专题03 勾股定理与几何最值的三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题03 勾股定理与几何最值的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、数形结合求最值 类型二、平移图形解决最值问题 类型三、将军饮马最值问题 压轴专练 类型一、数形结合求最值 例1．（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段； ②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使； ③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 【答案】（1），；．（2）17 【分析】本题考查了求代数式的最值，勾股定理． （1）①由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得； ②求出的值便是的值最小即可； （2）设点，则，由（1）中得方法知的最小值为：． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； ⑤由题意可得， ∴， 为最小值， 即的最小值为． （2）解： 设点，则， 如图，线段，，，设；过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．由题意可得， ∴， 由（1）中得方法知的最小值为， 即的最小为17． 变式1-1．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀： 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，． （1）请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，请验证； 知识运用： （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移： （4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）41；（3）图见解析；16千米．（4）20 【分析】（1）根据三角形的面积和梯形的面积就可得出答案． （2）连接，作于点E，根据得到，从而得到千米，利用勾股定理求得两地之间的距离． （3）连接，作的垂直平分线交于P，P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可． （4）根据轴对称﹣最短路线的求法即可求出． 【详解】解：（1） ，，， 它们满足的关系式为：， ∴； （2）如图2①，连接，作于点E， ∵， ∴， ∴（千米）， ∴（千米）， ∴两个村庄相距41千米． 故答案为：41； （3）如图2所示： 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米． （4）如图3， 先作出点C关于的对称点F，连接，过点F作与E，即：就是代数式的最小值． 代数式的几何意义是线段上一点到点D，C的距离之和， 而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线段的长，连线段与线段的交点就是它取最小值时的点， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值， ∴代数式的最小值为：． 【点睛】本题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称﹣最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 变式1-2．阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．    【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．    （1）用含的代数式表示的长为______． （2）①请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； ②根据①中的规律和结论，直接写出代数式的最小值为______． 【答案】（1）；（2）①当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值为17；②15； 【分析】此题考查了勾股定理，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）①若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； ②由①的结果利用勾股定理求得的值． 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）①当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； ②根据①中规律可以构造出如图所示，       同理可得： 故答案为15； 【点睛】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 类型二、平移图形解决最值问题 例2．如图，在中，， 点D、E分别是上动点，且， 连接， 则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理等知识，作，使点F与点在直线的异侧，且，连接，可证明，由，，求得，由，且，，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，使点F与点在直线的异侧，且，连接， ∴， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵，且，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 变式2-1．如图，在中，点，分别是边、上的两点，连接，，．若，，则的最小值是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、两点间线段最短和勾股定理．过点作，并使得，连接，，构造，然后得到，进而得知，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，最后利用勾股定理求得的值即可得到答案． 【详解】解：过点作，并使得连接，，则， ∴，    ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，，最小， ∵， ∴， ， ∴的最小值为13． 故答案为：13． 变式2-2如图，在中，， 点D、E分别是上动点，且， 连接， 则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理等知识，作，使点F与点在直线的异侧，且，连接，可证明，由，，求得，由，且，，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，使点F与点在直线的异侧，且，连接， ∴， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵，且，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 变式2-3如图，在中，点，分别是边、上的两点，连接，，．若，，则的最小值是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、两点间线段最短和勾股定理．过点作，并使得，连接，，构造，然后得到，进而得知，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，最后利用勾股定理求得的值即可得到答案． 【详解】解：过点作，并使得连接，，则， ∴，    ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，，最小， ∵， ∴， ， ∴的最小值为13． 故答案为：13． 类型三、将军饮马最值问题 例3 如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H．因为，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小． 【详解】解：如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H． 在中，，，， ． ， ， ∵， ∴当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为的长， 的值最小为． 故选：C． 变式3-1 如图，已知正方形边长为，点在边上，且，点，分别是边，上的动点（均不与顶点重合），则四边形的周长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，勾股定理，作关于的对称点，点关于的对称点，连接，分别交于点，则，，可得 四边形的周长，由及两点之间线段最短，可知此时四边形的周长最小，利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作关于的对称点，点关于的对称点，连接，分别交于点，则，， ∴四边形的周长， ∵， ∴根据两点之间线段最短，可知此时四边形的周长最小， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的周长最小值为， 故答案为：． 变式3-2 如图，在中，，，，点E为线段上的动点，点D在上，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】24 【分析】本题考查勾股定理，垂线段最短，等积法应用等．根据题意作关于的对称点，连接，，利用对称性质得，再由垂线段最短可知当在上时，有最小值为，再利用等积法即可得到本题答案． 【详解】解：∵作关于的对称点，连接，， ， 由对称可知，， 作于， 由垂线段最短可知，， ∴， 当在上时，有最小值为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为24， 故答案为：24． 变式3-3 如图，，点、分别在边、上，且，，点、分别在边、上，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，先根据轴对称的性质可得，，，从而可得，，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质得：，，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值是， 故答案为：． 变式3-4 如图，在中，，，，点为射线上的一个动点，在的左侧作，其中，，连接，求的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定；过点作，连接，则，证明得出，即到的距离为，作关于的对称点，连接，，根据轴对称的性质得出的最小值为的长，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，连接，则 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴在上运动， ∴ ∴到的距离为 作关于的对称点，连接，， ∴ ∴的最小值为的长， ∵， ∴ 故答案为：． 1．如图，等腰直角中，为中点，为上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，作点关于的对称点，连接，，依据轴对称的性质，即可得到，，，根据，可得当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 如图所示，作点关于的对称点，连接，，， 则，，， ∴， 是的中点， ， ， ， 当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，此时，最小， 在中， 的最小值为． 故选：D． 2．如图，在中，，，，射线与边交于点，分别为、的中点，设点到射线的距离分别为，则线段的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查与三角形中线有关的面积的计算，勾股定理的应用，垂线段最短，连接，根据面积关系可以求得，得到，当最小为边上高时，即可求出的最大值，熟练掌握等面积法的应用是解题的关键 ． 【详解】解：如图，连接， 过作垂线，垂足为点，过作垂线，垂足为点，即，， 则，， ∵分别为、的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设边上的高为，则， ∴， 当最小时，即，此时时，的值最大，最大值为， 故答案为：，． 3．如图，在中，，，，、为边的点，，点为上一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短问题，直角三角形，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作点关于的对称点，连接，在上截取，使得，连接，，交于点，连接．则，关于对称，的最小值是线段的长，根据等边三角形的判定和性质，则是等边三角形，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，进行解答，即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，在上截取，使得，连接，，交于点，连接．则，关于对称， ∴，，此时的最小值是线段的长． ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 4．如图，在中，，，点在上，，，以为一边作，使，．若是上一个动点，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理，连接，作于点，可证明，得，，则，求得，由，得，由，求得线段的最小值为，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，作于点， ，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 线段的最小值为， 故答案为：． 5．如图，在中，，，，AD是的平分线，若M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短距离问题，勾股定理，全等三角形的判定及性质；在上截取，过作，由可判定，由全等三角形的性质得，当时，取得最小值，结合勾股定理，即可求解；找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，过作， 平分， ， 在和中 ， ， ， ， 当时，取得最小值， ，，， ， ， ， 解得：； 故答案：． 6．如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则 °，线段的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 求出，由三角形内角和定理得到，取的中点，连接、，由直角三角形斜边中线的性质得到，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得，即可得到的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由三角形三边关系定理得到：． 故答案为： ． 7．如图，在中，，，，动点P在内，且使得的面积为12，点Q为上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，轴对称的性质，垂线段最短，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点P作的垂线交于点M，作点B关于的对称点E，连接，，，过点E作于点H，运用勾股定理求出，由的面积为12即可求出，由对称得，，则，当点三点共线，且点Q与点H重合时取得最小值，即为，再对运用等面积法即可求出． 【详解】解：过点P作的垂线交于点M，作点B关于的对称点E，连接，，过点E作于点H， ∵ 则， ∴， 由对称性得， 当点E，P，Q三点共线，且点Q与点H重合时取得最小值，即为，如下图． 的最小值为 故答案为：． 8．如图，在等腰中，，，、两点分别是边、上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】在上截取，连接作点关于的对称点，连接，，先明得到，，根据当、、三点共线时，的值最小，最小值为，再证明为等腰直角三角形，利用股定理求出长，即可求出长度的最小值． 【详解】解：在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，，如图： ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在射线上运动， 点与点的关于对称， ，， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为， ，， ， ， 由对称性可知，， ， 为等腰直角三角形， 线段长度的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质，利用轴对称求最短距离，作出恰当辅助线是解题的关键． 9．如图，在中，，，，、分别是、边上的动点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点作，使，连接、，根据平行线的性质求出，，利用证明，根据全等三角形的性质求出，则，根据三角形三边关系求出最小为，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作，使，连接、， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 在中，， ∴当、、在一条直线上时，最小为， 在中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理等知识，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 10．如图，在中，，点D在边上，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：≌； (2)若时，求的长； (3)点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，9 【分析】（1）结合题目条件，根据即可证明≌； （2）根据第一问的三角形全等，得到，进而证明, 在中，根据勾股定理可求出的长， 在中,进而求出的长度； （3）先证,当值最小时，取最小值，此时,可求出的长，从而求解． 【详解】（1）证明：由题意，可知，，． ∴． 即． 在和中， ∴≌()； （2）解：∵在 中，， ∴，， ∴． ∵≌(）， ∴，， ∴． ∴， ∴在中，； （3）解：存在，理由： 由（2）可知，， ∴当最小时，有的值最小，此时 ． ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴． 即的最小值为9． 【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．已知，在中，，是上的一点，连接，在直线右侧作等腰，． (1)如图1，，，连接，求证：； (2)如图2，，，，取边中点，连接．当点从点运动到点过程中，求线段长度的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理． 根据垂直定义可知，所以可证，利用可证，根据全等三角形的性质可得，所以可得，从而可证结论成立； 由可知，，因为点是的中点，所以，根据垂线段最短可知当时的长度最小，此时是等腰直角三角形的，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接， 由可知， 又，点是的中点， ， 在中，当时的长度最小， 又， ， 在中，， ， ， 的最小值为． 12．【综合与实践】 【问题情景】 （1）如图1，点为线段上一动点．分别过点，作，连接，．已知．设，用含的代数式表示的长； 【数学思考】 （2）如图.2．在某河道一侧有，两家工厂，它们到河道的距离，分别是．，两工厂之间的距离是．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点，且使得抽水点到两家工厂的距离之和最短．求的最小值； 【深入探究】 （3）请结合上述思路，求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）15 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，列代数式，勾股定理，能够构造出符合代数式的几何图形是解题的关键． （1）根据图1，利用勾股定理即可用含x的代数式表示的长； （2）作点关于河道的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接，则易得四边形，四边形和四边形都是长方形，且，，可得的最小值为的长，再求解即可； （3）构造类似图1的图形，结合（2）的思路，即可求出答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， 在中，， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得 ； （2）如图1，作点关于河道的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接，则易得四边形，四边形和四边形都是长方形，且， ， 的最小值为的长． ， ， ，， 在中，由勾股定理，得， ． 在中，由勾股定理，得， 的最小值为． （3）构造图形如图2所示，其中点为线段上一点，分别过点作，连接， 其中． 连接． ， 代数式的最小值为的长， 过点作，交的延长线于点， 易知， ， 在中，由勾股定理，得， 代数式的最小值为15． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理与几何最值的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、数形结合求最值 类型二、平移图形解决最值问题 类型三、将军饮马最值问题 压轴专练 类型一、数形结合求最值 例1．（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段； ②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使； ③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 变式1-1．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀： 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，． （1）请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，请验证； 知识运用： （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移： （4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 变式1-2．阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．    【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．    （1）用含的代数式表示的长为______． （2）①请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； ②根据①中的规律和结论，直接写出代数式的最小值为______． 类型二、平移图形解决最值问题 例2．如图，在中，， 点D、E分别是上动点，且， 连接， 则的最小值是 ． 变式2-1．如图，在中，点，分别是边、上的两点，连接，，．若，，则的最小值是 ． 变式2-2如图，在中，， 点D、E分别是上动点，且， 连接， 则的最小值是 ． 变式2-3如图，在中，点，分别是边、上的两点，连接，，．若，，则的最小值是 ． 类型三、将军饮马最值问题 例3 如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．4 变式3-1 如图，已知正方形边长为，点在边上，且，点，分别是边，上的动点（均不与顶点重合），则四边形的周长的最小值是 ． 变式3-2 如图，在中，，，，点E为线段上的动点，点D在上，且，连接，则的最小值为 ． 变式3-3 如图，，点、分别在边、上，且，，点、分别在边、上，则的最小值是 ． 变式3-4 如图，在中，，，，点为射线上的一个动点，在的左侧作，其中，，连接，求的最小值为 ． 1．如图，等腰直角中，为中点，为上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 2．如图，在中，，，，射线与边交于点，分别为、的中点，设点到射线的距离分别为，则线段的最小值为 ，的最大值为 ． 3．如图，在中，，，，、为边的点，，点为上一动点，连接、，则的最小值为 ． 4．如图，在中，，，点在上，，，以为一边作，使，．若是上一个动点，则线段长的最小值为 ． 5．如图，在中，，，，AD是的平分线，若M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 6．如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则 °，线段的最小值为 ． 7．如图，在中，，，，动点P在内，且使得的面积为12，点Q为上的动点，则的最小值为 ． 8．如图，在等腰中，，，、两点分别是边、上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段长度的最小值为 ． 9．如图，在中，，，，、分别是、边上的动点，连接、，则的最小值是 ． 10．如图，在中，，点D在边上，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：≌； (2)若时，求的长； (3)点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 11．已知，在中，，是上的一点，连接，在直线右侧作等腰，． (1)如图1，，，连接，求证：； (2)如图2，，，，取边中点，连接．当点从点运动到点过程中，求线段长度的最小值． 12．【综合与实践】 【问题情景】 （1）如图1，点为线段上一动点．分别过点，作，连接，．已知．设，用含的代数式表示的长； 【数学思考】 （2）如图.2．在某河道一侧有，两家工厂，它们到河道的距离，分别是．，两工厂之间的距离是．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点，且使得抽水点到两家工厂的距离之和最短．求的最小值； 【深入探究】 （3）请结合上述思路，求代数式的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$