第二章 2.2 双曲线的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　　２．２　双曲线的简单几何性质 [基础达标练] １．已知双曲线x ２ １６－ y２ m＝１ 的一条渐近线方 程为x－４y＝０,其虚轴长为 (　　 ) A．１６　　 B．８　　 C．２　　 D．１ ２．(２０２３􀅰全国甲卷(理))已知双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的离心率为 ５,其 中一条渐近线与圆(x－２)２＋(y－３)２ ＝１交于A,B 两点,则|AB|＝ (　　) A．１５ B． ５ ５ C． ２ ５ ５ D． ４ ５ ５ ３．设F１,F２ 是双曲线C: x２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞ ０,b＞０)的左、右焦点,O 是坐标原点． 过点F２ 作C 的一条渐近线的垂线,垂 足为P．若|PF１|＝ ６|OP|,则C 的离 心率为 (　　 ) A．５ B．２ C．３ D．２ ４．(多选)若双曲线C 的一个焦点F(５, ０),P 是双曲线上一点,且渐近线方程 为y＝±４３x ,则下列结论正确的是 (　　) A．C的方程为x ２ ９－ y２ １６＝１ B．C的离心率为５４ C．焦点到渐近线的距离为３ D．|PF|的最小值为２ ５．设O 为坐标原点,直线x＝a与双曲线 C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的两条渐近 线分别交于D,E 两点．若△ODE 的面 积为８,则C的焦距的最小值为 (　　) A．４ B．８ C．１６ D．３２ ６．(２０２３􀅰高考北京卷)已知双曲线C 的 焦点为(－２,０)和(２,０),离心率为 ２, 则C的方程为　　　　　　　　　　． ７．已知双曲线C:x ２ ４－ y２ m＝１ 的开口比等轴 双曲线的开口更开阔,则实数m的取值范 围是　　　　　　　． ８．已知双曲线的方程是１６x２－９y２＝１４４． (１)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐 近线方程; (２)设F１ 和F２ 是双曲线的左、右焦点, 点P 在双曲线上,且|PF１|􀅰|PF２|＝ ３２,求∠F１PF２ 的大小． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７０３􀅰 第二章　圆锥曲线 [能力提升练] ９．(多选)将离心率为e１ 的双曲线C１ 的实 半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加 m(m＞０)个单位长度,得到离心率为e２ 的双曲线C２,则 (　　 ) A．对任意的a,b,e１＜e２ B．当a＞b时,e１＜e２ C．对任意的a,b,e１＞e２ D．当a＜b时,e１＞e２ １０．(多选)已知双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b ＞０)的右焦点为F１(２ ６,０),点A 坐 标为(０,１),点P 为双曲线左支上的动 点,且△APF１ 的周长不小于１４,则双 曲线C的离心率可能为 (　　 ) A．３　　B．２　　C．５　　D．３ １１．设双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的右焦 点是F,左、右顶点分别是A１,A２,过点F 作x轴的垂线与双曲线交于B,C两点, 若A１B⊥A２C,则该双曲线的渐近线的斜 率为　　　　． １２．已知双曲线的中心在原点,焦点F１,F２ 在坐标轴上,离心率为 ２,且过点(４, － １０), (１)求双曲线的方程; (２)若点 M(a,０)为x 轴上一定点,P 为双曲线右支上一点,求线段PM 长 的最小值． [素养培优练] １３．(多选)把方程x|x|４ ＋y|y|＝１ 表示的 曲线作为函数y＝f(x)的图象,则下 列结论正确的有 (　　 ) A．函数f(x)的图象不经过第三象限 B．函数f(x)在R上单调递增 C．函数f(x)的图象上的点到坐标原 点的距离的最小值为１ D．函数g(x)＝２f(x)＋x不存在零点 １４．已知双曲线x ２ ３－ y２ b２ ＝１的右焦点为(２,０)． (１)求双曲线的方程; (２)求双曲线的渐近线与直线x＝－２ 围成的三角形的面积． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８０３􀅰 选择性必修第一册 (２)由(１)知,双曲线渐近线为y＝x,倾斜角为４５° ∵直线AB 过F２ 且倾斜角为６０° ∴A,B 均在双曲线的右支上 ∴|BF１|－|BF２|＝２,|AF１|－|AF２|＝２ ∴|AF１|＋|BF１|＝４＋|AF２|＋|BF２|＝４＋|AB| 设直线AB 方程为:y＝ ３(x－ ２) 代入双曲线方程得:２x２－６ ２x＋７＝０ ∴|AB|＝ １＋３􀅰 (３－ ２)２－４＝４ ∴△F１AB 的周 长 为:|AF１|＋|BF１|＋|AB|＝４＋ ２|AB|＝１２ ９．D　[双曲线８x２－y２＝８可化为标准方程x２－y ２ ８＝１ ,所 以a＝１,c＝３,|F１F２|＝２c＝６．因为点P 在该双曲线上, 且△PF１F２ 是等腰三角形,所以|PF１|＝|F１F２|＝６,或 |PF２|＝|F１F２|＝６,当|PF１|＝６时,根据双曲线的定 义有|PF２|＝|PF１|－２a＝６－２＝４,所以△PF１F２ 的周 长为６＋６＋４＝１６;同理当|PF２|＝６时,△PF１F２ 的周 长为６＋６＋８＝２０．] １０．A　[设内切圆的圆心为M(x, y),设圆 M 与三角形的边分别 切于T,Q,S, 如图所示:连接 MS,MT,MQ, 由内切圆的性质可得:|F２T| ＝|F２S|,|AT|＝|AQ|,|BS| ＝|BQ|, 所以|AF２|－|AQ|＝|AF２| －|AT|＝|F２T|,|BF２|－|BQ|＝|BF２|－|BS| ＝|F２S|, 所以|AF２|－|AQ|＝|BF２|－|BQ|, 由双曲线的定义可知:|AF２|－|AF１|＝|BF２|－|BF１| ＝２a, 所以可得Q,F１ 重合,所以|TF２|＝２a＝４, 所以r＝|MT|＝|TF２|tan ∠AF２B ２ ＝ ４ ３ ３ ． ] １１．解析:(１)设点 M(３,１)的中心投影点的坐标为 N(x, y),|OM → |＝ (３)２＋１２＝２,|ON → |＝１２ ,因此ON → ＝ １ ４OM → ＝１４ (３,１)＝ ３ ４ ,１ ４ æ è ç ö ø ÷,所以 N ３ ４ ,１ ４ æ è ç ö ø ÷; (２)双曲线x ２ ３－y ２＝１的渐近线方程为:y＝± １ ３ x⇒y ＝± ３３x ,因此其中一条渐近线的倾斜角为 π ６ ,由中心 投影点的定义可知:中心投影点构成的曲线是圆x２＋ y２＝１４ 夹在两渐近线之间的两段圆弧,所以曲线长度 为２×２×π６× １ ２＝ π ３． 答案: ３ ４ ,１ ４ æ è ç ö ø ÷　π３ １２．解:(１)设观察员可能出现的位置的所在点为P(x,y), 因为A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间 早４０ v０ 秒, 故|PB|－|PA|＝４０v０ ×v０＝４０＜|AB|＝６０． 故点P 的坐标满足双曲线的定义,设双曲线方程为x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０,x＜０) 由题可知２a＝４０,２c＝６０,解得b２＝c２－a２＝５００, 故点P 的轨迹方程为x ２ ４００－ y２ ５００＝１ (x＜０)． (２)因为A(－３０,０),C(０,３０),设AC 的垂直平分线方 程为y＝kx,由k× ３０－００－(－３０)＝－１ ,得k＝－１,则AC 的垂直平分线方程为y＝－x． 联立 x ２ ４００－ y２ ５００＝１ (x＜０),可 得x２＝ ２０００,故x＝ －２０ ５,y＝２０ ５． 故观察员遇险地点坐标为 －２０ ５,２０ ５( ) 与检测中心 O 的距离为 (－２０ ５)２＋(２０ ５)２＝２０ １０km． (３)设轨迹上一点为P(x,y), 则|PC|＝ x２＋(y－３０)２＝ x２＋y２－６０y＋９００ 又因为x ２ ４００－ y２ ５００＝１ ,可得x２＝４５y ２＋４００, 代入可得:|PC|＝ ９５y ２－６０y＋１３００＝ ９ ５ y－ ５０ ３( ) ２ ＋８００≥ ８００＝２０ ２, 当且仅当y＝５０３ 时,取得最小值２０ ２．故扫描半径r至 少是２０ ２km． １３．BC　[因为双曲线C:x ２ １６－ y２ ９ ＝１ ,所以c＝ １６＋９＝ ５．又因为S△PF１F２＝ １ ２ 􀅰２c|yP|＝ １ ２×１０×|yP|＝２０ , 所以|yP|＝４,所以选项 A 错误;将|yP|＝４代入C: x２ １６ －y ２ ９＝１ 得x ２ １６－ ４２ ９ ＝１ ,即|xP|＝ ２０ ３． 由对称性,不妨 取P 的坐标为 ２０３ ,４( ) ,可知|PF２|＝ ２０３－５( ) ２ ＋４２ ＝１３３． 由双曲线定义可知|PF１|＝|PF２|＋２a＝ １３ ３＋８ ＝３７３ , 所以|PF１|＋|PF２|＝ １３ ３＋ ３７ ３＝ ５０ ３ ,所以选项B正确; 在△PF１F２ 中,|PF１|＝ ３７ ３ ＞２c＝１０＞|PF２|＝ １３ ３． 且 cos∠PF２F１ ＝ |PF２|２＋|F１F２|２－|PF１|２ ２|PF２|􀅰|F１F２| ＝ － ５１３＜ ０,则∠PF２F１ 为钝角,所以△PF１F２ 为钝角三角形,选 项 C 正 确; 由 余 弦 定 理 得 cos∠F１PF２ ＝ |PF１|２＋|PF２|２－|F１F２|２ ２|PF１|􀅰|PF２| ＝３１９４８１≠ １ ２ ,∠F１PF２ ≠ π ３ ,所以选项 D错误．] １４．B　[∵椭圆是封闭的,总可以找到满足题意的 M 点,使 得|MP|􀅰|MQ|＝１ 成 立,故 ① 正 确,在 双 曲 线 中, |PM|max→＋∞,而|QM|min是个固定值,则无法对任意 的P∈C,都存在Q∈C,使得|PM||QM|＝１,故②错误．] ２．２　双曲线的简单几何性质 １．C　[由题意 m４ ＝ １ ４ ,得m＝１,所以虚轴长为２．] ２．D　[双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的离心率为 ５, 可得c＝ ５a,所以b＝２a, 所以双曲线的渐近线方程为:y＝±２x, 一条渐近线与圆(x－２)２＋(y－３)２＝１交于A,B 两点, 圆的圆心(２,３),半径为１, 圆的圆心到直线y＝２x的距离为:|４－３| １＋４ ＝１ ５ , 所以|AB|＝２ １－１５＝ ４ ５ ５ ． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４９３􀅰 选择性必修第一册 ３．C　[设渐近线的方程为bx－ay＝０,则直线PF２ 的方程 为 ax ＋ by － ac ＝ ０．由 ax＋by－ac＝０, bx－ay＝０,{ 可 得 P a ２ c ,ab c( )．由 F１ (－c,０)及|PF１|＝ ６|OP|,得 a２ c＋c( ) ２ ＋ abc( ) ２ ＝ ６× a ２ c( ) ２ ＋ abc( ) ２ ,化简可 得３a２＝c２,即e＝ ３．] ４．AD　[双曲线C的一个焦点F(５,０),且渐近线方程为y ＝±４３x ,可得c＝５,焦点坐标在x轴上, 所以b a ＝ ４ ３ ,因为c＝５,所以b＝４,a＝３,所以C 的方程 为x ２ ９－ y２ １６＝１ ,A正确; 离心率为e＝５３ ,B不正确;焦点到渐近线的距离为d＝ ４×５ ４２＋３２ ＝４,C 不正确;|PF|的最小值为c－a＝２,D 正确．] ５．B　[不妨设D 位于第一象限．双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ,分别与x＝a联立,可得D(a,b),E(a,－b),则 |DE|＝２b．∴S△ODE＝ １ ２×２b×a＝ab＝８． ∴c２＝a２＋b２≥２ab＝１６,当且仅当a＝b＝２ ２时,等号成 立．∴c２ 的最小值为１６．∴c的最小值为４,∴C 的焦距 的最小值为２×４＝８．] ６．解析:令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a,b,显然 双曲线C的中心为原点,焦点在x轴上,其半焦距c＝２, 由双曲线C的离心率为 ２,得ca ＝ ２ ,解得a＝ ２,则b ＝ c２－a２＝ ２, 所以双曲线C的方程为x ２ ２－ y２ ２＝１． 答案:x ２ ２－ y２ ２＝１ ７．解析:因为等轴双曲线的离心率为 ２,且双曲线C 的开 口比等轴双曲线更开阔,所以双曲线C:x ２ ４－ y２ m＝１ 的离 心率e＞ ２,即４＋m４ ＞２． 所以m＞４． 答案:(４,＋∞) ８．解:(１)由１６x２－９y２＝１４４得x ２ ９－ y２ １６＝１ ,所以a＝３,b＝４, c＝５,所以焦点坐标F１(－５,０),F２(５,０),离心率e＝ ５ ３ , 渐近线方程为y＝±４３x． (２)由双曲线的定义可知||PF１|－|PF２||＝６, cos∠F１PF２＝ |PF１|２＋|PF２|２－|F１F２|２ ２|PF１||PF２| ＝ (|PF１|－|PF２|)２＋２|PF１||PF２|－|F１F２|２ ２|PF１||PF２| ＝３６＋６４－１００６４ ＝０ ,则∠F１PF２＝９０°． ９．BD　[e１＝ １＋ b２ a２ ,e２＝ １＋ (b＋m)２ (a＋m)２ ．不妨令e１＜e２, 化简得b a ＜ b＋m a＋m (m＞０),得bm＜am,得b＜a．所以 AC 错误;当b＞a时,有ba ＞ b＋m a＋m ,即e１＞e２;当b＜a时,有 b a ＜ b＋m a＋m ,即e１＜e２,所以BD正确．] １０．ABC　 [由 右 焦 点 为F１(２ ６, ０),点A 的坐标为(０,１),|AF１| ＝ ２４＋１＝５, △APF１ 的周长不小于１４,即周长 的最小值不小于１４,可得|PA|＋ |PF１|的最小值不小于 ９,又F２ 为双曲线的左焦点,可得|PF１| ＝|PF２|＋２a,|PA|＋|PF１|＝ |PA|＋|PF２|＋２a, 当A,P,F２ 三点共线时,|PA|＋|PF２|＋２a取最小值 ５＋２a,所以５＋２a≥９,即a≥２,因为c＝２ ６,可得e＝ c a ≤ ６． ] １１．解析:不妨设点B 在第一象限,则A１(－a,０), B c,b ２ a( ) ,A２ (a,０),C c,－ b２ a( ) ,所 以 A１B → ＝ a＋c,b ２ a( ) ,A２C → ＝ c－a,－b ２ a( )．因 为A１B → ⊥A２C →,所 以A１B →􀅰A２C → ＝０,所以c２－a２－b ４ a２ ＝０,整理得b ２ a２ ＝１, 即b a ＝１ ,所以渐近线的斜率为±１．] 答案:±１ １２．解:(１)因为e＝ ２,则双曲线的实轴、虚轴相等, 所以可设双曲线方程为x２－y２＝λ(λ≠０), 因为双曲线过点(４,－ １０),所以１６－１０＝λ,即λ＝６, 所以双曲线方程为x２－y２＝６． (２)设 P(x,y)(x≥ ６),|PM|＝ (x－a)２＋y２ ＝ ２x２－２ax＋a２－６(x≥ ６), 令f(x)＝２x２－２ax＋a２－６＝２(x－a２ )２＋a ２ ２－６ (x≥６), ①当a２≤ ６ ,即a≤２ ６时,当x＝ ６时,f(x)min＝(６ －a)２,|PM|min＝|６－a| ②当a２＞ ６ ,即a＞２ ６时,当x＝a２ 时,f(x)min＝ a２ ２－ ６,|PM|min＝ a２ ２－６ １３．ACD　[由题意,方程x|x|４ ＋y|y|＝１ , 当x≥０,y≥０时,x ２ ４＋y ２＝１,表示椭圆在第一象限的 部分; 当x＞０,y＜０时,x ２ ４－y ２＝１,表示双曲线在第四象限 的部分; 当x＜０,y＞０时,－x ２ ４ ＋y ２＝１,表示双曲线在第二象 限的部分; 当x＜０,y＜０时,－x ２ ４－y ２＝１,此时不成立,舍去,其 图象如图所示,可得该函数的图象不经过第三象限,所 以 A是正确的;由函数的图象可得,该函数在 R为单调 递减函数,所以B不正确; 由图 象 可 得,函 数f(x)的 图象上的点P 到原点的距 离的最小的点在x≥０,y≥ ０的图象上, 设点P(x,y),则点P 满足 x≥０,y≥０时,x ２ ４＋y ２＝１, 即y２＝１－x ２ ４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５９３􀅰 参考答案 则|PO|＝ x２＋y２ ＝ x２＋１－x ２ ４ ＝ ３ ４x ２＋１,当x ＝０时,|PO|min＝１,所以 C正确; 令g(x)＝０,可得２f(x)＋x＝０,即f(x)＝－１２x , 则函数g(x)＝２f(x)＋x的零点,即为函数y＝f(x)与 y＝－１２x 的交点, 又由直线y＝－１２x 为双曲线x ２ ４－y ２＝１和－x ２ ４ ＋y ２ ＝１渐近线, 所以直线y＝－１２x 与函数y＝f(x)没有交点,即函数 g(x)＝２f(x)＋x不存在零点, 所以 D是正确的．] １４．解:(１)∵双曲线的右焦点坐标为(２,０),且双曲线方程 为x ２ ３－ y２ b２ ＝１, ∴c２＝a２＋b２＝３＋b２＝４,∴b２＝１, ∴双曲线的方程为x ２ ３－y ２＝１． (２)∵a＝ ３,b＝１, ∴双曲线的渐近线方程为y＝± ３３x , 令x＝－２,则y＝±２ ３３ ． 设直线x＝－２与双曲线的渐近线的交点为A,B, 则|AB|＝４３ ３ ,记双曲线的渐近线与直线x＝－２围 成的三角形的面积为S, 则S＝１２× ４ ３ ３×２＝ ４ ３ ３． §３　抛物线 ３．１　抛物线及其标准方程 １．A　[因为点(１,１)在直线x＋２y＝３上,故所求点的轨迹 是过点(１,１)且与直线x＋２y＝３垂直的直线．] ２．B　[由５＝p２ 得p＝１０．又焦点在y轴正半轴上,即方程 形式为x２＝２py,所以x２＝２０y．] ３．C　[由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－p２． 因为准线与圆相切,圆的方程为(x－３)２＋y２＝１６,所以 ３＋p２＝４ ,所以p＝２．] ４．A　[点Q(２,－１)在抛物线内部, 如图所示． 由抛物线 的 定 义 知,抛 物 线 上 的 点P 到点F 的距离等于点P 到 准线x＝－１的距离,过点Q 作x ＝－１的 垂 线,与 抛 物 线 交 于 点 K,则点K 为所求,当y＝－１时, x＝１４ ,∴P 为 １４ ,－１( )．] ５．B　[如图所示,在正方体ABCD －A１B１C１D１ 中,作PQ⊥AD,垂 足为Q, 则PQ⊥ 平 面 ADD１A１,过 Q 作 QR ⊥ A１D１,则 A１D１ ⊥ 平 面 PQR,则 PR 为 点 P 到 直 线 A１D１ 的距离,由题意得|PR|２－ |PQ|２＝|RQ|２ ＝１,由 已 知 得 |PR|２－|PM|２＝１,所以|PQ|＝ |PM|,即P 到点M 的距离等于P 到AD 的距离,所以根 据抛物线的定义可得,点P 的轨迹是抛物线．] ６．解析:圆M 的圆心为(１,２),代入４x＋ay２＝０得a＝－１,将 抛物线C的方程化为标准方程得y２＝４x,故其焦点坐标 为(１,０)． 答案:(１,０) ７．解析:抛物线标准方程为x２＝－４y,其焦点坐标为(０,－１), 准线方程为y＝１,则MF的长度等于点 M 到准线y＝１的 距离,从而点 M 到两定点F,E 的距离之和的最小值为 点E(１,－３)到直线y＝１的距离．即最小值为４． 答案:４ ８．解:(１)由准线方程为y＝３知,抛物线的焦点在y 轴负 半轴上,且p ２＝３ ,则p＝６,故所求抛物线的标准方程为 x２＝－１２y． (２)∵点P(－２ ２,４)在第二象限,∴设所求抛物线的标 准方程为y２＝－２px(p＞０)或x２＝２py(p＞０)．若抛物 线的标准方程为y２＝－２px(p＞０),则由４２＝－２p× (－２ ２),解得p＝２ ２;若 抛 物 线 的 标 准 方 程 为x２＝ ２py(p＞０),则由(－２ ２)２＝２p×４,解得p＝１． ∴所求抛物线的标准方程为y２＝－４ ２x或x２＝２y． (３)由焦点到准线的距离为 ２,得p＝ ２,故所求抛物线 的标准方程为y２＝２ ２x 或y２＝－２ ２x 或x２＝２ ２y 或x２＝－２ ２y． ９．A　[如图所示,动点P 到l２:x＝ －１的距离可转化为|PF|,由图 可知, 距离和 的 最 小 值 即 F 到 直 线l１ 的距离d＝ |４＋６| ４２＋(－３)２ ＝２．] １０．AD　[由已知得抛 物 线 的 焦 点 F p２ ,０( ) ,设 点 M(x０,y０),则AF → ＝ p２ ,－２( ) ,AM → ＝ y ２ ０ ２p ,y０－２( )． 由已知得AF → 􀅰AM → ＝０,即y２０－８y０＋１６＝０, 因 而 y０ ＝ ４,M ８ p ,４( )．由 | MF | ＝ ５,得 ８ p－ p ２( ) ２ ＋１６＝５． 又p＞０,解得p＝２或p＝８．故C 的方程为y２＝４x 或 y２＝１６x．] １１．解析:由x２＝２py(p＞０)得焦点F ０,p２( ) ,准线l为y ＝－p２ , 所以可求得抛物线的准线与双曲线x ２ ３－ y２ ３＝１ 的交点 A － １２＋p ２ ２ ,－p２ æ è ç ö ø ÷,B １２＋p ２ ２ ,－p２ æ è ç ö ø ÷,所 以 |AB|＝ １２＋p２,则|AF|＝|AB|＝ １２＋p２, 所以 p |AF|＝sin π ３ ,即 p １２＋p２ ＝ ３２ ,解得p＝６． 答案:６ １２．解:(１)如图, 易知抛物线的焦点为 F(１,０), 准线方程是x＝－１．由抛物 线 的定义知,点P 到直线x＝－１ 的距离等于点P 到焦点F 的距 离．于是问题转化为在抛物线上 求一点P,使点P 到点A(－１, １)的距离与点P 到F(１,０)的距 离之和最小．显然,连接AF,AF 与抛物线的交点即为点P,故最小值为 ２２＋１２＝ ５, 即点P 到点A(－１,１)的距离与点P 到直线x＝－１的 距离之和的最小值为 ５． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６９３􀅰 选择性必修第一册