第1章 二次函数（单元测试·基础卷）数学浙教版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 2．下列二次函数中，最大值为1的是（　　） A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝﹣x2+1 3．若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的为（　　） A．y1＞y3＞y2 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 4．在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，已知b2＝ac，且当x＝0时y＝﹣4，则下列说法正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于正半轴 C．抛物线与x轴有两个交点 D．y有最大值，为﹣3 5．抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3 6．已知抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣9＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 7．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值﹣1，有最大值2 D．有最小值﹣1，有最大值3 8．如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为（　　） A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4 10．二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）的图象与x轴交点的横坐标为m，n，且m＜n，则a，b，m，n的大小关系是（　　） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜b＜n C．a＜m＜n＜b D．m＜a＜n＜b 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．抛物线y＝5（x﹣4）2+3向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式是 　 　 ． 12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（﹣1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为　 　 ． 13．已知点A（﹣1，4）、B（3，4）、C（4，4）、D（3，﹣1），一条抛物线经过其中三点，则不在该抛物线上的点是点 　 　 ． 14．如图是一面足够长的墙，用18m长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园ABCD，若设AB的长度为x m，则矩形花园ABCD的面积S（m2）与x（m）的函数解析式为　 　 ． 15．若关于x的两个函数y＝x2+kx+4与y＝5x的图象有且只有一个交点，则k的值为　 　 ． 16．二次函数y＝ax2+（a+1）x﹣2a﹣1（a≠0），当1＜x＜3时，对于每一个x的值，y＜x始终成立，则a的取值范围是　 　 ． 三、解答题（共8小题，共6+6+8+8+10+10+12+12=72分） 17．（6分）已知二次函数图象与x轴交于点（2，0），（﹣1，0）与y轴交点是（0，﹣2），求这个二次函数的解析式． 18．（6分）已知二次函数的图象以A（1，﹣4）为顶点，且过点B（3，0） （1）求该函数的关系式； （2）求该函数图象与两坐标轴的交点坐标． 19．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣c的部分图象如图所示． （1）求b，c的值； （2）分别求出抛物线的对称轴和y的最大值； （3）写出当y＞0时，x的取值范围． 20．（8分）如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽，水位上升3m，达到警戒线CD，这时水面宽．若洪水到来时，水位以每小时0.25m的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？ 21．（10分）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 … 销售量y（千克） … 100 90 80 … （1）求y与x的函数关系式； （2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？ （3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？ 22．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+b（a＞0）与x轴交于A（1，0），B两点． （1）求抛物线的对称轴和点B的坐标． （2）点P（m，n）是抛物线上的一个动点，当﹣1≤m≤4时，n的最大值为6，求a的值． （3）点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，若x2﹣x1＝4，请直接比较y1和y2的大小． 23．（12分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0． （1）若二次函数经过（﹣1，4），求二次函数解析式． （2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 24．（12分）若对于y关于x的函数在t≤x≤t+1范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为d． （1）若y＝2x﹣5，求d的值； （2）若， ①若点A（t，m），B（t+1，n）均在函数y的图象上，当m+n的值最大时，求d的值； ②当d＝4时，求t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 二次函数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D D D D C D A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．y＝5（x﹣2）2+2 12．﹣4 13．B 14．S＝﹣3x2+18x 15．直线x＝3 16．a＜0或 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分） 解：因为二次函数图象与x轴交于点（2，0），（﹣1，0）， 所以设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣2）（x+1）， 将点（0，﹣2）代入函数解析式得， a×（0﹣2）×（0+1）＝﹣2， 解得a＝1， 所以二次函数解析式为y＝（x﹣2）（x+1）． 18．（6分） 解：（1）设二次函数解析式y＝a（x﹣1）2﹣4， ∵过点B（3，0）， ∴a（3﹣1）2﹣4＝0， 解得a＝1， 所以，该函数的关系式为y＝（x﹣1）2﹣4；（3分） （2）令y＝0，则（x﹣1）2﹣4， 解得x1＝3，x2＝﹣1， 所以，与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）， 令x＝0，则y＝1﹣4＝﹣3， 所以，与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．（3分） 19．（8分） 解：（1）由题意可得，c＝﹣3， 则y＝﹣x2+bx+3，当x＝1，y＝0时，b＝﹣2， 即b＝﹣2，c＝﹣3；（4分） （2）函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， 抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，y的最大值为4； （3）当y＝0时，x1＝1，x2＝﹣3， 即当﹣3＜x＜1时，y＞0．）（4分） 20．（8分） 解：根据题意设抛物线解析式为：y＝ax2+h 又∵B（2，0），D（2，3） ∴ 解得： ∴yx2+6 ∴E（0，6）即OE＝6m ∴EF＝OE﹣OF＝3， 则t12（小时）． 答：水过警戒线后12小时淹到拱桥顶． 21．（10分） 解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 根据题意得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣x+150；（3分） （2）根据题意得 （﹣x+150）（x﹣20）＝4000， 解得x1＝70，x2＝100＞90（不合题意，舍去）． ∴该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；（3分） （3）w与x的函数关系式为： w＝（﹣x+150）（x﹣20） ＝﹣x2+170x﹣3000 ＝﹣（x﹣85）2+4225， ∵﹣1＜0， ∴当x＝85时，w值最大，w最大值是4225． ∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大．（4分） 22．（10分） 解：（1）抛物线的对称轴为x2， 由中点坐标公式得：2（x+1）， 则x＝3， 即点B（3，0）；（3分） （2）由（1）可设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）， 由（1）大致画出抛物线的图象如下： 抛物线的对称轴为x＝2， 从图象看，点离抛物线对称轴越远，其对应的函数值越大， 即在﹣1≤m≤4时， 当m＝﹣1时，函数取得最大值， 即n＝a（m2﹣4m+3）＝8a＝6， 解得：a；（3分） （3）∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴当点M、N关于直线x＝2对称时，x1+x2＝4， ∵x2﹣x1＝4， ∴x1＝0，x2＝4， 此时y1＝y2； 当x1＜0时，y1＞y2； 当x1＞0时，y2＞y1． 综上，当x1＝时，y1＝y2；当x1＜0时，y1＞y2；当x1＞0时，y2＞y1．（4分） 23．（12分） 解：（1）把（﹣1，4）代入函数解析式得， m+2m+3＝4， ∴m， ∴函数解析式为：yx2x+3；（3分） （2）∵抛物线开口方向向上， ∴m＞0， ∵y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m， ∴抛物线的顶点为（1，3﹣m）， ∴当x＜1时y随x增大而减小， 当x≥1时，y随x增大而增大， ∴最低点N（1，3﹣m）， ∵当x＝﹣1时，y＝3m+3， 当x＝2时，y＝3， 且m＞0， ∴3m+3＞3， ∴最高点M（﹣1，3m+3）， ∴3m+3＝9， ∴m＝2， 代入M点和N点坐标得：M（﹣1，9），N（1，1）；（4分） （3）①当m＞0时， 则有当x≤1时y随x增大而减小， 当x≥1时，y随x增大而增大， 又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2， 此时a+2≤1， ∴a≤﹣1， ②当m＜0时， 则有当x≤1时y随x增大而增大， 当x≥1时，y随x增大而减小， 又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2， 此时a≥1， 综上，当m＞0时a≤﹣1；当m＜0时，a≥1．（5分） 24．（12分） 解：（1）在y＝2x﹣5中， ∵2＞0， ∴y随x的增大而增大， 当x＝t时，y＝2t﹣5， 当x＝t+1时，y＝2（t+1）﹣5＝2t﹣3， ∴d＝2t﹣3﹣（2t﹣5）＝2t﹣3﹣2t+5＝2；（3分） （2）①∵点A（t，m），B（t+1，n）均在函数yx2+2的图象上， ∴mt2+2，n（t+1）2+2， ∴m+nt2+2（t+1）2+2＝﹣t2﹣t（t）2， ∴当m+n的值最大时，t， 此时点A（，），B（，）， ∴函数在t≤x≤t+1范围内有最大值是2，最小值是， ∴d＝2；（3分） ②当x＝t时，yt2+2， 当x＝t+1时，y（t+1）2+2， 分四种情况： （i）当t+1＜0时，即t＜﹣1，d（t+1）2+2﹣（t2+2）＝4， （t+1）2+2t2﹣2＝4， ∴t； （ii）当t＞0时，d2﹣[2]＝4 22＝4， ∴t； （iii）当t＜0时，2﹣[2]＝4， t＝﹣1±2（不符合题意，舍）， （iiii）当﹣1＜t时，2﹣（t2+2）＝4， t（不符合题意，舍）， 综上，t的值是或．（6分） 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A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 7．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值﹣1，有最大值2 D．有最小值﹣1，有最大值3 8．如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为（　　） A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4 10．二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）的图象与x轴交点的横坐标为m，n，且m＜n，则a，b，m，n的大小关系是（　　） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜b＜n C．a＜m＜n＜b D．m＜a＜n＜b 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．抛物线y＝5（x﹣4）2+3向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式是 　 　 ． 12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（﹣1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为　 　 ． 13．已知点A（﹣1，4）、B（3，4）、C（4，4）、D（3，﹣1），一条抛物线经过其中三点，则不在该抛物线上的点是点 　 　 ． 14．如图是一面足够长的墙，用18m长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园ABCD，若设AB的长度为x m，则矩形花园ABCD的面积S（m2）与x（m）的函数解析式为　 　 ． 15．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x1＝1，x2＝5，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是 　　 ． 16．二次函数y＝ax2+（a+1）x﹣2a﹣1（a≠0），当1＜x＜3时，对于每一个x的值，y＜x始终成立，则a的取值范围是　　 ． 三．解答题（共8小题，共6+6+8+8+10+10+12+12=72分） 17．已知二次函数图象与x轴交于点（2，0），（﹣1，0）与y轴交点是（0，﹣2），求这个二次函数的解析式． 18．已知二次函数的图象以A（1，﹣4）为顶点，且过点B（3，0） （1）求该函数的关系式； （2）求该函数图象与两坐标轴的交点坐标． 19．已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣c的部分图象如图所示． （1）求b，c的值； （2）分别求出抛物线的对称轴和y的最大值； （3）写出当y＞0时，x的取值范围． 20．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽，水位上升3m，达到警戒线CD，这时水面宽．若洪水到来时，水位以每小时0.25m的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？ 21．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 … 销售量y（千克） … 100 90 80 … （1）求y与x的函数关系式； （2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？ （3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？ 22．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+b（a＞0）与x轴交于A（1，0），B两点． （1）求抛物线的对称轴和点B的坐标． （2）点P（m，n）是抛物线上的一个动点，当﹣1≤m≤4时，n的最大值为6，求a的值． （3）点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，若x2﹣x1＝4，请直接比较y1和y2的大小． 23．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0． （1）若二次函数经过（﹣1，4），求二次函数解析式． （2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 24．若对于y关于x的函数在t≤x≤t+1范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为d． （1）若y＝2x﹣5，求d的值； （2）若， ①若点A（t，m），B（t+1，n）均在函数y的图象上，当m+n的值最大时，求d的值； ②当d＝4时，求t的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可． 【解析】解：因为抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5， 所以抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（2，﹣5）． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键． 2．下列二次函数中，最大值为1的是（　　） A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝﹣x2+1 【考点】二次函数的最值． 【分析】当a＜0时，y＝ax2+k有最大值，为k，据此即可作答． 【解析】解：A、y＝x2+1，1＞0，开口方向向上，有最小值，且为1，不符合题意； B、y＝x2﹣1，1＞0，开口方向向上，有最小值，且为﹣1，不符合题意； C、y＝﹣x2﹣1，﹣1＜0，开口方向向下，有最大值，且为﹣1，不符合题意； D、y＝﹣x2+1，﹣1＜0，开口方向向下，有最大值，且为1，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的为（　　） A．y1＞y3＞y2 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出自变量为2、﹣2和﹣5所对应的函数值，然后比较函数的大小即可． 【解析】解：当x＝﹣1时，y1＝﹣x2+6x+c＝﹣1﹣6+c＝﹣7+c； 当x＝2时，y2＝﹣x2+6x+c＝﹣4+12+c＝8+c； 当x＝5时，y3＝﹣x2+6x+c＝﹣25+30+c＝5+c， 所以y2＞y3＞y1． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 4．在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，已知b2＝ac，且当x＝0时y＝﹣4，则下列说法正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于正半轴 C．抛物线与x轴有两个交点 D．y有最大值，为﹣3 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的最值． 【分析】根据已知条件“b2＝ac，且当x＝0时y＝﹣4”可以求得c的值、ac＞0，由此可以判断a的符号，结合根的判别式判断抛物线与x轴交点的个数． 【解析】解：∵在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，当x＝0时y＝﹣4， ∴c＝﹣4， ∴抛物线与y轴交于负半轴，故B选项错误； ∵b2＝ac＝﹣4a＞0， ∴a＜0， ∴抛物线开口向下，故A选项错误； ∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣3ac＝12a＜0， ∴抛物线与x轴没有交点，故C选项错误； ∵y最大值（﹣4）＝﹣3． 故D选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣b2a；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点． 5．抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解析】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝x2向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2； 由“上加下减”的原则可知，抛物线y＝（x﹣1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+3． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 6．已知抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣9＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移9个单位即可得到y＝ax2+bx+c﹣9的图象，由此即可解答． 【解析】解：∵y＝ax2+bx+c的图象顶点纵坐标为8，向下平移9个单位即可得到y＝ax2+bx+c﹣9的图象， 此时，抛物线与x轴无点， ∴方程ax2+bx+c﹣9＝0无实数根． 故选：D． 【点评】此题主要考查了方程ax2+bx+c＝0的根的情况，关键是看函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点． 7．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值﹣1，有最大值2 D．有最小值﹣1，有最大值3 【考点】二次函数的最值；二次函数的图象． 【分析】依据题意，由函数图象可看出其最大值和最小值，逐个判断可以得解． 【解析】解：由图象可知当x＝1时，y有最小值﹣1，当x＝3时，y有最大值3， ∴函数有最小值﹣1，有最大值3， 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的最值，正确识别函数图象、理解最值的意义是解题的关键． 8．如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系． 【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＜0，则可对②进行判断；利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到可对③进行判断；利用x＝﹣1时，y＜0可对④进行判断． 【解析】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a＜0，所以②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，所以①正确； ∵点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），所以③正确； ∵x＝﹣1时，y＜0， 即a﹣b+c＜0， ∴a+c＜b，所以④错误． 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，且两交点为抛物线上的对称点．熟练掌握二次函数图象与系数的关系． 9．二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为（　　） A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4 【考点】二次函数的最值． 【分析】把二次函数的解析式化为顶点式的形式，进而可得出结论． 【解析】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣3可化为：y＝（x+1）2﹣4， ∴二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为﹣4． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点式是解题的关键． 10．二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）的图象与x轴交点的横坐标为m，n，且m＜n，则a，b，m，n的大小关系是（　　） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜b＜n C．a＜m＜n＜b D．m＜a＜n＜b 【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】依照题意画出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）及y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，观察图象即可得出结论． 【解析】解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示． 观察图象，可知：m＜a＜b＜n． 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．抛物线y＝5（x﹣4）2+3向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式是 　y＝5（x﹣2）2+2　 ． 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【解析】解：抛物线y＝5（x﹣4）2+3向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式是y＝5（x﹣4+2）2+3﹣1＝5（x﹣2）2+2， 故答案为：y＝5（x﹣2）2+2． 【点评】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（﹣1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为　﹣4　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】根据已知条件得到关于a，b，c的方程组，用a表示b和c，根据与x轴有两个不同的交点，求得a的取值范围，再进一步分析b+c的最大值． 【解析】解：由于二次函数的图象过点A（﹣1，4），点B（2，1）， 所以， 解得 因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点， 所以Δ＝b2﹣4ac＞0， （﹣a﹣1）2﹣4a（3﹣2a）＞0，即（9a﹣1）（a﹣1）＞0， 由于a是正整数，故a≥2， 又因为b+c＝﹣3a+2≤﹣4， 故b+c的最大值为﹣4． 故答案为﹣4． 【点评】在已知两个三元一次方程的时候，要善于用一个字母表示其它的字母，根据其中一个字母的取值范围来确定要求的代数式的取值范围． 13．已知点A（﹣1，4）、B（3，4）、C（4，4）、D（3，﹣1），一条抛物线经过其中三点，则不在该抛物线上的点是点 　B　 ． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征即可判断． 【解析】解：点A（﹣1，4）、B（3，4）、C（4，4）的纵坐标相同，故三点中有一点不在同一条抛物线， B（3，4）、D（3，﹣1）的横坐标相同，故两点中有一点不在同一条抛物线， 所以，不在该抛物线上的点是点B． 故答案为：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上点的坐标满足其解析式． 14．如图是一面足够长的墙，用18m长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园ABCD，若设AB的长度为x m，则矩形花园ABCD的面积S（m2）与x（m）的函数解析式为　S＝﹣3x2+18x　 ． 【考点】根据实际问题列二次函数关系式． 【分析】可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积＝长×宽，得出S与x的函数关系式． 【解析】解：由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（18﹣3x）m． 这时面积S＝x（18﹣3x）＝﹣3x2+18x． 故答案为：S＝﹣3x2+18x． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键． 15．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x1＝1，x2＝5，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是 　直线x＝3　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；二次函数的性质． 【分析】根据抛物线与x轴的交点横坐标与一元二次方程的根之间的关系即可求出二次函数的对称轴． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1＝1，x2＝5， ∴二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标为分别为1和5． ∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线． 故答案为：直线x＝3． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据一元二次方程的解求出抛物线与x轴的两个交点的横坐标． 16．二次函数y＝ax2+（a+1）x﹣2a﹣1（a≠0），当1＜x＜3时，对于每一个x的值，y＜x始终成立，则a的取值范围是　a＜0或　 ． 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】记z＝y﹣x＝ax2+ax﹣2a﹣1，则得对称轴为直线．分a＞0；a＜0两种情况，结合二次函数z在1＜x＜3时的增减情况即可求解． 【解析】解：二次函数y＝ax2+（a+1）x﹣2a﹣1（a≠0），当1＜x＜3时，对于每一个x的值，y＜x始终成立， y＝ax2+（a+1）x﹣2a﹣1， 记z＝y﹣x＝ax2+ax﹣2a﹣1，则对称轴为直线． 当a＞0时，如图1．当1＜x＜3时，z随x的增大而增大． ∴当x＝3时，z≤0．则1＜x＜3，z＜0成立． 即9a+3a﹣2a﹣1≤0．解得． ∴． 当a＜0时，如图2．当1＜x＜3时，z随x的增大而减小． ∴当x＝1时，z≤0，则1＜x＜3，z＜0成立． 即a+a﹣2a﹣1≤0．而﹣1≤0恒成立． 综上，a＜0或时，y＜x始终成立． 故答案为：a＜0或． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用，正确进行计算是解题关键． 三、解答题（共8小题，共6+6+8+8+10+10+12+12=72分） 17．（6分）已知二次函数图象与x轴交于点（2，0），（﹣1，0）与y轴交点是（0，﹣2），求这个二次函数的解析式． 【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】由题中给出的抛物线与x轴的交点坐标，设抛物线的解析式为交点式即可． 【解析】解：因为二次函数图象与x轴交于点（2，0），（﹣1，0）， 所以设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣2）（x+1）， 将点（0，﹣2）代入函数解析式得， a×（0﹣2）×（0+1）＝﹣2， 解得a＝1， 所以二次函数解析式为y＝（x﹣2）（x+1）． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，能根据所给条件设出合适的函数解析式是解题的关键． 18．（6分）已知二次函数的图象以A（1，﹣4）为顶点，且过点B（3，0） （1）求该函数的关系式； （2）求该函数图象与两坐标轴的交点坐标． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点． 【分析】（1）设二次函数顶点式解析式y＝a（x﹣1）2﹣4，然后把点B的坐标代入函数解析式求出a，即可得解； （2）令y＝0，解关于x的一元二次方程得到与x轴的交点坐标，再令x＝0求出y得到与y轴的交点坐标． 【解析】解：（1）设二次函数解析式y＝a（x﹣1）2﹣4， ∵过点B（3，0）， ∴a（3﹣1）2﹣4＝0， 解得a＝1， 所以，该函数的关系式为y＝（x﹣1）2﹣4； （2）令y＝0，则（x﹣1）2﹣4， 解得x1＝3，x2＝﹣1， 所以，与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）， 令x＝0，则y＝1﹣4＝﹣3， 所以，与y轴的交点坐标为（0，﹣3）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，设出顶点式解析式可以使计算更加简便． 19．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣c的部分图象如图所示． （1）求b，c的值； （2）分别求出抛物线的对称轴和y的最大值； （3）写出当y＞0时，x的取值范围． 【考点】抛物线与x轴的交点；非负数的性质：偶次方；二次函数的最值． 【分析】（1）根据图象可知c＝﹣3，然后把（1，0）代入函数的解析式，求出b的值； （2）把函数的一般式化为顶点坐标式，即可求出对称轴和y的最大值； （3）令y＝0，求出x的值，结合图象即可写出x的取值范围． 【解析】解：（1）由题意可得，c＝﹣3， 则y＝﹣x2+bx+3，当x＝1，y＝0时，b＝﹣2， 即b＝﹣2，c＝﹣3； （2）函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， 抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，y的最大值为4； （3）当y＝0时，x1＝1，x2＝﹣3， 即当﹣3＜x＜1时，y＞0． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值的问题，解题的关键是根据图象得出函数的解析式，此题难度不大． 20．（8分）如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽，水位上升3m，达到警戒线CD，这时水面宽．若洪水到来时，水位以每小时0.25m的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】已知B、D可得y的解析式，从而求出OE的值．又因为EF＝OE﹣OF，故可求t的值． 【解析】解：根据题意设抛物线解析式为：y＝ax2+h 又∵B（2，0），D（2，3） ∴ 解得： ∴yx2+6 ∴E（0，6）即OE＝6m ∴EF＝OE﹣OF＝3， 则t12（小时）． 答：水过警戒线后12小时淹到拱桥顶． 【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 21．（10分）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 … 销售量y（千克） … 100 90 80 … （1）求y与x的函数关系式； （2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？ （3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？ 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用． 【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式． （2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可； （3）根据批发商获得的总利润w（元）＝售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值． 【解析】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 根据题意得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣x+150； （2）根据题意得 （﹣x+150）（x﹣20）＝4000， 解得x1＝70，x2＝100＞90（不合题意，舍去）． ∴该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元； （3）w与x的函数关系式为： w＝（﹣x+150）（x﹣20） ＝﹣x2+170x﹣3000 ＝﹣（x﹣85）2+4225， ∵﹣1＜0， ∴当x＝85时，w值最大，w最大值是4225． ∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大． 【点评】本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法． 22．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+b（a＞0）与x轴交于A（1，0），B两点． （1）求抛物线的对称轴和点B的坐标． （2）点P（m，n）是抛物线上的一个动点，当﹣1≤m≤4时，n的最大值为6，求a的值． （3）点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，若x2﹣x1＝4，请直接比较y1和y2的大小． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）抛物线的对称轴为x2，由中点坐标公式得：2（x+1），则x＝3，即可求解； （2）从图象看，点离抛物线对称轴越远，其对应的函数值越大，即当﹣1≤m≤4时，当m＝﹣1时，函数取得最大值，即可求解； （3）抛物线的对称轴为直线x＝2，当点M、N关于直线x＝2对称时，x1+x2＝4，x1＝0，x2＝4，此时y1＝y2，进而分类求解． 【解析】解：（1）抛物线的对称轴为x2， 由中点坐标公式得：2（x+1）， 则x＝3， 即点B（3，0）； （2）由（1）可设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）， 由（1）大致画出抛物线的图象如下： 抛物线的对称轴为x＝2， 从图象看，点离抛物线对称轴越远，其对应的函数值越大， 即在﹣1≤m≤4时， 当m＝﹣1时，函数取得最大值， 即n＝a（m2﹣4m+3）＝8a＝6， 解得：a； （3）∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴当点M、N关于直线x＝2对称时，x1+x2＝4， ∵x2﹣x1＝4， ∴x1＝0，x2＝4， 此时y1＝y2； 当x1＜0时，y1＞y2； 当x1＞0时，y2＞y1． 综上，当x1＝时，y1＝y2；当x1＜0时，y1＞y2；当x1＞0时，y2＞y1． 【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、对称性、二次函数与不等式的关系、判断函数值的大小，正确掌握二次函数的知识是解题的关键． 23．（12分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0． （1）若二次函数经过（﹣1，4），求二次函数解析式． （2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）把（﹣1，4）点的坐标代入函数解析式中求出m即可； （2）根据抛物线开口向上得m＞0，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出M点和N点的坐标； （3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论a的取值范围． 【解析】解：（1）把（﹣1，4）代入函数解析式得， m+2m+3＝4， ∴m， ∴函数解析式为：yx2x+3； （2）∵抛物线开口方向向上， ∴m＞0， ∵y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m， ∴抛物线的顶点为（1，3﹣m）， ∴当x＜1时y随x增大而减小， 当x≥1时，y随x增大而增大， ∴最低点N（1，3﹣m）， ∵当x＝﹣1时，y＝3m+3， 当x＝2时，y＝3， 且m＞0， ∴3m+3＞3， ∴最高点M（﹣1，3m+3）， ∴3m+3＝9， ∴m＝2， 代入M点和N点坐标得：M（﹣1，9），N（1，1）； （3）①当m＞0时， 则有当x≤1时y随x增大而减小， 当x≥1时，y随x增大而增大， 又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2， 此时a+2≤1， ∴a≤﹣1， ②当m＜0时， 则有当x≤1时y随x增大而增大， 当x≥1时，y随x增大而减小， 又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2， 此时a≥1， 综上，当m＞0时a≤﹣1；当m＜0时，a≥1． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键． 24．（12分）若对于y关于x的函数在t≤x≤t+1范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为d． （1）若y＝2x﹣5，求d的值； （2）若， ①若点A（t，m），B（t+1，n）均在函数y的图象上，当m+n的值最大时，求d的值； ②当d＝4时，求t的值． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）这是一次函数，根据k＝2可知：y随x的增大而增大，分别代入x＝t和x＝t+1计算y的值，从而可得d的值； （2）①计算m+n的值，配方后即可解答； ②类比（1）分别计算当x＝t时，yt2+2，当x＝t+1时，y（t+1）2+2，相减可得d＝4，列方程即可解答． 【解析】解：（1）在y＝2x﹣5中， ∵2＞0， ∴y随x的增大而增大， 当x＝t时，y＝2t﹣5， 当x＝t+1时，y＝2（t+1）﹣5＝2t﹣3， ∴d＝2t﹣3﹣（2t﹣5）＝2t﹣3﹣2t+5＝2； （2）①∵点A（t，m），B（t+1，n）均在函数yx2+2的图象上， ∴mt2+2，n（t+1）2+2， ∴m+nt2+2（t+1）2+2＝﹣t2﹣t（t）2， ∴当m+n的值最大时，t， 此时点A（，），B（，）， ∴函数在t≤x≤t+1范围内有最大值是2，最小值是， ∴d＝2； ②当x＝t时，yt2+2， 当x＝t+1时，y（t+1）2+2， 分四种情况： （i）当t+1＜0时，即t＜﹣1，d（t+1）2+2﹣（t2+2）＝4， （t+1）2+2t2﹣2＝4， ∴t； （ii）当t＞0时，d2﹣[2]＝4 22＝4， ∴t； （iii）当t＜0时，2﹣[2]＝4， t＝﹣1±2（不符合题意，舍）， （iiii）当﹣1＜t时，2﹣（t2+2）＝4， t（不符合题意，舍）， 综上，t的值是或． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，在一定范围内计算d的值，函数图象上点的坐标等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$