不改变改变不改变 改变升幂 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：先根据a+1=b2,求出b2一a=1,然 后利用去括号法则去掉括号，再合并同类项，然后 把化简后的式子变成含有b一a的形式，最后整体 代入求值即可. 解：因为a十1=b2.所以b2一a=1. 原式=7ab-5a-3ab+3b+2b2-4ab=3b+ 2b2+7ab-3ab-4ab-5a=5b2-5a-5(b2- a)=5×1=5. 【变式训练1】解：原式=3a2-7a-2a2+6a-4=a2- a一4，因为a2-a-5=0,所以a2-a=5, 所以原式=5一4=1. 2