第一章 2.1 圆的标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　　§２　圆与圆的方程 　　　２．１　圆的标准方程 [基础达标练] １．圆(x＋２)２＋y２＝５关于原点P(０,０)对 称的圆的方程为 (　　) A．(x－２)２＋y２＝５ B．x２＋(y－２)２＝５ C．(x＋２)２＋(y＋２)２＝５ D．x２＋(y＋２)２＝５ ２．若P(２,－１)为圆(x－１)２＋y２＝２５的 弦AB 的中点,则直线AB 的方程是 (　　) A．x－y－３＝０ B．２x＋y－３＝０ C．x＋y－１＝０ D．２x－y－５＝０ ３．点(２a,a－１)在圆x２＋(y－１)２＝５的 内部,则a的取值范围是 (　　) A．(－１,１) B．(０,１) C．－１,１５ æ è ç ö ø ÷ D．－１５ ,１ æ è ç ö ø ÷ ４．方程y＝ ３６－x２表示的曲线是 (　　) A．一个圆 B．两条射线 C．半个圆 D．一条射线 ５．(多选)已知圆C１:(x＋１)２＋(y－１)２＝ ４,圆C２ 与圆C１ 关于直线x－y－１＝０ 对称,则 (　　) A．圆心C１ 到直线x－y－１＝０的距离 为３ ２ ２ B．圆心C１ 到直线x－y－１＝０的距离 为 ２ ２ C．圆C２ 的方程为(x＋２)２＋(y－２)２ ＝４ D．圆C２ 的方程为(x－２)２＋(y＋２)２ ＝４ ６．已知圆C:(x－３)２＋(y－４)２＝１,设点P 是圆C上的动点．记d＝|PB|２＋|PA|２, 其中A(０,１),B(０,－１),则d 的最大值 为　　　　． ７．与圆(x－２)２＋(y＋３)２＝１６同心且过 点P(－１,１)的圆的方程是　　　　． ８．若圆C 经过坐标原点,且圆心在直线y ＝－２x＋３上运动,求当半径最小时圆 的方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３９２􀅰 第一章　直线与圆 [能力提升练] ９．已知半径为１的圆经过点(３,４),则其 圆心到原点的距离的最小值为 (　　) A．４　　　B．５　　　C．６　　　D．７ １０．(多选)以直线２x＋y－４＝０与两坐标 轴的一个交点为圆心,过另一个交点 的圆的方程可能为 (　　) A．x２＋(y－４)２＝２０ B．(x－４)２＋y２＝２０ C．x２＋(y－２)２＝２０ D．(x－２)２＋y２＝２０ １１．已知点P(x,y)在圆x２＋y２＝１上,则 (x－１)２＋(y－１)２的最大值为　　　　． １２．已知点A(１,２)和圆C:(x－a)２＋(y＋ a)２＝２a２,试分别求满足下列条件的实 数a的取值范围: (１)点A 在圆的内部; (２)点A 在圆上; (３)点A 在圆的外部． [素养培优练] １３．(多选)已知圆C 关于y 轴对称,经过 点(１,０)且被x轴分成两段,弧长比为 １∶２,则圆C的方程为 (　　) A．x２＋ y＋ ３３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝４３ B．x２＋ y－ ３３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝４３ C．(x－ ３)２＋y２＝４３ D．(x＋ ３)２＋y２＝４３ １４．瑞士数学家欧拉(LeonhardEuler)１７６５ 年在其所著的«三角形的几何学»一书 中提出:任意三角形的外心、重心、垂心 在同一条直线上,后人称这条直线为欧 拉线．已知△ABC 的顶点 A(－４,０), B(０,４),其欧拉线方程为x－y＋２＝ ０,则顶点C的坐标可以是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４９２􀅰 选择性必修第一册 §２　圆与圆的方程 ２．１　圆的标准方程 １．A　[(－２,０)关于原点P(０,０)对称的点为(２,０)．故圆 的方程为(x－２)２＋y２＝５．] ２．A　[圆(x－１)２＋y２＝２５的圆心为 M(１,０)．因为直线 MP 与AB 垂直, 所以kAB＝－ １ kMP ＝－ １０－(－１) １－２ ＝１．又因为直线 AB 过 点P(２,－１), 所以直线AB 方程为y＋１＝x－２,即x－y－３＝０．] ３．D　[因为点(２a,a－１)在圆x２＋(y－１)２＝５的内部,所 以(２a)２＋(a－１－１)２＜５,整理得５a２－４a－１＜０,解得 －１５＜a＜１． ] ４．C　[由y＝ ３６－x２两边平方可化为x２＋y２＝３６(y≥ ０),故表示圆x２＋y２＝３６在x轴上方的半圆．] ５．AD　[根据题意,设圆C２ 的圆心为(a,b), 圆C１:(x＋１)２＋(y－１)２＝４的圆心为(－１,１),半径为 ２,所 以 圆 心 C１ 到 直 线 x－y－１＝０ 的 距 离 d＝ |－１－１－１| ２ ＝３ ２２ ． 若圆C２ 与圆C１ 关于直线x－y－１＝０对称,则圆C１ 与 圆C２ 的圆心关于直线x－y－１＝０对称,且圆C２ 的半 径为２,则有 b－１ a＋１＝－１ , a－１ ２ － b＋１ ２ －１＝０ , ì î í ïï ï 解得 a＝２, b＝－２,{ 则圆C２ 的方程为(x－２)２＋(y＋２)２＝４．] ６．解析:设P(x０,y０),d＝|PB|２＋|PA|２＝x２０＋(y０＋１)２ ＋x２０＋(y０－１)２＝２(x２０＋y２０)＋２．x２０＋y２０ 为圆上任一点 到原点距离的平方,所以(x２０＋y２０)max＝(５＋１)２＝３６,所 以dmax＝７４． 答案:７４ ７．解析:圆(x－２)２＋(y＋３)２＝１６的圆心为(２,－３),设圆 的方程为(x－２)２＋(y＋３)２＝r２,由点P(－１,１)在圆上 可知(－１－２)２＋(１＋３)２＝r２,解得r２＝２５． 故所求圆的方程为(x－２)２＋(y＋３)２＝２５． 答案:(x－２)２＋(y＋３)２＝２５ ８．解:方法一:设圆心坐标为(a,－２a＋３),则圆的半径 r＝ (a－０)２＋(－２a＋３－０)２＝ ５a２－１２a＋９ ＝ ５ a－６５( ) ２ ＋９５． 当a＝６５ 时,rmin＝ ３ ５ ５ ． 故所求圆的方程为 x－６５( ) ２ ＋ y－３５( ) ２ ＝９５． 方法二:易 知 圆 的 半 径 的 最 小 值 就 是原点 O 到 直 线y＝－２x＋３ 的 距离． 如图,此时r＝|０＋０－３| ２２＋１２ ＝３ ５５ ． 设圆心为(a,－２a＋３), 则 (a－０)２＋(－２a＋３－０)２＝３ ５５ , 解得a＝６５ ,从而圆心坐标为 ６ ５ ,３ ５( )． 故所求圆的方程为 x－６５( ) ２ ＋ y－３５( ) ２ ＝９５． ９．A　[如图,设圆心C(x,y), 则 (x－３)２＋(y－４)２ ＝１,化简得(x－３)２＋(y －４)２＝１,所以圆心C 的 轨迹 是 以 M (３,４)为 圆 心,１为半径的圆, 所以|OC|＋１≥|OM|＝ ３２＋４２＝５,所 以|OC| ≥５－１＝４,当 且 仅 当 C 在 线 段 OM 上 时 取 得 等号．] １０．AD　[令x＝０,则y＝４;令y＝０,则x＝２．所以设直线 ２x＋y－４＝０与两坐标轴的交点分别为A(０,４)．B(２, ０)．|AB|＝ ２２＋４２＝２ ５,以A 为圆心,过B 点的圆 的方程为:x２＋(y－４)２＝２０．以B 为圆心,过A 点的圆 的方程为:(x－２)２＋y２＝２０．] １１．解析: (x－１)２＋(y－１)２ 的 几 何 意 义 是 圆 上 的 点 P(x,y)到点(１,１)的距离,因此最大值为 ２＋１． 答案:１＋ ２ １２．解:(１)∵点A 在圆的内部,∴(１－a)２＋(２＋a)２＜２a２, 即２a＋５＜０,解 得 a＜ － ５２． 故 a 的 取 值 范 围 是 －∞,－５２( )． (２)将点A(１,２)坐标代入圆的方程,得(１－a)２＋(２＋ a)２＝２a２,解得a＝－５２ ,故a的值为－５２． (３)∵点A 在圆的外部,∴(１－a)２＋(２＋a)２＞２a２,即 ２a＋５＞０,解得a＞－５２． 故a的取值范围是 －５２ ,＋∞( )． １３．AB　[由已知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆 心角为２π ３ ,设圆心为(０,a),半径为r,则rsin π３＝１ , rcosπ３＝|a| ,解得r＝２ ３ ,即r２＝４３ ,|a|＝ ３３ ,即a＝ ± ３３． 故圆C的方程为x２＋ y± ３３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝４３． ] １４．解析:设C(x,y),AB 的垂直平分线为y＝－x,△ABC 的外心为欧拉线方程为x－y＋２＝０ 与直线y＝－x的交点为M(－１,１),∴|MC|＝|MA| ＝ １０,∴(x＋１)２＋(y－１)２＝１０,① 由A(－４,０),B(０,４),△ABC 重心为(x－４３ ,y＋４ ３ ),代 入欧拉线方程x－y＋２＝０,得x－y－２＝０,②,由①② 可得x＝２,y＝０或x＝０,y＝－２． 答案:(２,０)或(０,－２) ２．２　圆的一般方程 １．D　[由题意得,－D２＝－２ ,－E２＝３ ,１ ２ D ２＋E２－４F ＝４,解得D＝４,E＝－６,F＝－３．] ２．D　[易知圆C的半径为 １３,所以圆C的标准方程为(x －２)２＋(y＋３)２＝１３,展开得一般方程为x２＋y２－４x＋ ６y＝０．] ３．B　[原 方 程 化 为 (x＋ ２)２ ＋ (y－ ２)２ ＝４,表 示 以 (－ ２,２)为圆心,半径长为２的圆．又圆过原点,故原 点与圆心的连线方程为y＝－x,圆关于此直线轴对称, 故应选B．] ４．A　[由题意知圆心为(－a,－a),则圆心都在直线y＝ x上．] ５．D　[圆C的标准方程为(x－２)２＋(y－m)２＝m２－２m＋ ４,从而对于圆C的半径r有r２＝m２－２m＋４＝(m－１)２ ＋３≥３,所以 m＝１时,r２ 取得最小值,从而圆C 的面积 πr２ 在m＝１时取得最小值．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７８３􀅰 参考答案