第十六章 “牛吃草”问题-2025年小升初数学必刷奥数题500题

答：当乙到达终点时将比丙领先12米。 13.甲乙速度比80：60=4：3 44 第一次相遇，甲行全程的4+3=7 第二次相遇，甲行企程的}-（专-》）=号 3 甲行的时间，乙行了号4×38 甲休息的7分钟，乙行了1-号-器=号 即甲休息的7分钟乙行了全程的好， 乙7分钟行驶的路程为：7×60=420（米） 总路程为：420×4=1680（米） 答：A,B两点相距1680米。 14.根据分析可得，10÷5=2（米/秒） 乙：2×15÷10=3（米/秒），甲：3+2=5（米/秒） 答：甲每秒跑5米，乙每秒跑2米。 15.火车行驶42秒，行驶距离为68米及车长，所以火 车速度为(520+68)÷42=14米/秒， 57.6千米/时=16米/秒， 35秒两车相错，即35秒内两车共同行走的行程 为两车车长， 设另一火车车长为x米，则(x+520)÷(14+16) =35, 解出x=530米. 答：这列火车长为530米。 16.设甲乙速度分别为V,V乙e Vm+Vz=1836÷9=204(米/分) 甲乙都增速6米/分后，二人中途相遇所需时间： 1836÷(V甲+6+V,+6)=1836÷(204+12) =1836÷216=8.5(分) 则V▣×9=(V甲+6)×8.5+9 解得Vm=(8.5×6+9)÷(9-8.5)=60÷0.5= 120(米/分) Vz=204-120=84(米/分)》 答：甲每分钟行120米，乙每分钟行84米。 第十六章“牛吃草”问题 【同步精练】 1.假设1头牛吃草量为1份。 每周长出新草：(23×9-27×6)÷(9-6)=15， 原有草：27×6-15×6=72， 假设有15头牛专吃新长出的草。 参考答案 原有的草被吃完周数为： 72÷(21-15)=72÷6=12(周)： 答：可供21头牛吃12周。 2.设1头牛1天的吃草量为“1”，60只羊的吃草量 等于15头牛的吃草量，88只羊的吃草量等于22 头牛的吃草量，所以草的生长速度为(15×24-20 ×12)÷(24-12)=10,原有草量为(20-10)× 12=120,12头牛与88只羊一起吃可以吃120÷ (12+22-10)=5(天)。 将牛换成羊，每天长(60×24-80×12)÷(24 12)=40份，原有草80÷12-40×12=480份，12 ×4+88=136只羊，可以吃480-(136-40)= 5天。 答：一起可以吃5天。 3.青草每天减少：(25×4-16×6)÷(6-4)=2 (份) 牛吃草前牧场有草：25×4+2×4=108（份） 12天吃完需要牛的数量为： (108-12×2)÷12=7(头) 答：可供7头牛吃12天。 4.设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速 度是 (21×12-23×9)÷(12-9)=15, 原有的野果为(23-15)×9=72， 如果要4周吃光野果，则需有72÷4+15=33只猴 子一起吃。 【好题精练】 1.设每头牛每周吃“1”份草，则 23×9-27×6=45(份) 45÷(9-6)=15 23×9-15×9=72(份) 72÷(21×1-15)=12(周) 答：这片草地可供21头牛吃12周。 2.设每头牛每天的吃草量为1，则每公顷10天的总 草量为：11×10÷5=22： 每公顷14天的总草量为：12×14÷6=28： 那么每公顷每天的新生长草量为(28-22)÷(14 -10)=1.5; 每公顷原有草量为：22-1.5×10=7： 那么8公顷原有草量为：7×8=56： 8公顷每天要长草量：1.5×8=12； 8公顷的草地可供19头牛吃的天数： 23 【小升初数学必刷奥数题500题 56÷(19-12)=8(天) 答：第三块草地可供19头牛吃8天。 3.(20×5-15×6+20)×5 =30×5 =150(分米) =15(米) 答：井深15米。 4.设一部抽水机1小时的抽水量为1份。 泉水每小时涌出的量为： (10×20-15×10)÷(20-10)=5(份)， 原有的泉水量为：10×20-5×20=100（份）， 所以，泉水每小时涌出量用5部抽水机去抽，剩下 的就抽原有的泉水了。 100÷(25-5)=5(小时)。 答：用25部这样的抽水机5小时可以把水抽干。 5.100×100=10000(份) 80×300=24000(份) 24000-10000=14000(份) 14000÷200=70(亿人)】 答：地球最多能养活70亿人。 6.青草每天长出：(17×30-19×24)÷(30-24)=9 (份) 原有青草：(17-9)×30=240（份） 假设4头牛不卖，一共吃掉青草：240+9×(6+2) +4×2=320(份)】 320÷(6+2)=40(头) 答：这一群牛原来有40头。 7.设每小时抽水为1份，每小时进水： (21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)】 水池原有水：21×8-12×8=72（份） 若用16根抽水管，需要的时间为： 72÷(16-12)=18(小时)》 答：若用16根抽水管，18小时可将水池中的水 抽干。 8.设一只羊每天的吃草量为1份： 每天长草量为： (100×200-150×100)÷(200-100)=50(份) 原有草量为： 100×200-200×50=10000(份) 让50头羊去吃新长的草，剩下250-50=200头羊 去吃原有的草，10000÷200=50（天）： 答：(1)如果放牧250只羊可以吃50天。 24 (2)放牧这么多羊不对，容易引起草地沙化； (3)假设每只羊每天吃草“1”份：为了防止草地沙 化，最好让羊正好吃掉新长的草，留下原有的草， 因为每天长草量为50份，所以： 50÷1=50(只)； 答：这片草地最多可以放牧50只羊。 9.自动扶梯每分钟走： (20×5-15×6)÷(6-5)=10(级) 自动扶梯共有： (20+10)×5=150(级) 答：扶梯露在外面的台阶共有150级。 10.设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共 吃了27×6=162（份）：23头牛吃9周共吃了23 ×9=207(份)。第二种吃法比第一种吃法多吃 了207-162=45（份）草，这45份草是牧场的草9 -6=3(周)生长出来的，所以每周生长的草量为 45÷3=15,那么原有草量为162-6×15=72。 供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩 下6头牛需要72÷6=12（周）可将原有牧草 吃完。 答：它可供21头牛吃12周。 11.10头牛20天10×20=200=原有草量+20天生 长的草量 15头牛10天15×10=150=原有草量+10天生 长的草量 从上发现：1200平方米牧场上20-10=10天生 长草量=200-150=50。 即1天生长草量=50÷10=5： 那么1200平方米牧场上原有草量：200-5×20= 100或150-5×10=100。则3600平方米的牧场 1天生长草量=5×(3600÷1200)=15：原有草 量：100×(3600÷1200)=300。 75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下 60头牛需要300÷60=5（天）可将原有草吃完， 即它可供75头牛吃5天。 12.设每台抽水机每天抽水量为1份，则河水每天入 库量：(5×20-6×15)÷(20-15)=2（份） 水库原有水量：5×20-2×20=60（份） (60+6×2)÷6=12(台) 答：需要12台同样的抽水机。 13.设打开一根出水管每小时可排水1份，根据题干 分析可得：[(5×6)-(8×3)]÷(6-3)=2 [8×3+(4.5-3)×2]÷4.5=6(根) 答：应该同时打开6根排水管。 14.设1个检票口1分钟放进的旅客人数为1份，则 (4×15×1-8×7×1)÷(15-7)=0.5 4×15-0.5×15=52.5 52.5+0.5×5=55 55÷5=11(个)》 答：需设立11个检票口。 第十七章容斥原理的应用 【同步精练】 1.(1)至少完成了一科作业的有48-6=42人，两科 作业都完成的学生有30+20-42=8人； (2)只写完语文作业的有30-8=22人。 2.10×8+5×5-3×4÷2=99(平方厘米)。 答：这两个图形盖住的桌面的面积是99平方厘米。 3.由已知，不会游泳的有48-27=21（人） 不会骑车的有48-33=15（人） 不会打乒乓球的有48-40=8（人） 所以至少有一项运动不会的最多有： 21+15+8=44(人) 那么全班三项运动都会的至少有：48-44=4（人） 答：这个班至少有一项不会的最多有44人，三项都 会的至少有4人。 【好题精练】 1.50毫米=5厘米，5+5=10（厘米） 50+50+50-10=140(厘米) 2.36-(23+25-15)=36-33=3(人) 答：3个同学两题都没有答对。 3.从1到100中，是5的倍数的数有100÷5=20（个）， 是6的倍数的数有100÷6=16（个）…4，既是5 又是6的倍数的数有100÷(5×6)=3（个）…10， 因此是5或者是6的倍数的数有20+16-3=33 (个)，既不是5的倍数又不是6的倍数的数有100 -33=67(个)。 答：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不 是6的倍数的数有67个。 4.(24+22-10)÷2=36÷2=18(幅) 答：其他年级共展出是18幅。 5.(18+20-22)÷2=8(幅) 答：其他年级共展出8幅。 6.三种语言都学过的有： 99-(39+49+41-14-13-9)=6人 答：三种语言都学过的有6人。 参考答案 7.56-54=2(岁)】 妈妈：(82-2)÷2=80÷2=40（岁）】 小华：54-40=14（岁） 答：小华的年龄是14岁。 8.28×2-(8×2+17×2)=6(人) 6÷2=3(人) 答：只参加跑和投掷两项的有3人。 9.画图表示。可知，至少有一项达到 粒地 游泳 优秀的学生人数=短跑优秀人数+ 17 118 游泳优秀人数+篮球优秀人数一短 篮球15 跑和游泳均优秀人数-游泳和篮球 均优秀人数一篮球和短跑均优秀人数+三项均优 秀人数。 至少一项优秀的学生数： 17+18+15-6-6-5+2=35(人) 全班人数：35+4=39（人） 10.(33+39+34)÷2=53(本) 53-33=20(本)53-39=14（本） 53-34=19(本) 答：小红有20本，小兰有14本，小明有19本。 11.52-13-23=39-23=16(人) 16÷4×3=4×3=12(人) 23-12=11(人) 答：只会游泳的有11人。 12.能被2整除的数共有：200÷2=100（个） 能被3整除的数共有：200÷3=66（个） 能被5整除的数共有：200÷5=40（个） 能被6整除的数共有：200÷6=33（个） 能被15整除的数共有：200÷15=13（个） 能被10整除的数共有：200÷10=20（个） 能被30整除的数共有：200÷30=6（个） 能被2或3或5整除的数共有：100+66+40-33 -13-20+6=146 答：能被2或3或5整除的数共有146个。 13.三个人一共看过的书的本数是： 甲+乙+丙-（甲乙+甲丙+乙丙）+甲乙丙 =33+44+55-(29+25+36)+甲乙丙=42+ 甲乙丙，当甲乙丙最大时，三人看过的书最多，因 为甲、丙共同看过的书只有25本，比甲乙和乙丙 共同看过的都少，所以甲乙丙最多共同看过25 本。三人总共看过最多有42+25=67（本） 都没看过的书最少有：100-67=33（本） 答：这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的 25第十六章"牛吃草"问题 第十六章 “牛吃草”问题 知识概述 牛吃草问题，又称波动问题或牛顿牧场问题，是17世纪英国科学家牛顿提出的。 放牛问题是小学奥数中经典的奥数题之一，也是小学奥数考试中经常涉及的考点。 在小学这类问题常用到四个基本公式，分别是： (1)草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较 少天数)÷（吃的较多天数-吃的较少天数）； (2)原有草量=牛头数×吃的天数一草的生长速度×吃的天数； (3)吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的生长速度）； (4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。 “牛吃草”问题的特点是：每天有新的草长出，这是变化的量，而原有草量 变量，因此解题时要通过整体考虑分析如何求出单位时间生长的新的草量 典例精讲 -…☆☆☆ 例1 【答案】解：设1头牛一天吃的草为1份。 牧场上有一片青草，每天匀速生长，这片青草 10×20=200(份)，15×10=150（份） 可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天， 200-150=50(份)，20-10=10（天）》 问：可供25头牛吃几天？ 得到每天新长出的草，50÷10=5（份/天） 【精析】根据题意分析如下图所示： 得到原有的草，10×20-5×20=100（份） 10头牛20天吃的草 得到天数，100÷(25-5)=5（天） ↓↓↓↓ 相减得到： 答：25头牛吃5天。 原有的草 20天新来出的草 10天新长 出的草 15头牛10天吃的草 除以10天 【同步精练】 大+与 得到：每 天新长出 1.牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或 原有的草10天新长出的草 的草 者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生 91 小升初数学必刷奥数题500题 长，可供21头牛吃几周？ 例3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅长不 大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地 例2 上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃 一片均匀生长的草地，18头牛吃40天或者12 6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？ 头牛与36只羊吃25天，1头牛1天吃的草量 【精析】分析题意如下图所示： 相当于3只羊吃的草量，请问17头牛与多少 原有的草 ++↓大 相减得到： 只羊刚好16天吃完？ 5天消失的草20头牛5天吃的草 1天减少的草 除以1天得 【精析】两种动物吃草的题型中一般会给出两 原有的草 到：每天减 ↓+↓↓↓月 少的草 种动物吃草量的关系，若就把一种动物看成另 6天消失的草15头牛6天吃的草 一种动物，此题中就可以把3只羊看成是一头 【答案】青草每天减少： 牛，题中第二个条件就可以看成是24头牛吃 (20×5-90)÷(6-5)=10(份) 了25天。 牛吃草前牧场有草： 【答案】草长速是(18×40-24×25)÷(40- 10×5+20×5 25)=8(份/天)， =50+100 原有草是18×40-40×8=400份， =150(份) 原有草16天吃完需要400÷16=25（头）， 150÷10-10=5(头) 加上分出去吃新长草的8头牛， 答：可供5头牛吃10天。 共就有33头牛33-17=16（头） 【同步精练】 羊就有16×3=48（只）》 3.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不 答：17头牛与48只羊刚好16天吃完。 长，反而以固定的速度在减少。如果某块草 【同步精练】 地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头 2.一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片 牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？ 牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊 吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊 的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可 以吃几天？ 92 第十六章"牛吃草"问题 例4 原水量=8×5-2×8=24（份） 发现一只船漏水时，已经进了一些水，水匀人数=24÷2+2=14（人） 速进入船内，如果10人淘水，3小时淘完：如5 答：要安排14人淘水。 人淘水8小时淘完。如果要求2小时淘完，要 【同步精练】 安排多少人淘水？ 4.林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可 【精析】船进水问题其实可以看成是牛吃草问 在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃 题，一样有两个不变量，一个不变量就是发现 光，问：如果要4周吃光野果，则需要多少只 漏水时已经漏进来的水量相当于原有草，另一 猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变） 个就是进水的速度就是草长速，然后用牛吃草 的解题方法解题。 【答案】进水速度=(8×5-10×3)÷(8-3) =2(份/时) 好题精练 …☆☆☆ A组一夯基础 1.一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周。那么这 片草地可供21头牛吃几周？ 2.有三块草地，面积分别为5、6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地 可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多 少天？ 93 小升初数学必刷奥数题500题 3.两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度 是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速 度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达 井底。那么，井深多少米？ 4.有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20时可以把水抽干：用15部同样的抽水 机，10时可以把水抽干。那么，用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？ 5.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新 生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？ 6.一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天。 现有一群牛吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛又吃了2天将草吃完。这一群牛原来有多 少头？ 7.一水池有一根进水管，有若干根相同的抽水管，进水管不间断地进水，若用24根抽水管抽 水，6小时即可把池中的水抽干：若用21根抽水管抽水，8小时可将池中的水抽干：那么用 16根抽水管，几小时可将水池中的水抽干？ 94 第十六章"牛吃草“问题 8.陕北某村有一块草场，假设每天草都均匀生长。这片草场经过测算可供100只羊吃200天， 或可供150只羊吃100天。 (1)如果放牧250只羊可以吃多少天？ (2)放牧这么多羊对吗？ (3)为防止草场沙化，这片草场最多可以放牧多少只羊？ 9.自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两个性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟 走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用6分钟到达楼 上。问该扶梯共有多少级台阶？ B组— 提能力 10.青青一牧场，牧草喂牛羊： 放牛二十七，六周全吃光。 改养廿三只，九周走他方： 若养二十一，可作几周粮？ (注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。) 题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以 吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长） 95 小升初数学必刷奥数题500题 11.有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天或 可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块 牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？ 12.一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽 水机连续15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？ 13.9根相同的水管，其中一根是进水管，其余8根是出水管。开始时，进水管以均匀的速度不 停地向蓄水池注水。后来，想打开出水管，使池内的水全部排光。如果同时打开8根出水 管，则3小时可排尽池内的水；如果仅打开5根出水管，则6小时才排尽池内的水。若要在 4.5小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水管？ 14.早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口 处准备进站。这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客：如果设立8个检票口，7 分钟可以放完旅客。现要求5分钟放完，需设立几个检票口？ 96