2025年高一升高二数学第06讲 立体几何初步（8.4空间点、直线、平面之间的位置关系+8.5空间直线、平面的平行）暑假复习温故

第06讲 立体几何初步（复习温故） （8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 +8.5空间直线、平面的平行） 目录 高频考点1：截面问题 1 高频考点2：直线与直线、平面的位置关系 2 高频考点3：线面平行 3 ①证明线面平行 3 ②补全线面平行的条件 5 ③线面平行的性质 7 ④线面平行求线段长（或点的位置） 9 高频考点4：面面平行 11 ①证明面面平行 11 ②补全面面平行的条件 13 ③面面平行性质 16 高频考点5：画出交线问题 18 高频考点1：截面问题 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱，分别是的中点，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为4，， 分别为棱，的中点，过，，作正方体的截面，则截面多边形的周长是(       ) A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为 . 4．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知正方体的棱长为2，点P，Q分别为BC，的中点，则过点，P，Q的平面截正方体所得的截面的周长为 . 5．（24-25高一下·湖南张家界·期中）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为 . 高频考点2：直线与直线、平面的位置关系 1．（24-25高一下·浙江台州·期末）在空间中，直线直线，直线，满足：，，，，则直线，位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 2．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）已知直线m在平面内，直线n与平面相交于点A，且点A不在直线m上，则它们的关系表达正确的是（   ） A．共面 B．共面 C．异面 D．异面 3．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（    ） A．与a，b都相交 B．与a，b都不相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．至多与a，b中的一条相交 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知直线和平面，若，，则与的位置关系是 . 5．（24-25高一下·上海·期末）已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是 ． 高频考点3：线面平行 ①证明线面平行 1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，在棱长为3的正方体中，为的中点．    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 2．（24-25高二·全国·假期作业）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点．求证：平面    3．（24-25高二·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，分别为的中点．求证：直线平面；    4．（24-25高一下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在正方体中，E是的中点． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面ACE； ②补全线面平行的条件 1．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为 ． 2．（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 3．（24-25高一下·湖北荆州·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 4．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，E为边的中点，直线上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ③线面平行的性质 1．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，、、分别为、、的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)求证：平面； 2．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图，在正三棱柱中，分别是棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)过点的平面交于点，交于点．求证：． 3．（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且. (1)求证：平面； (2)若平面平面，证明：. 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，四棱锥中，是平行四边形，是的中点． (1)若的中点为，求证：平面； (2)在上取一点，过和作平面交平面于，在上，证明：． 5．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面． (1)证明：平面； (2)证明：． ④线面平行求线段长（或点的位置） 1．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，是棱长为2的正方体的棱上一点，且面，则线段的长度是 . 2．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为 ． 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点，为的中点，在上，，平面，则的值为 ． 4．（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为棱上的点，若，且平面，则 ． 5．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点. (1)求五面体的体积； (2)若在线段上，平面，求的长度. 高频考点4：面面平行 ①证明面面平行 1．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点． (1)计算棱台的体积； (2)求证：平面平面． 2．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面. 证明： (1)； (2)平面平面. 3．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在四棱锥中，是正方形，分别是的中点． (1)求证：直线平面． (2)求证：平面平面． 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知四棱锥的底面为矩形，，，分别为，，的中点．求证：平面平面PCE． 5．（23-24高一·全国·课堂例题）如图，在长方体中，求证：平面平面．       ②补全面面平行的条件 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在四棱锥中，E，F分别是线段AP，BC上的点，，则下列条件可以确定平面PCD的是（   ） A． B． C．平面PAD D．， 2．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）设为棱上的一点，问：当在什么位置时，平面平面？ 3．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是的中点. 在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：在上存在一点P，使得平面平面DCF． ③面面平行性质 1．（24-25高一下·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面交平面于直线，求证：． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，空间六面体中，，，平面平面为正方形，平面平面.求证：； 3．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 4．（24-25高一下·山东·期中）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点. (1)求证：平面； (2)已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于， （i）求证：； （ii）求证：平面. 5．（2025高三·全国·专题练习）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.求证：平面；    高频考点5：画出交线问题 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，.若是棱的中点，过点作平面，使得平面平面，在图中画出平面截平行六面体所得的截面；（不需写出作法和证明过程） 2．（23-24高一下·吉林白山·期中）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点. (1)求证：直线平面； (2)若正方体棱长为1，过三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积. 3．（23-24高一·全国·随堂练习）画一个正方体，再画出平面与平面的交线，并且说明理由． 4．（23-24高一下·河南郑州·期末）如图，已知正方体的棱长为4．    (1)求二面角的正切值； (2)若E，F分别是棱AD，的中点，请画出过B，E，F三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长． 5．（23-24高一下·重庆万州·期中）如图所示，正方体的棱长为a. (1)过正方体的顶点，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积； (2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 立体几何初步（复习温故） （8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 +8.5空间直线、平面的平行） 目录 高频考点1：截面问题 1 高频考点2：直线与直线、平面的位置关系 6 高频考点3：线面平行 9 ①证明线面平行 9 ②补全线面平行的条件 13 ③线面平行的性质 18 ④线面平行求线段长（或点的位置） 23 高频考点4：面面平行 28 ①证明面面平行 28 ②补全面面平行的条件 32 ③面面平行性质 37 高频考点5：画出交线问题 42 高频考点1：截面问题 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱，分别是的中点，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可. 【详解】设设直线分别交的延长线于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接， 所以过点的平面截直四棱柱的截面为五边形. 由平行线分线段比例可知：，故， 故为等腰直角三角形，所以， 故，则，. 连接，易知， 所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分， 等腰梯形的高， 则等腰梯形的面积为. 又， 所以五边形的面积为. 故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为4，， 分别为棱，的中点，过，，作正方体的截面，则截面多边形的周长是(       ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用平面性质作出截面图形，然后利用勾股定理求出各个边长，即可得解. 【详解】取的中点为T，取的中点为S，取上靠近D的四等分点为M， 取上靠近的四等分点为G，取上靠近的三等分点为N， 连接. 如图 由正方体性质可知，在中，分别为的中点， 所以，所以，故四点共面， 在正方形中，且，所以为平行四边形， 所以，由正方体性质可知， 在中，分别为的三等分点，所以，所以， 故四点共面， 所以五边形为所求的截面多边形. 易知，，，，， 故，，，，. 所以截面五边形的周长为. 故选：D. 3．（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为 . 【答案】/ 【分析】首先根据平行的性质，作出平面，再求面积. 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 4．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知正方体的棱长为2，点P，Q分别为BC，的中点，则过点，P，Q的平面截正方体所得的截面的周长为 . 【答案】 【分析】根据题意得截面为五边形，即可利用三角形的边角关系求解长度得解. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，连接交于点， 连接交于点，连接，．则过点，的平面截正方体所得的截面为五边形． 因为为的中点，为的中点， 所以，， 所以，， 所以， ， ， 即截面周长为 ． 故答案为：. 5．（24-25高一下·湖南张家界·期中）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，作出平面截正四棱锥所得的截面，再借助余弦定理、三角形面积公式求解作答. 【详解】在正四棱锥中，连接，则，是正三角形，由的中点为E，得， 而，则，在中，， ，令平面与直线交于，连，则， ，即点在棱上，同理平面与棱相交，令交点为，连， 于是四边形为平面截正四棱锥所得的截面，由对称性知， 在中，，而， 在中，，由余弦定理得， 在中，，， 所以所得截面面积. 故答案为： 高频考点2：直线与直线、平面的位置关系 1．（24-25高一下·浙江台州·期末）在空间中，直线直线，直线，满足：，，，，则直线，位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【答案】B 【分析】利用线面垂直的性质定理即可得到结果. 【详解】若直线为相交垂直，故这两条直线确定一个平面，设为平面， 又因为直线，满足：，，，， 由线面垂直的判定定理得，又由线面垂直的性质定理得，    若直线为异面垂直，直线直线，将两条直线平移为， 定能让两条直线相交，从而确定一个平面， 又因为直线，满足：，，，，所以，，，， 由线面垂直的判定定理得，又由线面垂直的性质定理得，    故选：B 2．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）已知直线m在平面内，直线n与平面相交于点A，且点A不在直线m上，则它们的关系表达正确的是（   ） A．共面 B．共面 C．异面 D．异面 【答案】D 【分析】根据点线面的位置关系，正确应用数学符号；利用异面直线判定定理可以判定直线是异面直线，综合可以做出判定. 【详解】直线m在平面内，即， 直线n与平面相交于点A，即，则， 点A不在直线m上，即， 根据异面直线判定定理可知直线是异面直线， 空间中规定直线和平面都看成点的集合，因此都是错误的， 对于A：共面，每一点都是错误的，故A错误； 对于B：共面是错误的，故B错误； 对于C：是错误的，故C错误； 对于D：异面都是正确的，故D正确； 故选：D. 3．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（    ） A．与a，b都相交 B．与a，b都不相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．至多与a，b中的一条相交 【答案】C 【分析】结合特例可判断AD的正误，利用反证法可判断B的正误，从而可判断C的正误. 【详解】对于A，如图，，相交，故A错误； 对于B，若与都不相交，而共面且共面，故，则， 与异面矛盾，故B错误； 对于D，如下图，与都相交，故D错误； 对于C，结合AB可得与中至少一条相交， 故选：C. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知直线和平面，若，，则与的位置关系是 . 【答案】或 【分析】由线面的位置关系判断求解即可. 【详解】若，，如图：     ，  ， 则或. 故答案为：或 5．（24-25高一下·上海·期末）已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是 ． 【答案】相交或异面 【分析】由异面直线定义以及平行线之间的关系分类讨论即可得出结论. 【详解】显然直线不可能平行，否则，由，知，与是异面直线矛盾， 根据异面直线定义可知， 设平面，当，，且，如下图所示： 此时与为异面直线； 当，，且时，如下图所示： 此时与相交， 所以与的位置关系是异面直线或相交直线. 故答案为：相交或异面 高频考点3：线面平行 ①证明线面平行 1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，在棱长为3的正方体中，为的中点．    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用三棱锥体积公式求解即可. 【详解】（1）在棱长为2的正方体中，设相交于点，连结，   是中点，而为中点，， 又平面平面， 平面． （2）在棱长为2的正方体中，平面， 又三棱锥的体积为， ， ． 2．（24-25高二·全国·假期作业）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点．求证：平面    【答案】证明见解析 【分析】取中点，连接，由题可得四边形为平行四边形，据此可完成证明. 【详解】在三棱柱中，取中点，连接， 由分别为和的中点，得且， 由O为BC中点，得且，则且， 即四边形为平行四边形，于是， 又平面，平面，所以平面.    3．（24-25高二·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，分别为的中点．求证：直线平面；    【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，由题可得四边形为平行四边形，则，据此可完成证明. 【详解】取的中点，连接， 因为为的中点，所以且， 因为底面为矩形，，为的中点， 所以且， 故且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面    4．（24-25高一下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在正方体中，E是的中点． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面ACE； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）连接，根据正方体的性质得到，即可得到或其补角其即为异面直线和所成角，从而得解； （2）连接BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO，即可得到，从而得证. 【详解】（1）连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角即为异面直线和所成角， 又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； （2）连接BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO， 因为在正方体中，底面ABCD是正方形，所以O为BD中点， 又因为E为的中点，所以， 又因为平面ACE，平面ACE，所以直线平面ACE． ②补全线面平行的条件 1．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 故答案为：. 2．（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 【答案】 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，如下图所示： 由，得， 连接BG，FG，则， 由平面，平面，得平面， 而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面， 平面平面，则， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一下·湖北荆州·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连和，证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定，即可证得平面.； （2）取中点，连接，，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，结合面面平行的性质，即可证得平面． 【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取中点，连接和， 因为和分别为和的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 又由（1）可得∥平面，且，平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，且平面，所以平面， 所以，当为中点时，平面． 4．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点N为的靠近的三等分点，证明见解析 【分析】（1）取靠近的三等分点F，连接，只需证明即可； （2）取的靠近的三等分点N，连接，可以证明平面，由此即可得解. 【详解】（1）如图，在上取靠近的三等分点F，即，连接， ， ∴，. ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）存在，点N为的靠近的三等分点.证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，E为边的中点，直线上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在， 【分析】连接，．记，先证明为平行四边形，Q为的中点，继而可作出，结合线面平行的判定即可得出结论. 【详解】如图，连接，．记，而，， E为边的中点，则， 故为平行四边形，且Q为的中点， 连接，在平面内作，交延长线于M， 则有，所以． 此时平面，平面， 则直线平面， 即直线上存在点M，使得直线平面，. ③线面平行的性质 1．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，、、分别为、、的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)求证：平面； 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）取中点，证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）.证明如下： 因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 因为四边形为平行四边形，所以且， 因为为的中点，所以且， 所以，故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面. 2．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图，在正三棱柱中，分别是棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)过点的平面交于点，交于点．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线线平行证得平面平面，进而利用面面平行的性质可得结论； （2）利用已知可证平面，进而利用线面平行的性质可证. 【详解】（1）连接，因为分别是棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为分别是棱的中点，又且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以∥平面； （2）记过过点的平面为平面，平面交于点，交于点， 因为分别是棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以. 3．（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且. (1)求证：平面； (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线段成比例可证明四边形为平行四边形，即可根据线线平行求证， （2）先证明平面,即可利用线面平行的性质求解. 【详解】（1）在上取一点，使得, 由于，因此,且， 由于，，，故, 因此且，故四边形为平行四边形， 故, 平面,平面, 故平面 （2）由于，平面, 平面, 故平面, 又平面，平面平面， 所以 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，四棱锥中，是平行四边形，是的中点． (1)若的中点为，求证：平面； (2)在上取一点，过和作平面交平面于，在上，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，得到且，进而证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）连接与交于点，得到，证得平面，结合线面平行的性质定理，即可证得. 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接， 因为为的中点，可得且， 又因为为平行四边形，可得且， 所以且， 又因为为的中点，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2）证明：连接与交于点，且为的中点， 由点为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面， 又因为平面，且平面平面，所以. 5．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面． (1)证明：平面； (2)证明：． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）先利用三角形的中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理即可证明. 【详解】（1） 设，连接， ，Q为侧棱的中点，为的中点， 又是正四棱锥，为的中点， 在中有， 平面，平面， 平面； （2）在正四棱锥中，有， 平面，平面，平面； 又平面，平面平面， 由线面平行的性质定理可得． ④线面平行求线段长（或点的位置） 1．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，是棱长为2的正方体的棱上一点，且面，则线段的长度是 . 【答案】 【分析】连接与相交于点，则点是的中点，利用线面平行的性质定理可得，即点是的中点，求出可得答案. 【详解】连接与相交于点，连接，则点是的中点， 平面平面， 因为平面，所以， 可得点是的中点， 所以, 故答案为：, 2．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为 ． 【答案】2 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质及可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，则，即. 故答案为：2. 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点，为的中点，在上，，平面，则的值为 ． 【答案】3 【分析】设与交于点，连接，由题意可得，所以， 又由平面，可得，所以. 【详解】设与交于点，连接，如图所示， 因为为的中点，所以， 由于四边形是棱形，可得，则， 所以，所以， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以. 故答案为：3. 4．（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为棱上的点，若，且平面，则 ． 【答案】/ 【分析】首先作辅助线，根据相似可求得，然后根据线面平行的性质得出线线平行，进而由相似定理可求得. 【详解】如图，连接交于点，连接． 因为，所以， 因为平面，平面平面平面， 所以，所以． 故答案为：. 5．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点. (1)求五面体的体积； (2)若在线段上，平面，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将五面体拆成三棱锥和四棱锥，根据正方体的结构特征，以及锥体的体积公式，即可求解； （2）设，，证得，在矩形中，求得的长，根据，得到为平行四边形，结合. 【详解】（1）解：如图所示，将五面体拆成三棱锥和四棱锥， 在三棱锥中，可得， 又由正方体中，平面，，且为的中点， 所以到平面的距离等于到平面的距离，即三棱锥的高为， 在四棱锥中，可得， 又由正方体中，平面，且为的中点， 所以到平面的距离等于为，即四棱锥的高为， 所以五面体的体积. （2）解：设，，则平面平面， 又因为平面，且平面，所以， 在矩形中，由，可得， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以 ， 所以. 高频考点4：面面平行 ①证明面面平行 1．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点． (1)计算棱台的体积； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据棱台的体积公式求解； （2）连接，，利用线面平行的判定定理可证平面，平面，再根据面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）由题可知，． 根据棱台的体积公式，可得棱台的体积. （2）如图所示： 连接，因为分别是的中点，则， 又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形， 所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 2．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面. 证明： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定、性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形，得是的中点. 而是的中点，则，又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以. （2）由，分别是，中点，得， 又平面，平面，则平面， 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又，平面，所以平面平面. 3．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在四棱锥中，是正方形，分别是的中点． (1)求证：直线平面． (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线定理和正方形性质得到，再由线线平行证明线面平行即可； （2）先证明直线平面，结合（1）已证直线平面，利用线面平行即可证明面面平行. 【详解】（1）因分别是的中点，则， 又是正方形，则，故， 因平面，平面，故直线平面. （2）因分别是的中点，则， 又平面，平面，故直线平面， 由（1）已证直线平面， 因平面，故平面平面. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知四棱锥的底面为矩形，，，分别为，，的中点．求证：平面平面PCE． 【答案】证明见解析 【分析】由，所以平面，由四边形为平行四边形，所以，可得平面，进而可得结果. 【详解】证明  ：因为，分别为，的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． 又由已知得，且， 所以四边形为平行四边形， 所以．而平面，平面， 所以平面． 又平面，平面，， 所以平面平面． 5．（23-24高一·全国·课堂例题）如图，在长方体中，求证：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】利用面面平行的判断定理，证明一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行. 【详解】因为，且， 所以四边形是平行四边形，得到，又平面，平面，所以平面， 同理可证，平面，又，，平面 所以，平面平面    ②补全面面平行的条件 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在四棱锥中，E，F分别是线段AP，BC上的点，，则下列条件可以确定平面PCD的是（   ） A． B． C．平面PAD D．， 【答案】A 【分析】结合图形，设点M是对角线AC上一点，满足，则有，要使平面，则需使，根据各选项条件，判断是否可以推得即可. 【详解】设点M是对角线AC上一点，满足，则有平面，平面，进而平面，要使平面，则平面平面，需使. 对于A，在四边形ABCD中，由，，可得，故A 正确； 对于B，因为，又因为，但与不一定相等，所以不一定是平行四边形，从而得不到，故B错误； 对于C，因为平面PAD，平面ABCD，平面平面，所以，结合B项分析，可得C错误； 对于D，结合B项分析，同样得不到，故D项错误． 故选：A． 2．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）设为棱上的一点，问：当在什么位置时，平面平面？ 【答案】（1）证明见解析；（2）是中点. 【分析】(1)根据给定条件，连接，推导证得即可得解； (2)由(1)的结论，取CD的中点G，证明出平面即可作答. 【详解】（1）在四棱柱中，连接，如图， 因，分别是，的中点，则有，又平面，平面， 所以平面； （2）是中点，使得平面平面，理由如下： 取CD的中点G，连接EG，FG，而是的中点，于是得， 而平面，平面， 从而得平面，由(1)知平面，，且平面， 因此有平面平面， 所以当是的中点时，平面平面. 3．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取PB的中点，连接，由题意可证得且，即证得四边形为平行四边形，再证得结论； （2）取BC的中点，连接，由题意可证得平面平面，由题意可证得重合，再求出的值． 【详解】（1）证明：取PB的中点，连接， 在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 而平面平面PBE， 平面； （2）存在满足条件的，且， 证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则， 由平面平面平面， 又平面平面， 又平面平面与重合， 即为BC的中点，．    4．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是的中点. 在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 【答案】存在，为中点，证明见解析 【分析】分析，当为中点时，由线面平行判定定理得平面，平面，再结合面面平行判定定理求证即可得结论. 【详解】存在，为中点时，平面平面， 连接，设，连接，易知， 因为为中点，为的中点，所以， 由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面， 同理可证得平面， 由于，平面， 所以平面平面. 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：在上存在一点P，使得平面平面DCF． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接DE，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点P，连接，，，由面面平行的判定定理，即可证明. 【详解】（1）连接DE，由题意知，，， 即四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面． 同理，四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又，DC，平面， 所以平面平面． （2）如图，取的中点P，连接，，， 由（1）知，又分别是的中点，可得， 因为分别为的中点，所以，则， 又， 平面，平面， 所以平面平面DCF．故结论得证． ③面面平行性质 1．（24-25高一下·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面交平面于直线，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1) 连接,证明四边形是平行四边形,则易得,结论可得; (2) 连接，证明平面平面，则易得结论. (3)根据线面平行的判断判定得平面，然后由线面平行的性质即可得 【详解】（1）连接，，，， 四边形是平行四边形， 为的中点， 又是的中点，， 又平面平面， 平面． （2）连接， 分别是的中点，， 又平面平面， 平面. 又是的中点，是的中点， 平面平面， 平面． 又在平面内相交于点H，所以平面平面， 又平面， 平面． （3）因为，平面平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以； 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，空间六面体中，，，平面平面为正方形，平面平面.求证：； 【答案】证明见解析 【分析】根据条件可得平面平面，利用面面平行的性质定理即可证明. 【详解】平面平面， 平面. 四边形为正方形，， 平面，平面， 可得平面. 平面平面， 平面平面. 平面平面平面平面， . 3．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设得，应用线面平行的判定证明平面，同理证平面，再由面面平行的判定和性质即可证明结论； （2）由题设，再由线面平行的判定和性质即可证明结论. 【详解】（1）∵M、N分别为PC、CD的中点， ∴，又平面，平面， ∴平面，同理可证平面， 由都在平面内，则平面平面， 由平面，故：平面； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD，又平面PBC，平面平面， ∴. 4．（24-25高一下·山东·期中）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点. (1)求证：平面； (2)已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于， （i）求证：； （ii）求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得出结论； （2）（i）根据线面平行的性质定理证明即可； （ii）利用面面平行的判定定理可证明平面平面，再由其性质可得结论. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）（i）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面， 所以. （ii）连接，如下图： 易知，显然平面，平面，所以平面； 同理可得，即平面； 又，所以平面平面， 又因为平面， 所以平面. 5．（2025高三·全国·专题练习）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的判定定理可证得平面平面，再由线面平行的判定定理即可证得. 【详解】连接、，由分别为的中点，则， 又平面，平面，故平面， 正四棱台中，且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 又，且平面，平面， 故平面平面，又平面，故平面；    高频考点5：画出交线问题 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，.若是棱的中点，过点作平面，使得平面平面，在图中画出平面截平行六面体所得的截面；（不需写出作法和证明过程） 【答案】作图见解析 【分析】作出辅助线，六边形即为所作的截面，并根据中位线进行证明. 【详解】取的中点，的中点，的中点，的中点，的中点，顺次连接，六边形即为所作的截面，如图， 理由如下：因为为的中位线，所以， 同理可得， 而，故， 面，面，则面，同理面， 且都在面，故截面平面，则六边形即为所作的截面， 2．（23-24高一下·吉林白山·期中）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点. (1)求证：直线平面； (2)若正方体棱长为1，过三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)画图见解析， 【分析】（1）连接，由线面平行的判定定理结合中位线证明即可； （2）先由几何关系证明截面为平行四边形，再由边长关系得到，然后根据对角线乘积的一般求出面积即可； 【详解】（1）证明：连接，由为的中位线，可得， 由平面平面，可得平面； （2）取的中点，连接，可得， 取的中点，连接，可得， 可得截面为平行四边形， 且，即平行四边形为菱形， 而， 所以截面的面积为. 3．（23-24高一·全国·随堂练习）画一个正方体，再画出平面与平面的交线，并且说明理由． 【答案】答案见解析 【分析】根据交线的定义，可证明图中的EF(其中E为AC，BD的交点，F为CD1，C1D的交点)为所求. 【详解】如图所示：正方体中，所求交线为图中的EF(其中E为AC，BD的交点，F为CD1，C1D的交点).    理由如下： 平面，平面， 平面, ，平面，，平面， 平面， 为平面与平面的交线. 4．（23-24高一下·河南郑州·期末）如图，已知正方体的棱长为4．    (1)求二面角的正切值； (2)若E，F分别是棱AD，的中点，请画出过B，E，F三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长． 【答案】(1)； (2)作图见解析，周长为. 【分析】（1）取的中点，作出二面角的平面角，再在直角三角形中计算作答. （2）取中点，的中点，连接即得所画交线，再计算周长作答. 【详解】（1）在正方体中，取的中点，连接，如图，      则，又为的中点，则有，即是二面角的平面角， 而平面平面，即有， 由正方体的棱长为4，得，在中，， 所以二面角的正切值为. （2）在正方体中，取中点，的中点，连接， 则线段是过,,三点的平面与正方体表面的交线，理由如下： 连接,，因为为棱中点，则，即四边形为平行四边形， 于是，四边形是平行四边形，则， 又为棱的中点，因此，即,,,四点共面， 所以线段是过,,三点的平面与正方体表面的交线， ，， 所以交线围成的四边形的周长是.    5．（23-24高一下·重庆万州·期中）如图所示，正方体的棱长为a. (1)过正方体的顶点，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积； (2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长； 【答案】(1) (2)作图见解析， 【分析】（1）利用等体积法求出三棱锥的体积，再用正方体体积减去即可； （2）根据点､线､面的位置关系作出图形，再利用三角形相似等知识点则可求出相关线段长； 【详解】（1）因为正方体，所以平面， 则为三棱锥的高，，， 则， 则正方体剩余部分的体积为. （2）画直线交，延长线分别为点， 再分别连接，分别交于点， 顺次连接，五边形即为交线围成的多边形， 易得，，则为等腰直角三角形， 则，根据∽，， 则，则，， 同理可得，，而， 则五边形的周长为. 学科网（北京）股份有限公司 $$