2.3 二次根式（第3课时） 课时作业 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2.3 二次根式（第3课时） 课时作业 一、选择题 1．（2025春•濮阳期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2025春•夏邑县期中）若，则的值为　　 A．8 B．12 C．24 D．36 3．（2025春•盐都区月考）已知，为两个连续奇数，，，则下列对的表述中正确的是　　 A．总是奇数 B．总是偶数 C．总是无理数 D．可能是有理数可能是无理数 4．（2025春•澄迈县期中）若，则的值为　　 A．15 B．8 C．3 D．2 5．（2025春•金安区校级期中）在二次根式，，中与是同类二次根式的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025•织金县模拟）已知最简二次根式与可以合并，则的值为　　 A．5 B．6 C．8 D．11 7．（2025春•济宁期中）下表是利用计算器算出的部分正数的平方： 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 根据上表，求的值（结果保留整数）为　　 A．187 B．188 C．189 D．190 8．（2025春•石楼县月考）下列表格中，计算结果为有理数的有　　 式子 计算结果 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 9．（2025•新吴区一模）已知、是两个连续的偶数，且，，，则下列对的表述中正确的是　　 A．总是奇数 B．总是偶数 C．总是无理数 D．可能是有理数可能是无理数 10．（2025春•重庆期中）若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为　　 ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得； ④若只存在三组和使得，则的值为36或8． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（2025春•利津县期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则　　 ． 12．（2025春•濮阳期中）在二次根式：中，与是同类二次根式的是 　　． 13．（2025•邯郸校级二模）最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为　　 ． 14．（2025春•巴彦县月考）计算： 　　 ． 15．（2025春•虞城县期中）若实数，满足，我们就说与是关于6的“如意数”，则关于6的“如意数”的是　　 ． 16．（2025•河北模拟）已知，则的值是 　　． 17．（2025•霸州市模拟），均为正整数，且满足，则的值为　　 ． 18．（2025春•海淀区校级期中）若，则的值为　　 ． 19．（2025•河北模拟）已知，则 　　 ． 20．（2024春•蔡甸区校级期中）若，则的值为 　　． 三、解答题 21．（2025春•黄陂区月考）计算： （1）； （2）． 22．（2025春•桑植县期中）规定无理数的整数部分记为，小数部分记为，例如：，．请根据上面的规定解答以下两题： （1） 　　 ； 　　 ． （2）求的值． 23．（2025春•微山县期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算：在△中，．，点在上，且，这样就可以得出与的大小关系． 请写出与的大小关系并结合图形通过计算说明理由． 24．（2025春•霸州市期中）嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球，游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加． （1）若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果． （2）如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为x，淇淇说x的值能与合并，你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 25．（2024秋•定兴县月考）已知与最简二次根式可以加减合并，是27的立方根． （1）求，的值； （2）求的平方根； （3）若，求的值． 26．（2024秋•惠来县期末）综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与 　　是关于1的平衡数；与 　　是关于1的平衡数； 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值； 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 27．（2024秋•长沙期末）我们约定：关于的代数式，，若不论为何值，都有为常数），则称代数式，互为“差值代数式”， 为“差值”．例如：，，因为，所以，互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“”，若不是，则划“”． ①与 　　； ②与 　　； ③与 　　． （2）已知关于的整式，，若，互为“差值代数式”，且“差值”为4，求的值； （3）已知关于的整式，，若，互为“差值代数式”，且满足． ①求，，的值； ②求代数式的最小值． 28．（2024秋•仓山区校级期末）我们约定，关于的代数式、，在代数式成立的范围内，都有为常数），则称代数式、互为“差值代数式”， 为“差值”．例如：，，，、互为“差值代数式”，“差值”为2；根据该约定，解答下列问题： （1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．（在括号中填写“是”或“不是” ①与　　； ②与　　； ③与　　； ④与　　． （2）已知关于的整式，，若、互为差值代数式，且“差值”为5，求的值． 29．（2025•鲁山县三模）观察下列等式： ； ； ； （1）根据以上规律可得，则的值为　　 ． （2）写出的值，并通过计算说明其正确性． 30．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：　　，　　； (2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　+　=（　　+　； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ (4)化简：． 参考答案 一、选择题 1．解：根据实数的运算法则，以及平方根与算术平方根定义逐项分析判断如下： 、，计算正确，故此选项符合题意； 、，原计算错误，故此选项不符合题意； 、，原计算错误，故此选项不符合题意； 、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：． 2．解：， ． 故选：． 3．解：由条件可知， ， 由条件可知为偶数， 故选：． 4．解：， ， ， 故选：． 5．解：，， 是同类二次根式的有，共2个， 故选：． 6．解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ， ， ． 故选：． 7．解：由条件可知：原式， 故选：． 8．解：，不符合题意； ，符合题意； ，符合题意， 故选：． 9．解：，， ， 、是两个连续的偶数， ， ， 总是偶数， 故选：． 10．解：①和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，； ， 当时，，故该选项正确； ②， 当，则， 当，则．故该选项正确； ③， 当时，，故该选项错误； ④只存在三组和使得，即： ，， 或，， 其中与、为同类二次根式，且为最简根式， 则的值为49或或或64或16或，故该选项错误； 故选：． 二、填空题 11．解：由条件可知，则， 故答案为：1． 12．解：，，，， 所以与是同类二次根式的是，， 故答案为：，． 13．解：最简二次根式与可以合并， ， 解得， 故答案为：3． 14．解：原式， 故答案为：． 15．解：由条件可知与是关于6的“如意数”． 故答案为：． 16．解：， ，， ， 故答案为：7． 17．解：， 与是同类二次根式， ， ，或，， 或； 故答案为：4或． 18．解：若， 则， 即， 那么， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：2． 19．解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：10． 20．解：若有意义， 则， ， ， ， ， 故答案为：10． 三、解答题 21．解：（1）原式 ； （2）原式 ． 22．解：（1），， ， 故答案为：3，； （2）， ， ， ． 23．解：，理由如下， 由勾股定理得： ． ， 在△中， ． ， ． 24．解：（1）﹣ ＝2﹣ ＝； （2）淇淇的说法正确， 理由：x＝﹣2﹣+ ＝2﹣﹣+ ＝， ∵＝4， ∴x的值与是同类二次根式，可以合并运算． 25．解：（1），由题意，得：， ， ； （2）当，时， ， 的平方根； （3） ． 26．解：（1）由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数； 故答案为：，； （2）与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ， 解得； （3）不是， ， 又， ， ， 即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 27．解：（1）①，所以与互为“差值代数式”，“差值”为2， 故答案为：； ②，所以与不是与， 故答案为：； ③，所以当时，与互为“差值代数式”，“差值”为1， 故答案为：； （2）关于的整式，，若，互为“差值代数式”，且“差值”为4， ， 即， 或， 当时，即，所以或； 当时，即，所以或； 综上所述，或或或； （3）①关于的整式，，若，互为“差值代数式”， 的结果是常数， ，且“差值”为， 又， ， ，， 答：，，； ②， 当的值最小时，原式的值最大， 的最小值为， 的最小值． 28．解：（1）①：，当时，，当时，，故①不是； ②：，故②是； ③：，故③是； ④：，故④是； 故答案为：①不是；②是；③是；④是； （2）依题意得：， ， 解得：或0． 29．解：（1）根据题干规律可得： ． 故答案为：； （2）， ，，， ． 30．（1）解：若，则有， ，． 故答案为：；； （2）解：令，， 由（1）可知，，， 故答案为：4；2；1；1（答案不唯一）； （3）解：由（1）可知，，， 而、、均为正整数， ，或者，， 当，时，； 当，时，． 综上，或者． （4）解：由题意得： ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$