第五章 比和比例-2025年小升初数学必刷奥数题500题

● 第五章比和比例 第五章 比和比例 知识概述 比和比例在实际生活中的应用十分广泛，本章的知识，点围绕比和比例展开，主 要知识点包括比和比例的联系与区别，比和分数、除法的联系，求比值和化简比，正 比例和反比例的意义和判断方法，用比例知识解决问题等。解答关于“比”的问题 时要及时沟通“比”和“分数”之间的联系，用比例知识解应用题的一般步骤是： 1.审题，找出题中相关联的两种量； 2.根据正、反比例的概念进行判断，分析相关联的两个量是什么关系，看两个 量是商一定还是积一定，如果是商一定就是正比例关系，如果是积一定就是反比例 关系； 3.找出两种相关联量的对应数值； 4.设未知数，列出比例式： 5.解比例式。 典例精讲 --…☆☆☆ 例1 食比为7：3”，注意这里7份是乙仓库的存粮， 甲仓库存粮食180吨，乙仓库存粮食120吨， 3份是甲仓库的存粮，一共是10份，甲仓库的 甲仓库运出一部分到乙仓库后，乙仓库与甲仓 存粮占总吨数的，3用30×7子3求出现在 库的粮食比为7：3。甲仓库运了多少吨粮食 甲仓库存粮的吨数，最后再求出甲仓库减少的 到乙仓库？ 吨数，也就是从甲仓库运到乙仓库的吨数。 【精析】不管是从甲仓库运到乙仓库，还是从 【答案1180+120=300（吨） 乙仓库运到甲仓库，甲、乙两个仓库存粮的总 300×1+3 3 吨数没有发生变化。180+120=300（吨），两 =90(吨)180-90=90（吨）》 个仓库共存粮300吨。“乙仓库与甲仓库的粮答：甲仓库运了90吨粮食到乙仓库。 25 小升初数学必刷奥数题500题 【同步精练】 2:1。大瓶原来有油多少千克？小瓶原来有 1.某工厂有三个车间，甲车间占全厂人数的 油多少千克？ 了，乙、丙车间人数的比是12：13，甲车间比 丙车间少4人，全厂共有多少人？ 例3 例2 学校把414棵树苗按各班的人数分给六年级 小明读一本书，第一天读了总页数的？，第二 三个班，一班和二班分得的树苗的棵数比是 天读的页数与第一天读的页数的比是6：5，还 2:3,二班和三班分得树苗的棵数比是5：7，求 剩64页没有读。全书共有多少页？ 每个班各分得树苗多少棵？ 【精析】根据“第二天读的页数与第一天读的 【精析】分析本题思路如下图所示： 页数之比是6：5”可以知道，第二天读的页数 一班和二班分得 树谐的棵数比是 是第一天读的。第一天读了总页数的，第 2:3=10:15 三个班分得衬诣 的棵数连比是 二班和三班分得 10:15:21 二天读了总页数的写×号-号，两天一共读了 树祐的棵数比是 5:7=15:21 总页数的时+号5还利1-吕吉那么没 【答案】一班、二班、三班分得树苗的棵数之比 为10：15：21，所以 有读的64页所对应的分率就是4÷香 4 414× 10 10+15+21 =90(棵)； 240(页)，全书共240页。 15 【答案64÷1-日号×号 414×10+15+2=135(棵)： 21 =64÷1-号3) 414× =189(棵)。 10+15+21 答：一班分得90棵，二班分得135棵，三班分 =64÷15 得189棵。 =240(页) 【考点链接】按比例分配是比的概念的具体运 答：全书共有240页。 用，是把一个数量按照一定的比例进行分配的 【同步精练】 应用题。它在生产、生活中运用很广，也是最 2.大、小两瓶油共重2.7千克，小瓶用去0.3合理的方法之一。例如，学校把一批植树任务 千克后，大瓶的油与小瓶剩下的油质量比是按班级人数分配下去，这就是按比例分配。 26 第五章比和比例 【同步精练】 例5 3.光明小学六年级共有学生35人，分成三个 在男子100米短跑比赛中，细心的裁判发现， 小组进行植树活动。已知第一小组和第二 当明明到达终点时，冬冬距离终点还有10米， 小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组 而晶晶才跑了81米。如果照这样的速度跑下 人数的比是4：5。这三个小组各有多少人？ 去，当冬冬到达终点时，晶晶距终点还有多 少米？ 【精析】 求出晶晶跑81米时 100-10=90(米）】 例4 冬冬跑了多少米 正 在比例尺是1：6000000的地图上，量得济南到 比 求出晶品跑的距离是 冬冬跑的距离的倍数 81÷90=0.9(倍) 例 青岛的距离是8厘米。在比例尺是1：8000000 应 用这个倍数关系求出 的地图上，济南到青岛的距离是多少厘米？ 冬冬跑到终点时晶晶 0.9×100=90(米) 题 跑的距离 【精析】先根据“比例尺是1：6000000的地图 最后求出晶晶距离终 上，量得济南到青岛的距离是8厘米”，求出 点的距离 100-90=10(米】 济南到青岛的实际距离：再用实际距离乘 【答案】100-10=90米 8000000或者除以8000000，求出在比例尺是 81÷90=0.9(倍) 0.9×100=90(米) 1:8000000的地图上济南到青岛的图上距离。 100-90=10(米) 【答案】8÷ 6000000 =48000000(厘米) 答：晶晶距终点还有10米。 【同步精练】 48000000× 8000000 =6(厘米) 5.一个施工队安装一条水管，前6天装了224 答：在比例尺是1：8000000的地图上，济南到 米，照这样的速度，又用了15天把水管全部 青岛的距离是6厘米。 装完，这条水管一共长多少米？ 【同步精练】 4.一幅地图上2厘米长的线段表示实际的 1000米，在这幅地图上量得一个长方形公 园长3.6厘米，宽3厘米，这个公园的占地 面积是多少公顷？ 27 小升初数学必刷奥数题500题 好题精练 …☆☆☆ A组— 夯基础 1.《庄子·天下篇》中有一句“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，意思是：一尺长的木棍，第一天 截取它的一半，以后每天截取剩下的一半，永远也取不尽。照这样计算，第三天木棍剩下的 长度与木棍最初的长度的比是( ),比值是( )。 2.裴秀的《禹贡地域图》18篇是按照“一分为十里，一寸为百里”的标准绘制而成。“一分为十 里”中，一分=3厘米，十里=5000米，那么将其写成数值比例尺的形式是( )。若有两 地之间距离为45千米，那么在该地图中应该画( )厘米。 3.甲、乙两人从武汉长江大桥的两端出发，相向而行，乙先走556.8米，然后甲从桥的另外一端 开始出发。已知甲、乙两人的速度是3：2，甲、乙相遇时所走的路程是2：3，问武汉长江大桥 全长( )米。 4.有两桶水，一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：7，那 么往每个桶中加进去的水量是多少升？ 5.某高速公路收费站对过往车辆每辆收费标准是：大客车10元，小客车6元，小轿车3元。某 日通过此站大、小客车之比是5：6，小客车与小轿车之比是4：7，共收费4700元，求小轿车通 过的数量。 6.一个机关单位有3个部门，A部门有工作人员84人，B部门有56人，C部门有40人，现在每 个部门按相同的比例裁减人员，最终使整个机关留下150人，那么A部门裁减了多少人？ 28 第五章比和比例 7.某车间共有86个工人，已知每个工人每天可以加工甲种部件15个，或乙种部件12个，或丙 种部件9个。3个甲种部件、2个乙种部件、1个丙种部件恰好配成一套。如果要使加工后 的部件恰好配套，那么应安排多少人加工甲种部件、多少人加工乙种部件、多少人加工丙种 部件？ 8.甲、乙两个建筑队原有水泥的质量比是4：3，当甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队水泥的 质量比是3：4，原来甲队有水泥多少吨？ 9.如图是甲、乙、丙三地的线路图，甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程之比是1：2。王刚 以每小时4千米的速度从甲地步行去丙地，李华同时以每小时10千米的速度从乙地骑自行 车去丙地，他比王刚早20分钟到达丙地。甲、乙两地相距多少千米？ 甲丙 10.用边长20厘米的方砖铺一块地，需要2000块，如果改用边长为40厘米的方砖铺地，需要 多少块？ 11.甲，乙两车同时从A地开往B地，当甲车行到全程的处时，乙车行了全程的)；当乙车到 达B地时，甲车距B地还有20千米。求A、B两地间的路程。 29 小升初数学必刷奥数题500题 B)组一提能力 12.两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是3：1，而另一个瓶中酒精 与水的体积之比是4：1。若把两瓶酒精混合，混合液中酒精与水的体积之比是多少？ 13.A、B两种商品价格之比是7：3。如果它们的价格分别上涨70元，那么他们价格的比就是 7:4。这两种商品原来的价格各是多少元？ 14.一段路分成上坡、平路、下坡三段，三段路程长之比为1：2：3。某人走各段路程所用时间之 比为4：5：6。已知他上坡时速度为3千米/时，路程全长50千米。问：此人走完全程用了多 少时间？ 15.甲、乙两地相距60千米，徒弟早八点以每小时10千米的速度从甲地出发去乙地，过了一会 儿，师傅骑自行车以每小时15千米的速度去追徒弟，在途中M处追上，通知徒弟立即返回 甲地，师傅继续骑自行车去乙地，各自分别到达甲、乙两地后都马上返回，两人相遇时恰好 还在M处，师傅是什么时刻出发的？ 16.甲、乙两只盒子里都放有黑、白两种颜色的棋子，已知甲盒里黑、白棋子数的比是4：5，乙盒 里黑、白棋子数的比为5：4，并且甲盒棋子总数与乙盒棋子总数的比为9：16。求两盒棋子 中黑色棋子总数与白色棋子总数的比。 17.某企业有三个分厂，全企业男、女职工人数之比是9：5，三个分厂的人数比是8：9：11。第一 分厂男、女职工人数之比是3：1，第二分厂男、女职工人数之比是5：4，第三分厂男职工比女 职工多150人。这个企业共有多少人？ 30小升初数学必刷奥数题500题 2%x+3%(x+264)=264, 解得x=5121.6。 答：这家公司购置新设备花费5121.6元。 8.设乙的工作效率为x,那么甲的工作效率就是x +30 4r+(x+动）×4+5x=1,解得x=5 1111 x+30=15+3010 甲需要的天数：1÷0=10（天） 乙需要的天数：1÷5=15（天） 答：甲单独做这项工程要10天，乙单独做需要 15天。 9.设男孩平均身高是xcm,女孩人数是1，则女孩平 均身高是(1+10%)x= o(cm),男孩人数为1+ 11 16 5=50 (停+品x小+)=5 x=110 答：这个班男孩平均身高是110cm。 10.设原来这个两位数的十位数字为x,个位数字 为ya 100x+y=9(10x+y) 4 x=5 因为x,y只能是一位整数，所以x=4,y=5。 答：原来这个两位数是45。 11.设当乙到达终点时，丙离终点还有x米， 400-40400 400-85400-x x=360×400-400×315=50 360 答：当乙到达终点时，丙离终点还有50米。 12.设圆珠笔为x支，则铅笔为4x支， 4x×0.2+0.9x+(232-5x)×2.1=100 解出：x=44 铅笔：4x=4×44=176(支) 1B.设各队均干了n天，甲每天完成0，乙队每天0 6 0+0=1 =1,n=2 两队均千了12天，所以共干12+12=24（天） 答：共需要24天完成任务。 14.设出发x分钟后车出现小故障。 200x+(4000÷200+8-x-3)×(200-50) =4000 x=5 4000-200×5 =4000-1000 =3000(米) 答：爸爸的车是在离动物园3000米处出现的 故障。 15.设丢番图活了x岁，根据题目条件列出方程： +7+7+5+7+4= 1 移项后得到=9，解得x=84。 答：丢番图一共活了84岁。 16.事实上，如果可能的话，那么假定最后在桌上剩 下了1堆石子，每堆3粒，则在此之前一共进行了 (n-1)次操作：而每操作一次，都扔去一粒石子， 所以一共扔去(n-1)粒石子：因此，3n+(n-1)》 =1001,得到4n=1002,但1002不是4的倍数， 说明n不是整数，导致矛盾：所以不可能。 答：不可能。 17.设三项活动都参加的人数为x,根据题意得参加 文艺小组的人数为7x,既参加数学小组又参加文 艺小组的人数为7x+3.5=2x,既参加文艺小组 又参加语文小组的人数为2x。根据容斥原理可 以得到下面等式： 24+20+7x-(2x+2.x+10)+x=46 解得，x=3 所以：7x=21 答：参加文艺小组的学生有21人。 第五章比和比例 【同步精练】 1.(1-号)×2+3为 13 26 4÷(93)=30(人0 答：一共有300人。 2.设小瓶油的重量为x千克，则大瓶油重为(2.7- x)千克，得： (2.7-x):(x-0.3)=2:1 解得：x=1.1 大瓶油重为：2.7-x=2.7-1.1=1.6 答：大瓶原来有油1.6千克，小瓶原来有油1.1 千克。 3.由题意可得第一小组、第二小组、第三小组人数的 比是8：12：15，所以 8 35×8+12+15=8(人)： 12 35×8+12+15=12(人)： 15 35×8+12+15=15(人)。 答：二组有12人，一组有8人，三组有15人。 4.比例尺： 2厘米：1000米=2厘米：100000厘米=1：50000， 公园的长：3.6÷5000=180000厘米， 180000厘米=1800（米）， 公园的宽：3÷5000=150000（厘米）， 150000厘米=1500米， 实际面积：1800×1500=2700000（平方米）， 2700000平方米=270公顷： 答：这个公园的占地面积是70公顷。 5.15+6=21(天)21÷6=3.5（米） 224×3.5=784(米) 答：这条水管一共长784米。 【好题精练】 118日2.1：1500033.1670.4 4.设加进去的水量为x升， 则会有(8+x):(13+x)=5:7, 解得：x=4.5; 答：加进去的水量为4.5升。 5.大、小客车之比是5：6，小客车与小轿车之比是4： 7,大客车：小客车：小轿车=10：12：21，收费比为： (10×10):(12×6):(21×3)=100:72:63, 63 4700×100+72+63÷3=420(辆) 答：通过的小轿车有420辆。 150 6 6.84+56+40=5' 84×(1-名)=14（人： 答：A部门裁减了14人。 7.设加工甲种部件a个人，加工乙种部件b个人，那 么加工丙种部件(86-a-b)个人： 15a3 126=2 12b 2 9(86-a-b) 1 a=36,b=30 86-36-30=20(人) 答：应安排36人加工甲种部件、30人加工乙种部 件、20人加工丙种部件。 85(× 4 =54×号 =216(吨)： 答：甲队原有水泥216吨。 9设甲，乙两地相距x千米，甲地到丙地的路程是子 千米，乙地到丙地的路程是子千米。 20分钟=了小时 3t÷4- x=20 答：甲，乙两地相距20千米。 10.(20×20×2000)÷(40×40)】 =(400×2000)÷1600 =800000÷1600 =500(块)》 答：需要500块。 11.设A、B两地相距x千米。 x-20x 1 1 32 解得x=60。 答：A、B两地相距60千米。 12.将一个酒精瓶容积看成一个单位，则在一个瓶 中，酒箱占1子，水占小3子而在另一个 小升初数学必刷奥数题500题 瓶中，同样，酒精占=号，水占十= 44 于是在混合液中，酒精和水的体积之比是： 31.9=319, -2020 答：混合液中酒精和水的体积之比是31：9。 13.原来价格的比是：7：3=21：9， 现在价格的比是：7：4=28：16 每份价格对应：70÷(28-21)=10（元）， A商品原来的价格是：10×21=210（元）， B商品原来的价格是：10×9=90（元）。 14.上坡路占总路程1+2+36 上拨路程为50×石-亭（千米）， 上坡时间为号：3=名（小时）。 平路时间为 .5125 ×4=36 小时)， 下按时间为号×名-兴（小时）。 6150 全时间为号+爱·8=0（小时 15.师傅与徒弟的速度比为15：10=3：2，按比分配， 可以求出M地的位置， 60×3子2=24（干米），M地距离甲地24千米： 2 24÷10=2.4(小时)，24÷15=1.6（小时） 2.4-1.6=0.8(小时)》 0.8小时=48分钟，师傅出发时刻是8点48分。 答：师傅8点48分从甲地出发。 16.把乙盒子里的棋子数看作单位“1”，则甲盒子里 的棋子数为。 因为甲盒里黑白棋子数的比为4：5，乙盒里黑白 棋子数的比为5：4， 所以甲盒中黑色桃子数和白色桃子数分别为名 4=1.9x,4=3 ×4+5=4'16×4+516 乙盒中黑色棋子数和白色棋子数分别为)，号 所以两盒棋子中黑色棋子总数和白色棋子总数 8 的比为+)：(6+号)=16：109， 答：两盒棋子中黑色棋子总数和白色棋子总数的 比为116：109 17.三个分厂的人数比是8：9：11，设三个分厂的人数 份额比是800：900：1100，则三厂合计800+900+ 1100=2800份额（以下单位未注明，均为份额） 男职工占，5×280=180.女职工占100。 -「：男00×3 =600,女200： 5 二厂：男900×3+4=500，女400： 三厂：男1800-(600+500)=700. 女：1000-(400+200)=400， 汇总结果如表： 男 女 总 一 600 200 800 二厂 500 400 900 三厂 男3：700 女3：400 1100 总计 1800 1000 2800 男，-女3=150（人）， 份额：男1-女3=700-400=300 300份额相当于150人，总共2800份额相当于 2800÷300×150=1400(人)。 答：这个企业共有1400人。 第六章 圆和扇形 【同步精练】 1.3.14×(8+2+2)÷1.57 =3.14×12÷1.57 =37.68÷1.57 =24(盆) 答：能摆24盆月季。 2.阴影部分的周长是2条长方形的长加上圆周长的 子，若设圆半径为R,长方形的长为a,则mR=a ·R,可得2a=2πR=36(cm),周长是36+36÷4 =45(cm）。 3.连接OB,AC交于点D。因为以OB=AC=6厘米， AD=CD=3厘米，Sm=6×3×7=9平方厘米， 正方形OABC的面积=18平方厘米。