第二章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　　４．２　直线与圆锥曲线的综合问题 [基础达标练] １．过抛物线y２＝８x 的焦点作倾斜角为 ４５°的直线,则被抛物线截得的弦长为 (　　) A．８　　　　　　　B．１６ C．３２ D．６１ ２．已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的右 焦点为 F,过点 F 的直线交椭圆交于 A,B 两点,若 AB 的中点P １,－１２ æ è ç ö ø ÷, 且直线AB 的倾斜角为π４ ,则此椭圆的 方程为 (　　 ) A．２x ２ ９ ＋ ４y２ ９ ＝１ B． x２ ９＋ y２ ４＝１ C．x ２ ９＋ y２ ５＝１ D． x２ ９＋ ２y２ ９ ＝１ ３．斜率为１的直线l与椭圆x ２ ４＋y ２＝１相 交于A,B 两点,则|AB|的最大值为 (　　) A．２ B．４ ５５ C．４ １０５ D． ８ １０ ５ ４．椭圆mx２＋ny２＝１(m＞０,n＞０且m≠ n)与直线y＝１－x交于M,N 两点,过 原点与线段 MN 中点的直线的斜率为 ２ ２ ,则m n 的值是 (　　) A．２２ B． ２ ３ ３ C．９ ２２ D． ２ ３ ２７ ５．(多选)已知抛物线C:y２＝２px(p＞０)的焦 点为F,直线l的斜率为３且经过点F并 与抛物线C交于A,B两点(点A 在第一 象限)、与抛物线的准线交于点D,若|AF| ＝４,则以下结论正确的是 (　　) A．p＝２ B．F为AD 中点 C．|BD|＝２|BF| D．|BF|＝２ ６．已知直线y＝３x＋２被椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１ (a＞b＞０)截得的弦长为８,则下列直线 中被 椭 圆 截 得 的 弦 长 也 为 ８ 的 有 　　　　．(填序号) ①y＝３x－２;②y＝３x＋１;③y＝－３x －２;④y＝－３x＋２;⑤y＝－３x． ７．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)已知直线x－my ＋１＝０与☉C:(x－１)２＋y２＝４交于 A,B 两点,写出满足“△ABC 面积为 ８ ５ ”的m 的一个值　　　　． ８．过点C(０,１)的椭 圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１ (a＞b＞０)的离心 率为 ３ ２ ,椭圆与x 轴交于A(a,０),B (－a,０)两点,过点C 的直线l与椭圆 交于另一点D,并与x 轴交于点P,直 线AC与直线BD 交于点Q． (１)当直线l过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; (２)当点P 异于点B 时,求证:OP → 􀅰OQ → 为定值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１３􀅰 第二章　圆锥曲线 [能力提升练] ９．已知F 为抛物线y２＝x的焦点,点A,B 在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA → 􀅰 OB → ＝２(其中O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO面积之和的最小值是 (　　) A．２ B．３ C．１７ ２８ D．１０ １０．直线y＝x＋２交椭圆x ２ m＋ y２ ４＝１ 于A, B 两点,若|AB|＝３ ２,则 m 的值为 　　　　　． １１．已知F为抛物线C:y２＝２x的焦点,过 点F作两条互相垂直的直线l１,l２,直 线l１ 与C 交于A,B 两点,直线l２ 与C 交于D,E两点,则|AB|＋|DE|的最小 值为　　　　． １２．已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的 右焦点为F(３,０),长半轴长与短半 轴长的比值为２． (１)求椭圆C的标准方程; (２)设不经过点B(０,１)的直线l与椭 圆C 相交于不同的两点M,N,若点B 在以线段MN 为直径的圆上,证明:直 线l过定点,并求出该定点的坐标． [素养培优练] １３．(多选)(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)设O 为坐 标原点,直线y＝－ ３(x－１)过抛物 线C:y２＝２px(p＞０)的焦点,且与C 交于M,N 两点,l为C 的准线,则 (　　) A．p＝２ B．|MN|＝８３ C．以 MN 为直径的圆与l相切 D．△OMN 为等腰三角形 １４．(２０２３􀅰高考上海卷)已知抛物线Γ:y２ ＝４x上有一点A,A 的纵坐标为a(a ＞０)． (１)若A 到抛物线Γ 的准线的距离为 ３,求a的值; (２)若a＝４,点B在x轴上,AB的中点 在抛物线Γ上,求点B坐标和坐标原点 O到直线AB的距离; (３)若对于C 上第一象限的任一不与 A 重合的点P,设直线AP 与直线l:x ＝－３交于点Q,作PH⊥l于H,都有 |QH|＞４恒成立,求a的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１３􀅰 选择性必修第一册 世数学 由y-1=(x十2)，令y=0,得x,=- 2k+1 ③ a若0，由②③解得K-1,或>号 {x<0, 即当k∈(-∞，-1DU(分+）时，直线1与C漫 有公共点，与C:有一个公共，点，故此时直线l与轨连C 恰好有一个公共点. (b)若小=0.或4>0： {x<0,{x≥0. 由20解得k长{1，}或-合<0， 即当∈{1，}时，直度1与C只有-个公共点. 与C,有一个公共点 当k∈[日0）时，直线1与C,有两个公共点，与C 没有公共点， 故当∈[-20）U{-1,}时，直线1与轨连C格 好有两个公共点。 (0)若4>0，由@③解得-1<k<-之，或0<k lz<0, 即当k∈(-1.-2)U(0,)时，直线1与C有两 个公共点，与C:有一个公共点， 故此时直线！与轨迹C拾好有三个公共点 综合(i(1)可知，当A∈(-∞，-1DU(合+）U {0}时，直线1与轨迹C恰好有一个公共，点； 当∈【合0)儿{-1，}时，直载1与轨達C恰好 有两个公共点： 当k∈(1-)八(0，)时，直线1与轨達C怡好 有三个公共点. 4.2直线与圆锥曲线的综合问题 1.B[由抛物线y=8x的焦，点为(2,0)，得直线的方程为 y=x-2. 代入y=8x,得(x-2)2=8.x,即x2-12x十4=0.x1 +x,=12,孩长1=x1十x十p=12+4=16.] 1 2A[:高=1c=号◆A).B.附号 :+-型++2-0，号 b +-0-号-稀方程为号+号 =1.] 3.C[设椭圆与直线相交于A(1y),B(·y:)两点 由r+4y=4·消去y.得5x+81x十402-1)=0. y=x+t, 则有工十西=- -4 5 .AB|=√T+klx,-x -)4x。-957 5 当1=0时.ABm=] ·40 选择性必修第一册 A[由=1.请去得m十-2a十 1=0. 设M(x1y1),N(y:),MN的中点P(xn),则E= 工十王=” 2 加十 %=1-x0=1-”=m —···om—2一2。门 x。n 5.ABC[如图所示：作AC垂直 准线于C,AM⊥x轴于M,BE 垂直准线于E 直线的斜率为，故tan∠AFM =.∠AFM=子，AF=4, N 故1MF=2, |AM=2V3. E B A(台+2,2)代入抛物线 得到p=2;|NF1=FM=2 故△AMF≌△DNF,故F为 AD中点：∠BDE=晋， DB=2BE=2BFI:BD=2BF,BD+BFI= IDF=AF=4,故BF=子.J 6,解析：椭圆关于原，点和坐标轴对称，从而与直线y=3x十 2关于原，点和坐标轴对称的直线被椭圆载得的弦长也为 8,直线y=3.x十2关于原点对称的直线为y=3x一2，关 于x轴对称的直线为y=一3x一2，关于y釉对称的直线 为y=一3.x十2，故应填①③④. 答案：①③④ 7.解析：由x一my十1=0恒过定点（一1,0）， 又C1.0).5ar-号×2X1%l=号 所以w=g,代入国的方程得=昌 或=一吉所以B(得号)支B(告号)式 B(吉·)浅B(吉一)代入直线方复解得 m=士2或m=士7，（任写一个即可） 答案：士2或士号（任写-个即可） &解：由已知得6=1，后-要解得a=2c=尽，所以销 国方程为千+=1.椭圆的右焦点为50。 此时直线1的方程为y=一号十1，代入精国方化简 得7x2-83x=0, 解得工，=0，=85，代入直线1的方程得y,=1. 7 y2=一7 所以点D的坐标为 (9- 故ICD= -+(--9 7 (2)证明：当直线1与x轴垂直时与题意不符」 设直线1的方程为y=k如十1(k≠0且≠）代入精 圆方程化简得(4k2十1)x2十8kx=0, 解得x=0,2=,代入直线1的方程得y=1, 0 参考答案 普所以点D的坐标为（鹘次）又直 =1-4 线AC的方程为受十y=1, 直线BD的方程为y-去 (x+2), 装立解得{仁2以周此点Q的坐标为（一，以十以 又点P的坐标为（名0所以0驴.0四 (仁名0·(-42+)=4.故0P0为定值. 9.B[设点A的坐标为(a,a),点B的坐标为(b,b),则 ab<0.设直线AB的方程为x=ty十m,与抛物线y=x 联立得y2一ty-m=0,故ab=-m.由OA·OB=2,得 a2十ab=2,故ab=一2或ab=1(舍去).所以m=2,所 以△AB0的面积等于号ma-b=1a-6 a+2=a+，△A0的面等子×al =号，所以△ABO与△AF0的面积之和等于 9 8+ 10.解析：解法一：由裤圆三+兰=1，则顶点为(02)，而直 线y=x十2也过(0,2)，所以A(0,2)为直线与椭圆的一 个交点，设B(Tmy), 则AB|=√(xH-x)+(ya-y)=√1+k|xB x=√2x4=3√2，解得：x=士3， 所以B(-3,-1)或B(3,5)(不合，含去)，把B (一3。-1D代入精周方程得：易+=1，故m=12 /y=x+2, 解法二：由+立= ,得(4十m)x十4nx=0,所以 m 4 一4加 xA=0,xB一4十m 又|AB|=√(xB-x)+(ym一yA)厂=√1+kxm =21xnl, 所以24m 4十m =3巨，周为m>0,所以n=3.放m =12. 答案：12 11.解析：方法一：由题意知，直线1,2的斜率都存在且不 为0，F(合，0）设4：x=y十，则直线4的斜率为 y=2x, {=+子，游夫得-2y-1=0 设A(4y1),B(y2),则y十为=21，y=一1. 所以|AB|=√个十1当一y2|=T+1 √(y+为)-4yy=V+14+4=2+2. 同里，用-替换1可得DE=是+2. 所以AB+DE=2+)十4≥4+4=8，当且仅 当=，即1=士1时等号成立，故AB十DE的装 小值为8. 方法二：由题意知，直线{，2的斜率都存在且不为0， F(受0）小不持覆4的斜率为，则4y=(一) 49=-(-)片 ·401 课时作亚鸟 1y=2x, 西-一）消去得-+2+答-8 设A(xy)B(z),则石十，=1+是 由抛物线的定又知，AB=十十1=1+是十1=2 +是：同理，可得DE=2+2. 所以AB+DE=2+是+2+2张=4+是+2≥4 十4=8，当且仅当是=2，即长=士1时等号成立，收 AB+|DE引的最小值为8.] 答案：8 12.解：D由题意，得6=5，号=2，d=6+da=2b=1 指国C的标准方程为号+=1. (2)证明：当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y =kx+m(m≠1)，M(.x1y),N(x2y). 由红m,消去 {x2+4y2=4, 可得(4k2十1)x2十8km.x十4m2一4=0. -8 km 六△=16(4h+1-m)>0x+五=4+西 =4m2-4 4k2十1 ,点B在以线段MN为直径的圈上，∴BM·BN=O. BM·BN=(x4,k.x1十m-1)·(x,kx十m-1) (k+1)x1x+k(m-1)(x1十x)+(m-1)2=0, （2+1)4m二4+km-1D8km+(m-1)°=0， 42十1 4k+1 5m-2m-3=0解样m=一号或m=1(会去) “直我1的方程为y=k红一昌 易知当直线！的斜率不存在时，不符合题意.故直线1 过定点，且孩定意的坐标为(0，一号）厂 13.AC[直线y=-3(.x-1)与x 轴的交点为(1,0)可知，抛物线 的焦点的坐标为(1,0)，所以p =2,故A正确：由kw=一√3可 M---. M 知直线MV的倾钟角为120°， 所以MN-一歌o一号故 B错误；过点M作准线1的垂 线，交I于点M',过点N作准线 I的垂线，交L于点N',并取 MN的中点为P,过，点P作准线 I的垂线，交I于点P',连接MP、NP',由抛物线的定 义知MF|=IMM|,INF=NN'I,所以|MN|= MM|+|NN,所以由梯形的中位线可知|PP|= 之MMI+NVD=MN,所以PP=MP =|PN|,所以以MN为直径的圆与I相切，故C正确， 由图观察可知，△OMN显然不是等腰三角形，故D 错误，] 世数学 14.解：(1)准线为x=-1∴x=2.u=y=22 C②A4.设B6.0,线段AB的中点为（生兰，2小 ∴.4=2(4+b)→b=-2,即B(-2,0),.直线AB为2.x 一3y十4=0，原点0到直线AB的距离d=4 /13 =413 13 3)设P(作，p）:A(年a小直线AP:4r-(a+ p叶up=0Q(-8.g号)H-3p 2.I91- 即(p-2)>4(a-2)对p∈(0，a)U(a,+o∞)恒成立. 当a=2时，p≠2，(p-2)2>4(a-2)成立：当a-2<0 时，即a<2时，(p-2)2>4(a一2)成立，此时0<a<2: ∴a的取值范国为(0,2]. 第三章空间向量与立体几何 §1空间直角坐标系 1.B 2.C[选项A中.距离为√8+5+4=√/17，选项B中，距 离为√/8+(5-1)≠√13，选项C中，距离为√8+5+0 =13.] 3.B[易知点P关于xOy平面的对称点P,(门，1，一1)，则 点P1关于轴的对称点P:(一1，一1，一1).] 4,C[由题意知MN⊥平面xOy,设垂足为H, 则MH=NH=号MN=2,又OM与平面aOy所 成的角为60°，则1 OMI sin60°=MH,.OM= 49 5.C[由点P在Oy平面上的射影为M(1,2,0),知xp= 1,yp=2:由点P在xO平面上的射影为N(1,0,3),知 xn=1,p=3.所以点P的坐标为(1,2,3).则它在yO 平面上的射影为Q(0,2,3).] 6.解析：，点P在轴上，且OP=1, .点P的坐标是P(0,0,1)或P(0,0,一1) ∴.PA=√+1+0=2或|PA=√/+1+2=6. 答案w反或√6 7.解析：因为x2十y十之=1在空间中表示以坐标原点O 为球心，1为半径的球面，OA=√(-2)”+3+(3) =4 所以PAn=|OA-OP|=4-1=3.|PA|.= 10A+1OP1=4+1=5. 答案：35 8.解：(1)D(0,0,0),N(2,1,0),M(1,2,3). (2)1MD|=√(1-0)+(2-0)+(3-0)=√14. 1MWN1=√/(2-1)'+(1-2)+(0-3)=√1T. (3)在xDy平面上，设点P的坐标为(2y,y,0),y∈[0,1]， 则1MP=√(2y-1)+(y-2)+(0-3) =6-8+-吉)+ 因为yE[01门，所以当y=号时.MP取最小值，√厚 3画 ·40 选择性必修第一册 λ=2， A=2, 9.D[由已知对称性知{3-=一7，即以=10，] -1+v=6, w=7. 10.B[由题意得F(a,号，0）Aa,0,a).C(0,a,0, E(受·受·受)则EF -)+(-）+(0-号)下-号 11.解析：点P在x轴上，则可设点P(x,0,0), 则|PP,|=√x+(W2)+3=√+1i,|PP1= 元+1+(-1)=√x+2. :|PP|=2|PP,1,∴.√+11=2√/π+2，解得x= 士1. .所求点的坐标为(1,0,0)或（一1,0,0） 答案：(1,0,0)或（一1,0.0） 12.解：由于SABCD是正四棱雏， 所以，点P在底面上的射影R在 OC上（如图）. 因为底面边长为4，所以OC= ② a, 而侧棱长也为a,所以SO=OC, 于是PR=RC, 故可设点P的坐标为（一，气a一巨）(>0)， 因为，点Q在底面ABCD的对角线BD上，所以可设点 Q的坐标为(y,y,0). 因此P,Q两，点间的距离 QP= /(-x-y)+(x-y)+ √4(-)+2y+ 显然当r=是y=0时，PQ取得最小值，PQ的最 小值等于号，这时，点P为SC的中点，点Q为底面的 中心 13.解：由已知可设点P(a,3a十6,0)， 则|PM= √(2a-a)+[(2a+5)-(3a+6)]+[(a+2)-0] √/3a+6a+5-√/3(a+1)+2, 所以当a=一1时，PM取最小值， 所以在Oy平面内的直线3x一y十6=0上， 取点P(一1,3,0)时，点P到点M的距离最小 14.解：(1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB,A,内只 有EF上的点与A,B两点的距离相等，又A(2,0,0),B (0,4,0),设点P坐标为(1,2，m),由PA=AB 得√(1-2)+(2-0)+(m-0)7=√20. 所以m2=15. 因为m∈[0,4]，所以m=√15，故平面ABBA:内的 点P(1,2,√15)，使得△ABP为等边三角形. (2)设MN上的，点Q(0,2,n)满足题意，由△AQB为直 角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半， 所以QF=AB,又F1:2,0 则√(0-1)+(2-2)+(n-0)月 1 =2√0-2)+(4-0)+(0-0)， 整理得n十1=5.所以n=4. 因为n∈[0,4]，所以n=2.故MN上的点Q(0,2,2)使 得△AQB为以AB为斜边的直角三角形.