第一章 1.3 第2课时 直线方程的两点式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

tanα＝ ３,可得直线倾斜角为６０°,故 C正确;对于 D,由 ３x－y－１＝０,可得y＝ ３x－１,直线在y 轴上的截距 为－１,故 D不正确．] ４．D　[因为AO＝AB,所以直线AB 的斜率与直线AO 的 斜率互为相反数,所以kAB ＝－kOA ＝－３,所以直线 AB 的点斜式方程为y－３＝－３(x－１)．] ５．AB　[∵a≠０,∴C错;当a＞０时,１a＞０ ,即直线的倾斜 角为锐角,且在y轴上的截距大于０,故 A 可能;当a＜０ 时,１ a＜０ ,即直线的倾斜角为钝角,且在y 轴上的截距 小于０,故B可能,D不可能．] ６．解析:设直线x－３y＋４＝０的倾斜角为α,由题意知α为 锐角,且tanα＝１３ 则所 求 直 线 的 倾 斜 角 为 α＋４５°,则 tan(α＋４５°)＝ １＋tanα １－tanα＝２ , 则所求直线方程为y＋１＝２(x－２),即y＝２x－５． 答案:y＝２x－５ ７．解析:直线y＝３２x 的斜率为 ３ ２ ,又所求直线过点(－４, ３),故点斜式方程为y－３＝ ３２ (x＋４)．斜截式方程是y ＝３２x＋９． ] 答案:y－３＝３２ (x＋４)　y＝３２ x＋９ ８．解:设直线l的方程为y＝－x＋b,则它与两个坐标轴的 交点为A(b,０)和B(０,b),所以围成的三角形的两个直 角边长都为|b|, 故其面积为１ ２b ２,由１ ２b ２＝１２ ,解得b＝±１, 故所求直线的方程为y＝－x＋１或y＝－x－１． ９．AB　[y＝ax－３a＋２(a∈R)可化为y－２＝a(x－３),则 直线y＝ax－３a＋２(a∈R)必过定点(３,２),故 A 正确; 令x＝０,则y＝－２,即直线y＝３x－２在y轴上的截距 为－２,故B正确;３x＋y＋１＝０可化为y＝－ ３x－１, 则该直线的斜率为－ ３,即倾斜角为１２０°,故 C错误;对 于 D项,该方程不能表示过点P 且垂直于x 轴的直线, 即点斜式只能表示斜率存在的直线,所以 D项不正确．] １０．B　[∵ 直线l的方程为y＋１＝２(x＋５２ ),∴直线的斜 率为２,在y轴上的截距为４,即a＝２,b＝４,∴logab＝ log２４＝２．] １１．解析:设直线l在y 轴上的截距为b,则由已知得 １ ２×|－２|×|b|＝１０ ,b＝±１０． ①当b＝１０ 时,直 线 过 点 (－２,０),(０,１０),斜 率k＝ １０－０ ０－(－２)＝５． 故直线的斜截式方程为y＝５x＋１０． ②当b＝－１０时,直线过点(－２,０),(０,－１０),斜率k ＝ －１０－００－(－２)＝－５． 故直线的斜截式方程为y＝－５x－１０． 综合①②可知,直线l的方程为y＝５x＋１０或y＝－５x －１０． 答案:y＝５x＋１０或y＝－５x－１０． １２．解:(１) 倾斜角为４５°; (２) 倾斜角为０°; (３) 倾斜角为１５０°; (４) 倾斜角为９０°． １３．解析:令y＝０,则x＝－２k．令x＝０,则y＝k, 则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝１２|k| 􀅰 |－２k|＝k２． 由题意知,三角形的面积不小于１,可得k２≥１, 所以k的范围是k≥１或k≤－１． 答案:k≥１或k≤－１ １４．解:(１)证明:证法一:直线l的方程可化为y＝k(x＋２) ＋１, 故无论k取何值,直线l总过定点(－２,１)． 证法二:设直线l过定点(x０,y０),则kx０－y０＋１＋２k＝ ０对任意k∈R 恒成立,即(x０＋２)k－y０＋１＝０恒成 立,∴x０＋２＝０,－y０＋１＝０, 解得x０＝－２,y０＝１,故直线l总过定点(－２,１)． (２)直线l的方程为y＝kx＋２k＋１,则直线l在y 轴上 的截距为２k＋１, 要使直线l不经过第四象限,则 k≥０ , ２k＋１≥０,{ 解得k的取值范围是[０,＋∞)． (３)依题意,直线l在x 轴上的截距为－１＋２kk ,在y轴 上的截距为１＋２k,∴A －１＋２kk ,０( ) ,B(０,１＋２k)．又 －１＋２kk ＜０ 且１＋２k＞０,∴k＞０． 故S＝１２|OA||OB|＝ １ ２× １＋２k k (１＋２k) ＝１２ ４k＋ １ k＋４( ) ≥ １ ２ (４＋４)＝４, 当且仅当４k＝１k ,即k＝１２ 时,等号成立． 故S的最小值为４,此时直线l的方程为x－２y＋４＝０． 第２课时　直线方程的两点式 １．D　[将方程变形为x２＋ y －３＝１ ,所以直线在x 轴、y轴 上的截距分别为２,－３．] ２．A　 [由 直 线 的 两 点 式 方 程 为 y－０－３－０＝ x－(－５) ３－(－５) 可 得 出:y＝－３８x－ １５ ８． 所以直线的斜率为－３８． ] ３．C　[直线l的两点式方程为y－ (－１) ５－(－１)＝ x－(－１) ２－(－１) ,化简 得y＝２x＋１,将x＝１０１１代入,得b＝２０２３．] ４．AC　[由题意设直线方程为xa ＋ y a ＝１ 或x a ＋ y －a＝１ , 把点(２,１)代入直线方程得２a＋ １ a＝１ 或２ a＋ １ －a＝１ , 解得a＝３或a＝１,∴所求直线的方程为x３＋ y ３＝１ 或 x １＋ y －１＝１ ,即x＋y－３＝０或x－y－１＝０．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０８３􀅰 选择性必修第一册 ５．ABC　[经过定点P(x０,y０)且斜率存在的直线才可用方 程y－y０＝k(x－x０)表示,所以 A错; 不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方 程x a ＋ y b ＝１ 表示,所以B错;经过定点A(０,b)且斜率 存在的直线才可用方程y＝kx＋b表示,所以 C错;当x１ ≠x２ 时,经过点P(x１,y１),Q(x２,y２)的直线可以用方程 y－y１＝ y２－y１ x２－x１ (x－x１),即(x２－x１)􀅰(y－y１)＝(y２－ y１)(x－x１)表 示,当 x１ ＝x２ 时,经 过 点 P(x１,y１), Q(x２,y２)的直线可以用方程x＝x１,即(x２－x１)􀅰(y－ y１)＝(y２－y１)(x－x１)表示,因此经过任意两个不同的 点P(x１,y１),Q(x２,y２)的直线都可以用方程(x２－x１) 􀅰(y－y１)＝(y２－y１)(x－x１)表示,所以 D对．] ６．解析:由截距式得直线方程为x３＋ y ２＝１ ,即２x＋３y＝ ６,所以４x􀅰８y＝２２x􀅰２３y＝２２x＋３y＝２６＝６４． 答案:６４ ７．解析:由直线方程的两点式,得过(－１,１)和(３,９)两点 的直线方程为y－１ ９－１＝ x－(－１) ３－(－１) ,整理得２x－y＋３＝０． 取y＝０,得x＝－３２．∴ 过(－１,１)和(３,９)两点的直线 在x轴上的截距是－３２． 答案:－３２ ８．解:(１)∵直线l过点P(４,１),Q(－１,６), ∴直线l的方程为y－１６－１＝ x－４ －１－４ ,即x＋y－５＝０． (２)由题意知,直线l的斜率存在且不为０,所以设直线l 的斜率为k,则其方程为y－１＝k(x－４)． 令x＝０,得y＝１－４k;令y＝０,得x＝４－１k． ∴１－４k＝２ ４－１k( ) ,解得k＝ １ ４ 或k＝－２． ∴ 直 线 l 的 方 程 为 y －１＝ １４ (x－４)或 y－１ ＝－２(x－４), 即x－４y＝０或２x＋y－９＝０． ９．B　[两直线的方程分别化为y＝nmx－n ,y＝mnx－m , 易知两直线的斜率符号相同．] １０．AB　[A中直线在坐标轴上的截距分别为２,－２,所以 围成三角形的面积是２正确,B中(０＋１２ ,２＋１ ２ )在直线 y＝x＋１上,且(０,２),(１,１)连线的斜率为－１,所以 B 正确,C选项需要条件y２≠y１,x２≠x１,故错误,D 选项 错误,还有一条截距都为０的直线y＝x．] １１．解析:由题意,设直线l的方程为xa ＋ y b ＝１ (a＞０,b＞０), 因为直线l过点P(１,３),所以１a＋ ３ b＝１．① 因为直线l与x 轴、y轴正半轴围成的三角形面积等于 ６,所以１２ab＝６．② 解①②可得a＝２,b＝６,所以l的方程为x２＋ y ６＝１ ,即 ３x＋y－６＝０． 答案:３x＋y－６＝０ １２．解:设直线方程为xa ＋ y b ＝１ (a＞０,b＞０), 若满足条件(１),则a＋b＋ a２＋b２＝１２．　 ① 又∵直线过点P(４３ ,２),∴４３a＋ ２ b＝１．　② 由①②可得５a２－３２a＋４８＝０, 解得 a＝４, b＝３,{ 或 a＝１２５ , b＝９２． ì î í ïï ï ∴所求直线的方程为x４＋ y ３＝１ 或５x １２＋ ２y ９＝１ , 即３x＋４y－１２＝０或１５x＋８y－３６＝０． 若满足条件(２),则ab＝１２,③ 由题意得４ ３a＋ ２ b＝１ ,④ 由③④整理得a２－６a＋８＝０, 解得 a＝４, b＝３,{ 或 a＝２, b＝６,{ ∴所求直线的方程为x４＋ y ３＝１ 或x ２＋ y ６ ＝１ ,即３x ＋４y－１２＝０或３x＋y－６＝０． 综上所述,存在同时满足(１)(２)两个条件的直线方程 为３x＋４y－１２＝０． １３．D　[线段AB 的方程为x３＋ y ４＝１ (０≤x≤３),于是y ＝４(１－x３ )(０≤x≤３),从而xy＝４x(１－x３ )＝－ ４３ (x－３２ )２＋３,显然当x＝３２∈ [０,３]时,xy取最大值为 ３;当x＝０或３时,xy取最小值０．] １４．解析:(１)①当直线l经过坐标原点时,可得a＋２＝０, 解得a＝－２． 所以直线l的方程为－x＋y＝０,即x－y＝０; ②当直线l不经过坐标原点,即a≠－２且a≠－１时, 由条件得a＋２ a＋１＝a＋２ ,解得a＝０,所以直线l的方程为 x＋y－２＝０． 综上可得直线l的方程为x－y＝０或x＋y－２＝０． (２)在(a＋１)x＋y－２－a＝０(a＞－１)中, 令x＝０,得y＝a＋２;令y＝０,得x＝a＋２a＋１． 所以 M(a＋２a＋１ ,０),N(０,a＋２)． 由于a＞－１,得a＋２＞a＋１＞０． 所以S△OMN ＝ １ ２ 􀅰a＋２ a＋１ 􀅰(a＋２)＝１２ 􀅰(a＋２) ２ a＋１ ＝１２ 􀅰(a＋１) ２＋２(a＋１)＋１ a＋１ ＝１２ [(a＋１)＋ １a＋１＋２ ]≥ １ ２ ２ (a＋１)􀅰 １ a＋１＋２[ ]＝２． 当且仅当a＋１＝ １a＋１ ,即a＝０时等号成立．此时直线l 的方程为x＋y－２＝０． 答案:(１)x－y＝０或x＋y－２＝０　(２)x＋y－２＝０ 第３课时　直线方程的一般式 第４课时　直线方程的点法式 １．C　[当方程不表示直线时, 得 a２－a－２＝０, ２－a＝０,{ 即a＝２．∴当a≠２时,表示直线．] ２．C　[由题意得,直线 Ax＋By＋C＝０,即y＝－ABx－ C B ,直线经过第一、三、四象限,所以－AB ＞０ ,－CB ＜０ , 即AB＜０,BC＞０．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１８３􀅰 参考答案 　　　　　　　第２课时　直线方程的两点式 [基础达标练] １．直线－x２＋ y ３＝－１ 在x轴、y轴上的截 距分别为 (　　) A．２,３ B．－２,３ C．－２,－３ D．２,－３ ２．已知直线l的两点式方程为 y－０－３－０＝ x－(－５) ３－(－５) ,则l的斜率为 (　　) A．－３８　　B． ３ ８　　C．－ ３ ２　　D． ３ ２ ３．直 线l 过 点(－１,－１)和(２,５),点 (１０１１,b)在直线l上,则b的值为 (　　) A．２０２１ B．２０２２ C．２０２３ D．２０２４ ４．(多选)经过点(２,１),且与两坐标轴围 成等腰直角三角形的直线方程可以是 (　　) A．x＋y－３＝０ B．x＋y＋３＝０ C．x－y－１＝０ D．x－y＋１＝０ ５．(多选)下面说法错误 的是 (　　) A．经过定点P(x０,y０)的直线都可以用 方程y－y０＝k(x－x０)表示 B．不经过原点的直线都可以用方程xa ＋yb＝１ 表示 C．经过定点A(０,b)的直线都可以用方 程y＝kx＋b表示 D．经过任意两个不同的点P(x１,y１),Q (x２,y２)的直线都可以用方程(x２－ x１)􀅰(y－y１)＝(y２－y１)(x－x１) 表示 ６．已知点P(x,y)在经过A(３,０),B(０,２) 两 点 的 直 线 上,则 ４x 􀅰８y 的 值 是 　　　　． ７．过(－１,１)和(３,９)两点的直线在x 轴 上的截距是　　　　． ８．已知直线l过点P(４,１)． (１)若直线l过点Q(－１,６),求直线l 的方程; (２)若直线l在y 轴上的截距是在x 轴 上的截距的２倍,求直线l的方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８２􀅰 第一章　直线与圆 [能力提升练] ９．两条直线xm－ y n＝１ 与x n－ y m＝１ 在同 一平 面 直 角 坐 标 系 中 的 图 象 是 下 图 中的 (　　) １０．(多选)下列说法正确的是 (　　) A．直线x－y－２＝０与两坐标轴围成 的三角形的面积是２ B．点(０,２)关于直线y＝x＋１的对称 点为(１,１) C．过(x１,y１),(x２,y２)两点的直线方 程为y－y１ y２－y１ ＝ x－x１ x２－x１ D．经过点(１,１)且在x轴和y 轴上截 距都相等的直线方程为x＋y－２ ＝０ １１．过点P(１,３),且与x轴、y轴正半轴围 成的三角形的面积等于６的直线l的 方程为　　　　　　　　　　　　． １２．直线过点P(４３ ,２)且与x轴、y轴的正 半轴分别交于A,B 两点,O 为坐标原 点,是否存在这样的直线同时满足下 列条件: (１)△AOB 的周长为１２; (２)△AOB 的面积为６． 若存在,求出直线的方程;若不存在, 请说明理由． [素养培优练] １３．已知两点A(３,０),B(０,４),动点P(x, y)在线段AB 上运动,则xy (　　) A．无最小值,且无最大值 B．无最小值,但有最大值 C．有最小值,但无最大值 D．有最小值,且有最大值 １４．设直线l的方程为(a＋１)x＋y－２－a＝０ (a∈R)． (１)若直线l在两坐标轴上的截距相等, 则直线l的方程为　　　　　　　　; (２)若a＞－１,直线l与x、y轴分别交 于 M、N 两 点,O 为 坐 标 原 点,则 △OMN 的面积取最小值时,直线l对 应的方程为　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４８２􀅰 选择性必修第一册