18.1.2分式的基本性质导学案2025-2026学年人教版八年级数学上册

18.1.2 分式的基本性质导学案 分式的基本性质是分式运算和变形的重要依据，本导学案旨在引导学生深入理解该性质，熟练掌握其应用方法。 一、学习目标（简写版） 1. 理解并掌握分式的基本性质，能准确用式子表示。 1. 熟练运用分式基本性质进行分式的约分、通分等变形。 1. 能辨别分式变形过程中的正误，避免因性质运用不当产生错误。 二、学习重难点 重点： 1. 分式基本性质的内容及应用，包括分子分母同乘（或除以）一个非零整式，分式的值不变。 1. 运用分式基本性质进行约分和通分的方法。 难点： 1. 在分式变形中，正确判断所乘（或除以）的整式是否为零，避免错误变形。 1. 对复杂分式进行约分和通分时，准确找出分子分母的公因式和最简公分母。 三、知识点自主预习填空 1. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个______的整式，分式的值______。用式子表示为，其中A，B，C是整式。 1. 把一个分式的分子与分母的______约去，这种变形叫做分式的约分。分子与分母没有公因式的分式，叫做______。 1. 通分是把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的______的分式。通分的关键是确定几个分式的______，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。 四、知识点详细讲解与要点讲解 知识点 1：分式的基本性质 详细内容： 分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式变形的基础。即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变 。例如，对于分式，分数值不变；对于分式，分子分母同时乘以2，变为，分式的值也不变 。这一性质的核心在于所乘（或除以）的整式不能为0，否则分式无意义。 常考易错点： 1. 忽略所乘（或除以）的整式不能为0的条件。例如，在对分式，当x = 1时，这种变形是错误的，因为此时x - 1 = 0 。 1. 对性质中的 “整式” 理解不准确，误将一些非整式的式子用于变形。 经典例题 1：下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：A 选项，分式的分子分母同时加1，不符合分式基本性质，变形错误；B 选项，没有说明，当a = 0时，变形不成立；C 选项，分子分母分别乘以不同的整式x和y，不符合分式基本性质；D 选项，分子分母同时乘以一个不为0的整式a，符合分式基本性质，变形正确。所以选 D。 变式题 1：如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 答案：B 解析：将x和y都扩大3倍后，分式变为，根据分式基本性质，分子分母同时除以3，得到，分式的值不变，所以选 B。 知识点 2：分式的约分 详细内容： 约分是把一个分式的分子与分母的公因式约去的变形 。约分的关键在于找出分子分母的公因式，公因式的确定方法：系数取分子分母系数的最大公因数，相同字母取最低次幂 。例如，对于分式，系数6和9的最大公因数是3，相同字母x的最低次幂是，y的最低次幂是y，所以公因式是，约分后得到 。分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，约分要将分式化为最简分式 。 常考易错点： 1. 找公因式不彻底，导致约分不彻底。例如对约分，若只约去系数的公因数6，得到，没有继续约去，就不是最简分式。 1. 错误地将分子分母中不是公因式的部分约去。比如对。 经典例题 2：将分式约分，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：系数4和6的最大公因数是2，相同字母a的最低次幂是a，b的最低次幂是b，公因式是2ab。，所以选 C。 变式题 2：约分的结果是（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：先对分子分母因式分解，，所以选 A。 知识点 3：分式的通分 详细内容： 通分是把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式 。通分的关键是确定最简公分母，通常先将各分母因式分解，然后取各分母所有因式的最高次幂的积作为最简公分母 。例如，对于分式，最简公分母就是，得到通分，分子分母同乘2，得到。 常考易错点： 1. 确定最简公分母时出错，遗漏某些因式或没有取最高次幂。比如对，最简公分母应该是，若误取为x - 1，则通分错误。 1. 在通分过程中，分子分母乘的整式不一致，导致分式变形错误。 经典例题 3：分式的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：x = x，，取各分母所有因式的最高次幂的积，2、3的最高次幂是2和3，x的最高次幂是，所以最简公分母是，选 C。 变式题 3：将分式通分，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：通分，分子分母同乘x + 1，得到；将通分，分子分母同乘x - 1，得到，所以选 A。 五、效果检测（判断题） 1. 分式的分子分母同时加上1，分式的值不变。（ ） 1. 由分式的基本性质可得（a为整式）。（ ） 1. 约分就是把分式的分子分母同时除以它们的公因式。（ ） 1. 最简分式的分子分母没有公因式。（ ） 1. 分式的最简公分母是。（ ） 1. 通分后得到的分式与原分式的值相等。（ ） 1. 对分式约分，结果是x - 1。（ ） 1. 因为不符合分式基本性质，所以变形错误。（ ） 六、课后作业 一、单选题 1．下列各式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 2．下列分式是最简分式是（    ） A． B． C． D． 3．分式，，的最简公分母为（ ） A． B． C． D．12ab 4．下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 5．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 6．下列分式中，是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 7．若，那么的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 二、填空题 8．约分： ； 9．已知，则的值为 ． 10．如果，那么 ． 11．化简： ． 12．把分式化为最简分式的结果是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 七、答案与解析 （一）知识点自主预习填空答案 1. 不等于0；不变 1. 公因式；最简分式 1. 同分母；最简公分母 （二）效果检测答案与解析 1. 答案：× 解析：分式的基本性质是分子分母同乘（或除以）一个非零整式，分式的值不变，不是同时加1，所以该说法错误。 1. 答案：× 解析：当，所以该说法错误。 1. 答案：√ 解析：根据约分的定义，约分就是把分式的分子分母同时除以它们的公因式，该说法正确。 1. 答案：√ 解析：最简分式的定义就是分子分母没有公因式的分式，所以该说法正确。 1. 答案：× 解析：，不是，所以该说法错误。 1. 答案：√ 解析：通分是根据分式基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，所以通分后分式的值与原分式相等，该说法正确。 1. 答案：√ 解析：，约分正确，该说法正确。 1. 答案：√ （三）课后作业答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C A A C C C 1．D 【分析】本题考查了最简分式的定义，将分式的分子、分母进行因式分解，根据最简分式的定义逐一判断，即可求解；理解“分子分母不含有除1以外的公因式的分式叫最简分式”是解题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A. ，分子分母含有公因式2，不是最简分式，故不符合题意； B. ，分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； C. 分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； D. 是最简分式，故符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的定义求解． 【详解】解：分式，，的分母分别是、、，故最简公分母是； 故选：A． 4．A 【分析】本题主要考查了最简分式的识别，分子和分母不含有公因式的分式叫做最简分式，据此可得答案． 【详解】解：A、是最简分式，符合题意； B、不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了分式的约分，把分子分解因式后约分即可． 【详解】解：． 故选C． 6．C 【分析】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．理解最简分式的概念是解题的关键． 判断分式是否是最简分式，看该分式分子、分母是否能约分． 【详解】 、，不是最简分式，不符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 、是最简分式，符合题意； 、 ，不是最简分式，不符合题意． 故选：． 7．C 【分析】本题考查绝对值，分式的基本性质，根据x的范围判断的符号，从而去掉绝对值的符号，然后化简即可． 【详解】解：若， 不等式两边同时乘以5，得到， 则， ∴， 那么1． 故选：C． 8． 【分析】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键． 直接约去分子与分母的公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．4 【分析】本题考查了分式的化简，掌握分式的性质是关键． 根据题意，把代入计算即可求解． 【详解】解：已知， ∴， 故答案为：4 ． 10． 【分析】本题考查了比例的性质，分式的性质，掌握比例、分式的性质的计算是解题的关键． 根据题意可得，，代入式子，运用分式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 11． 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质化简是解题的关键． 根据题意，运用分式的性质化简即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 12． 【分析】本题主要考查了约分的定义及方法．约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 给分子、分母约去即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． $$