22.1 平行四边形的性质（2）课件-2024-2025学年冀教版八年级数学下册

22.1 平行四边形的性质（2） 学习目标 1. 探究并掌握平行四边形对角线互相平分的性质。（重点） 2. 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题。（难点） 3. 培养推理论证能力和逻辑思维能力。 平行四边形的性质1：平行四边形的对边相等. 平行四边形的性质2：平行四边形的对角相等. 推论：平行线之间的距离处处相等. 旧知温习 A B C D 四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形 经常用于面积计算时同底等高 B C D A O 发现问题 平行四边形的四条边，四个角都有关系，两条对角线又是什么关系呢？ ● A D O C B D B O C A 分析问题 前面研究性质时，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，发现完全重合，你能说出其中的数量关系吗？ 分析问题 平行四边形的对角线互相平分. ● A D O C B OA=OC OB=OD 温故知新 1、我们到现在为止都学习了平行四边形的哪些性质呢？ 具有一般四边形的性质：内角和是360°，外角和为360° 角：平行四变形的对角相等，邻角互补（180°） 边：平行四边形的对边相等. 温故知新 2、如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,图中共有几对全等三角形？有哪些线段相等？你能发现平行四边形的对角线有什么性质吗？ O ∵AB‖DC, ∴∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC 又AB=DC,∴△OAB≌△OCD.(ASA) ∴OB=OD,OA=OC. 性质学习 性质3：平行四边形对角线互相平分. 平行四边形的性质 ∵四边形是平行四边形； O ∴OB=OD,OA=OC. 几何语言： 探索新知 探索平行四边形的性质 做一做：（1）平行四边形是中心对称图形吗？ 如果是，你能找出它的对称中心并验证你的结论吗？ 已知：如图： ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 平行四边形的对角线互相平分. 证一证: A C D B O 1 2 3 4 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，AD∥BC ∴ ∠1=∠4，∠2=∠3. ∠1=∠4 在△AOD和△COB中 AD=BC ∠2=∠3 ∴ △AOD≌△COB（ASA）. ∴ OA=OC，OB=OD. 平行四边形的性质： 平行四边形的对角线互相平分； AC=BD吗？ 几何语言叙述： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA = OC，OB = OD （平行四边形的对角线互相平分） 解决问题 A B C D o 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点. A B C D o 新知应用 如图，在 ABCD，BC=5，AC=7，BD=9. 你能提出哪些问题？ A0= BO= CO= DO= △ABC的周长 △BCD的周长 △ABC的周长 △ABC的周长与△BCD的周长哪个更长？长多少？ △A0B的周长 △B0C的周长 △COD的周长 A B C D o 如图，在 ABCD，BC=5，AC=7，BD=9. 新知应用 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD＝BC＝5 OA＝OC＝2.5 OD＝OB＝3.5 ∴ C△COB＝ BC+OC+OB＝5+2.5+3.5＝10 ∵ C△ABC＝ AB+BC+CA C△BCD＝ BC+CD+DB AB=CD BC=BC BD–AC=9–7=2 ∴△DBC的周长较长，长2. △B0C的周长 △ABC的周长与△BCD的周长哪个更长？长多少？ A B C D o 问题延伸 由“平行四边形对角线互相平分” 你能得出哪些结论？ 平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份. 平行四边形对角线把平行四边形分成四对全等三角形. 平行四边形对角线把平行四边形分成四个三角形.其中相邻两个三角形的周长之差即为平行四边形的相邻两边的差. 过平行四边形对称中心的直线将平行四边形分成全等的两部分。  平行四边形对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 几何语言： ∴OA=OC，OB=OD O 1.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且 AC+BD=32,CD=12,则△ABO的周长是（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 20 C A B C D O 变式训练 变式训练 2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且AC:DB= 2:1，求AC和BD的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AB=CD，OB=OD， ∴AB+BC=50. ∵△AOB与△BOC的周长的和是122cm， ∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122， 即AC+BD=122-50=72. 又∵AC:DB=2:1， ∴AC=48cm，BD=24cm． O D B A C ● F E 例2.如图， ABCD的对角线AC和BD相较于点O，EF过点O且与边AB、CD分别相交于点E和F. 求证：OE=OF．　 分析：要证明OE=OF， 只要证明它们所在的两个三角形全等即可． 例题示范 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ OB=OD (平行四边形对角线互相平分)． 又∵ AB∥DC， 又∵∠BOE=∠DOF， ∴∠EBO=∠FDO. ∴ △BEO≌△DFO. ∴ OE=OF. 例题示范 O D B A C ● F E 还可以怎么证明？ 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,BD AD.则OB的长为______， ABCD的面积为______。 小试牛刀 3 48 例题精讲 例2.如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD、BC分别相交于点E、F， 求证：OE=OF． O 在△DOE和△BOF中 ∠DOE=∠BOF（对顶角相等） DO=BO ∠ODE=∠OBF. ∴ △DOE≌△BOF（ASA）. ∴ OE=OF. 例题讲解 变式：若例3中的条件都不变，将EF转动到图1的位置，那么例3的结论是否成立，若将EF向两方延长与平行四边形的两面对边的延长线分别相交（图2和图3），例3的结论是否成立，说明你的理由。 课堂练习 1、 中，AC=24cm,BD=38cm,AD=28cm,若对角线AC与BD的交点为O，求△OBC的周长. 2、 中，对角线AC与BD互相垂直，那么，这个四边形的邻边有什么关系，为什么？ $$