第一章 2.4 圆与圆的位置关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

X 第一章直线与圆 课何作业 数课时 2.4圆与圆的位置关系 学作业 纠错空间 [基础达标练] 6.已知两圆相交于两点A(a,3),B(一1， 1.已知圆A与圆B相切，圆心距为 1),若两圆圆心都在直线x十y十b=0 10cm,其中圆A的半径为4cm,则圆 上，则a+b的值是 B的半径为 ( 7.已知C,D是圆A:(x+1)2+y2=1与 A.6cm或14cm B.10 cm 圆B:x2+(y-2)=4的公共点，则 C.14 cm D.无解 △BCD的面积为 2.以圆C:x2+y2+4.x十1=0与圆C2:x2 8.已知圆C:x2+y2=1与圆C:x+y一6x +y2+2x+2y+1=0相交的公共弦为 十m=0. 直径的圆的方程为 (1)若圆C与圆C,外切，求实数m A.(x-1)2+(y-1)2=1 的值： B.(x+1)+(y+1)2=1 (2)在(1)的条件下，若直线x+2y+n c(+}++- 0与圆C2的相交，弦长为23，求实数n 的值. 3.半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2十 方法总结 (y-3)=1内切，则此圆的方程是 A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x+4)2+(y-6)2=6或(x-4)2+ (y-6)2=6 C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x+4)2+(y-6)2=36或(x-4)+ (y-6)2=36 4.(多选)如果圆(x-a)2十(y-a十3)2= 1上存在两个不同的点PQ,使得OP =|OQ=2(O为坐标原点)，则a的可 能取值为 A.1 C.2 D.3 5.过点P(2,3)向圆C:x2+y2=1上作两条 切线PA,PB,则弦AB所在直线的方程为 () A.2x-3y-1=0 B.2.x+3y-1=0 C.3.x+2y-1=0 D.3x-2y-1=0 ·299· 世数学 选择性必修第一册 [能力提升练] (2)圆M和圆x2十y=1相交于P,Q 9.(多选)集合M={(x,y)|x2十y≤4}， 两点，求线段PQ的长度， 间 N={(x,y)1(x-1)2+(y-1)2≤r2,r 纠错空间 >0},且MnN=N,则r可能的取值是 ( ) A B号 C.1 D.2 10.已知圆C1:(x+1)2+(y-6)2=25,圆 C2:(x-17)+(y-30)2=r2.若圆C 上存在一点P,使得过点P可作一条 射线与圆C,依次交于A、B两点，且满 足|PA|=2|AB,则半径r的取值范 围是 ( A.[5,55] B.[5,50] C.[10,50] D.[10,55] 44444444444 11.若⊙0：x2+y=5与⊙0：(x-m)2+y =20(m∈R)相交于A,B两点，且两圆在 点A处的切线互相垂直，则线段AB的 长是 方法总结 12.如图，已知圆M的 圆心在第一象限， 与x轴相切于点 A(√2,0)，与直线 y=22x相切于 [素养培优练] 点B 13.设集合2={(x,y)|(x-k)2+(y (1)求圆M的方程： k2)2=4k,k∈Z}, +444444444444+4444 ①存在直线I,使得集合2中不存在点 在1上，而存在点在1两侧： ②存在直线1，使得集合2中存在无数 点在l上： A.①成立②成立 B.①成立②不成立 C.①不成立②成立 D.①不成立②不成立 14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆 C,:x2+y2=8与圆C2:x2+y+2x +y一a=0相交于A,B两点.若圆C 上存在点P,使得△ABP为等腰直角 三角形，则实数a的值组成的集合 为 ·300·６．解析:最短弦为过点(３,１),且垂直于点(３,１)与圆心的 连线的弦,易知弦心距d＝ (３－２)２＋(１－２)２＝ ２, 所以最短弦长为２ r２－d２＝２ ２２－(２)２＝２ ２．] 答案:２ ２ ７．D　[由y＝－ １－x２＋１(０≤x≤１),可得x２＋(y－１)２ ＝１(０≤x≤１), 所以洛伦兹曲线是圆心为(０,１),半径为１的１４ 圆周, 所以A＝１４π×１ ２－１２×１×１＝ １ ４π－ １ ２ ,B＝１－１４π× １２＝１－１４π , 所以G＝ AA＋B＝ １ ４π－ １ ２ １ ４π－ １ ２＋１－ １ ４π ＝１２π－１． ] ８．解:(１)依题意知:圆C的半径r＝|OA|２ ＝３ , 圆心坐标为(３,０),故圆C的方程为(x－３)２＋y２＝９． (２)∵直线l２ 平行于l１,直线l１ 的方程为x－２y＋４＝０, ∴设直线l２ 的方程为x－２y＋C＝０, 又∵ 弦长|MN|＝４,圆的半径为３,故圆心C 到直线l２ 的距离d＝ |３＋C| １２＋２２ ＝ ３２－２２＝ ５, ∴|３＋C|＝５,得C＝２或C＝－８, ∴直线l２ 的方程为x－２y＋２＝０或x－２y－８＝０． ９．C　[若点(a,b)在圆x２＋y２＝１内,则a２＋b２＜１, 则圆心O 到直 线ax＋by＋１＝０的 距 离d＝ １ a２＋b２ ＞１, 则直线ax＋by＋１＝０与圆x２＋y２＝１相离． 反之直线ax＋by＋１＝０与圆x２＋y２＝１相离,则圆心O 到直线ax＋by＋１＝０的距离d＝ １ a２＋b２ ＞１,即a２＋ b２＜１,则点(a,b)在圆x２＋y２＝１内． 所以“点(a,b)在圆x２＋y２＝１内”是“直线ax＋by＋１＝ ０与圆x２＋y２＝１相离”的充分必要条件．] １０．C　[因为切线PA,PB 的长度相等,所以四边形PAOB 面积为△APO 的面积的２倍．因为 PA⊥AO,所以要 求四边形 PAOB 面积的最小值,应先求|PA|的 最 小 值．当|OP|取最小值时,|PA|取最小值．|OP|的最小 值为 点 O 到 直 线 ２x＋y＋１０＝０ 的 距 离 d＝ |０＋０＋１０| ２２＋１ ＝２ ５,因为圆x２＋y２＝４的 圆 心 坐 标 为 O(０,０),半径为r＝２．进而可求切线PA 的长度的最小 值,最小值为 (２ ５)２－２２ ＝４．可求四边形 PAOB 面 积的最小值S＝２S△APO＝２× １ ２×|PA|×|AO|＝４×２ ＝８．] １１．解析:根据题意,直线l:mx－y－２m－１＝０,即 m(x－ ２)＝y＋１, 则 由 x－２＝０, y＋１＝０,{ 解 得 x＝２, y＝－１,{ 即 直 线 l 经 过 点(２,－１)． 设 M(２,－１),C(１,０), 则|MC|＝ (２－１)２＋(－１－０)２＝ ２,以点C(１,０)为 圆心且与l相切的所有圆中,半径最大的圆的半径r＝ |MC|＝ ２, 故半径最大的圆的标准方程为(x－１)２＋y２＝２． 答案:(２,－１)　(x－１)２＋y２＝２ １２．解:(１)设圆M 的方程为:(x－a)２＋(y－b)２＝r２(r＞０), 根据题意得 (１－a)２＋(－１－b)２＝r２ (－１－a)２＋(１－b)２＝r２ a＋b－２＝０ { ⇒ a＝１ b＝１ r＝２{ , 故所求圆 M 的方程为:(x－１)２＋(y－１)２＝４ (２)如图 四边形PAMB 的面积为 S＝S△PAM ＋S△PBM 即S＝１２ (|AM||PA|＋ |BM||PB|) 又|AM|＝|BM|＝２, |PA|＝|PB|,所以S＝ ２|PA|, 而|PA|＝ |PM|２－４, 即S＝２ |PM|２－４． 因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可, |PM|的最小值即为点 M 到直线３x＋４y＋８＝０的距 离,所以|PM|min＝ ３＋４＋８ ５ ＝３ , 四边形PAMB 面积的最小值为２ |PM|２－４＝２ ５． １３．B　[由题可知,圆的方程可化为(x－２)２ ＋y２＝５,故圆心B(２,０),A(０,－２),如 图,设切点为 M,N,AB＝２ ２,BM＝ ５,故 AM ＝ ３,sin∠MBA＝AMAB ＝ ３ ２ ２ ,cos∠MBA＝ ５ ２ ２ ,sinα＝sin(π－α) ＝sin∠NBM＝sin２∠MBA＝２× ３ ２ ２ × ５ ２ ２ ＝ １５４ ． ] １４．解析:以点O 为坐标原点,建立所 示的 平 面 直 角 坐 标 系,可 设 点 P (－１０,－１０＋１．５t),Q(１０,１０－t), 可得出直线PQ 的方程y－１０＋t ＝２０－２．５t２０ (x－１０), 圆O 的方程为x２＋y２＝１,由直线 PQ 与 圆 O 有 公 共 点,可 得 |２．５t－２０２ －t＋１０| １＋(２０－２．５t２０ )２ ≤１,化 为 ３t２ ＋１６t－１２８≤０,解得０≤t≤８ ７－８３ ,而８ ７－８ ３ ≈４．４ ,因 此,点Q 在点P 的盲区中的时长约为４．４秒． 答案:４．４ ２．４　圆与圆的位置关系 １．A　[∵圆A 与圆B 相切包括内切与外切,设圆B 的半 径为rcm, ∴１０＝４＋r或１０＝r－４,即r＝６或１４．] ２．B　[两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x－y＝ ０,因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等,排除 C、D选项, 画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限,排除 A．] ３．D　[由题意可设圆的方程为(x－a)２＋(y－６)２＝３６,由 题意,得 a２＋９＝５,所以a２＝１６,所以a＝±４．] ４．ABC　[由题意知点P、Q 满足|OP|＝|OQ|＝２,则P、Q 在以(０,０)为圆心,半径为２的圆上．其方程为x２＋y２＝ ４．若圆(x－a)２＋(y－a＋３)２＝１上存在两个不同的点P、Q 满足条件,则两个圆有两个交点．即a２－３a＜０且a２－３a ＋４＞０,解得０＜a＜３．故 A、B、C正确． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 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与圆(x－１)２＋(y－１)２＝r２ 内切或内含,所以２－r≥ ２,所以０＜r≤２－ ２．] １０．A　[圆C１:(x＋１)２＋ (y－６)２＝２５的圆心为 (－１,６),半径为５． 圆 C２:(x －１７)２ ＋ (y－３０)２ ＝r２ 的 圆 心 为(１７,３０),半径为r． 两 个 圆 的 圆 心 距 为 (１７＋１)２＋(３０－６)２ ＝３０． 如图:因为|PA|＝２|AB|,可得|AB|的最大值为直径, 此时|C２A|＝２０,r＞０． 当半径扩大到５５时,此时圆C２ 上只有一点到C１ 的距 离为２５,而且是最小值,半径再扩大,就不会满足|PA| ＝２|AB|．] １１．解析:☉O１ 与 ☉O 在 A 处 的 切 线 互 相 垂 直,如图,可知两切线 分 别 过 另 一 圆 的 圆 心,所以O１A⊥OA． 又 因 为|OA|＝ ５, |O１A|＝２ ５,所 以 |OO１|＝５．又A,B 关于OO１ 所在直线对称, 所以AB长为Rt△OAO１ 斜边上的高的２倍,所以|AB|＝ ２× ５×２ ５５ ＝４． 答案:４ １２．解:(１)已知圆 M 的圆心在第一象限,与x轴相切于点 A(２,０),设 圆 心 M(２,b),b＞０,则 圆 M 的 方 程 为 (x－ ２)２＋(y－b)２＝b２． 由于该 圆 M 与 直 线y＝２ ２x 相 切 于 点 B,故 有 |２ ２× ２－b| ８＋１ ＝b,求得b＝１, 故圆 M 的方程为(x－ ２)２＋(y－１)２＝１． (２)∵圆 M 和圆x２＋y２＝１相交于P,Q 两点,把两个 圆的方程相减,可得PQ 的方程为２ ２x＋２y－３＝０． 由于点O到直线PQ 的距离为d＝|０＋０－３| ８＋４ ＝ ３２ ,故弦 长PQ＝２ １２－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝２×１２＝１． １３．B　[当k＝０时,集合Ω＝{(x,y)|(x－k)２＋(y－k２)２ ＝４|k|,k∈Z}＝{(０,０)}, 当k＞０时,集合Ω＝{(x,y)|(x－k)２＋(y－k２)２＝ ４|k|,k∈Z}, 表示圆心为(k,k２),半径为r＝２ k的圆, 圆的圆心在直线y＝x２ 上,半 径r＝f(k)＝２ k单 调 递增, 相邻两个圆的圆心距d＝ (k＋１－k)２＋[(k＋１)２－k２]２＝ ４k２＋４k＋２,相邻 两个圆的半径之和为l＝２ k＋２ k＋１, 因为d＞l有 解,故 相 邻 两 个 圆 之 间 的 位 置 关 系 可 能 相离, 当k＜０时,同k＞０的情况,故存在直线l,使得集合Ω 中不存在点在l上,而存在点在l两侧,故①正确, 若直线l斜率不存在,显然不成立, 设直线l:y＝mx＋n,若考虑直线l与圆(x－k)２＋(y－ k２)２＝４|k|的焦点个数, d＝ 　　　　　　　 　　|mk＋n－k２| m２＋１ ,r＝２ |k|, 给定m,n,当k足够大时,均有d＞r, 故直线l只与有限个圆相交,②错误．] １４．解析:由题意知直线 AB 的方程为:２x＋y＋８－a＝０, 当∠PAB＝９０°或∠PBA＝９０°时,设C１ 到 AB 的距离 为d,因为△ABP 等腰直角三角形,所以d＝１２|AB| , 即d＝１２ ８－d ２,所以d＝２, 所以 |８－a| ２２＋１２ ＝d＝２,解得a＝８±２ ５,当∠APB＝９０°时, AB经过圆心C１,则８－a＝０,即a＝８． 答案:{８,８－２ ５,８＋２ ５} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０９３􀅰 选择性必修第一册