第八章立体图形问题-2025年小升初数学必刷奥数题500题

S△FG= 1 4 阴影部分的总面积=4+1=5 13.202x3.14×4-20×(20÷2)÷2×2=14(平 方厘米) 答：阴影部分的面积是114平方厘米。 14.依题意，有三角形ACD的面积=)三角形ABC 的面积=30×号=15（平方厘米），又 2ED,所以三角形ACE的面积=2倍的三角形 CED的面积，所以三角形CED的面积=15÷3=5 (平方厘米)。 15.阴影面积： S△re+S4AcE=24×20÷2+10×30÷2=390 16.180°-30°×2=120 180°-120°=60° 7-7÷4×(4÷2)÷2-3.14×(4÷2}×600 3606≈ 3.16(平方厘米) 17.图中O1,02,03为三个圆的圆心，A,B,C为三个 圆的交点，则△A003,△B0201,△C0,02是全等 的等边三角形。 在△A0,03中，圆03的弓形0,03等于圆01的 弓形AO3,阴影面积O,O3A等于扇形面积 0103A,则 S用=3×S第形0,04 =3x㎡× =1.57 第八章 立体图形问题 【同步精练】 1.(26-3×2)×3=60(平方厘米) 840÷60=14(厘米) 14+3×2=20(厘米) 答：这块铁皮原来的宽是20厘米。 2.402×6+3.14×4×10×2=9851.2(平方厘米) 33×3.14×2×2+3.14×2×10138.97(立方 厘米)》 4.(6÷2)2×3.14×(48÷2÷6)=113.04(cm3) 答：原来圆柱的体积是113.04cm3。 【好题精练】 1.8×(3-1.5)×2+6×(3-1.5)×2-15=27(平 参考答案 方米) 2.2分米=0.2米2.5×0.2×4×10=20（平方米） 3.16÷4×(2×3)=24(立方米) 4.32÷4÷2=4(厘米) 4×4×(4+2)=96(立方厘米)》 5.小圆柱油桶的体积： V1=T×a2×2a=2ra3, 大圆柱油桶的体积： V2=m×(1.5a)2×3a=6.75ma3, V:V3=2ma3:6.75πa3=8:27, 所以，52=2n= 8 8 ×3=10.125。 6.9π×20×3÷[π(20÷2)2]=5.4（厘米） 7.56.52+3.14×(120÷2) =56.52+188.4 =244.92(平方分米) 853×3.14x9x3=235.5(em) 答：这个立体图形的体积是235.5cm3。 9.(1)3.14×6×12+3.14×(6÷2)2×2 =18.84×12+3.14×9×2 =282.6(平方厘米) 答：易拉罐的表面积约282.6平方厘米。 (2)3.14×(6÷2)2×12÷[号x3.14×(6÷2)2× 5]=7(杯) 答：1听易拉罐饮料大约能倒满7杯。 10.球的体积： V:号×mx2+2)-青（立方米） 圆柱的体积： V=πm×12×(14-2)=12π（立方米） 油罐车的容积： 4 3m+12m=41.888(立方米) 答：油罐车的容积是41.888立方米。 11.56÷[(3-1)×2]=14(cm2) 1.2m=120cm 14×120=1680(cm3) 3-1 1680×1+2+3=560(cm） 答：最长的一段比最短的一段多560cm3。 小升初数学必刷奥数题500题 12.30-25=5(厘米) 20+5=25(厘米)》 3.14×(12÷2)2×25 =3.14×36×25 =2826(立方厘米) 答：这个瓶子的容积为2826立方厘米。 13.解：B容器有水：0.4×4=1.6（升）》 A容器有水：1.6+2=3.6（升） B容器底面积：3.14×52=78.5（平方分米） 因为当圆柱高相等时，体积与底面积成正比例 关系。 所以A容器底面积：B容器底面积=3.6：1.6 A容器底面积=78.5×3.6÷1.6=176.625（平方 分米) 答：A容器的底面积是176.625平方分米。 14.设圆锥底面积为S飞，圆锥高为H,圆锥底面半径 为R,水面上为圆锥的上部分，水面以上部分为 个小圆锥，设其高为h,底面半径为r,如图所示 水平面 R 则H=(8+4)×2=24(厘米). 6=号=2= 圆锥在水中的体积=了nRH-号h -司 1 7 -2RH 24×24mR =7S 水面上升的体积=14×14×4=784 .7St=784S底=112(cm2) 答：圆锥的底面积为112平方厘米。 15.400×4=1600(mL) A容器水量：4800+1600=6400mL B容器水量为1600mL,由V=πr2h可得 h=V÷π÷r2 12 1600÷π÷22 =1600÷π÷4 400 -(cm) r2=V÷h÷m 6400÷400÷m=16 不 4×4=16 所以A容器底面半径是4cm,直径是4×2=8 (em) 答：A容器的底面直径是8cm。 16.底面用木板10×8=80（平方厘米） 左右两面用木板8×(5-1)×2=64（平方厘米） 前后两面用木板(10-2)×(5-1)×2=64（平方 厘米) 总共有木板80+64+64=208（平方厘米） 答：共用了208平方厘米。 17.设这个圆柱体的底面半径为r,那么高为3「，小圆 柱体高为h,则大圆柱体高为(3r-h)。因为大圆 柱体的表面积是小圆柱体表面积的3倍，即： ×2+2πr(3r-h)=(mr2×2+2mrh)×3,所以h =子，则大圆柱体高为37一子-子。 因为两圆柱体底面积相同，那么它们的高是多少 倍，体积也就是多少倍，即子÷子=山，所以大圆 柱体的体积也是小圆柱体体积的11倍。 第九章 排列组合 【同步精练】 1.6个，分别是542,524,425,452,245,254。 2.4×3×2=24(种) 3.有15种不同的结果。 【好题精练】 1.(1)100(2)48(3)30(4)124 2.(1)某两人必须人选的情形，这两人已经入选，再 从剩下的13人中选3人即可，有C种选法共有 C3=286种， (2)C2×C+C=1716(种) 3.(1)7×6×5×4×3×2×1=5040 (2)设这两个人分别为A和B,当A站在中间时 把其余6个人排列，共有6×5×4×3×2×1=720 种方法，同样，当B站在中间时，也有6×5×4×3 ×2×1=720种方法，共有720+720=1440种排小升初数学必刷奥数题500题 第八章 立体图形问题 知识概述 小学阶段学过的规则立体图形有正方体、长方体、圆柱、圆锥和球，通过组合、 拼接等方式处理这些规则的立体图形又能得到很多不规则的立体图形。由这些立 体图形衍生出来的问题主要包括求它们的表面积、体积，或者已知表面积、体积等 其他条件，求解长、宽、高或者半径和高等未知量。 要想解决好立体图形问题，首先要掌握好各种立体图形的表面积和体积计算 公式，理解它们所表示的含义。其次要有良好的空间想象能力，能想象出冬种图形 是如何组成一个复杂图形的，可以想象出这些立体图形的展开图，知道它视不同 的方向看去分别是什么形状。最后要有联系实际生活的意识，将自己所学的短识 和实际相结合，才能更好地理解这些问题，感受生活中的数学之美。 典例精讲 …☆☆☆ 例1 =30×20×5 有一个长方形铁皮，长40厘米，宽30厘米，在 =3000(立方厘米) 它的四角各剪去一个边长为5厘米的正方形，答：这个铁盒的容积是3000立方厘米。 做成一个无盖的长方体铁盒，求这个铁盒的容 【同步精练】 积。（铁皮的厚度忽略不计） 1.现有一块长方形铁皮，长为26厘米，在四个 【精析】求长方体铁盒的容积，要知道这个长 角上剪去边长为3厘米的正方形，将它焊接 方体铁盒的长、宽、高，根据 成容积为840立方厘米的无盖容器，这块铁 题意先画出示意图。从图中 皮原来的宽是多少厘米？ 可以看出，这个长方体铁盒 的高是5厘米，长、宽分别减 少5×2=10厘米。用长方体铁盒的长乘宽乘 高就得到这个铁盒的容积。 【答案】(40-5×2)×(30-5×2)×5 44 第八章立体图形问题 例2有一个圆柱体的零件，高12厘米，底面 直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直 孔，如图所示。圆孔的直径是6厘米，孔深7 厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上 防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 【精析】思路分析如图： 易知等于3×3=1（米）， 那么原来两个形体变成 一个高为4+1=5（米）的 圆柱体 【精析】结合题意和上图分析可知，该零件与 如果把圈雏形的稻谷 图铺平，把它变成圆 空气接触的部分包括外面的圆柱和内部的直 柱体，这时园锥的高 等于多少米呢 孔，内部直孔的底面与圆环拼成一个圆正好是 大圆柱的底面，所以这个零件接触空气的部分 【答案】12.56÷3.14÷2=2（米） 为：圆柱表面积和圆柱直孔的侧面积。 3.14×2×2×(4+1)=62.8(立方米) 【答案】8÷2=4（厘米） 答：这个粮囤的体积是62.8立方米。 3.14×4×4×2+3.14×8×12+3.14×6×7 【同步精练】 =100.48+301.44+131.88 3.如图所示的一个零件，右边是高为10厘米， =533.8(平方厘米) 底面半径为2厘米的圆柱，左边是一个圆 答：一共需涂533.8平方厘米。 锥，它的高是2厘米，求这个零件的体积。 【同步精练】 (结果保留两位小数) 2.一个棱长为40厘米的正方体零件的上、下 两个面上各有一个直径为4厘米的圆孔，孔 深为10厘米，求这个零件的表面积。 例3有一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是 例4把一个圆柱体沿着底面直径竖直切成 圆柱体。圆柱底面周长是12.56米，高4米： 两部分，已知这两部分的表面积之和比圆柱体 圆锥高3米。求这个粮囤的体积。 的表面积大2020平方厘米，这个圆柱体的侧 45 小升初数学必刷奥数题500题 面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】2020÷2=1010（平方厘米） 3.14×1010=3171.4(平方厘米) 答：这个圆柱体的侧面积是3171.4平方厘米。 【同步精练】 【精析】根据题意可知，把一个圆柱体沿着底4.把一个底面直径是6cm的圆柱，沿底面直 面直径竖直切成两部分，已知这两部分的表面 径和高切开（如下图），表面积增加48cm2, 积之和比圆柱体的表面积大2020平方厘米， 原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 那么2020平方厘米就是两个长是圆柱的高， 宽是圆柱的底面直径的长方形的面积，根据长 方形的面积=长×宽，用2020除以2，求出一 个长方形的面积，再根据圆柱的侧面积=底面 周长×高，圆的周长=π×直径，即可求出这 个圆柱体的侧面积。 好题精练 ☆☆☆ A组一夯基础 1.已知新教室的长是8米，宽是6米，高是3米，需要粉刷教室的离地1.5米高以上的四面墙， 如果粉刷部分除去门窗的面积是15平方米，那么需要粉刷的面积是多少？ 2.一种烟囱管，长2.5米，它的横截面是边长为2分米的正方形。做10个这样的烟囱管至少 需要多少平方米铁皮？ 46 第八章立体图形问题 3.如图所示，将一个长方体沿长平均截成3段，每段2米，表面积增加了16平方米，原长方体 的体积是多少立方米？ 4.一个长方体，如果高截去2厘米，表面积就减少了32平方厘米，剩下的正好是一个正方体。 原来长方体的体积是多少立方厘米？ 5.有两个圆柱形的油桶，形体相似（即底面半径与高的比值相同），尺寸如图，两个油桶都装满 了油，若小的一个装了3千克油，那么大的一个装了多少千克油？ 3a 2a 1.50 6.一个底面直径为20厘米的圆柱形容器中装着水，水中放置一个底面半径是9厘米、高为20 厘米的铁质圆锥体（全部浸于水中）。当圆锥从桶中取出后，桶内的水将下降多少厘米？ 47 小升初数学必刷奥数题500题 7.如果将一根圆柱形的木头横向截成两段，那么它的表面积增加56.52平方分米。如果沿着 直径劈成两个半圆柱，那么它的表面积增加120平方分米。这根圆柱形木头的表面积是多 少平方分米？ 8.下图三角形的底边AB长9厘米，底边AB上的高是5厘米，以AB为轴旋转一周所形成的立 体图形的体积是多少立方厘米？ 5cm ◇ 9.如图所示，左边是一听装满饮料的圆柱形易拉罐，右边是一个圆锥形酒杯。 (1)易拉罐的表面积约多少平方厘米？ (2)每听易拉罐饮料大约能倒满几杯？ 6厘米 6 12厘米 5厘米 10.铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如图所示。问：该油罐车的容 积是多少立方米？(m=3.1416)(球的体积公式V-号) 14米 48 第八章立体图形问题 11.把1.2m长的圆柱形钢材按1：2：3截成三段，表面积比原来增加56cm2,这三段圆钢中，最 长的一段比最短的一段多多少立方厘米？ B)组一 提能力。 12.如图，一瓶营养液的瓶底直径是12厘米，瓶高30厘米，液面高20厘米，倒置后，液面高25 厘米。这个瓶子的容积是多少？ 13.有A,B两个圆柱形容器，最初在容器A里装有2升水，容器B是空的，现在往两个容器里 以每分钟0.4升的速度注入。4分钟后，两个容器的水面高度相同。已知B容器的底面半 径为5分米，求A容器的底面积。 14.一个底面是正方形的容器里放着水，从里面量边长是14厘米，水的高度是8厘米。把一个 实心圆锥直立在容器里以后，水的高度上升了4厘米，此时水的高度正好是圆锥高的一半。 求：圆锥底面积。 49 小升初数学必刷奥数题500题 15.有等高的A、B两个容器（如图）原来A容器里装有4800mL的水，B容器是空的。现在以 每分钟400mL的流量同时往两个容器里注水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。已知 B容器底面半径是2cm,求A容器的底面直径。 B 16.如图所示，一个由厚1厘米的木板钉成的盒子，从外面量高5厘米，长10厘米，宽8厘米， 共用了多少平方厘米的木板？ 17.有一个圆柱体，高是底面半径的3倍，将它分成大、小两个圆柱体，如果大圆柱体的表面积 是小圆柱体表面积的3倍，那么大圆柱体的体积是小圆柱体体积的多少倍？ 50