精品解析：江苏省宜兴市2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷

2025年春学期宜兴市初中学业水平调研测试 七年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为100分钟，试卷满分120分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里．若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 等角的余角相等 B. 三角形的外角和等于 C. 若，则 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 6. 若M＝（x－3）（x－4），N＝（x－1）（x－6），则M与N的大小关系为（） A. M＞N B. M＝N C. M＜N D. 由x的取值而定 7. 若关于x的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 9. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 10. 如图，，点E在的上方，G，F分别为，上的点，，的角平分线交于点H，的角平分线与的延长线交于点M．下列结论： ①；②；③；④若，则．其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 11. 2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为______． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 13. 反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角”时，首先要假设 ：_________________. 14. 若与的乘积中，不含x的一次项，则常数k的值是______． 15. 已知，则的值是______． 16. 如图，将绕点逆时针旋转一定角度得到，若，且，则______． 17. 如图，长方形的对角线，，，则图中五个小长方形的周长之和为______． 18. 如图，将长方形沿折叠（折线交于，交于，点的对应点分别是交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，若，则______，______． 三、解答题（本大题有8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或化简： （1）； （2）． 20. 解方程组或不等式组： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：．其中，． 22. 已知方程组的解满足为负数，为非正数． （1）求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若的解集为，求整数的值． 23. （1）如图，将放在每个小正方形的边长为的的正方形网格中． ①的面积是______； ②画出以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的； ③画出关于点成中心对称的． （2）已知直线及位于其两侧的两点，如图．请用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①在图中的直线上求一点，使； ②在图中的直线上求一点，使直线平分． 24. 如图，在中，，点D是边BC上的一点，连接AD，，将沿AD折叠得到，AE与BC交于点F． （1）求的度数； （2）若，试证明：． 25. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ （3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？ 26. 【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： （1）如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转______°，才能使落在上； （2）如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ （3）如图3，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，另一条直角边也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，所在直线与所在直线平行或垂直？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期宜兴市初中学业水平调研测试 七年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为100分钟，试卷满分120分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A不是轴对称图形，是中心对称图形； 选项B是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项C是轴对称图形，也是中心对称图形； 选项D不是轴对称图形，是中心对称图形． 故答案选C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，多项式乘以多项式等计算，根据完全平方公式可判断A、B、D，根据多项式乘以多项式的计算法则可判断C． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可求解． 【详解】解： A. ∵，∴，故该选项正确，符合题意； B. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； D. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变；不等式的性质2：不等式两边同时乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；不等式的性质3：不等式两边同时乘（或除）以同一个负数，不等号方向改变． 4. 请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里．若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，列出方程组即可． 【详解】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟， 则可列方程组为：； 故选D． 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 等角的余角相等 B. 三角形的外角和等于 C. 若，则 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是判断命题真假、求一个角的余角、多边形外角和的实际应用、利用平方根解方程、两直线平行同位角相等，解题关键是熟练掌握相关的定义及定理． 根据余角的定义、多边形内角和、利用平方根解方程、两直线平行同位角相等的知识点进行逐一判断即可求解． 【详解】解：选项中，等角的余角相等，该命题是真命题，符合题意，选项正确； 选项中，三角形的外角和为，该命题是假命题，不符合题意，选项错误； 选项中，若，则或，该命题是是假命题，不符合题意，选项错误； 选项中，平行的两条直线被第三条直线所截，同位角相等，该命题是是假命题，不符合题意，选项错误． 故选：． 6. 若M＝（x－3）（x－4），N＝（x－1）（x－6），则M与N的大小关系为（） A. M＞N B. M＝N C. M＜N D. 由x的取值而定 【答案】A 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式法则，计算出M、N。再进行作差比较． 【详解】解： M＝（x－3）（x－4）= N＝（x－1）（x－6）= 即： 【点睛】本题考查多项式乘多项式的法则，关键在于作差比较大小． 7. 若关于x的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．解第一个不等式得出其解集，再根据“大大小小无解了”可得答案． 【详解】解：由题意可得：， 不等式组无解， 故选：D． 8. 如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：C． 9. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，由题意得，根据，，，即可求解； 【详解】解析：大正方形与小正方形的面积之差是， ， ∵，， 由图可得： ． 故选：B 10. 如图，，点E在的上方，G，F分别为，上的点，，的角平分线交于点H，的角平分线与的延长线交于点M．下列结论： ①；②；③；④若，则．其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合角平分线以及平角的定义进行列式化简得；过点作，运用两直线平行，内错角相等，以及角之间的关系，得；过点作，运用两直线平行，内错角相等，以及角之间的关系，得，再结合进行分析化简得，结合前面的结论以及进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，的角平分线交于点H，的角平分线与的延长线交于点M． ∴， ∵， ∴， 即， 故①符合题意； 过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②是符合题意； 过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故③符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 由②得， ∴， 即， 由③得， ∴， 由③得， ∴， ∴， 故④是符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 11. 2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较小的数的方法，掌握科学记数法表示的方法是解题的关键． 根据“科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．”解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 13. 反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角”时，首先要假设 ：_________________. 【答案】一个三角形中至少有两个内角是直角 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法，正确理解反证法的思想方法，理解求设的方法是解决本题的关键．利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确． 【详解】用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角”的第一步是假设一个三角形中至少有两个内角是直角， 故答案为一个三角形中至少有两个内角是直角． 14. 若与的乘积中，不含x的一次项，则常数k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项．熟练掌握多项式乘多项式的法则，正确的计算是解题的关键． 先进行多项式乘多项式的运算，使结果中x的一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， ∵乘积中，不含x的一次项， ∴， ∴ 故答案为： 15. 已知，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，幂的乘方的逆用，负整数指数幂，掌握相关运算法则是解题关键．由已知等式可得，将变形为，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 16. 如图，将绕点逆时针旋转一定角度得到，若，且，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及三角形内角和，根据旋转角求出，再利用内角和求解即可． 【详解】绕点逆时针旋转得到 故答案为：． 17. 如图，长方形的对角线，，，则图中五个小长方形的周长之和为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 把图中五个小长方形的边长进行平移，可得到图中五个小长方形的周长之和等于矩形的周长． 【详解】解：图中五个小长方形的周长之和． 故答案为：． 18. 如图，将长方形沿折叠（折线交于，交于，点的对应点分别是交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，若，则______，______． 【答案】 ①. ##70度 ②. ##75度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及折叠，利用折叠的性质得到，根据平行求出；根据折叠求出，减去即可． 【详解】解：长方形沿折叠 和平行 根据折叠可知， 故答案为：；． 三、解答题（本大题有8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或化简： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算； （2）根据相关运算法则计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解方程组或不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组，掌握相关解法是解题关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 21. 先化简，再求值：．其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题是整式的化简求值．利用完全平方公式与平方差公式展开，再合并同类项即可，再把字母的值分别代入可求得代数式的值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 22. 已知方程组的解满足为负数，为非正数． （1）求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若的解集为，求整数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、解一元一次不等式组以及一元一次不等式的整数解集： （1）加减消元法用表示出后，解一元一次不等式组即可； （2）根据不等式的性质算出的范围，再求整数值即可． 【小问1详解】 解： ：，即 ：，即 由题意得 的取值范围为 【小问2详解】 解：原不等式可化为 ∵解集为， 由题意得 即， 的取值为 整数的值为． 23. （1）如图，将放在每个小正方形的边长为的的正方形网格中． ①的面积是______； ②画出以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的； ③画出关于点成中心对称的． （2）已知直线及位于其两侧的两点，如图．请用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①在图中的直线上求一点，使； ②在图中的直线上求一点，使直线平分． 【答案】（1）①； ②为所求． ③即为所求． （2）①如图； ②如图： 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换、复杂作图以及线段垂直平分线的性质： （1）利用割补法求面积即可；根据旋转的性质作图；根据中心对称的性质作图； （2）利用线段垂直平分线的性质即可；过点作直线的垂线，交直线于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接并延长，交直线于点． 【详解】解：（1）① ②略③略 （2）①作线段的垂直平分线，与直线交于点， ②过点作直线的垂线，交直线于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接并延长，交直线于点． 24. 如图，在中，，点D是边BC上的一点，连接AD，，将沿AD折叠得到，AE与BC交于点F． （1）求的度数； （2）若，试证明：． 【答案】（1） （2） 证明：由图形折叠的特征可得：． ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出∠BAD=∠DAE=30°，由三角形外角的性质可得出答案； （2）由折叠的性质得出∠B=∠E=45°，证出∠E=∠EAC，则可得出结论． 【小问1详解】 解：由折叠图形的特征可得：． ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的判定，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 25. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ （3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？ 【答案】（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）有三种方案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件；方案一需要资金最少，最少资金是10万元；（3）节省的资金再次购买农机具的方案有两种：方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件 【解析】 【分析】（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，根据题意可直接列出二元一次方程组求解即可； （2）在（1）的基础之上，结合题意，建立关于m的一元一次不等式组，求解即可得到m的范围，从而根据实际意义确定出m的取值，即可确定不同的方案，最后再结合一次函数的性质确定最小值即可； （3）结合（2）的结论，直接求出可节省的资金，然后确定降价后的单价，再建立二元一次方程，并结合实际意义进行求解即可． 【详解】解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元． 根据题意，得， 解得：， 答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元． （2）根据题意，得， 解得：， ∵m为整数， ∴m可取5、6、7， ∴有三种方案： 方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件； 方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件； 方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件． 设总资金为W万元，则， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，（万元）， ∴方案一需要资金最少，最少资金是10万元． （3）由（2）可知，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件时，费用最小， 根据题意，此时，节省的费用为（万元）， 降价后的单价分别为：甲种0.8万元，乙种0.3万元， 设节省的资金可购买a台甲种，b台乙种， 则：， 由题意，a，b均为非负整数， ∴满足条件的解为：或， ∴节省的资金再次购买农机具的方案有两种： 方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件； 方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件． 【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的实际应用，找准等量关系，理解一次函数的性质是解题关键． 26. 【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： （1）如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转______°，才能使落在上； （2）如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ （3）如图3，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，另一条直角边也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，所在直线与所在直线平行或垂直？ 【答案】（1）75 （2） （3）平行：105度或285度；垂直：15度或195度 【解析】 【分析】（1）由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合，利用三角板的性质和角度之间的关系计算即可； （2）设，分别表示出，然后根据列方程求解； （3）平行和垂直各分两种情况，画出图形求解即可． 【小问1详解】 由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合， 由三角板的性质可知： ∵，， ∴， ∴至少旋转，与重合． 故答案为：75； 【小问2详解】 由旋转的性质得， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 当在点O的右侧时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在点O的左侧时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴旋转的角度， 综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线平行． 当在点O的上侧时，如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∴， ∴． 当在点O的下侧时，如图，延长，相交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线垂直． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，以及四边形内角和，分类讨论是解（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $