第九章 排列组合-2025年小升初数学必刷奥数题500题

第九章 排列组合士 第九章 排列组合 知识概述 生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中， 又有几种可能的做法。那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理的 知识去解决。同样的，日常生活中常常会遇到这样一些问题：做一件事情时，要分 几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法。要知道完成这件事一共 有多少种方法，就要用到乘法原理的知识去解决。把两种方法灵活运用，考虑顺序 关系，称为排列问题；只考虑选出来，不需要按一定的排列顺序去思考，称为组合 问题。 运用加法原理和乘法原理解决问题时，要细心、耐心、有理地分析问题。要注 意区分是分类问题还是分步问题，并正确区分它们的先后顺序。而在加法原理、乘 法原理的综合应用问题中，既有分类的关系，又有分步的关系，这时应该分清主次 关系，弄清楚到底是“分类中含有分步”，还是“分步中含有分类”。如果是某一大 类里面又可以再分为几小步，那么这一类里应该用乘法原理进行计算，最后再用加 法原理把各类中的情况加在一起。如果是某一大步里面又可以再分为儿的精 况，这就要先用加法原理算出这一大步中有多少种情况，再用乘法原理把总算 出来 典例精讲 …☆☆☆ 例1 在做课间操时，小明、小丽和小志三人站成一 b 共有2+2+2=6（种） 排，共有多少种不同的排法？ 不同排法。 【精析】将三人分别用a、b、c表示，则三人的排 法有如下几种情况： 【答案】2+2+2=6（种） 51 小升初数学必刷奥数题500题 答：共有6种不同的排法。 答：可组成18个没有重复数字的三位数 【考点链接]排列及计算公式 【同步精练】 从n个不同元素中，任取m(m<n)个元素按2.用数字2、3、8、7可以组成多少个没有重复 照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素 数字的三位数？ 中取出m个元素的一个排列：从n个不同元 素中取出m(m<n)个元素的所有排列的个 数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，用符号A表示。 Am=n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 【同步精练】 例3 1.从5、4、2三张数字卡片中，挑选三张排成三 从1,3,4,6,8,9这六个数中，任意选取两个数 位数，能排成多少个不同的三位数？并列出 作乘积，可以得到多少种不同的结果？ 所组成的三位数。 【精析】从六个数中，任意选取两个数，共有：1 +2+3+4+(6-1)=15(种)选法，我们将这 15组数，每组内的两个数作乘积，由于其中只 有3×8=24=4×6，其余任意两组的乘积都 不相等，所以可以得到14种不同的结果。 例2 【答案】解：1+2+3+4+(6-1)=15（种） 由数字0、1、2、3组成三位数，问：可组成多少 15-1=14(种》 个没有重复数字的三位数？ 答：可以得到14种不同的结果。 【精析】在确定由0、1、2、3组成的三位数的过【考点链接】组合及计算公式 程中，应该一位一位地去确定。所以可分成三 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并 个步骤来完成。要求组成的三位数中没有重 成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元 复数字，百位上不能取0，有3种取法；十位 素的一个组合：从n个不同元素中取出m(m 上，由于百位已经从1、2、3中取走一个，故只 ≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个 剩下0和其余两个数字，故有3种取法；个位 不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只 C%表示。 能在剩下的两个数字中取，有2种取法，结合 Agn(n-1)…(n-m+1) 乘法原理，可求出有多少种不同的取法。 C%= m! m! 【答案】3×3×2=18（种） m!=m×(m-1)×(m-2)×…×1 52 第九章排列组合》 【同步精练】 3.从1,2,4,5,6,7这六个数中，任意选取两个 数作乘积，可以得到多少种不同的结果？ 好题精练 -…☆☆☆ A组一夯基础 1.现有01、2、34五张数字卡片。 (1)可以组成多少个三位数？ (2)可以组成多少个没有重复数字的三位数？ (3)可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？ (4)可以组成多少个小于1000的自然数？ 2.从15名同学中选5人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？ (1)某两人必须入选； (3)某两人中至少有一人入选。 3.七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？ (1)七个人排成一排： (2)七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间。 53 小升初数学必刷奥数题500题 4.从1到99的所有自然数中，不含数字2的自然数有多少个？ 5.用1、2、3、4可组成多少个没有重复数字的三位数并且是双数？ 6.在自然数0~9中任意选三个不同的数，使得它们的积是偶数，共有多少种不同选法？ 7.如下图，从A到B,要求按照从左到右，从下到上，从左下向右上的走法，有多少种不同走法？ 8.取1、2、3、4四个数字，从小到大排成一行。在这四个数字中间，任意插入乘号，可以得到多 少个不同的乘积？（最少插入一个乘号） 9.面值为1元、2元、5元、10元币各一张，从中任取其一或若干，共能凑出多少种不同面值？ 10.如图所示，按照向右或向上的方向，沿着方格线从A到B,共有多少种不同走法？ B 54 第九章排列组合” B)组—一提能力 11.如图所示，用红、绿、蓝、黄四种颜色涂编号为1,2,3,4的正方形，使任何相邻两个正方形的 颜色都不相同。一共有多少种不同的涂法？ 12.现有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个，称东西时，砝码只能放在天平的一边，用这 些砝码可以称出多少种不同的质量？ 13.现有211名同学和四种不同的糖果，每种糖果的数量都超过633颗。规定每名同学最多拿 3颗糖果，也可以不拿。若按照所拿糖果的种类和数量都是否相同分组，则共有多少种不 同的拿法？ 14.四名男生和四名女生站成一排，问： (1)要求男女间隔排开，共有多少种排法？ (2)要求男生不能相邻共有多少种排法？ (3)要求男生站在一起，共有多少种排法？ 15.如图所示，在两条直线上，分别有5个点和4个点。 (1)从中任取3个点作为顶点，共可连出多少个三角形？ (2)选4个点为顶点，可连成多少个四边形？ ◆B 55小升初数学必刷奥数题500题 12.30-25=5(厘米) 20+5=25(厘米) 3.14×(12÷2)2×25 =3.14×36×25 =2826(立方厘米) 答：这个瓶子的容积为2826立方厘米。 13.解：B容器有水：0.4×4=1.6（升） A容器有水：1.6+2=3.6（升） B容器底面积：3.14×52=78.5（平方分米） 因为当圆柱高相等时，体积与底面积成正比例 关系。 所以A容器底面积：B容器底面积=3.6：1.6 A容器底面积=78.5×3.6÷1.6=176.625（平方 分米) 答：A容器的底面积是176.625平方分米。 14.设圆锥底面积为Sx,圆锥高为H,圆锥底面半径 为R,水面上为圆锥的上部分，水面以上部分为一 个小圆锥，设其高为h,底面半径为r,如图所示 水平面 R 则H=(8+4)×2=24(厘米). 6==2= 圆锥在水中的体积=了RH-号h =写mH-gx号 - 1 -2H 24×24mR2 =7S能 水面上升的体积=14×14×4=784 ∴.7St=784S底=112(cm2) 答：圆锥的底面积为112平方厘米。 15.400×4=1600(mL) A容器水量：4800+1600=6400mL B容器水量为1600mL,由V=πrh可得 h=V÷π÷2 12 1600÷π÷22 =1600÷T÷4 400 (cm) 不 r2=V÷h÷m 6400÷400÷m=16 不 4×4=16 所以A容器底面半径是4cm,直径是4×2=8 em) 答：A容器的底面直径是8cm。 16.底面用木板10×8=80（平方厘米） 左右两面用木板8×(5-1)×2=64（平方厘米） 前后两面用木板(10-2)×(5-1)×2=64（平方 厘米) 总共有木板80+64+64=208（平方厘米） 答：共用了208平方厘米。 17.设这个圆柱体的底面半径为r,那么高为3「，小圆 柱体高为h,则大圆柱体高为(3r-h)。因为大圆 柱体的表面积是小圆柱体表面积的3倍，即： ×2+2πr(3r-h)=(πr2×2+2mrh)×3,所以h =子，则大圆柱体高为3一子-子。 因为两圆柱体底面积相同，那么它们的高是多少 倍，体积也就是多少倍，即÷4=山，所以大圆 柱体的体积也是小圆柱体体积的11倍。 第九章 排列组合 【同步精练】 1.6个，分别是542,524,425,452,245,254。 2.4×3×2=24(种) 3.有15种不同的结果。 【好题精练】 1.(1)100(2)48(3)30(4)124 2.(1)某两人必须人选的情形，这两人已经入选，再 从剩下的13人中选3人即可，有C种选法共有 C=286种， (2)C2×C+C=1716(种) 3.(1)7×6×5×4×3×2×1=5040 (2)设这两个人分别为A和B,当A站在中间时， 把其余6个人排列，共有6×5×4×3×2×1=720 种方法，同样，当B站在中间时，也有6×5×4×3 ×2×1=720种方法，共有720+720=1440种排 列方法。 4.80 5.3×2×2=12(个) 6.三数之积为偶，有三种情况：三偶，二偶一奇，一偶 二奇。 三偶：C二偶一奇：C·C 一偶二奇：C·C 共有C+C号·C+C;·C =10+50+50=110(种)选法。 7.20种 8.插入一个乘号的情形： 1×234=234 12×34=408 123×4=492 插入两个乘号的情形： 1×2×34=68 1×23×4=92 12×3×4=144 插入三个乘号的情形： 1×2×3×4=24 答：最少插人一个乘号，可以得到3个不同的乘 积：插入两个乘号，可以得到3个不同的乘积：插 人三个乘号，可以得到1个不同的乘积。 9.C4+C+C+C =4+4×3,4×3×2 1x21x2x3+1 =15(种) 10.标数如下：从A到“1”有1种走法，从A到“2”有 2种走法，从A到“3”有3种走法，依此类推，从A 到B有35种不同的路线。 102035B 3 16 1015 3 5 答：沿着方格线从A到B,共有35种不同走法。 11.(1)使“1,2,3,4”所涂的颜色各不相同。涂“1” 有4种涂法，涂“2”有余下的3种涂法，涂“3”有 余下的2种涂法，涂“4”只有余下的1种涂法。 根据乘法原理共有不同的涂法4×3×2×1=24 (种)。 (2)只有“1,4”同色。涂“1,4”有4种涂法，涂 “2”有余下的3种涂法，涂“3”有余下的2种涂 参考答案 法。根据乘法原理共有不同的涂法4×3×2=24 (种)。 (3)只有“2,3”同色。共有不同的涂法4×3×2 =24(种)a (4)使“1,4”和“2,3”分别同色。“1,4”有4种涂 法，“2,3”有3种涂法，于是共有4×3=12（种）。 根据加法原理，一共有24+24+24+12=84（种） 不同的涂法。 答：一共有84种不同的涂法。 12.如果从5个砝码中拿出1个来有5种方法，即可 称出5种不同的质量；如果从5个砝码中拿出2 个来有(5×4)÷(2×1)=10（种）方法，可称出 10种不同的质量：同理从5个砝码中取出3个来 有(5×4×3)÷(3×2×1)=10（种）方法：从5个 砝码中取出4个来有(5×4×3×2)÷(4×3×2 ×1)=5(种)方法：从5个砝码中取出5个来有1 种方法。因此，把砝码放在天平的一边，一共可 称出5+10+10+5+1=31（种）不同的质量。 13.一个同学所取不同种类。 (1)一个不拿(1种) (2)拿四种中任意一个(4种) (3)拿2个，都同种(4种) (4)拿2个，不同种(6种) (5)拿3个，都同种(4种) (6)拿3个，两个相同(12种)》 (7)拿3个，都不同(14种) 1+4+4+6+4+12+4=35(种) 答：共有35种可能情况。 14.(1)(4×3×2×1)×(4×3×2×1)×2=1152 (种) 答：有1152种排法。 (2)(4×3×2×1)×(5×4×3)×2=2880(种) 答：有2880种排法。 (3)(4×3×2×1)×(5×4×3×2×1)=2880 (种) 答：共有2880种排法。 15.(1)从9个点中任选3个点：Cg,要连成三角形， 必须排除从AB线上取3个点，或从CD线上取3 个点，可画C-C-C=70(个)三角形。 (2)要连成四边形，只能从AB线上选2个点，从 CD线上选2个点。可连成C号×C=60(个)四 边形。 13