第一章 2.2 圆的一般方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　　　２．２　圆的一般方程 [基础达标练] １．方程x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０表示以 (－２,３)为圆心,４为半径的圆,则 D, E,F的值分别为 (　　) A．４,－６,３　　　　　　B．－４,６,３ C．－４,－６,３ D．４,－６,－３ ２．已知圆C 的圆心坐标为(２,－３),且点 (－１,－１)在圆上,则圆C的方程为 (　　) A．x２＋y２－４x＋６y＋８＝０ B．x２＋y２－４x＋６y－８＝０ C．x２＋y２－４x－６y＝０ D．x２＋y２－４x＋６y＝０ ３．曲线x２＋y２＋２ ２x－２ ２y＝０关于 (　　) A．直线x＝ ２轴对称 B．直线y＝－x轴对称 C．点(－２,２)中心对称 D．点(－ ２,０)中心对称 ４．当a取不同的实数时,由方程x２＋y２＋ ２ax＋２ay－１＝０ 可 以 得 到 不 同 的 圆,则 (　　) A．这些圆的圆心都在直线y＝x上 B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上 C．这些圆的圆心都在直线y＝x或y＝ －x上 D．这些圆的圆心不在同一条直线上 ５．当圆C:x２＋y２－４x－２my＋２m＝０的 面积最小时,m 的取值是 (　　) A．４ B．３ C．２ D．１ ６．动圆x２＋y２－(４m＋２)x－２my＋４m２ ＋４m＋１＝０的 圆 心 的 轨 迹 方 程 为 　　　　　　． ７．公元前３世纪,古希腊数学家阿波罗尼 斯在前人的基础上写了一部划时代的 著作«圆锥曲线论»,该书给出了当时数 学家们所研究的六大轨迹问题,其中之 一便是“到两个定点的距离之比等于不 为１的常数的轨迹是圆”,简称“阿氏 圆”．用解析几何方法解决“到两个定点 O(０,０),A(３,０)的距离之比为１２ 的动点 M 轨迹方程是:x２＋y２＋２x－３＝０”,则 该“阿氏圆”的半径是　 　． ８．已知直线l在y 轴上的截距为－２,且垂 直于直线x－２y－１＝０． (１)求直线l的方程; (２)设直线l与两坐标轴分别交于A、B 两点,△OAB 内接于圆C,求圆C 的一 般方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５９２􀅰 第一章　直线与圆 [能力提升练] ９．(多选)由方程x２＋y２＋x＋(m－１)y＋ １ ２m ２＝０所确定的圆的面积不能为 (　　) A．３２π B． ３ ４π C．π D．２π １０．若实数x,y满足x２＋y２＋４x－２y－４ ＝０,则 x２＋y２的最大值是 (　　) A．５＋３ B．６ ５＋１４ C．－ ５＋３ D．－６ ５＋１４ １１．已知a∈R,方程a２x２＋(a＋２)y２＋２x ＋８y＋５a＝０表示圆,则圆心坐标是 　　　． １２．已知圆C:x２＋y２－４x－１４y＋４５＝０及点 Q(－２,３)． (１)P(a,a＋１)在圆上,求线段PQ 的 长及直线PQ 的斜率; (２)若 M 为圆C 上任一点,求|MQ|的 最大值和最小值． [素养培优练] １３．(多选)在平面直角坐标系xOy中,已 知点A(－４,０),点B 是圆C:(x－２)２ ＋y２＝４上任一点,点 P 为AB 的中 点,若点M 满足|MA|２＋|MO|２＝５８, 则线段PM 的长度可能为 (　　) A．２　　　B．４　　　C．６　　　D．８ １４．圆C过点A(６,０),B(１,５),且圆心在 直线l:２x－７y＋８＝０上． (１)求圆C的方程; (２)P 为 圆C 上 的 任 意 一 点,定 点 Q(８,０),求线段 PQ 中点 M 的轨迹 方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６９２􀅰 选择性必修第一册 §２　圆与圆的方程 ２．１　圆的标准方程 １．A　[(－２,０)关于原点P(０,０)对称的点为(２,０)．故圆 的方程为(x－２)２＋y２＝５．] ２．A　[圆(x－１)２＋y２＝２５的圆心为 M(１,０)．因为直线 MP 与AB 垂直, 所以kAB＝－ １ kMP ＝－ １０－(－１) １－２ ＝１．又因为直线 AB 过 点P(２,－１), 所以直线AB 方程为y＋１＝x－２,即x－y－３＝０．] ３．D　[因为点(２a,a－１)在圆x２＋(y－１)２＝５的内部,所 以(２a)２＋(a－１－１)２＜５,整理得５a２－４a－１＜０,解得 －１５＜a＜１． ] ４．C　[由y＝ ３６－x２两边平方可化为x２＋y２＝３６(y≥ ０),故表示圆x２＋y２＝３６在x轴上方的半圆．] ５．AD　[根据题意,设圆C２ 的圆心为(a,b), 圆C１:(x＋１)２＋(y－１)２＝４的圆心为(－１,１),半径为 ２,所 以 圆 心 C１ 到 直 线 x－y－１＝０ 的 距 离 d＝ |－１－１－１| ２ ＝３ ２２ ． 若圆C２ 与圆C１ 关于直线x－y－１＝０对称,则圆C１ 与 圆C２ 的圆心关于直线x－y－１＝０对称,且圆C２ 的半 径为２,则有 b－１ a＋１＝－１ , a－１ ２ － b＋１ ２ －１＝０ , ì î í ïï ï 解得 a＝２, b＝－２,{ 则圆C２ 的方程为(x－２)２＋(y＋２)２＝４．] ６．解析:设P(x０,y０),d＝|PB|２＋|PA|２＝x２０＋(y０＋１)２ ＋x２０＋(y０－１)２＝２(x２０＋y２０)＋２．x２０＋y２０ 为圆上任一点 到原点距离的平方,所以(x２０＋y２０)max＝(５＋１)２＝３６,所 以dmax＝７４． 答案:７４ ７．解析:圆(x－２)２＋(y＋３)２＝１６的圆心为(２,－３),设圆 的方程为(x－２)２＋(y＋３)２＝r２,由点P(－１,１)在圆上 可知(－１－２)２＋(１＋３)２＝r２,解得r２＝２５． 故所求圆的方程为(x－２)２＋(y＋３)２＝２５． 答案:(x－２)２＋(y＋３)２＝２５ ８．解:方法一:设圆心坐标为(a,－２a＋３),则圆的半径 r＝ (a－０)２＋(－２a＋３－０)２＝ ５a２－１２a＋９ ＝ ５ a－６５( ) ２ ＋９５． 当a＝６５ 时,rmin＝ ３ ５ ５ ． 故所求圆的方程为 x－６５( ) ２ ＋ y－３５( ) ２ ＝９５． 方法二:易 知 圆 的 半 径 的 最 小 值 就 是原点 O 到 直 线y＝－２x＋３ 的 距离． 如图,此时r＝|０＋０－３| ２２＋１２ ＝３ ５５ ． 设圆心为(a,－２a＋３), 则 (a－０)２＋(－２a＋３－０)２＝３ ５５ , 解得a＝６５ ,从而圆心坐标为 ６ ５ ,３ ５( )． 故所求圆的方程为 x－６５( ) ２ ＋ y－３５( ) ２ ＝９５． ９．A　[如图,设圆心C(x,y), 则 (x－３)２＋(y－４)２ ＝１,化简得(x－３)２＋(y －４)２＝１,所以圆心C 的 轨迹 是 以 M (３,４)为 圆 心,１为半径的圆, 所以|OC|＋１≥|OM|＝ ３２＋４２＝５,所 以|OC| ≥５－１＝４,当 且 仅 当 C 在 线 段 OM 上 时 取 得 等号．] １０．AD　[令x＝０,则y＝４;令y＝０,则x＝２．所以设直线 ２x＋y－４＝０与两坐标轴的交点分别为A(０,４)．B(２, ０)．|AB|＝ ２２＋４２＝２ ５,以A 为圆心,过B 点的圆 的方程为:x２＋(y－４)２＝２０．以B 为圆心,过A 点的圆 的方程为:(x－２)２＋y２＝２０．] １１．解析: (x－１)２＋(y－１)２ 的 几 何 意 义 是 圆 上 的 点 P(x,y)到点(１,１)的距离,因此最大值为 ２＋１． 答案:１＋ ２ １２．解:(１)∵点A 在圆的内部,∴(１－a)２＋(２＋a)２＜２a２, 即２a＋５＜０,解 得 a＜ － ５２． 故 a 的 取 值 范 围 是 －∞,－５２( )． (２)将点A(１,２)坐标代入圆的方程,得(１－a)２＋(２＋ a)２＝２a２,解得a＝－５２ ,故a的值为－５２． (３)∵点A 在圆的外部,∴(１－a)２＋(２＋a)２＞２a２,即 ２a＋５＞０,解得a＞－５２． 故a的取值范围是 －５２ ,＋∞( )． １３．AB　[由已知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆 心角为２π ３ ,设圆心为(０,a),半径为r,则rsin π３＝１ , rcosπ３＝|a| ,解得r＝２ ３ ,即r２＝４３ ,|a|＝ ３３ ,即a＝ ± ３３． 故圆C的方程为x２＋ y± ３３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝４３． ] １４．解析:设C(x,y),AB 的垂直平分线为y＝－x,△ABC 的外心为欧拉线方程为x－y＋２＝０ 与直线y＝－x的交点为M(－１,１),∴|MC|＝|MA| ＝ １０,∴(x＋１)２＋(y－１)２＝１０,① 由A(－４,０),B(０,４),△ABC 重心为(x－４３ ,y＋４ ３ ),代 入欧拉线方程x－y＋２＝０,得x－y－２＝０,②,由①② 可得x＝２,y＝０或x＝０,y＝－２． 答案:(２,０)或(０,－２) ２．２　圆的一般方程 １．D　[由题意得,－D２＝－２ ,－E２＝３ ,１ ２ D ２＋E２－４F ＝４,解得D＝４,E＝－６,F＝－３．] ２．D　[易知圆C的半径为 １３,所以圆C的标准方程为(x －２)２＋(y＋３)２＝１３,展开得一般方程为x２＋y２－４x＋ ６y＝０．] ３．B　[原 方 程 化 为 (x＋ ２)２ ＋ (y－ ２)２ ＝４,表 示 以 (－ ２,２)为圆心,半径长为２的圆．又圆过原点,故原 点与圆心的连线方程为y＝－x,圆关于此直线轴对称, 故应选B．] ４．A　[由题意知圆心为(－a,－a),则圆心都在直线y＝ x上．] ５．D　[圆C的标准方程为(x－２)２＋(y－m)２＝m２－２m＋ ４,从而对于圆C的半径r有r２＝m２－２m＋４＝(m－１)２ ＋３≥３,所以 m＝１时,r２ 取得最小值,从而圆C 的面积 πr２ 在m＝１时取得最小值．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７８３􀅰 参考答案 ６．解析:设动圆圆心为(x,y),由题意得 x＝４m＋２２ ＝２m＋１ , y＝２m２ ＝m , ì î í ïï ï 整理得x－２y－１＝０． 答案:x－２y－１＝０ ７．解析:因为x２＋y２＋２x－３＝０,所以(x＋１)２＋y２＝４,所 以半径为２． 答案:２ ８．解:(１)设直线l的方程为y＝kx－２． ∵直线x－２y－１＝０的斜率为 １２ ,所以直线l的斜率k ＝－２．则直线l的方程为y＝－２x－２． (２)设圆C的一般方程为x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０(D２ ＋E２－４F＞０)． 由于△OAB 是直角三角形, 所以圆C的圆心C 是线段AB 的中点,半径为１２|AB| ; 由A(－１,０),B(０,－２)得C －１２ ,－１( ) ,|AB|＝ ５; 故 －D２＝－ １ ２ －E２＝－１ １ ２ D ２＋E２－４F＝１２ ５ ì î í ï ïï ï ï ,解得D＝１,E＝２,F＝０． 则圆C的一般方程为:x２＋y２＋x＋２y＝０． ９．ACD　 [所 给 圆 的 半 径 为r＝ １＋ (m－１)２－２m２ ２ ＝ １ ２ － (m＋１)２＋３． 所以当m＝－１时,半径r取最大值 ３２ ,此时最大面积是 ３ ４π． ] １０．A　[∵x２＋y２＋４x－２y－４＝０,∴(x＋２)２＋(y－１)２ ＝３２ 表示以C(－２,１)为圆心,３为半径的圆． ∵ x２＋y２＝ (x－０)２＋(y－０)２∴ x２＋y２表示以 圆C上的任意一点P(x,y)到O(０,０)两点间距离, ∴ x２＋y２的最大值即为|CO|＋r ＝ (－２－０)２＋(１－０)２＋３＝ ５＋３．] １１．解析:方程a２x２＋(a＋２)y２＋２x＋８y＋５a＝０表示圆, 所以a２＝a＋２≠０,解得a＝－１或a＝２, 当a＝－１时,方程x２＋y２＋２x＋８y－５＝０,配方可得 (x＋１)２＋(y＋４)２＝２２,所得圆的圆心坐标为(－１,－４); 当a＝２时,方程４x２＋４y２＋２x＋８y＋１０＝０,即x２＋y２＋ １ ２x＋２y＋ ５ ２＝０ ,此时 １ ２( ) ２ ＋２２－４×５２＝－ ２３ ４＜０ ,方 程不表示圆．综上所述,圆心坐标是(－１,－４)． 答案:(－１,－４) １２．解:(１)∵点P(a,a＋１)在圆上, ∴a２＋(a＋１)２－４a－１４(a＋１)＋４５＝０, ∴a＝４,P(４,５), ∴|PQ|＝ (４＋２)２＋(５－３)２＝２ １０,kPQ ＝ ３－５ －２－４ ＝１３． (２)∵圆心C坐标为(２,７), ∴|QC|＝ (２＋２)２＋(７－３)２＝４ ２, 圆的半径是２ ２,点Q 在圆外, ∴|MQ|max＝４ ２＋２ ２＝６ ２, |MQ|min＝４ ２－２ ２＝２ ２． １３．BC　[设P(x,y),点P 为AB 的中点,所以B(２x＋４, ２y),代入圆C:(x－２)２＋y２＝４, 可得:(２x＋４－２)２＋(２y)２＝４,整理得:点P 的轨迹方 程为:(x＋１)２＋y２＝１． 设 M(x,y),则(x＋４)２＋y２＋x２＋y２＝５８,∴(x＋２)２ ＋y２＝２５,则易知当两圆心和PM 共线时取得最大值 和最小值即３≤|PM|≤７．] １４．解:(１)方法一:直线AB 的斜率k＝５－０１－６＝－１ , 所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为１． 又线段AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为x＝６＋１２ ＝７２ ,y＝０＋５２ ＝ ５ ２ , 所以直线m 的方程为y－５２＝x－ ７ ２ ,即x－y－１＝０． 又圆心 在 直 线l上,所 以 圆 心 是 直 线 m 与 直 线l 的 交点． 联立方程组 x－y－１＝０, ２x－７y＋８＝０,{ 解得 x＝３, y＝２,{ 所以圆心坐标为C(３,２)．又半径r＝|CA|＝ １３, 则所求圆的方程是(x－３)２＋(y－２)２＝１３． 方法二　设所求圆的方程为(x－a)２＋(y－b)２＝r２． 由题意得 (６－a)２＋(０－b)２＝r２, (１－a)２＋(５－b)２＝r２, ２a－７b＋８＝０, { 解得 a＝３, b＝２, r２＝１３, { 所以所求圆的方程是(x－３)２＋(y－２)２＝１３． (２)设线段PQ 的中点M(x,y),P(x０,y０), 则 x０＋８ ２ ＝x , y０＋０ ２ ＝y , ì î í ïï ï 解得 x０＝２x－８, y０＝２y,{ 将P(２x－８,２y)代入 圆C中,得(２x－８－３)２＋(２y－２)２＝１３,即线段PQ 中 点M 的轨迹方程为 x－１１２( ) ２ ＋(y－１)２＝１３４． ２．３　直线与圆的位置关系 １．AB　[根据直线与圆位置关系的确定,有一个公共点时 相切,有两个公共点时相交．] ２．C　[圆的方程为(x－１)２＋y２＝３ ,圆心(１,０)到直线的 距离等于半径⇒|３＋m| ３＋１ ＝ ３⇒|３＋m|＝２ ３⇒m＝ ３或m＝－３ ３．] ３．D　[依题意可知直线过圆心(１,－２),即３＋２a－１１＝０, a＝４． 故 a ４ ,－a４( )＝(１,－１)．圆方程配方得(x－１) ２＋ (y＋２)２＝５,(１,－１)与圆心距离为１,故弦长为２ ５－１ ＝４．] ４．B　[圆 心(－１,１),r＝ ２－a,设 圆 心 到 直 线 的 距 离 为d, ∴d＝ r２－ ４２( ) ２ ＝ (２－a)－４＝ －２－a,d＝ |－１＋１＋２| １＋１ ＝ ２,∴ －２－a＝ ２,∴a＝－４．] ５．BC　[由题意知直线l的斜率必存在,设为k,则l的方 程为y＝k(x－３),即kx－y－３k＝０,圆心C(１,０)．半径 r＝１．直线与圆有 公 共 点,需|k－３k| k２＋１ ≤１,所 以|２k|≤ k２＋１,得k２≤１３ ,所以－ ３３≤k≤ ３ ３ ,对照选项知B,C 适合．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８８３􀅰 选择性必修第一册