第一章 2.3 直线与圆的位置关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　　２．３　直线与圆的位置关系 [基础达标练] １．(多选)直线l与圆C 有公共点,则直线 l与圆C 的位置关系可能是 (　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 ２．直线 ３x－y＋m＝０与圆x２＋y２－２x －２＝０相切,则实数m 等于 (　　) A．３或－ ３ B．－ ３或３ ３ C．－３ ３或 ３ D．－３ ３或３ ３ ３．已知圆C:x２＋y２－２x＋４y＝０关于直 线３x－ay－１１＝０对称,则圆C 中以 a ４ ,－a４ æ è ç ö ø ÷为中点的弦长为 (　　 ) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ ４．已知圆(x＋１)２＋(y－１)２＝２－a截直 线x＋y＋２＝０所得弦的长度为４,则实 数a＝ (　　) A．－２ B．－４ C．－６ D．－８ ５．(多选)若过点 A(３,０)的直线l与圆 (x－１)２＋y２＝１有公共点,则直线l的 斜率可能是 (　　) A．－１ B．－ ３３ C． １ ３ D．２ ６．过点(３,１)作圆(x－２)２＋(y－２)２＝４ 的弦,其中最短弦的长为　　　　． ７．若函数f(x)是定义域和 值域均为[０,１]的单调递 增函数,我们称曲线y＝ f(x)为洛伦兹曲线,它在 经济学上用来描述一个国家的家庭收 入分布情况．如图,设曲线y＝f(x)与 直线y＝x 所围成的区域面积为A,曲 线y＝f(x)与直线x＝１,x轴围成的区 域面积为B,定义基尼系数G＝ AA＋B , 基尼系数可以衡量一个国家家庭收入 分布不平均的程度．若某个国家的洛伦 兹曲线为y＝－ １－x２＋１(０≤x≤１), 则该国家的基尼系数为 (　　) A．π４－ １ ２ B．１－ π ４ C．π２－ １ ２ D． π ２－１ ８．已知两点O(０,０),A(６,０),圆C以线段 OA 为直径, (１)求圆C的方程; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７９２􀅰 第一章　直线与圆 (２)若直线l１ 的方程为x－２y＋４＝０, 直线l２ 平行于l１,且被圆C 截得的弦 MN 的长是４,求直线l２ 的方程． [能力提升练] ９．“点(a,b)在圆x２＋y２＝１内”是“直线 ax＋by＋１＝０与圆x２＋y２＝１相离”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 １０．点P 在直线２x＋y＋１０＝０上,PA, PB 与圆x２＋y２＝４分别相切于A,B 两点,O为坐标原点,则四边形PAOB 面积的最小值为 (　　) A．２４ B．１６ C．８ D．４ １１．在平面直角坐标系xOy中,直线l:mx －y－２m－１＝０(m∈R)过定点　　　 　　　,以点C(１,０)为圆心且与l相 切的所有圆中,半径最大的圆的标准 方程为　　　　　　． １２．已知圆 M 过C(１,－１),D(－１,１)两 点,且圆心 M 在x＋y－２＝０上． (１)求圆 M 的方程; (２)设P 是直线３x＋４y＋８＝０上的动 点,PA,PB 是圆M 的两条切线,A,B 为切点,求四边形 PAMB 面积的最 小值． [素养培优练] １３．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)过点(０,－２)与 圆x２＋y２－４x－１＝０相切的两条直 线的夹角为α,则sinα＝ (　　) A．１　　B．１５４ 　　C． １０ ４ 　　D． ６ ４ １４．如 图,正 方 形 ABCD 的边长为２０米,圆O 的半径为１米,圆心 是正方形的中心,点 P、Q 分别在线段AD、 CB 上,若线段PQ 与圆O 有公共点, 则称点Q 在点P 的“盲区”中,已知点 P 以１．５米/秒的速度从A 出发向D 移动,同时,点Q 以１米/秒的速度从 C出发向B 移动,则在点P 从A 移动 到D 的过程中,点Q 在点P 的盲区中 的时长约　　　　秒(精确到０．１)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８９２􀅰 选择性必修第一册 ６．解析:设动圆圆心为(x,y),由题意得 x＝４m＋２２ ＝２m＋１ , y＝２m２ ＝m , ì î í ïï ï 整理得x－２y－１＝０． 答案:x－２y－１＝０ ７．解析:因为x２＋y２＋２x－３＝０,所以(x＋１)２＋y２＝４,所 以半径为２． 答案:２ ８．解:(１)设直线l的方程为y＝kx－２． ∵直线x－２y－１＝０的斜率为 １２ ,所以直线l的斜率k ＝－２．则直线l的方程为y＝－２x－２． (２)设圆C的一般方程为x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０(D２ ＋E２－４F＞０)． 由于△OAB 是直角三角形, 所以圆C的圆心C 是线段AB 的中点,半径为１２|AB| ; 由A(－１,０),B(０,－２)得C －１２ ,－１( ) ,|AB|＝ ５; 故 －D２＝－ １ ２ －E２＝－１ １ ２ D ２＋E２－４F＝１２ ５ ì î í ï ïï ï ï ,解得D＝１,E＝２,F＝０． 则圆C的一般方程为:x２＋y２＋x＋２y＝０． ９．ACD　 [所 给 圆 的 半 径 为r＝ １＋ (m－１)２－２m２ ２ ＝ １ ２ － (m＋１)２＋３． 所以当m＝－１时,半径r取最大值 ３２ ,此时最大面积是 ３ ４π． ] １０．A　[∵x２＋y２＋４x－２y－４＝０,∴(x＋２)２＋(y－１)２ ＝３２ 表示以C(－２,１)为圆心,３为半径的圆． ∵ x２＋y２＝ (x－０)２＋(y－０)２∴ x２＋y２表示以 圆C上的任意一点P(x,y)到O(０,０)两点间距离, ∴ x２＋y２的最大值即为|CO|＋r ＝ (－２－０)２＋(１－０)２＋３＝ ５＋３．] １１．解析:方程a２x２＋(a＋２)y２＋２x＋８y＋５a＝０表示圆, 所以a２＝a＋２≠０,解得a＝－１或a＝２, 当a＝－１时,方程x２＋y２＋２x＋８y－５＝０,配方可得 (x＋１)２＋(y＋４)２＝２２,所得圆的圆心坐标为(－１,－４); 当a＝２时,方程４x２＋４y２＋２x＋８y＋１０＝０,即x２＋y２＋ １ ２x＋２y＋ ５ ２＝０ ,此时 １ ２( ) ２ ＋２２－４×５２＝－ ２３ ４＜０ ,方 程不表示圆．综上所述,圆心坐标是(－１,－４)． 答案:(－１,－４) １２．解:(１)∵点P(a,a＋１)在圆上, ∴a２＋(a＋１)２－４a－１４(a＋１)＋４５＝０, ∴a＝４,P(４,５), ∴|PQ|＝ (４＋２)２＋(５－３)２＝２ １０,kPQ ＝ ３－５ －２－４ ＝１３． (２)∵圆心C坐标为(２,７), ∴|QC|＝ (２＋２)２＋(７－３)２＝４ ２, 圆的半径是２ ２,点Q 在圆外, ∴|MQ|max＝４ ２＋２ ２＝６ ２, |MQ|min＝４ ２－２ ２＝２ ２． １３．BC　[设P(x,y),点P 为AB 的中点,所以B(２x＋４, ２y),代入圆C:(x－２)２＋y２＝４, 可得:(２x＋４－２)２＋(２y)２＝４,整理得:点P 的轨迹方 程为:(x＋１)２＋y２＝１． 设 M(x,y),则(x＋４)２＋y２＋x２＋y２＝５８,∴(x＋２)２ ＋y２＝２５,则易知当两圆心和PM 共线时取得最大值 和最小值即３≤|PM|≤７．] １４．解:(１)方法一:直线AB 的斜率k＝５－０１－６＝－１ , 所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为１． 又线段AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为x＝６＋１２ ＝７２ ,y＝０＋５２ ＝ ５ ２ , 所以直线m 的方程为y－５２＝x－ ７ ２ ,即x－y－１＝０． 又圆心 在 直 线l上,所 以 圆 心 是 直 线 m 与 直 线l 的 交点． 联立方程组 x－y－１＝０, ２x－７y＋８＝０,{ 解得 x＝３, y＝２,{ 所以圆心坐标为C(３,２)．又半径r＝|CA|＝ １３, 则所求圆的方程是(x－３)２＋(y－２)２＝１３． 方法二　设所求圆的方程为(x－a)２＋(y－b)２＝r２． 由题意得 (６－a)２＋(０－b)２＝r２, (１－a)２＋(５－b)２＝r２, ２a－７b＋８＝０, { 解得 a＝３, b＝２, r２＝１３, { 所以所求圆的方程是(x－３)２＋(y－２)２＝１３． (２)设线段PQ 的中点M(x,y),P(x０,y０), 则 x０＋８ ２ ＝x , y０＋０ ２ ＝y , ì î í ïï ï 解得 x０＝２x－８, y０＝２y,{ 将P(２x－８,２y)代入 圆C中,得(２x－８－３)２＋(２y－２)２＝１３,即线段PQ 中 点M 的轨迹方程为 x－１１２( ) ２ ＋(y－１)２＝１３４． ２．３　直线与圆的位置关系 １．AB　[根据直线与圆位置关系的确定,有一个公共点时 相切,有两个公共点时相交．] ２．C　[圆的方程为(x－１)２＋y２＝３ ,圆心(１,０)到直线的 距离等于半径⇒|３＋m| ３＋１ ＝ ３⇒|３＋m|＝２ ３⇒m＝ ３或m＝－３ ３．] ３．D　[依题意可知直线过圆心(１,－２),即３＋２a－１１＝０, a＝４． 故 a ４ ,－a４( )＝(１,－１)．圆方程配方得(x－１) ２＋ (y＋２)２＝５,(１,－１)与圆心距离为１,故弦长为２ ５－１ ＝４．] ４．B　[圆 心(－１,１),r＝ ２－a,设 圆 心 到 直 线 的 距 离 为d, ∴d＝ r２－ ４２( ) ２ ＝ (２－a)－４＝ －２－a,d＝ |－１＋１＋２| １＋１ ＝ ２,∴ －２－a＝ ２,∴a＝－４．] ５．BC　[由题意知直线l的斜率必存在,设为k,则l的方 程为y＝k(x－３),即kx－y－３k＝０,圆心C(１,０)．半径 r＝１．直线与圆有 公 共 点,需|k－３k| k２＋１ ≤１,所 以|２k|≤ k２＋１,得k２≤１３ ,所以－ ３３≤k≤ ３ ３ ,对照选项知B,C 适合．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８８３􀅰 选择性必修第一册 ６．解析:最短弦为过点(３,１),且垂直于点(３,１)与圆心的 连线的弦,易知弦心距d＝ (３－２)２＋(１－２)２＝ ２, 所以最短弦长为２ r２－d２＝２ ２２－(２)２＝２ ２．] 答案:２ ２ ７．D　[由y＝－ １－x２＋１(０≤x≤１),可得x２＋(y－１)２ ＝１(０≤x≤１), 所以洛伦兹曲线是圆心为(０,１),半径为１的１４ 圆周, 所以A＝１４π×１ ２－１２×１×１＝ １ ４π－ １ ２ ,B＝１－１４π× １２＝１－１４π , 所以G＝ AA＋B＝ １ ４π－ １ ２ １ ４π－ １ ２＋１－ １ ４π ＝１２π－１． ] ８．解:(１)依题意知:圆C的半径r＝|OA|２ ＝３ , 圆心坐标为(３,０),故圆C的方程为(x－３)２＋y２＝９． (２)∵直线l２ 平行于l１,直线l１ 的方程为x－２y＋４＝０, ∴设直线l２ 的方程为x－２y＋C＝０, 又∵ 弦长|MN|＝４,圆的半径为３,故圆心C 到直线l２ 的距离d＝ |３＋C| １２＋２２ ＝ ３２－２２＝ ５, ∴|３＋C|＝５,得C＝２或C＝－８, ∴直线l２ 的方程为x－２y＋２＝０或x－２y－８＝０． ９．C　[若点(a,b)在圆x２＋y２＝１内,则a２＋b２＜１, 则圆心O 到直 线ax＋by＋１＝０的 距 离d＝ １ a２＋b２ ＞１, 则直线ax＋by＋１＝０与圆x２＋y２＝１相离． 反之直线ax＋by＋１＝０与圆x２＋y２＝１相离,则圆心O 到直线ax＋by＋１＝０的距离d＝ １ a２＋b２ ＞１,即a２＋ b２＜１,则点(a,b)在圆x２＋y２＝１内． 所以“点(a,b)在圆x２＋y２＝１内”是“直线ax＋by＋１＝ ０与圆x２＋y２＝１相离”的充分必要条件．] １０．C　[因为切线PA,PB 的长度相等,所以四边形PAOB 面积为△APO 的面积的２倍．因为 PA⊥AO,所以要 求四边形 PAOB 面积的最小值,应先求|PA|的 最 小 值．当|OP|取最小值时,|PA|取最小值．|OP|的最小 值为 点 O 到 直 线 ２x＋y＋１０＝０ 的 距 离 d＝ |０＋０＋１０| ２２＋１ ＝２ ５,因为圆x２＋y２＝４的 圆 心 坐 标 为 O(０,０),半径为r＝２．进而可求切线PA 的长度的最小 值,最小值为 (２ ５)２－２２ ＝４．可求四边形 PAOB 面 积的最小值S＝２S△APO＝２× １ ２×|PA|×|AO|＝４×２ ＝８．] １１．解析:根据题意,直线l:mx－y－２m－１＝０,即 m(x－ ２)＝y＋１, 则 由 x－２＝０, y＋１＝０,{ 解 得 x＝２, y＝－１,{ 即 直 线 l 经 过 点(２,－１)． 设 M(２,－１),C(１,０), 则|MC|＝ (２－１)２＋(－１－０)２＝ ２,以点C(１,０)为 圆心且与l相切的所有圆中,半径最大的圆的半径r＝ |MC|＝ ２, 故半径最大的圆的标准方程为(x－１)２＋y２＝２． 答案:(２,－１)　(x－１)２＋y２＝２ １２．解:(１)设圆M 的方程为:(x－a)２＋(y－b)２＝r２(r＞０), 根据题意得 (１－a)２＋(－１－b)２＝r２ (－１－a)２＋(１－b)２＝r２ a＋b－２＝０ { ⇒ a＝１ b＝１ r＝２{ , 故所求圆 M 的方程为:(x－１)２＋(y－１)２＝４ (２)如图 四边形PAMB 的面积为 S＝S△PAM ＋S△PBM 即S＝１２ (|AM||PA|＋ |BM||PB|) 又|AM|＝|BM|＝２, |PA|＝|PB|,所以S＝ ２|PA|, 而|PA|＝ |PM|２－４, 即S＝２ |PM|２－４． 因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可, |PM|的最小值即为点 M 到直线３x＋４y＋８＝０的距 离,所以|PM|min＝ ３＋４＋８ ５ ＝３ , 四边形PAMB 面积的最小值为２ |PM|２－４＝２ ５． １３．B　[由题可知,圆的方程可化为(x－２)２ ＋y２＝５,故圆心B(２,０),A(０,－２),如 图,设切点为 M,N,AB＝２ ２,BM＝ ５,故 AM ＝ ３,sin∠MBA＝AMAB ＝ ３ ２ ２ ,cos∠MBA＝ ５ ２ ２ ,sinα＝sin(π－α) ＝sin∠NBM＝sin２∠MBA＝２× ３ ２ ２ × ５ ２ ２ ＝ １５４ ． ] １４．解析:以点O 为坐标原点,建立所 示的 平 面 直 角 坐 标 系,可 设 点 P (－１０,－１０＋１．５t),Q(１０,１０－t), 可得出直线PQ 的方程y－１０＋t ＝２０－２．５t２０ (x－１０), 圆O 的方程为x２＋y２＝１,由直线 PQ 与 圆 O 有 公 共 点,可 得 |２．５t－２０２ －t＋１０| １＋(２０－２．５t２０ )２ ≤１,化 为 ３t２ ＋１６t－１２８≤０,解得０≤t≤８ ７－８３ ,而８ ７－８ ３ ≈４．４ ,因 此,点Q 在点P 的盲区中的时长约为４．４秒． 答案:４．４ ２．４　圆与圆的位置关系 １．A　[∵圆A 与圆B 相切包括内切与外切,设圆B 的半 径为rcm, ∴１０＝４＋r或１０＝r－４,即r＝６或１４．] ２．B　[两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x－y＝ ０,因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等,排除 C、D选项, 画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限,排除 A．] ３．D　[由题意可设圆的方程为(x－a)２＋(y－６)２＝３６,由 题意,得 a２＋９＝５,所以a２＝１６,所以a＝±４．] ４．ABC　[由题意知点P、Q 满足|OP|＝|OQ|＝２,则P、Q 在以(０,０)为圆心,半径为２的圆上．其方程为x２＋y２＝ ４．若圆(x－a)２＋(y－a＋３)２＝１上存在两个不同的点P、Q 满足条件,则两个圆有两个交点．即a２－３a＜０且a２－３a ＋４＞０,解得０＜a＜３．故 A、B、C正确． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９８３􀅰 参考答案