第二章 1.2 椭圆的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

＝(|PF１|＋|PF２|)２－２|PF１||PF２|－２|PF１|􀅰 |PF２|cos∠F１PF２, 所以２０＝３６－２|PF１|􀅰|PF２|－ ２ ３|PF１| 􀅰|PF２|, 解 得 |PF１ ||PF２ |＝６,故 S△PF１F２ ＝ １ ２|PF１| |PF２|sin∠F１PF２＝ １ ２×６× ２ ２ ３ ＝２ ２ ,故 B选项正 确;设点P 到x 轴的距离为d, 则S△PF１F２＝ １ ２|F１F２| 􀅰d＝１２×２ ５d＝２ ２ ,所以d ＝２ １０５ ,故 C选项正确;PF１ →􀅰PF２→＝|PF１→|􀅰|PF２→| cos∠F１PF２＝６× １ ３＝２ ,故 D选项正确．] １４．解析:由 题,e＝ １－b ２ a２ ＝ １－m１０＝ ５－１ ２ ,所 以 m＝ ５ ５－５． 如图,连接 MF１,MF２,设△PF１F２ 内切圆半径为r, 则１ ２|PF１|r＋ １ ２|PF２|r＋ １ ２|F１F２|r＝S△PF１F２ , 即１ ２ (２a＋２c)r＝S△PF１F２, １ ２|F１F２|r＝S△MF１F２＝ １ ２ 􀅰２c􀅰r, ∴a＋cc ＝ S△PF１F２ S△MF１F２ ＝ 　　　　 　　|PN| |MN| , ∴|MN|＝ ca＋c|PN| , ∴|PM|＝ １－ ca＋c( )|PN|＝ a a＋c|PN| , ∴ 　　　　 　　|PM| |MN|＝ a a＋c c a＋c ＝ac ＝ １ ５－１ ２ ＝ ５＋１２ ． 答案:５ ５－５　 ５＋１２ １．２　椭圆的简单几何性质 １．A　[由题意知 a＋b＝１０, c＝２ ５, c２＝a２－b２, { 解得 a＝６,b＝４,{ 因此所求椭圆 的方程为x ２ ３６＋ y２ １６＝１． ] ２．D　[由已知|PF２|＝２c,∴|PF１|＝２ ２c．由椭圆的定义 知|PF１|＋|PF２|＝２a,即２ ２c＋２c＝２a,∴e＝ c a ＝ １ ２＋１ ＝ ２－１．] ３．A　[由题意易得,e１＝ a２－１ a ,e２＝ ３ ２ ,得 a ２－１ a ＝ １ ２ ,解得a＝２ ３３ ． ] ４．ACD　[由已知可得 m２－m－１＝１,解得 m＝２或 m＝ －１(舍去), ∴椭圆 C 的 方 程 为y ２ ３ ＋ x２ ２ ＝１ ,∴a２ ＝３,b２ ＝２,即 a＝ ３,b＝ ２,∴长轴长为２a＝２ ３,短轴长２b＝２ ２,离 心率e＝ca ＝ １ ３ ＝ ３３． ] ５．ABC　[可知两个方程均表示焦点在x 轴上的椭圆,故 A正确; 曲线C１ 焦距为２c１＝２ ２５－９＝８, 曲线C２ 焦距为２c２＝２ (２５－k)－(９－k)＝８,故B,C正确; 曲线C１ 的离心率e１＝ c１ a１ ＝ ４５ ,曲线C２ 的离心率e２＝ c２ a２ ＝ ４ ２５－k ,故 D不正确．] ６．解析:设椭圆C的方程为y ２ a２ ＋x ２ b２ ＝１(a＞b＞０),椭圆C 的面积为S＝πab＝２０π,又e＝ １－b ２ a２ ＝ ４５ ,解得a２＝ １００ ３ ,b２＝１２,所以椭圆C的方程为y ２ １００ ３ ＋x ２ １２＝１． 答案:y ２ １００ ３ ＋x ２ １２＝１ ７．解析:由题可知,|AB|＝c,|AF１| ＝|OF１|＋|OA|＝c＋ c ２＝ ３c ２ ,故 |AB| |AF１| ＝２３ ,因为过 F１ 的直线和 圆 x－１２c( ) ２ ＋y２＝c２ 相切,所以 AB⊥BF１,又PF２⊥x轴,故△ABF１∽△PF２F１,即 |PF２| |PF１| ＝２３ ,设|PF２|＝２x,则|PF１|＝３x,|F１F２|＝ ５x,椭圆离 心率e＝ca ＝ ２c ２a＝ |F１F２| |PF１|＋|PF２| ＝ ５x５x＝ ５ ５ 答案:５ ５ ８．解:(１)由∠F１AB＝９０°及椭圆的对称性知b＝c,则e＝ c a ＝ c２ a２ ＝ c ２ b２＋c２ ＝ ２２． (２)由已知a２－b２＝１,F２(１,０),A(０,b),设B(x,y), 则AF２ →＝(１,－b),F２B→＝(x－１,y),由AF２→＝２F２B→,即 (１,－b)＝２(x－１,y), 解得x＝３２ ,y＝－b２ ,则 ９ ４a２ ＋b ２ ４b２ ＝１, 得a２＝３,因此b２＝２,椭圆的方程为x ２ ３＋ y２ ２＝１． ９．A　[直线x＝a,y＝b与椭圆C 分别相切,显然直线x＝ a与直线y＝b垂直,且交点为(a,b), 由题意点(a,b)在圆C:x２＋y２＝５３a ２ 上,所以a２＋b２＝ ５ ３a ２,所以b ２ a２ ＝２３ ,故椭圆C 的离心率e＝ca ＝ １－ b２ a２ ＝ ３３． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２９３􀅰 选择性必修第一册 １０．AD　[设该椭圆的半长轴长为a,半焦距长为c．依题意 可得月球半径约为１ ２×３４７６＝１７３８ , a－c＝１００＋１７３８＝１８３８,a＋c＝４００＋１７３８＝２１３８, ２a＝１８３８＋２１３８＝３９７６,a＝１９８８,c＝２１３８－１９８８ ＝１５０,椭圆的离心率约为e＝ca ＝ １５０ １９８８＝ ７５ ９９４ ,可得结 论 A、D 项正确,B项错误;因为没有给坐标系,焦点坐 标不确定,所以 C项错误．综上可知,正确的为 AD．] １１．解析:由椭圆方程可知a＝５,c＝３,根据椭圆的定义,有 PF２ ＝２a－ PF１ ＝１０－ PF１ ,故 PF１ 􀅰 PF２ ＝ PF１ 􀅰(１０－ PF１ ),由于 PF１ ∈[a－ c,a＋c]＝[２,８],注意到二次函数y＝x(１０－x)的对称 轴为x＝５,故当x＝２,x＝８时,都使函数取得最小值, 其最小值为２×８＝１６． 答案:１６ １２．解析:直线l的斜率为－３４ ,过C 的左焦点和下顶点的 直线与l平行,所以bc ＝ ３ ４ ,又b２＋c２＝a２⇒ ３４c( ) ２ ＋ c２＝a２⇒２５１６c ２＝a２,所以e＝ca ＝ ４ ５． 答案:４ ５ １３．BC　[由椭圆的定义知,点P 的轨迹是以M,N 为焦点 的椭圆,其方程为x ２ ４＋ y２ ３＝１． 对于 A,把x－２y＋６＝０ 代入x ２ ４ ＋ y２ ３ ＝１ ,整 理 得 ２y２ －９y＋１２＝０,由 Δ＝ (－９)２－４×２×１２＝－１５＜０,知x－２y＋６＝０不是“椭 型直线”;对于B,把y＝x代入x ２ ４＋ y２ ３＝１ ,整理得x２＝ １２ ７ ,所以x－y＝０是“椭型直线”;对于 C,把２x－y＋１ ＝０代入x ２ ４＋ y２ ３＝１ ,整理得１９x２＋１６x－８＝０,由Δ＝ １６２－４×１９×(－８)＞０,知２x－y＋１＝０是“椭 型 直 线”;对于 D,把x＋y－３＝０代入x ２ ４ ＋ y２ ３ ＝１ ,整理得 ７x２－２４x＋２４＝０,由Δ＝(－２４)２－４×７×２４＜０,知x ＋y－３＝０不是“椭型直线”,故BC是“椭型直线”] １４．解析:依题意,若原椭圆,短轴＞焦距,则压缩数为n时, 半长轴为a,半短轴为c,半焦距为c,所以压缩数为n－ １时,半长轴为 a２＋c２,半短轴为a,半焦距为c; 压缩 数 为 n－２ 时,半 长 轴 为 ２a２＋c２,半 短 轴 为 a２＋c２,半焦距为a, ∵压缩数为n时,a２＝c２＋c２＝２c２, ∴Cn－２的离心率为 a ２a２＋c２ ＝ １０５ ; 同理,若原椭圆,短轴＜焦距,则压缩数为n时,半长轴 为a,半短轴为c,半焦距为c 所以压缩数为n－１时,半长轴为 a２＋c２,半短轴为c, 半焦距为a; 压缩数为n－２时,半长轴为 a２＋２c２,半短轴为c,半 焦距为 a２＋c２, ∵压缩数为n时,a２＝c２＋c２＝２c２, ∴Cn－２的离心率＝ a２＋c２ a２＋２c２ ＝ ３２． 答案:①② §２　双曲线 ２．１　双曲线及其标准方程 １．AB　[设双曲线的方程为x ２ a２ －y ２ b２ ＝１,则c＝３．∵２a＜２c ＝６,∴|２m－１|＜６,且|２m－１|≠０,∴－ ５２ ＜m＜ ７ ２ , 且m≠１２ ,∴A,B满足条件．] ２．A　[∵已知方程表示双曲线,∴(２＋m)(２－m)＞０． ∴－２＜m＜２．] ３．D　[由c２＝a２＋b２＝４得c＝２,所以F(２,０),将x＝２代 入x２－y ２ ３＝１ ,得y＝±３,所以|PF|＝３,又点A 的坐标 是(１,３),故 △APF 的 面 积 为 １２ ×３× (２－１)＝ ３２ , 选 D．] ４．BD　[依题意,A,B 两监测点间距离为８００米,且 A 监 测点听到爆炸声的时间比B 监测点迟２秒,设爆炸点为 C,则|CA|－|CB|＝３４０×２＝６８０＜８００,所以爆炸点在 以A,B 为焦点的双曲线的一支上．所以 A 选项错误,B 选项正确．若B 监测点的声强是A 监测点的４倍(声强 与距离的平方成反比),所以|CA| ２ |CB|２ ＝４,即|CA|＝２|CB|,结 合|CA|－|CB|＝６８０可得|CB|＝６８０．所以 C 选项错 误,D选项正确．] ５．AD　[若t＞３,则方程可变形为 y ２ t－１－ x２ t－３＝１ ,它表示 焦点在y轴上的双曲线; 若t＜１,则方程可变形为 x ２ ３－t－ y２ １－t＝１ ,它表示焦点在 x轴上的双曲线; 若２＜t＜３,则０＜３－t＜t－１,故方程 x ２ ３－t＋ y２ t－１＝１ 表 示焦点在y轴上的椭圆; 若１＜t＜２,则０＜t－１＜３－t,故方程 x ２ ３－t＋ y２ t－１＝１ 表 示焦点在x轴上的椭圆; 若t＝２,方程 x ２ ３－t＋ y２ t－１＝１ 即为x２＋y２＝１,它表示圆, 综上,选 AD．] ６．解析:依题意可知c＝３,当双曲线的焦点在x 轴上时,m ＞５,c２＝m＋m－５＝９, 所以m＝７;当双曲线的焦点在y轴上时,m＜０,c２＝－m ＋５－m＝９,所以m＝－２综上,m＝７或m＝－２． 答案:７或－２ ７．解析:在x ２ ９－ y２ １６＝１ 中,a＝３,b＝４, c２＝a２＋b２＝２５,∴c＝５． ∴|PF２|＝|F１F２|＝２c＝１０． 又P 为双曲线C 的右支上一点, ∴|PF１|－|PF２|＝２a＝６, ∴|PF１|＝１６． 过点F２ 作F２T⊥PF１ 于点T,则T 为PF１ 的中点． ∴|PT|＝８,∴|F２T|＝６,∴S△PF１F２＝ １ ２×１６×６＝４８． 答案:１６　４８ ８．解:(１)∵F２(２,０),P(２,１)∴PF２⊥x轴, ∴|PF２|＝ b２ a＝１ 且c＝ ２ 又c２＝a２＋b２,即a２＋a－２＝０,解得:a＝１, ∴b２＝１,∴双曲线的标准方程为:x２－y２＝１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３９３􀅰 参考答案 　　　　　　１．２　椭圆的简单几何性质 [基础达标练] １．焦点在x轴上,长、短半轴长之和为１０, 焦距为４ ５,则椭圆的方程为 (　　) A．x ２ ３６＋ y２ １６＝１　　　B． x２ １６＋ y２ ３６＝１ C．x ２ ６＋ y２ ４＝１ D． y２ ６＋ x２ ４＝１ ２．设椭圆的两个焦点分别为F１,F２,过F２ 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若 △F１PF２ 为等腰直角三角形,则椭圆的 离心率为 (　　) A．２２ B． ２－１ ２ C．２－ ２ D．２－１ ３．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)设椭圆C１: x２ a２ ＋y２ ＝１(a＞１),C２: x２ ４＋y ２＝１的离心率分 别为e１,e２,若e２＝ ３e１,则a＝ (　　) A．２ ３３ 　　B．２　　C．３　　D．６ ４．(多选)若椭圆C:x ２ m＋ y２ m２－１ ＝１的一个 焦点坐标为(０,１),则下列结论中正确 的是 (　　) A．m＝２ B．C的长轴长为 ３ C．C的短轴长为２ ２ D．C的离心率为 ３３ ５．(多选)已知曲线C１: x２ ２５＋ y２ ９ ＝１ 与曲 线C２: x２ ２５－k ＋ y２ ９－k ＝１ (k＜９),下列 说法正确的是 (　　) A．两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆 B．焦距相等 C．有相同的焦点 D．离心率相等 ６．阿基米德(公元前２８７年－公元前２１２ 年)不仅是著名的物理学家,也是著名 的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭 圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长 轴长与半短轴长的乘积．若椭圆C 的对 称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C 的离心率为４ ５ ,面积为２０π,则椭圆C的 标准方程为　　　　　　　　　　． ７．已知椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０),焦点 F１(－c,０),F２(c,０)(c＞０),若过F１ 的直线和圆 x－１２c æ è ç ö ø ÷ ２ ＋y２＝c２ 相切,与 椭圆在第一象限交于点P,且PF２⊥x 轴,则椭圆的离心率是　　　　． ８．如图,已知椭圆x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝１(a＞b＞０),F１, F２ 分别为椭圆的左、 右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线 AF２ 交椭圆于另一点B． (１)若∠F１AB＝９０°,求椭圆的离心率; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３０３􀅰 第二章　圆锥曲线 (２)若椭圆的焦距为２,且AF２ → ＝２F２B →, 求椭圆的方程． [能力提升练] ９．法国数学家加斯帕􀅰蒙日发现与椭圆 相切的两条互相垂直的切线的交点的 轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆,这个 圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆C:x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝１(a＞b＞０)的蒙日圆为C:x２＋y２＝５３ a２,则椭圆C的离心率为 (　　) A．３３　　B． ６ ３　　C． ２ ２　　D． １ ３ １０．(多选)嫦娥四号月 球探测器搭载长征 三号乙运载火箭在 西昌卫星发射中心发射．１２日下午４ 点４３分左右,嫦娥四号顺利进入了以 月球球心为一个焦点的椭圆形轨道, 如图中轨道③所示,其近月点与月球 表面距离为１００公里,远月点与月球 表面距离为４００公里,已知月球的直 径约为３４７６公里,对该椭圆下述四个 结论正确的是 (　　) A．焦距长约为３００公里 B．长轴长约为３９８８公里 C．两焦点坐标约为(±１５０,０) D．离心率约为７５９９４ １１．设F１,F２ 是椭圆E: x２ ２５＋ y２ １６＝１ 的左右 焦点,P 是椭圆E 上的点,则|PF１|􀅰 |PF２|的最小值是　　　　　． １２．已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１a＞b＞０( ) 和 直线l:x４＋ y ３＝１ ,若过C 的左焦点和 下顶点的直线与l平行,则椭圆C 的 离心率为　　　　． [素养培优练] １３．(多选)已知点 M(－１,０)和 N(１,０), 若某直线上存在点 P,使得|PM|＋ |PN|＝４,则称该直线为“椭型直线”, 现有下列直线,其中是“椭型直线”的是 (　　) A．x－２y＋６＝０ B．x－y＝０ C．２x－y＋１＝０ D．x＋y－３＝０． １４．把椭圆C的短轴和焦点连线段中较长 者、较短者分别作为椭圆C′的长轴、短 轴,使椭圆C变换成椭圆C′,称之为椭 圆的一次“压缩”．按上述定义把椭圆 Ci(i＝０,１,２,􀆺)“压缩”成椭圆Ci＋１, 得到一系列椭圆C１,C２,C３,􀆺当短轴 长与焦距相等时终止“压缩”．经研究 发现,某个椭圆C０ 经过n(n≥３)次“压 缩”后能终止,则椭圆Cn－２的离心率可 能是 ① ３２ ,② １０５ ,③ ３３ ,④ ６３ 中 的 　　　．(填写所有正确结论的序号) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４０３􀅰 选择性必修第一册