第二章 3.2 抛物线的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

(２)如图,把点B的横坐标代入y２＝４x,得y＝±２ ３． 因为２ ３＞２,所以点B 在抛物线内部．过点B 作BQ 垂直于准线,垂足为点Q,交抛物线于点P１,连接P１F． 此时,由抛物线定义知,|P１Q|＝|P１F|． 所以|PB|＋|PF|≥|P１B|＋|P１Q|＝|BQ|＝３＋１＝ ４,当且仅当B,P,Q 三点共线时,等号成立．即|PB|＋ |PF|的最小值为４． １３．ACD　[如 图,不 妨 设 点 M 位于第一象限,设抛物线的 准线l与x 轴交于点F′,作 MB⊥l于点B,NA⊥l于点 A．由抛 物 线 的 解 析 式 可 得 准线方程为x＝－４,F 点的 坐标为(４,０),则|AN|＝４, |FF′|＝８,在直角梯形ANＧ FF′中,中 位 线 |BM|＝ |AN|＋|FF′| ２ ＝６ ,由抛物线 的定义有|MF|＝|MB|＝６,结 合 题 意,有|MN|＝ |MF|＝６,故|FN|＝|FM|＋|NM|＝６＋６＝１２,|ON| ＝ １２２－４２＝８ ２,S△ONF＝ １ ２×８ ２×４＝１６ ２． ] １４．解析:(１)因为杯口放一个表面积为３６πcm２ 的玻璃球, 所以球的半径为３cm, 又因为杯口宽４ ２cm, 所以如 图 １ 所 示,有 AB＝４ ２,C１A＝C１B＝３,C１D ⊥AB, 所以|AD|＝|BD|＝２ ２, 所以|C１D|＝ |C１B|２－|DB|２＝ ９－８＝１, 所以|DE|＝２, 又因为杯深８cm,即|OD|＝８, 故最小距离为|OD|－|DE|＝６, (２)如图１所示,建立直角坐标系,易知B(２ ２,８),设 抛物线的方程为y＝mx２, 所以将 B(２ ２,８)代 入 得 m＝１,故 抛 物 线 方 程 为y ＝x２, 当杯内放入一个小的玻璃球,要使球触及酒杯底部,如 图２, 设玻璃球轴截面所在圆的方程为x２＋(y－r)２＝r２, 依题意,需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于 半径恒成立,即 x２＋(x２－r)２≥r, 则有x２(x２＋１－２r)≥０恒成立,解得１－２r≥０,可得０ ＜r≤１２． 所以玻璃球的半径的取值范围为 ０,１２( ]． 答案:６　 ０,１２( ] ３．２　抛物线的简单几何性质 １．C　[设抛物线方程为y２＝２px或y２＝－２px(p＞０), 依题意得x＝p２ 或x＝－p２ ,代入y２＝２px或y２＝－２px 得|y|＝p,∴２|y|＝２p＝８,p＝４． ∴抛物线方程为y２＝８x或y２＝－８x．] ２．B　[由抛物线关于x轴对称易知,点(m,－n)一定在该 抛物线上．] ３．D　[由a＞b＞０,方程y ２ a２ ＋x ２ b２ ＝１表示焦点在y轴上的 椭圆,ax＋by２＝０得y２＝－abx ,－ab ＜０ 表示焦点在x 轴上开口向左的抛物线．] ４．D　[由题意可得点F的坐标(１,０),准线方程为x＝－１,因 为P 为抛物线上一点,|PF|＝５,所以点P 的横坐标为 ４,当x＝４时,y２＝４×４＝１６,所以|y|＝４,所以△OPF 的面积为１ ２×１×４＝２． ] ５．B　[如图,以反射镜顶点为原点,以 顶点和焦点所在直线为x轴,建立直 角坐标系,设抛物线方程是y２＝２px(p ＞０)．∵A(４０,３０)在抛物线上,∴３０２＝ ２p×４０,∴p＝４５４ ,∴光源到反射镜顶 点的距离为p ２＝ ４５ ４ ２＝ ４５ ８＝５．６２５ (cm)．] ６．解析:由抛物线的图象和性质可知,由于任意一个多边 形所围区域沿着抛物线顶点出发向抛物线对称轴所在 直线平移,总能把有限的区域放入抛物线内部,所以(１) 正确;由于过抛物线内部一点的直线(不平行于轴)与抛 物线都有两个交点,故抛物线无法覆盖一条直线,也不 能覆盖与轴不平行、不共线的射线,所以(２)正确;由于 锐角是由两条不平行的射线组成,故抛物线不能覆盖任 何一个锐角,所以(３)错误;取一条 直线,使它不平行于任一抛物线的 对称轴,根据抛物线的图象和性质 可知直线上的点不能被完全覆盖, 如图,因为一条直线若被抛物线覆 盖,它必须是抛物线的对称轴,所 以任意有限多条抛物线都不能覆 盖整个平面,所以(４)正确． 答案:(１)(２)(４) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７９３􀅰 参考答案 ７．解析:设抛物线的方程为y２＝２px(p＞０),则 f＝p２． 设A(x０,y０),因为θ＝ ２π ３ ,所以|AF|＝x０＋p２＝ ２ p２－x０( ) ,所以x０＝ p ６ , 所以y０＝ ３ ３p ,所以d＝２y０＝ ２ ３ ３ p ,故其焦径比f d ＝ p ２ ２ ３ ３ p ＝ ３４． 答案:３ ４ ８．解:设所求抛物线的标准方程为x２＝２py(p＞０), A(x０,y０),由题知 M ０,－p２( )． ∵|AF|＝３,∴y０＋p２＝３．∵|AM|＝ １７ , ∴x２０＋ y０＋p２( ) ２ ＝１７, ∴x２０＝８,代入方程x２０＝２py０,得８＝２p ３－p２( ) ,解得p ＝２或p＝４．∴所求抛物线的标准方程为x２＝４y或x２ ＝８y． ９．A　[由题意,设P 在抛物线准线的投影为P′,抛物线的 焦点为F,则F(１２ ,０),根据抛物线的定义可知点P 到 该抛物线的准线的距离为|PP′|＝|PF|,则点 P 到点 (０,２)的距 离 与 点 P 到 该 抛 物 线 准 线 的 距 离 之 和d＝ |PF|＋|PA|≥|AF|＝ (１２ )２＋２２＝ １７２ ． ] １０．B　[若 使 吸 收 太 阳 光 的 效 果最好,容器灶圈应在抛物 面对 应 轴 截 面 的 抛 物 线 的 焦点 处,如 图,画 出 抛 物 面 的轴 截 面,并 建 立 坐 标 系, 设抛物线方程x２＝２py(p＞ ０),将集光板端点A(１,０．２５)代入抛物线方程可得２p ＝４,所以抛物线方程x２＝４y,故焦点坐标是F(０,１)． 所以容器灶圈应距离集光板顶点１m．] １１．D　[据题意知,△FPM 为等边三角形,|PF|＝|PM| ＝|FM|,∴PM⊥抛物线的准线．设 P m ２ ４ ,m( ) ,则 M (－１,m),等边三角形边长为１＋m ２ ４． 又由F(１,０),|PM| ＝|FM|,得１＋m ２ ４ ＝ (１＋１)２＋m２,得 m２＝１２,∴等 边三角形的边长为４,其面积为４ ３．] １２．解析:由已知及抛物线的定义得点A 到准线的距离为 ４,因此有３＋p２＝４ ,解得p＝２,故抛物线方程为y２＝ ４x,从而A(３,２ ３)．当△PAF 的周长最小即|PA|＋ |PF|的 值 最 小,设 F 关 于 准 线 的 对 称 点 为 F１,则 F１(－３,０),连接AF１,则AF１ 与准线的交点即为使得 |PA|＋ |PF| 的 值 最 小 的 点 P,此 时 可 求 得 P －１,２ ３３ æ è ç ö ø ÷．又因为kAF ＝ ２ ３－０ ３－１ ＝ ３ ,所以直线AF 的方程为y－０＝ ３(x－１),即 ３x－y－ ３＝０,故点P到直 线AF的距离d＝ － ３－２ ３３ － ３ (３)２＋１ ＝４ ３３ ． 答案:４ ３ ３ １３．D　[因为抛物线C:y２＝８x 的焦点F(２,０),准线方程 为x＝－２,点 M 在C 上, 所以 M 到准线x＝－２的距离为|MF|, 又 M 到直线x＝－３的距离为５, 所以|MF|＋１＝５,故|MF|＝４．] １４．解析:设桥拱所在抛物线方程x２＝－２py(p＞０),由题 图可知,曲线经过(２０,－５), 代入方程２０２＝－２p×(－５),解得:p＝４０,所以桥拱所 在抛物线方程x２＝－８０y; 四个溢流孔轮廓线相同,所以从右往左看,设第一个抛 物线C１:(x－１４)２＝－２p′y(p′＞０), 由题 图 抛 物 线 C１ 经 过 点 (２０,－５),则 (２０－１４)２ ＝ －２p′×(－５),解得p′＝１８５ , 所以C１:(x－１４)２＝－ ３６ ５y , 点A 即桥拱所在抛物线x２＝－８０y与C１:(x－１４)２＝ －３６５y 的交点坐标, 设A(x,y),７＜x＜１４,由 x２＝－８０y, (x－１４)２＝－３６５y , ７＜x＜１４, { 解得:x＝１４０１３ ,所以点A 的横坐标为１４０１３． 答案:(x－１４)２＝－３６５y　 １４０ １３ §４　直线与圆锥曲线的位置关系 ４．１　直线与圆锥曲线的交点 １．C　[由 y＝kx＋２, x２ ３＋ y２ ２＝１ ,{ 消去y,得(３k２＋２)x２＋１２kx＋６ ＝０, 由题意知Δ＝１４４k２－２４(３k２＋２)＝０,解得k＝± ６３． ] ２．D　[因为y＝kx＋２过定点(０,２),且椭圆x ２ ９＋ y２ ４＝１ 的 上顶点也为(０,２),所以当直线的斜率为０时,此时直线 与椭圆相切,仅有一个公共点,当直线的斜率不为零时, 此时直线与椭圆有两个交点,所以无法确定直线与椭圆 的公共点是一个还是两个．] ３．C　[∵直线y＝kx－k＝k(x－１),∴直线过点(１,０),又 点(１,０)在抛物线y２＝２px的内部, ∴当k＝０时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠０时, 直线与抛物线有两个公共点．] ４．C　[双曲线的一、三象限渐近线的斜率k＝ba , 要使双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１和直线y＝２x有交点,只要满足 b a ＞２ 即可,∴ c ２－a２ a ＞２ ,∴ e２－１＞２,∴e＞ ５．] ５．ACD　[由题意知直线l的斜率存在,设其方程为y－１ ＝k(x＋２), 由方程组 y－１＝k(x＋２), y２＝４x,{ (∗)可得ky ２－４y＋４(２k＋ １)＝０．① 当k＝０时,由方程①得y＝１,把y＝１代入y２＝４x,得x ＝１４ ,这时,直线l与抛物线只有一个公共点 １４ ,１( ) , 此时直线l的方程为y＝１． 当k≠０时,方程①的判别式为Δ＝－１６(２k２＋k－１)． 当Δ＝０时,即２k２＋k－１＝０,解得k＝－１或k＝１２ ,方 程①只有一个解,从而方程组(∗)只有一个解,这时直 线l与抛物线只有一个公共点． 此时直线l的方程为y－１＝－１(x＋２)或y－１＝１２ (x＋２), 即x＋y＋１＝０或x－２y＋４＝０．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８９３􀅰 选择性必修第一册 　　　　　３．２　抛物线的简单几何性质 [基础达标练] １．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦 点且与对称轴垂直的弦)长为８,若抛物 线的顶点在坐标原点,则其方程为 (　　 ) A．y２＝８x B．y２＝－８x C．y２＝８x或y２＝－８x D．x２＝８y或x２＝－８y ２．若点(m,n)在抛物线y２＝－１３x上,则 下列点中一定在该抛物线上的是 (　　 ) A．(－m,－n)　　　B．(m,－n) C．(－m,n) D．(－n,－m) ３．在同一坐标系中,方程y ２ a２ ＋x ２ b２ ＝１与ax ＋by２＝０(a＞b＞０)的曲线大致是 (　　) ４．设O 为坐标原点,抛物线y２＝４x 的焦 点为F,P 为抛物线上一点．若|PF|＝ ５,则△OPF的面积为 (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．２ ５．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一 部分,光源在抛物线的焦点处．已知灯 口直径是６０cm,灯深４０cm,则光源到 反射镜顶点的距离是 (　　) A．１１．２５cm B．５．６２５cm C．２０cm D．１０cm ６．一条抛物线把平面划分为二个区域,如 果一个平面图形完全落在抛物线含有 焦点的区域内,我们就称此平面图形被 该抛物线覆盖．那么下列命题中,正确 的是　　　　 　．(填写序号) (１)任意一个多边形所围区域总能被某 一条抛物线覆盖; (２)与抛物线对称轴不平行、不共线的 射线不能被该抛物线覆盖; (３)射线绕其端点转动一个锐角所扫过 的角形区域可以被某二条抛物线覆盖; (４)任意有限多条抛物线都不能覆盖整 个平面． ７．如图１所示,拋物面天线是指由抛物面 (抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面) 反射器和位于焦点上的照射器(馈源, 通常采用喇叭天线)组成的单反射面型 天线,广泛应用于微波和卫星通讯等领 域,具有结构简单、方向性强、工作频带 宽等特点．图２是图１的轴截面,A,B 两点关于抛物线的对称轴对称,F 是抛 物线的焦点,∠AFB 是馈源的方向角, 记为θ,焦点F 到顶点的距离f 与口径 d 的比值fd 称为抛物面天线的焦径比, 它直接影响天线的效率与信噪比等．如 果某抛物面天线馈源的方向角θ＝２π３ , 则其焦径比为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１３􀅰 第二章　圆锥曲线 ８．若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为 焦点,M 为准线与y轴的交点,A 为抛物 线上一点,且|AM|＝ １７,|AF|＝３,求此 抛物线的标准方程． [能力提升练] ９．已知点P 是抛物线y２＝２x上的一个动 点,则点P 到点A(０,２)的距离与P 到 该抛物线准线的距离之和的最小值为 (　　 ) A．１７２ 　　B．３　　C．５　　D． ９ ２ １０．为响应国家“节能减排, 开发清洁能源”的号召, 小华 制 作 了 一 个 太 阳 灶,如图所示．集光板由 抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形 的反光镜构成,已知镜口圆的直径为 ２m,镜深０．２５m,为达到最佳吸收太 阳光的效果,容器灶圈应距离集光板 顶点 (　　) A．０􀆰５米 B．１米 C．１􀆰５米 D．２米 １１．抛物线y２＝４x的焦点为F,点P 为抛 物线上的动点,点 M 为其准线上的动 点,当△FPM 为等边三角形时,其面 积为 (　　) A．２ ３ B．４ C．６ D．４ ３ １２．已知抛物线y２＝２px(p＞０)在第一象限 内的一点A(３,b)到抛物线焦点F的距离 为４,若P为抛物线准线上任意一点,则 当△PAF的周长最小时,求点P到直线 AF的距离为　　　　． [素养培优练] １３．(２０２３􀅰高考北京卷)已知抛物线C:y２ ＝８x的焦点为F,点 M 在C 上,若 M 到直线x＝－３的距离为５,则|MF|＝ (　　) A．７ B．６ C．５ D．４ １４．早在一千多年之前,我国已经把溢流 孔技术用于造桥,以减轻桥身重量和 水流对桥身的冲击,现设桥拱上有如 图所示的４个溢流孔,桥拱和溢流孔 轮廓线均为抛物线的一部分,且四个 溢流孔轮廓线相同,建立如图所示的 平面直角坐标系xOy,根据图上尺寸, 溢流 孔 ABC 所 在 抛 物 线 的 方 程 为 　　　 　,溢流孔与桥拱交点A 的横 坐标 为　　　　 　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１３􀅰 选择性必修第一册