第十二章 周期问题-2025年小升初数学必刷奥数题500题

第十二章周期问题 第十二章 周期问题 知识概述 事物在运动变化过程中，某些特点有规律循环出现，我们把连续两次出现所经 过的时间叫周期。例如星期都是以七天为一个循环不断重复出现，在数学中也常 会碰到一些和重复出现有关的问题，这就是周期问题。 周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找藏化的见律， 利用这些规律作为解题的依据，其次要确定解题的突破口。主要方法有察看法逆 推法、经验法等。主要问题有年代日、星期几、图形排列问题等。 典例精讲 ☆☆☆ 例1 黑色珠子在这串珠子中共有25+1=26（个）。 黑珠、白珠共102个，穿成一串，排列如下： 【答案】最后一颗珠子是黑色的，黑色珠子在 O●OOO●OOO●OOO●… 这串珠子中共有26个。 这串珠子中，最后一个珠子应该是什么色的？ 【同步精练】 这种颜色的珠子在这串珠子中共有多少个？ 1.★O○0★★OOO★★OOO…这样的 【精析】通过观察发现，这串珠子是按“一白、 一排图形中，前87个图形一共出现了 一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复 个五角星。 出现的，我们先算出102个珠子能够这样排列 例2 成多少组，还余多少，我们能够根据排列周期 鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12 判断出最后一个珠子的颜色，还能够求出有多 种动物依次代表各年的年号。如果公元1年 少个这样的珠子，因为102÷4=25.2，所以最 是鸡年那么公元1998年是什么年？ 后一个珠子是第26个周期中的第二个，即为【精析】一共有12种动物，所以这个循环的周 黑色，在每一个周期中只有1个黑珠子，所以期就是12。因为公元1年是鸡年，所以为了 67 小升初数学必刷奥数题500题 便于思考，我们把周期的排列顺序变为鸡、狗、(2)从1号同学开始，逆时针传100次，手绢 猪、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴。从公元1 又在谁手中？ 年到公元1998年共有1998年。每12年一个 (3)从1号同学开始，先顺时针传156次，然 循环，1998÷12=166…6，余6，就从循环的 后从那个同学开始逆时针传143次，最后手绢 开始数到第6个。 在谁手中？ 【答案】1998÷12=1666 【精析】(1)因为一圈有12个同学，所以一圈 从鸡开始的第6种动物是虎，因此公元1998 传12次后手绢回到原来同学手中，现在，从1 年是虎年。 号开始，顺时针传100次，我们先用除法求传 【同步精练】 了几圈还余几次。100÷12=8（圈）…4 2.我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、（次），相当于直接从1号同学顺时针传4次， 鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号，正好传到5号同学手中。 例如，第一年如果是鼠年，第二年就是牛年，(2)与第(1)题的道理一样，先做除法。100÷ 第三年就是虎年。如果公元1年是鸡年，那 12=8(圈)…4（次），这4次是逆时针传，相 么公元2025年是什么年？ 当于直接从1号同学逆时针传4次，正好传到 9号同学手中（如图）。 (3)先顺时针传156次，然后逆时针传143次， 相当于顺时针传156-143=13（次）。13÷12 =1(圈)…1（次），相当于从1开始顺时针 只传了1次，所以手绢到2号同学手中。 例3 【答案】(1)100÷12=8（圈）…4（次），所以 12个同学围成一圈做传球的游戏，如图。 手绢应该在5号同学手中。 (2)100÷12=8(圈)…4（次），所以手绢在 9号同学手中。 (3)156-143=13(次)，13÷12=1（圈）…1 (次)，所以手绢在2号同学手中。 (1)从1号同学开始，顺时针传100次，手绢【同步精练】 应在谁手中？ 3.8个队员围成一圈做传球游戏，从1号开 68 第十二章周期问 始，按顺时针方向向下一个人传球。在传球 的同时，按次序报数。当报到72时，球在几 号队员手上？ 6人 6】 好题精练 …☆☆☆ A组一 夯基础 1.按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第100个三角形是什么颜色的？在这100个三角形 中有多少个白色的三角形？ △△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲ 2.小和尚在地上写了一列数：7,0,2,5,3,7,0,2,5,3…你知道他写的第81个数是多少吗？你 能求出这81个数相加的和是多少吗？ 3.流水线上生产的小木珠的涂色次序是：先5个红的，再4个黄的，再3个绿的，再2个黑的 再1个白的，然后再依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白…继续下去，第2018个小木珠是什么 颜色？前2018个小木珠中，有几个白色的？ 69 小升初数学必刷奥数题500题 4.下表中，每一列由一个汉字、一个字母和一个图形组成，如第一组“甲A口”，第二组“乙B △”，第三组“丙C口”…问第15组是什么？ 甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丁 A B C A B C A B △ △ △ 5.甲、乙两人将一根3米长的木棍涂色。首先，甲从木棍的端点开始涂黑色5厘米，间隔5厘 米不涂色，再涂5厘米黑色，这样交替做到底。然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不 涂色，然后涂6厘米黑色，再间隔6厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分 的总长度是多少？ 6.假设所有的自然数排列起来，如下图所示，那么39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪 个字母下面？ A BCD 1234 5678 9… 7.在一根绳子上依次穿2个红球，3个白球，5个黄球，并如此反复。如果从头开始数，直到第 77个球，三种球各有多少个？ 70 第十二章周期问题 8.某班43名同学围成一圈。由班长起从1开始连续报数，谁报到100谁就表演，再由这个同 学起1开始连续报数，结果第一个表演节日的是小明，第二个表演节日的是小强，则小明和 小强之间有多少名同学？ 9.在一根100厘米长的木棍上，从左到右每隔6厘米染红一个红点，同时从右至左每隔5厘米 也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开。那么，长度1厘米的短木棍有多少根？ 10. A 1 6 7 12 13 B 2 5 8 11 14 C 3 4 9 10 15 16 (1)到200为止，A,B,C各组数各有多少个？ (2)73在哪一组里？ (3)C组第56个数是几？ B组— 提能力 11.同学们在科技馆参加活动，谁最先参加游戏呢？同学们想了个好办法，大家排成一排1~2 报数，报2的同学再1~2报数，这样依次进行下去，最后报2的这名同学先玩，如果这列一 共有12人，则最先玩的同学是这一列中的第几个？ 71 小升初数学必刷奥数题500题 12.在100米的跑道两侧每隔2米站立一个同学，这些同学从一端开始，按先两个女生，再一个 男生的规律站立。这些同学中共有多少个女生？ 13.对王师傅工作的要求是上8天班后，就连续休息2天。如果这个星期六和星期日休息，那 么，至少再过多少个星期后，他才能又在星期日休息？ 14.一根120厘米的木棍，先从左端开始3厘米涂黑，3厘米不涂黑，交替操作再从左端开始4 厘米不涂黑，4厘米涂黑，交替操作，最后木棍上没有涂黑的有多少厘米？ 15.如图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、 B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼。一只小鸟飞来飞去，四 处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过水注，飞到关于 A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位：接着， A 它飞到关于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位， ·,如此继续，一直对称地飞下去。由此推断，2004号位和0号位之间的距离是 米。 16.实验室里有一个计数器，如图所示，一圈共有24个格，按顺时针标0~23这24个数。每经 8分钟，指针会顺时针方向跳一次；每跳一次，就要跳过7个格。今晚23：00指针正好从3 跳到10，那么明早9：23时指针指向哪个数？ 221 21 19 141的2⑩23：00 72解得x=150, 答：甲商品的成本是150元。 12.甲的定价：(480-60)÷2+60=270（元）， 乙的定价：270-60=210（元） 甲的成本：270÷(1+20%)=225（元）， 乙的成本：210÷(1+40%)=150（元）。 答：甲、乙两种商品的成本分别是225元、150元 13.(1+12%)÷(1-20%)-1=40% 答：降价前的利润率为40%。 14.三年本息：10+10×5.49%×3 =10+1.647 =11.647(万元) 三年的利润： [0.9×(1-10%-20%)-0.3]×12×3 =[0.9×0.7-0.3]×36 =11.88(万元) 11.88万元>11.647万元。 答：三年的利润能还清贷款和利息。 15.假设这套房子的原标价是100万元，则张先生以 标价的95%买下这套房子，付出：100×95%=95 (万元)。 张先生又以超出原标价40%的价格将房子卖出， 收回：100×(1+40%)=140（万元），因为物价涨 幅为20%，所以买进时的95万元相当于卖出时 的95×(1+20%)=114（万元），卖出时净赚： 140-114=26(万元)，张先生买进和卖出这套房 子所得的利润率为：26÷114×100%≈22.8%。 答：利润率为22.8% 第十二章周期问题 【同步精练】 1.图形的排列是按照1个★，3个O,1个★排列的，5 个图形为一个周期。 87÷5=17…2, 即经过了17个周期的又2个图形， 2×17+1=35(个) 2.2025÷12=1689,所以2025年是蛇年。 3.72÷8=9(圈)，球在8号队员手上。 【好题精练】 1.从图中可以看出，6个作为一个周期，因为100÷6 =16…4,所以第100个三角形应该是这一个周 期当中的第四个，为黑色。每个周期里有3个白 色的，一共有16个周期，就有48个白色三角形，余 参考答案 下的4个三角形中还有3个白色的，所以一共有 16×3+3=51(个)白色三角形 2.(1)81÷5=16…1 余数是1，按照循环次序可知，第81个数为7。 (2)7+0+2+5+3=17 17×16+7=279 答：第81个数是7：这81个数相加的和为279。 3.2018÷(5+4+3+2+1)=134…8 第2018个小木珠是黄色的。 白色小木珠：134×1=134（个） 4.15÷4=3…3→丙 15÷3=5→C 15÷2=7…1→☐ 第15组为“丙C口” 5.75厘米 6.39÷4=9…3,88÷4=22。所以39应排在第十 个循环的第三个字母C下面，88应排在第二十二 个循环的第四个字母D下面。 7.周期数为2+3+5=10（个） 77÷10=7…7。说明是7个 周期后还有2个红球，3个白球，2个黄球。 红球有：7×2+2=16（个） 白球有：3×7+3=24（个） 黄球共有5×7+2=37（个） 综上所述答案为红球16个，白球24个，黄球37个。 8.100÷43=2…14 14-2=12(名)或43-14=29 答：小明和小强之间有12名或29名同学。 9.6与5的最小公倍数是30. 2×[(100-10)÷30]+1=7(段) 答：那么长度是1厘米的短木棍有7根。 10.(1)200÷6=33…2, 33×2=66, 余数是2，刚好由上往下排2行， 所以到200为止，A组数有67个，B组数有67 个，C组数有66个： (2)73÷6=12…1,12×2=24. 余数是1，刚好由上往下排1行， 所以73在A组里： (3)(56-1)×3+5-1=166, 所以C组第56个数是166。 11.第一次1~2报数，报2的是2：4：6；8；10；12这几 小升初数学必刷奥数题500题 名同学，这些同学再1~2报数，报2的是第4：8； 12这三名同学，最后这三名同学再1~2报数，就 只剩下第8个同学是报2，所以最先玩的同学是 这一排中的第8个。 12.跑道一侧的总人数是：100÷2+1=51（人） 跑道一侧的女生有：51÷3×2=34（人） 女生共有：34×2=68（人） 答：这些同学中共有68个女生。 13.王师傅这个星期六、星期日休息，则他星期一为 第一天上班。 周日：他上班的第7天、第14天、第21天、第28 天、第35天、第42天、第49天… 休息日：第9~10天，第19~20天，第29~30天， 第39~40天，第49~50天… 王师傅工作第49天，既为星期日，又为休息日。 49÷7=7(周)。王师傅至少再工作7周，才能又 在星期日休息。 14.木棍涂黑情况如图所示： 从图中可见：3厘米黑、3厘米白，循环周期为6厘 米，4厘米黑、4厘米白，循环周期是8厘米：6厘 米，8厘米的最小公倍数是24厘米，即：两种涂法 的循环周期是24厘米。 在120厘米内，循环的周期数是：120÷24=5：在 24厘米的一个周期内，未涂黑（见上图）有：1+3 +2=6(厘米) 在120厘米的5个周期内，未涂黑的有：5×6=30 (厘米) 答：木棍上没有涂黑的部分有30厘米。 15.利用对称的思想，可以画出小鸟每一次跳跃的路线 图如下：由此可以得出，从0点开始，经过6次跳跃 后，又重新回到起点，即：6次为一个跳跃周期： 1→2→3→4→50 2004÷6=334,这好是第334周期结束，那么小鸟 的位置与第一周期的最后位置相同，即：此时小 鸟的位置在0处，所以2004号位和0位重合，距 离为0米。 18 16.从今晚23：00到明日9：23，共有10小时23分，10 小时23分=10×60+23=623（分），623÷8=77 (次)…7（分）（共跳77次，余7分钟），77×7= 539(格)（跳77次，能跳539格），539÷24=22 (圈)…11（格）（跳22圈及11格），从今晚23： 00到明早9：23，共跳22圈及11格，所以相当于 从“10”顺时针向前走11格，到“21”的位置。 第十三章统筹优化问题 【同步精练】 1.治病次序：李佳、孙勇、赵明。李准1分钟，孙勇1+ 3=4分钟，赵明1+3+5=9分钟。时间总和是 1+4+9=14分钟。 2.因为甲村人数多，所以学校应建在甲村。 3.先洗锅2分钟→将锅烧热2分钟→将油烧热3分 钟（同时洗鱼、切鱼、切姜葱）→煎烧5分钟，共用 2+2+3+5=12(分)。 【好题精练】 1.先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个 饼都熟了一面，这时取出一个，另一个翻过去，再 放第三个饼，又煎一分钟，取出两面都熟的饼，再 放入取出的饼，同时第三张饼翻过来，再煎一分钟 即可，则需要时间1+1+1=3（分钟）。 2.起床开始听广播，听广播的同时可以叠被子、刷牙 洗脸和吃早餐、收碗擦桌，叠被子、刷牙洗脸、吃早 饭和收碗擦桌共需要：3+8+10+5=26分钟<30 分钟，听完广播后开始读外语，需要30分钟，总共 需要30+30=60（分钟）。 3.按照实际换汽水过程分析： (1)喝掉80瓶汽水，用80个空瓶换回16瓶汽水； (2)喝掉16瓶汽水，用16个空瓶换回3瓶汽水余 1个空瓶： (3)喝掉3瓶汽水，与上次余下的1个空瓶还剩4 个空瓶。 此时，再借1个空瓶，与剩下的4个空瓶一起又可 换回1瓶汽水，喝完后将空瓶还了。 所以，他们家前后共喝到汽水80+16+3+1=100 (瓶) 4.3片面包分别是1、23： 先烤1和2的第一面，需要2分钟： 然后把1翻面，2拿出换上3,1分钟后1完成 拿出： 放入2的翻面，1分钟后2完成：