第三章 2.1 从平面向量到空间向量&2.2 空间向量的(加减法与数乘)运算(一)-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　　　　 　　　　　§２　空间向量与向量运算 　　　　　　　　２．１　从平面向量到空间向量 　　　　　　　２．２　空间向量的(加减法与数乘)运算(一) [基础达标练] １．(多选)判断下列各命题的真假,其中假 命题为 (　　 ) A．向量a与b平行,则a与b 的方向相 同或相反; B．两个有共同起点而且相等的向量,其 终点必相同; C．两个有公共终点的向量,一定是共线 向量; D．有向线段就是向量,向量就是有向 线段． ２．已知向量AB →,AC →,BC → 满足|AB → |＝|AC → |＋ |BC → |,则 (　　) A．AB → ＝AC → ＋BC → B．AB → ＝－AC → －BC → C．AC → 与BC → 同向 D．AC → 与CB → 同向 ３．在四棱锥PＧABCD 中,底 面ABCD 是正方形,E 为 PD 的 中 点,若PA → ＝a, PB → ＝b,PC → ＝c,则BE → ＝ (　　) A．１２a－ １ ２b＋ １ ２c B．１２a－ １ ２b－ １ ２c C．１２a－ ３ ２b＋ １ ２c D．１２a－ １ ２b＋ ３ ２c ４．已知向量a,b,且AB → ＝a＋２b,BC → ＝ －５a＋６b,CD → ＝７a－２b,则 A,B,C,D 中一定共线的三点是 (　　) A．A,B,D　　　　　B．A,B,C C．B,C,D D．A,C,D ５．(多选)已知平行六面体ABCDＧA′B′C′ D′,则下列四式中其中正确的有 (　　) A．AB → －CB → ＝AC → B．AC′ → ＝AB → ＋B′C′ → ＋CC′ → C．AA′ → ＝CC′ → D．AB → ＋BB′ → ＋BC → ＋C′C → ＝AC′ → ６．(多选)若向量MA → ,MB → ,MC → 的起点 M 和终点A,B,C 互不重合且无三点共 线,则下列四个式子能得出 M,A,B,C 四点共面的是 (　　) A．OM → ＝１３OA → ＋１３OB → ＋１３OC → B．MA → ＝MB → ＋MC → C．OM → ＝OA → ＋OB → ＋OC → D．MA → ＝２MB → －MC → ７．在平行六面体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,若 AC１ → ＝x􀅰AB → ＋２y􀅰BC → ＋３z􀅰C１C →,则x＋ y＋z＝　　　　　　． ８．已知点G 是△ABC 的重心,O 是空间 任意一点,若OA → ＋OB → ＋OC → ＝λOG →,求λ 的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１３􀅰 第三章　空间向量与立体几何 [能力提升练] ９．在四面体OABC 中,空间的一点 M 满 足OM → ＝１２OA → ＋１６OB → ＋λOC → ,若MA → , MB → ,MC → 共面,则λ＝ (　　) A．１２　　B． １ ３　　C． ５ １２　　D． ７ １２ １０．若P,A,B,C为空间四点,且有PA → ＝α PB → ＋βPC → ,则α＋β＝１是A,B,C三点 共线的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 １１．如 图 所 示,若 P 为 平 行 四 边 形 ABCD 所在平面 外一点,点 H 为 PC 上 的 点,且 PH HC＝ １ ２ ,点G 在 AH 上,且AGAH ＝m ,若G,B,P,D 四 点共面,则m 的值为　　　． １２．已知 M,G 分别是空间四边形ABCD 的两 边 BC,CD 的 中 点,化 简 下 列 各式: (１)AB → ＋BC → ＋CD →; (２)AB → ＋１２ (BD → ＋BC →); (３)AG → －１２ (AB → ＋AC →)． [素养培优练] １３．(多选)如图,在三棱 柱 ABCＧA１B１C１ 中, P 为空间一点,且满 足 BP → ＝ λ BC → ＋ μBB１ → ,λ,μ∈[０,１], 则 (　　) A．当λ＝１时,点P在棱BB１ 上 B．当μ＝１时,点P 在棱B１C１ 上 C．当λ＋μ＝１时,点P 在线段B１C上 D．当λ＝μ时,点P 在线段BC１ 上 １４．已知四边形ABCD 为正方形,P 是四 边形ABCD 所在平面外一点,P 在平 面ABCD 上的射影恰好是正方形ABＧ CD 的中心O,Q 是CD 的中点．求下列 各式中x,y的值: (１)OQ → ＝PQ → ＋xPC → ＋yPA → ; (２)PA → ＝xPO → ＋yPQ → ＋PD → ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２３􀅰 选择性必修第一册 参考答案 课时作亚马 §2空间向量与向量运算 9.B[由题意Mi-Oi-OM=号Oi-合Oi-A0C,M店 2.1从平面向量到空间向量 2.2空间向量的（加减法与数乘）运算（一） -0成-o成-o+g0i-0.M元-6元-o成- 1.ACD[A假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方 向是不确定的：B真命题：C假命题，终点相同并不能说 20i-g0i+1-a0C, 明这两个向量的方向相同或相反：D假命题，向量可用有 向线段来表示，但并不是有向线段，门 :M,MBMC共面， 2.D[由AB=AC+BC=AC+ICB1,知C点在线段 ∴.存在实数唯一实数对(m,n),使得MA=mMB十 AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以 nMC. AC与CB同向.1 3.C[BE=专(BP+BD)=-PB+令(BA+BO) 号0-0成-0d 合P防是成+号成 =m(i+0-0d) EPB士PA-PBPC-PBB [o-专i+a-0, 11 3 4.A[因为AD=AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b)= .5 解得n=一 3, 3AB,故AD∥AB,又AD与AB有公共点A,所以A,B,D -mA十n(1-A)=-A, 三点共线.门 =3 5.ABC[作出平行六面休AB CDA'BC'D'的图形如图，可 1O.C_[若a+B=L,则PA-PB=B(PC-PB),即BA= 得AB-CB=AB+BC=AC. BBC,显然A,B,C三点共线：若A,B,C三点共线，则有 则A正确：AB+BC+CC D AB=入BC,故PB-PA=A(PC-PB),整理得PA= AB+BC+CC=AC,则B正 (1+a)PB-λPC,令a=1+A,3=-A,则a+3=1.] 确：C显然正确；AB+BB十 11.解析：连接BD,BG.AB=PB-PA,AB=DC.DC BC+CC=AB十BC=AC,则D不正确.综上，正确的 -PB-PA. 有ABC.] :PC-PD+D心，PC-PD+Pi-PA=-PA+PB 6.ABD[对于选项A,由结论OM=xOA+yOB+xOC +PD. (x+y十=1)曰MA,B,C四点共面知，A符合：对于选 项B.D,易知MA,MB,MC共面，又有公共点M.所以M 丽=成P号(-i++ A,B,C四点共面，所以B,D符合：选项C中，MA,MB, ò-i+成+成 MC不共面，即M,A,B,C四点不共面.] 又丽-Pi-ii=i+m+号成， 7.解析：如图所示，有AC=AB D +BC+CC=AB+BC+ “船-mG-m·--智i+号成+ (-1)·CC 又因为AC,=x·AB+2y· 婴成 D BC+3g·CC, :G=-AB+G-Pi-P店+AG,:底=(1-智) /x=1, 所以{2y=1, P+(号-1P店+gP成， 3z=-1. x=1 又：GBP.D回点共面d1-智=0m=是.即m 3 1 解得=· 的植是是。 1 3 答案： 所以x+y+=1+号-1=2 23-6 12.解：()如图所示，AB+B式+C市 答案：日 AC+CD=AD. (2)取BD的中点H,连接 8.解：连接CG并延长交AB于D, 0 MG.GH. 则D为AB中点，且CG=2GD, 因为M,G分别为BC,CD的中点， 所以OA+OB+OC-OG+GA+ 所以MG=BH,MG∥BH, OG+GB+0G+GC 所以BMGH为平行四边形，所以 =30G+GA+GB+GC=30G 是励+B脑)-Bi+i-成。 +2Gi+GC-3O心-G花+GO =30G.所以1=3. 从而AB+2(Bi+B©=AB+BC=AG ·403· 世数学 选择性必修第一册 (3)分别取AB,AC的中点S,N,连接SM,AM,MN,则 7.解析：由m⊥n,得(a十b)·(a十b)=0,所以a2+(1十入) 易证得ASMN为平行四边形，所以之(A店+AC)=A西 a·b+h=0, 所以18+（入+1）·3√2×4×cos135°+16λ=0，即4a+6 +AN-AM. 所以G-(+A0)=G-成方= =0,所以1=- 2 13.BCD[当A=1时，BP=BC+uBB,所以CP=:BB, 答案：昌 则CP∥BB,即P在棱CC,上，故A错误： 8,解：由题意得a+3b)(7a-5b)=0, 1(a-4b)·(7a-2b)=0, 同理当u=1时，则BP∥BC,故P在被B,C上，故B 即(7a+16a·b-156=0, 正确： 17a-30a·b+8b=0. 当A寸=1时=1-A,所以BP=XBC+(1-)BB, 两式相减得46a·b-23b=0, 即BP=AB,C, ∴.b=2a·b,代入7a2+16a·b-15b=0,得a2=2a· 故点P在线段B,C上，故C正确： b,∴.a°=b=2a·b. 当A=以时，BP=A(BC十BB,)=ABC,故点P在线段 BC,上，故D正确.] 设a与b的夫角为0，则cm0=日价=名。2 14.解：如图所示. 0°≤0≤180°，∴.向量a与b的夹角为60°. (1)OQ-PQ-PO -PQ-(PA+PC) 9c:=(日+合+合广=3+28治+ =P成-Pi-2P元 合i治+i03+2x8=90≤p≤a】 a·c 10.C A BC-(AB+AC).(AC-AB- x=y=-2 (2)PA+PC-2PO.:.PA-2 PO-PC. 合AC-AB)=0: 又PC+PD=2PQ,∴PC=2PQ-PD AE·CD=(AB+BE)·CD=AB·(BD-BC)+ 从而有PA=2PO-(2PQ-PD)=2PO-2PQ+PD. 号c.0 ∴.x=2,y=-2. 2.2空间向量的（数量积）运算（二） =AB·|BD|·cos120°-|AB·|BC1cos120°+ 1.A[a·b=lalbcos(a,b>=|a1b=cosa,b)=1台 号d,CD12o<0 (a,b)=0,则a,b同向，当a与b反向时，不能成立.] 2.BD[因为数量积不满足结合律，故A不正确；由数量 AE·BC>AE·CD.] 积的性质可知B正确，C中结论不一定成立，D运算 1解桥：设祭-：则=n D 正确.] 3.D[a-b与a垂直，∴(a-b)·a=0,∴a·a-a·b =mAD,:M为BC的中点， =|a2-|a·|bl·cos(a,b)=1-1·√2·eos(a,b)= MN-心+C=成+ 0osa,b=0a,b<180a,6=45.] mAi,又A正=A店+BA正. 4.C[因为P心-PA+AB+BC,所以P心-PA+AB+ M=-0. BC+2AB·BC=36+36+36+2×36cos60°=144.所 :AE·M示=(AB+BE)· 以PC=12.] (成+m)=,武 5.B[B成.B币=(AC-Ai(AD-A =AC·AD-AC·AB-AB·AD+1AB +mB成.A市=A成.M+mB成.A市=-}+4m=0. =|AB2>0,则cOsB>0,所以B是锐角，同理D,C都 是锐角，故△BCD是锐角三角形.] 解得m= 6.解析：EF-号BD.BD.BC-2×2×cos60°-2， 答案：6 t配--成-成-成-配，丽+ → 12.证明：1)AB,=AB+BB:BCBB,+BC 成=4-2+×4=3. :BB1⊥平面ABC,∴BB·AB=0,BB·BC=0. 又△ABC为正三角形，.(AB,BC)=x-(BA,BC)= 故BC-EF=V3: 又周为EF=合BD=是(AD-AB).故AC·EF :AB,·BC,=(AB+BB,)·(BB,+BC)=AB·BB AC.(AD-AB)-(AC.AD-AC:AB)0. +AB·BC+BB+BB·BC=AB1·BC 0°≤(EF,AC)≤180°，所以(EF,AC)=90°. cos(AB.BC)+BB=-1+1=0. 答案：w390 ∴AB,⊥BC1,即AB⊥BC, ·404·