第五章 1.1 分类加法计数原理&1.2 分步乘法计数原理-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　　　第五章　计数原理 　　　　　　　　　§１　基本计数原理 　　　　１．１　分类加法计数原理　１．２分步乘法计数原理 [基础达标练] １．某校开设A 类选修课３门,B 类选修课 ４门,若要求从两类课程中选一门,则不 同的选法共有 (　　) A．３种　 B．４种　 C．７种　 D．１２种 ２．已知集合M＝{１,－２,３},N＝{－４,５,６, －７},从两个集合中各取一个元素作为 点的坐标,可得直角坐标系中第一、二 象限不同点的个数是 (　　 ) A．１８ B．１６ C．１４ D．１０ ３．某班小张等４位同学报名参加A,B,C 三个课外活动小组,每位同学限报其中 一个小组,且小张不能报A 小组,则不 同的报名方法有 (　　) A．２７种 B．３６种 C．５４种 D．８１种 ４．如图,一条电路从A 处到B 处接通时, 可构成通路的条数为 (　　 ) A．８ B．６ C．５ D．３ ５．五位同学去听同时进行的４个课外知 识讲座,每个同学可自由选择,则不同 的选择种数是 (　　) A．５４ B．５×４×３×２ C．４５ D．５×４ ６．(多选)现有不同的红球４个,黄球５ 个,绿球６个,则下列说法正确的是 (　　) A．从中任选１个球,有１５种不同的 选法 B．若每种颜色选出１个球,有１２０种不 同的选法 C．若要选出不同颜色的２个球,有３１ 种不同的选法 D．若要不放回地依次选出２个球,有 ２１０种不同的选法 ７．已知集合A＝{０,３,４},B＝{１,２,７,８}, 集合C＝{x|x∈A 或x∈B},则当集合 C中有且只有一个元素时,C 的情况有 　　　　种． ８．十字路口来往的车辆,如果不允许回 头,不同的行车路线有　　　　条． ９．计划在４个体育馆举办排球、篮球、足 球３个项目的比赛,每个项目的比赛只 能安排在一个体育馆进行,则在同一个 体育馆比赛的项目不超过２项的安排 方案共有　　　　种． １０．某外语组有９人,每人至少会英语和 日语中的一门,其中７人会英语,３人 会日语,从中选出会英语和日语的各 一人,有多少种不同的选法? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３３􀅰 第五章　计数原理 [能力提升练] １１．设东、西、南、北四面通往山顶的路各 有２,３,３,４条,只从一面上山,而从另 三面下山的走法最多,应 (　　) A．从东边上山 B．从西边上山 C．从南边上山 D．从北边上山 １２．５名学生报名参加４项体育比赛,每人 限报一项,则报名方法的种数为　　 　　;将 三 封 信 投 入 四 个 邮 筒 共 有 　　　　种不同的投递方式． １３．有一项活动,需要在３名老师、８名男 同学和５名女同学中选人参加． (１)若只需选１人参加,则有多少种不 同的选法? (２)若需要老师、男同学、女同学各１ 人参加,则有多少种不同的选法? [素养培优练] １４．求三边长均为整数,且最大边长为１１ 的三角形的个数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３３􀅰 选择性必修第一册 当 y＝２ 时,以 B１ 为 定 点,S 为 底 面 的 棱 锥 为 B１ＧAPC１H,VB１－APC１H ＝２VP－B１C１H ＝２× １ ３× １ ２×２×２ ×２＝８３ ,故④正确． 答案:②③④ １０．D　[①以点D 为坐标原点,DA、 DC、DD１ 所在直线分别为x、y、z 轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标系, 设AB＝a,则 B(a,a,０)、B１(a, a,２a)、E(０,a,２λa), BE → ＝(－a,０,２λa),B１E → ＝(－a, ０,２λa－２a), 若BE⊥B１E,则BE →􀅰B１E → ＝a２＋ ２λ(２λ－２)a２＝(２λ－１)２a２＝０, 解得λ＝１２ ,①正确; 对于②,在棱DD１ 找点Q,由面面平行的性质可知PQ ∥B１E,设点Q(０,０,t), B１E → ＝(－a,０,２λa－２a),PQ → ＝ (－a,０,t－a), 因 为 B１E∥PQ,可 设B１E → ＝k PQ →,若k＝１,则t－a＝２λa－２a, 则t＝(２λ－１)a, 当λ∈ １２ ,２ ３[ ] 时,０≤２λ－１≤ １ ３ ,此时点Q 在棱DD１ 上,且有 B１E → ＝PQ →, 故四边形B１EQP 为平行四边形,②正确; 对于③,设截面交棱AD 于点M,连接PM、CM, 因为平面AA１D１D∥平面BB１C１C,平面B１PE∩平面 BB１C１C＝B１C,平面B１PE∩平面AA１D１D＝PM,所以 PM∥B１C, 由图 可 知,∠AMP＝∠BCB１,则tan∠AMP＝ AP AM ＝ BB１ BC＝２ ,故AM＝１２AP＝ １ ２AD , 所以,点 M 为AD 的中点,则 M(１,０,０)、P(２,０,２)、 C(０,２,０)、B１(２,２,４), 可求得CM＝PM＝ ５,PC＝２ ３,PB１＝２ ２,B１C＝ ２ ５, 取PC 的 中 点 N,连 接 MN,则 MN⊥PC,且 MN＝ PM２－PN２＝ ２, S△PCM ＝ １ ２PC 􀅰MN＝ ６, ∵PC２＋PB２１＝B１C２,故PC⊥PB１,故S△PB１C＝ １ ２PB１ 􀅰PC＝２ ６, 所以,截面面积为 ６＋２ ６＝３ ６,③正确．] 第五章　计数原理 §１　基本计数原理 １．１　分类加法计数原理 ~１􀆰２分步乘法计数原理 １．C　[选择课程的方法有２类:从A 类课程中选一门有３ 种不同的方法,从B 类课程中选１门有４种不同方法, ∴共有不同选法３＋４＝７(种)．] ２．C　[分两类:第一类 M 中取横坐标,N 中取纵坐标,共 有３×２＝６个第一、二象限的点;第二类 M 中取纵坐标, N 中取横坐标,共有２×４＝８个第一、二象限的点．综上 可知,共有６＋８＝１４个不同的点．] ３．C　[小张的报名方法有２种,其他３位同学各有３种,所 以由分步乘法计数原理知共有２×３×３×３＝５４(种)不 同的报名方法．] ４．B　[根据分步乘法计数原理,可构成通路的条数为２×３ ＝６．] ５．C　[每位同学有４种选择,由分步乘法计数原理可得,５ 位同学就有４×４×４×４×４＝４５(种)选择,故不同的选 择种数是４５．] ６．ABD　[A．从中任选１个球,有４＋５＋６＝１５种不同的 选法,所以该选项正确;B．若每种颜色选出１个球,有４ ×５×６＝１２０种不同的选法,所以该选项正确;C．若要选 出不同颜色的２个球,有４×５＋５×６＋４×６＝７４种不同 的选法,所以该选项错误;D．若要不放回地依次选出２ 个球,有１５×１４＝２１０种不同的选法,所以该选项正确．] ７．解析:分两类:第一类,当元素属于集合A 时,有３种;第 二类,当元素属于集合 B 时,有４种．所以共有３＋４＝ ７种． 答案:７ ８．解析:经过一次十字路口可分两步:第一步确定入口,共 有４种选法;第二步确定出口,从剩余３个路口任选一个共 ３种,由分步乘法计数原理知不同的路线有４×３＝１２(条)． 答案:１２ ９．解析:每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行,共 有４３＝６４种安排方案;三个项目都在同一个体育馆进 行,共有４种安排方案．所以在同一个体育馆比赛的项目 不超过２项的安排方案共有６０种． 答案:６０ １０．解:既会英语又会日语的人有７＋３－９＝１(人),仅会英 语的有６人,仅会日语的有２人．先分类后分步: 先从仅会英、日语的人中各选１人,有６×２＝１２(种) 选法; 从仅会英语和英、日语都会的人中各选１人,有６×１＝ ６(种)选法; 从仅会日语和英、日语都会的人中各选１人,有２×１＝ ２(种)选法． 根据分类加法计数原理,共有１２＋６＋２＝２０(种)不同 的选法． １１．D　[东边上山另三面下山的种数为２×(３＋３＋４)＝ ２０,西边上山另三面下山的种数为３×(２＋３＋４)＝２７, 南边上山另三面下山的种数为３×(２＋３＋４)＝２７,北 边上山另三面下山的种数为４×(２＋３＋３)＝３２,故只 从一面上山,而从另三面下山的走法最多的为从北边 上山．] １２．解析:由题意知,每名学生都有４种报名方法, 因此,５名学生的报名方法的种数为４５＝１０２４． 由题意知,每封信放入邮筒有４种不同的投递方式, 由分步乘法计数原理可知, 将三封信 投 入 四 个 邮 筒 共 有 ４３ ＝６４ 种 不 同 的 投 递 方式． 答案:１０２４　６４ １３．解:(１)需一人参加,有三类:第一类选老师,有３种不同 的选法;第二类选男生,有８种不同的选法;第三类选女 生,有５种不同的选法．共 有 ３＋８＋５＝１６种 不 同 的 选法; (２)需要老师、男同学、女同学各一人,则分３步,第一步 选老师,有３种不同的选法;第二步选男生,有８种不同 的选法;第三步选女生,有５种不同的选法．共有３×８ ×５＝１２０种不同的选法． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１４􀅰 参考答案 １４．解:设较小的两边长为x,y,且x≤y, 则x≤y≤１１,x＋y＞１１,x,y∈N＋ ． 当x＝１时,y＝１１; 当x＝２时,y＝１０,１１; 当x＝３时,y＝９,１０,１１; 当x＝４时,y＝８,９,１０,１１; 当x＝５时,y＝７,８,９,１０,１１; 当x＝６时,y＝６,７,８,９,１０,１１; 当x＝７时,y＝７,８,９,１０,１１; 􀆺 当x＝１１时,y＝１１． 所以不同三角形的个数为１＋２＋３＋４＋５＋６＋５＋４＋ ３＋２＋１＝３６． １．３　基本计数原理的简单应用 １．A　[从集合中选２个不同数作A,B,有５×４＝２０种选 法,其中x＋２y＝０与２x＋４y＝０,２x＋y＝０与４x＋２y ＝０表示同一条直线．] ２．D　[从０,１,２,３,４,５六个数字中,任取两个不同的数字 相加,和为偶数可分为两类,①取出的两数都是偶数,共 有３种取法;②取出的两数都是奇数,共有３种取法,故 由分类加法计数原理得,共有 N＝３＋３＝６(种)取法.] ３．C　[分两步:第一步选b,因为b≠０,所以有９种选法;第 二步选a,因为a≠b,所以有９种选法．由分步乘法计数 原理知共有９×９＝８１(个)点．] ４．D　[确定一个圆的方程可分为三个步骤:第一步,确定 a,有３种选法;第二步,确定b,有２种选法;第三步,确 定r,有４种选法．由分步乘法计数原理得,不同圆的个 数为３×２×４＝２４．] ５．C　[任意相邻两天组合一起,一共有６种情况,如①②, ②③,③④,④⑤,⑤⑥,⑥⑦,若李雷选①②和⑥⑦,则 韩梅梅有４种选择,若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥, 则韩梅梅有３种选择,故他们不同一天出现在泉州,则他 们出游的不同方案共有２×４＋４×３＝２０(种)．] ６．B　[蚂蚁从A 到C 需要走五段路,其中三纵二横,共有 １０条路径．从C到B 共有３×２＝６条路径．根据分步乘 法计数原理,蚂蚁从A 到B 可以爬行的不同的最短路径 有１０×６＝６０条．] ７．解析:将第一个新节目插入５个节目排成的节目单中有 ６种插入方法,再将第二个新节目插入到刚排好的６个 节目排成的节目单中有７种插入方法,利用分步乘法计 数原理,共有６×７＝４２种插入方法． 答案:４２ ８．解析:分为三类:①甲班选１名,乙班选１名,根据分步乘 法计数原理,有３×５＝１５(种)选法;②甲班选１名,丙班 选１名,根据分步乘法计数原理,有３×２＝６(种)选法; ③乙班选１名,丙班选１名,根据分步乘法计数原理,有 ５×２＝１０(种)选法．综上,根据分类加法计数原理,共有 １５＋６＋１０＝３１(种)推选方法． 答案:３１ ９．解析:对于没有重复数字三位数,百位的数字可以选择 的种数为５种,十位、个位可以选的种数分别为５种、４ 种,则可组成无重复数字的三位数的种数为５×５×４＝ １００;对于有重复数字的三位数字,百位、十位、个位可供 选择的种数分列为５种、６种,则可组成有重复数字的三 位数的种数为５×６×６＝１８０． 答案:(１)１００　(２)１８０ １０．解:首先给最左边一块涂色,有４种结果,再给左边第二 块涂色有３种结果,以此类推第三块有３种结果,第四 块有３种结果,则根据分步乘法计数原理知共有４×３ ×３×３＝１０８种．所以不同的涂法种数为１０８． １１．A　[第１个区域有６种不同的涂色方法,第２个区域 有５种不同的 涂 色 方 法,第３个 区 域 有 ４种不同的涂色方法,第４个区域有３种不同的涂色的 方法,第５个区域有４种不同的涂色方法,第６个区域 有３种不同的涂色方法,根据分步乘法计数原理,共有 ６×５×４×３×４×３＝４３２０(种)不同的涂色方法．] １２．解析:设６名同学分别用a,b,c,d,e,f 表示．若任意两 名同学之间都进行交换,共进行５＋４＋３＋２＋１＝１５次 交换,现共进行了１３次交换,说明有２次交换没有发 生,此时可能有两种情况: ①由３人构成的２次交换,如a—b和a—c之间的交换 没有发生,则收到４份纪念品的有b,c两人． ②由４人构成的２次交换,如a—b和c—e之间的交换 没有发生,则收到４份纪念品的有a,b,c,e四人． 答案:２或４ １３．解:根据题意,知当 m＝１时,n可等于２,３,􀆺,８,共对 应７个不同的椭圆;当m＝２时,n可以等于１,３,４,􀆺, ８,共对应７个不同的椭圆．同理可得,当 m＝３,４,５,６, ７,８时,各分别对应７个不同的椭圆;当 m＝９时,n可 以等于１,２,􀆺,８,共对应８个不同的椭圆;当m＝１０时, 共对应８个不同的椭圆．综上所述,对应的椭圆共有７×８ ＋８×２＝７２(个)． １４．解:(１)由题表可知,若小华、小李两人共付费５元,则小 华、小李一人付费２元一人付费３元,付费２元的乘坐 站数有１,２,３三种选择,付费３元的乘坐站数有４,５,６ 三种选择,所以小华、小李下地铁的方案共有２×３×３ ＝１８(种)． (２)由题表可知,若小华、小李两人共付费６元,则小华、 小李一人付费２元一人付费４元或两人都付费３元．付 费２元的乘坐站数有１,２,３三种选择,付费３元的乘坐 站数有４,５,６三种选择,付费４元的乘坐站数有７,８,９ 三种选择,因此小华、小李下地铁的方案共有２×３×３ ＋３×３＝２７(种),其中小华比小李先下地铁的方案有３ ×３＋３＝１２(种),因此小华比小李先下地铁的概率为 １２ ２７＝ ４ ９． §２　排列问题 ２．１　排列与排列数 １．A　[根据排列的定义进行判断．] ２．B　[列树形图如下: 丙 甲 — 乙 乙 — 甲 　 乙 甲 — 丙 丙 — 甲 丙甲乙,丙乙甲,乙甲丙,乙丙甲共４种．] ３．C　[从５本不同的书中选２本送给２名同学,每人一本, 是一个排列 问 题,分 两 步 完 成:第 一 步,送 给 第 一 名 同 学,有５种送法;第二步,送给第二名同学,有４种送法． 根据分步乘法计数原理,不同送法共有５×４＝２０种．] ４．B　[同学甲只能在周一值日,∴除同学甲外的４名同学 将在周二至周五值日,∴５名同学值日顺序的编排方案 共有 A４４＝２４(种)．] ５．AD　[A 是排列问题,因为两名同学参加的活动与顺序 有关;B不是排列问题,因为两名同学参加的活动与顺序 无关;C不是排列问题,因为取出的两个字母与顺序无 关;D是排列问题,因为取出的两个数字还需要按顺序排 成一列．] ６．D　[因为甲、乙两人被分配到同一展台,所以甲与乙捆 在一起,看成一个人,然后将３个人分到三个展台进行排 列,即有３×２×１＝６种,所以甲、乙两人被分配到同一展 台的不同分法的种数为６．] ７．解析:先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起,然后从４ 枪不命中之间的三个空位及两端两个空位共５个空位中 选出２个进行排列,有 A２５＝２０(种)． 答案:２０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１４􀅰 选择性必修第一册