第四章 列方程解决问题-2025年小升初数学必刷奥数题500题

第四章列方程解决问题 第四章 列方程解决问题 知识概述 列方程解决问题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等 式，也就是列出方程，然后求出未知数的值。列方程解决问题最关键的是设未知数 和根据题意找出数量之间的相等关系。 列方程解决问题一般分为以下步骤：①认真审题。即弄清题目的意思，搞清题 目的结构以及数量之间的关系。②合理假设未知数，设未知数的方法有两种：题目 求什么就设什么为直接法：不是设题目所求问题的为间接设法。③列方程。分析 题目中的数量之间存在的相等关系。列出含有未知数的等式。④解方程。⑤检验 并写出答案。 要提高列方程解应用题的能力，应在以下两方面下工夫：一是善子分标题中 的已知数与未知数之间的数量关系；二是要注意一般语言与数学语言之间的相互 转化。 典例精讲 --…☆☆☆ 例1 现在有(3x-26)只鸭子，而岸上有(x+26)只 有一群鸭子，在河里的只数是岸上的3倍，如 鸭子。此时它们是相等的，则可列方程为3x 有26只鸭子上岸，那么岸上的鸭子就与河里 -26=x+26。 的鸭子一样多。这群鸭子一共有多少只？ 【答案】解：设原来岸上的鸭子为x只，则河里 【精析】分析应用题应从关键句出发，但一定 原来有3x只鸭子。 要表示出26只鸭子上岸的过程，此过程中河 3x-26=x+26 里的鸭子少了26只，岸上的鸭子多了26只。 3x=x+52 我们先设原来岸上的鸭子（一倍量）为x只， x=26 则河里原来有3x只。26只鸭子上岸，则河里 3x=3×26=78,78+26=104(只) 答：这群鸭子一共有104只。 19 小升初数学必刷奥数题500题 【同步精练】 2.一群猴子共38只，每天共摘桃266个，已知 1.六(1)班与六(2)班原有图书一样多，后来 一只公猴每天摘桃10个，一只母猴每天摘 六(1)班又买来新书38本，六(2)班从本班 桃8个，一只小猴每天摘桃5个。又知公猴 原有图书中取出72本送给一年级同学，这 比母猴少4只，求每种猴各多少只？ 时六(1)班的图书是六(2)班的3倍，两班 原有图书各多少本？ 例3 学校体育用品库篮球和排球共有100个，篮球 例2 个数的兮比排球个数的0多16个。学校体育 药剂师把1千克药品按每包15克和7克两种 用品库篮球和排球各有多少个？ 规格分装成小包，结果7克一包的比15克一 【精析】题目中有两种等量关系，可根据一种 包的多装了80包，两种规格的药品各包了多 等量关系设未知数，根据另一种等量关系列 少包？（用方程解） 方程。设篮球有x个，排球就有(100-x)个。 【精析】根据“7克一包的比15克一包的多装 了80包”，设15克一包的有x包，7克一包的 根据题中的条件“篮球个数的？比排球个数的 有(x+80)包：再根据“把1千克药品按每包 0多16个”，找到等量关系式：篮球个数×兮 15克和7克两种规格分装成小包”，得到：每 包15克的总克数+每包7克的总克数=1000 排球个数×0=16，列方程解答。 克，根据这个等量关系列方程解答。 【答案】解：设学校体育用品库篮球有x个。 【答案】解：设每包15克的包了x包。 15x+7(80+x)=1000 3-6(10-x)=16 15x+560+7x=1000 3x-10+10=16 22x=440 1 x=20 30=26 20+80=100(包) x=60 答：每包15克的包了20包，每包7克的包了 100-60=40(个) 100包。 答：学校体育用品库里篮球有60个，排球 【同步精练】 40个。 20 第四章列方程解决问题 【同步精练】 煤原来各多少吨？ 3.学校锅炉房里原来存有大小两堆煤，共重 66吨，现给小堆煤加上4吨，从大堆煤里用 去}，两堆煤的重量正好相等，求大小两堆 好题精练 …☆☆☆ A组一夯基础 1.“红花朵数的等于黄花的朵数”关系式是( )。 A红花朵数=黄花朵数×子 B黄花朵数=红花朵数×号C黄花朵数=红花朵数÷号 2.小李和师傅共同做一批机器零件，30天完成了任务，已知师傅每天比小李多做2个，而小李 在中途请假5天，于是小李完成的零件个数恰好是师傅的一半。若设小李每天做x个零件， 那么这批零件的总个数可以表示为( ）。 A.2(30-5)x=30(x+2) B.(30-5)x=2×30(x+2) C.2(30+5)x=30(x-2) 3.一个两位数十位上的数字比个位上的数字少1，如果十位上的数字扩大到原来的4倍，个位 上的数字减去2，那么，所得的两位数比原来大58。求原来的两位数。 4.买30千克面粉和70千克小米共付人民币312元，1千克面粉的价格是1千克小米价格的2 倍，买面粉和小米各用去多少元？ 21 小升初数学必刷奥数题500题 5.有甲、乙两个班，如果从甲班调8个同学到乙班，则两个班人数相等。如果从乙班调8个同 学到甲班，则甲班的人数就是乙班的2倍，甲、乙两班各有多少人？ 6.男生和女生平均每人植树16.5棵，男生24人共植树506棵，女生平均每人植树11棵。男 生、女生共植树多少棵？ 7.一家商贸服务公司，为客户出售货物收取3%的服务费，代客户购物收取2%的服务费。今 有一客户委托该公司出售自产的某种物品和代购新设备，已知该公司共收取了客户服务费 264元，客户恰好收支平衡。那么该公司购置的新设备花费了多少元？ 8.一项工程，甲、乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完成这项工程 的0甲、乙单独做这项工程各需要几天？ 9.童心幼儿园中班的小朋友平均身高为115©m,其中男孩人数比女孩人数多)，女孩的平均身 高比男孩高10%。这个班男孩平均身高是多少厘米？ 22 第四章列方程解决问题 10.有一个两位数，如果在其两个数字之间添一个0，则得到的三位数是原来这个两位数的9 倍。原来这个两位数是多少？ 11.甲、乙、丙三人进行400米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有40米，丙离终点还有85米， 如果甲、乙、丙的速度保持不变。问：当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？ ®组—提能力。 12.学校组织新年文艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，价值100元，其中铅笔 的数量是圆珠笔的4倍，已知每支铅笔0.2元，每支圆珠笔0.9元，每支钢笔2.1元。那么 铅笔有多少支？ 13.一项工程，甲队独做需要20天完成，乙队独做需要30天完成。现在由甲队施工一天，然后 由乙队接替甲队施工一天，第三天再由甲队接替乙队施工一天，如此交替，最后乙队结束工 作，共花费多少天完成任务？ 14.晓峰的爸爸在离家4000米的动物园上班，如果以每分钟200米的速度骑车上班，正好准时到动 物园。有一天，他出发几分钟后，因车出现小故障停车3分钟，为了保证安全，后面的路必须每分 钟少行50米，结果比平时晚到8分钟。爸爸的车是在离动物园多远处出现的故障？ 23 小升初数学必刷奥数题500题 15.丢番图是古希腊数学家，被誉为“代数学之父”。而丢番图的墓碑，就包含了一个很有趣的 数学问题，以下就是丢番图的墓碑原文，同学们能从其中看出丢番图一共活了多少岁吗？ 上帝给予的童年占六分之一， 又过十二分之一，两颊长胡， 再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。 五年之后天赐贵子， 可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。 悲伤只有用数论的研究去弥补， 又过四年，他也走完了人生的旅途。 16.桌上有一堆石子共1001粒。第一步从中扔去一粒石子，并把余下的石子分成两堆。以后 的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把某一堆分作两堆。问：能否在若 干步之后，桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？ 17.五年级2班有46名学生参加三项课外兴趣活动，其中24人参加了数学小组，20人参加了 语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，又是三 项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组又参加语文小组的人数相当于三项活动都参加 人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的学生有10人。请问：参加文艺小组的学生 有多少人？ 2429+ =23①。 又因为0<}+0<2， 并且由①得2+是整数所以它 只能是1。 所以2+25 1=22 同理可知+3x州妈]=2.(& 1,2,…,20),所以原式=22×20=440。 14.(1)根据新运算得： 10219 =(10+12+14+16+18)÷5 =70÷5 =14 (2)由以上3个算式，总结出定义新运算b可 简化为计算a、b间最大和最小两个奇（偶）数的 平均值： 则：19299=(19+99)÷2=59；因为59<80，所 以 一定大于59； 为奇数时， *59= -1+60)÷2= 80,解得： =101: 为偶数时， *59=(0+60)÷2=80,解 得： =100: 答： =101或=100。 15.(1)42的因数：1、236、7、14、21、42。 1+2+3+6+7+14+21+42=96 答：A(42)=8,B(42)=96 (2)A(N)=8代表它有奇数个因数所以它必须 是一个数的立方数，但1除外，则2×2×2×3= 24,所以24是最小满足要求的数。 答：使4(N)=8的最小的自然数N是24。 16.因为x*y=mx+y,1*2=5,所以m+2n=5,所 以m,n,k均为自然数（零除外），所以m=1,n=2 或m=3,n=1,所以x*y=x+2y或x*y=3x+ y,所以2*3=8或2*3=9，因为x△y=y,(2 *3)△4=64，m,n,k均为自然数（零除外），所以 2*3为64的约数，所以2*3=8，所以8△4= 参考答案 32k=64,k=2,所以1△2=2×1×2=4，所以(1 △2)*3=4*3=4+2×3=10。 第四章 列方程解决问题 【同步精练】 1.设两班原有图书各x本。 3(x-72)=x+38 x=127 答：两班原有图书各127本。 2.设母猴有x只，公猴就有(x-4)只，小猴就有 [38-x-(x-4)]只，由题意得： 8x+(x-4)×10+[38-x-(x-4)]×5=266 解得：x=12。 x-4=12-4=8 38-12-8=18(只)》 答：母猴有12只，公猴有8只，小猴有18只 3.设小煤堆原有的重量为龙吨，则大煤堆原有的重量 为(66-x)吨， x+4=(66-x)×(1-子)，解得x=26。 则大煤堆的重量为：66-26=40（吨）。 答：大煤堆原有40吨，小煤堆原有26吨。 【好题精练】 1.B2.A 3.设原来的两位数的十位数数字是x,则个位上的数 字是(x+1),得 (4×10x+x+1-2)-(10x+x+1)=58. 解得：x=2。 10x+x+1=11×2+1=23 答：原来的两位数是23。 4.设1千克小米x元，1千克面粉2x元。 30×2x+70x=312,解得x=2.4, 2.4×2×30=144(元)2.4×70=168（元） 答：买小米用去168元，买面粉用去144元。 5.设乙班有x人，甲班(x+8×2)人 2(x-8)=x+8×2+8, 解得x=40,40+8×2=56(人)。 答：甲班有56人，乙班有40人。 6.设女生有x人。 16.5(24+x)-11x=506,解得x=20,506+11× 20=726(棵) 答：男生、女生共植树726棵。 7.设购置新设备共用了x元，根据题意有 5 小升初数学必刷奥数题500题 2%x+3%(x+264)=264, 解得x=5121.6。 答：这家公司购置新设备花费5121.6元。 8.设乙的工作效率为x,那么甲的工作效率就是x +30 4标+(x+动）×4+5x=1,解得x=5 1111 x+30=15+3010 甲需要的天数：1÷0=10（天） 乙需要的天数：1÷5=15（天） 答：甲单独做这项工程要10天，乙单独做需要 15天。 9.设男孩平均身高是xcm,女孩人数是1，则女孩平 均身高是(1+10%)x= 11 (cm),男孩人数为1+ 16 5=50 (停+×小+)=5 x=110 答：这个班男孩平均身高是110cm。 10.设原来这个两位数的十位数字为x,个位数字 为yo 100x+y=9(10x+y) 4 x=5 因为x,y只能是一位整数，所以x=4,y=5。 答：原来这个两位数是45。 11.设当乙到达终点时，丙离终点还有x米， 400-40400 400-85400-x x=360×400-400x315=50 360 答：当乙到达终点时，丙离终点还有50米。 12.设圆珠笔为x支，则铅笔为4x支， 4x×0.2+0.9x+(232-5x)×2.1=100 解出：x=44 铅笔：4x=4×44=176(支) 1B.设各队均干了n天，甲每天完成0，乙队每天0 6 0+0=1 是=1，n=2 两队均千了12天，所以共干12+12=24（天） 答：共需要24天完成任务。 14.设出发x分钟后车出现小故障。 200x+(4000÷200+8-x-3)×(200-50) =4000 x=5 4000-200×5 =4000-1000 =3000(米) 答：爸爸的车是在离动物园3000米处出现的 故障。 15.设丢番图活了x岁，根据题目条件列出方程： +7+7+5+7+4= 移项后得到=9，解得x=84。 答：丢番图一共活了84岁。 16.事实上，如果可能的话，那么假定最后在桌上剩 下了1堆石子，每堆3粒，则在此之前一共进行了 (n-1)次操作：而每操作一次，都扔去一粒石子， 所以一共扔去(n-1)粒石子：因此，3n+(n-1) =1001,得到4n=1002,但1002不是4的倍数， 说明n不是整数，导致矛盾：所以不可能。 答：不可能。 17.设三项活动都参加的人数为x,根据题意得参加 文艺小组的人数为7x,既参加数学小组又参加文 艺小组的人数为7x+3.5=2x,既参加文艺小组 又参加语文小组的人数为2x。根据容斥原理可 以得到下面等式： 24+20+7x-(2x+2.x+10)+x=46 解得，x=3 所以：7x=21 答：参加文艺小组的学生有21人。 第五章比和比例 【同步精练】 1.(1-号)×2+39 13 26 4÷(93)-30(人)