精品解析：江西省新余市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试卷

新余市2024-2025学年下学期期末质量检测 高二数学试题 命题人：刘春金 韩利华 艾磊 审校人：陈建 说明：1．本卷共有四个大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分． 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 记为递减等差数列的前n项和，若，，则（ ）． A. B. C. D. 4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 5. 2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探1900》五部电影上映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 6. 已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别为定义在上的函数和的导函数，且，，若是奇函数，则下列结论不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列函数在上是单调函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 设，则的最小值为12 C. 若对任意的恒成立，则 D. 设，若数列的前n项和为，则 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上（A在第一象限），点在上，以为直径的圆过点，且，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的面积的最小值为 D. 的面积大于 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卷中的横线上） 12. 设函数，则__________． 13. 已知数列的前n项和分别为，且，将两个数列的公共项按原顺序构成新数列，若，则n的最大值为__________． 14. 已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 已知函数，为的导函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在处取得极值，求的单调区间和最值． 17. 数列和它的前项的和满足. （1）求证：数列是等比数列，并求出该数列的通项公式； （2）已知，. ①求； ②是否存在、、，且，使得、、成等差数列？如果存在，求出、、，如果不存在，请说明理由. 18. 在三棱锥中，，，与平面所成的角为． （1）若，，如图，过点作平面，分别交，于点，． ①求证：平面； ②设，为平面内的动点，求周长的最小值． （2）若，，求二面角的取值范围． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数有两个极值点，． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新余市2024-2025学年下学期期末质量检测 高二数学试题 命题人：刘春金 韩利华 艾磊 审校人：陈建 说明：1．本卷共有四个大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分． 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算法则计算． 【详解】由题意，所以． 故选：B． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】“”的否定是“”. 故选：D 3. 记为递减等差数列的前n项和，若，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质及通项公式求基本量，再写出等差数列的通项公式和前n项和，即可得. 【详解】由，则，若数列公差为，则， ∴，且，可得，故，， ∴. 故选：A 4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 【答案】A 【解析】 【详解】由图可知，当时，，而，则； 当时，，而，则； 当时，，而，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则有极大值，无极小值. 5. 2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探1900》五部电影上映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 【答案】D 【解析】 【分析】分类求出满足小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式. 【详解】若小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影， 有两人看《哪吒》，则有种方案，有一人看《哪吒》电影，则有种方案， 即满足小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案. 故选：D. 6. 已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知时，函数至多有一个零点，进而可得时，要使得有两个零点，然后根据二次函数的性质结合条件即得. 【详解】当时，单调递增且，此时至多有一个零点， 若有三个零点，则时，函数有两个零点； 当时，，故； 当时，要使有两个零点， 则， 所以，又， 所以实数m的取值范围是. 故选：C. 7. A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 8. 已知分别为定义在上的函数和的导函数，且，，若是奇函数，则下列结论不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得，由此证明关于对称，再结合图象变换判断A，再证明函数为偶函数由此判断B，由条件证明为偶函数，由此证明为周期函数，结合周期性求，举反例判断C. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以函数为奇函数， 所以函数的图象关于点对称， 所以关于对称， 又， 所以函数的图象关于点对称，A正确； 因为函数的图象关于点对称， 所以的图象关于原点对称， 所以， 所以， 所以函数为偶函数，其图象关于轴对称， 所以函数的图象关于直线对称，B正确； 因为是奇函数，所以， 所以，即 又， 所以， 所以函数为周期函数，周期为4， 所以， 又，所以， 所以，故，D正确； 设，则，， 满足所给条件，但，所以C错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于充分利用函数的奇偶性的定义，结合条件判断相关函数的奇偶性，再结合奇函数和偶函数的性质判断相关结论. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列函数在上是单调函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据导函数确定函数单调性即可. 【详解】对于A，，在上单调递增，故A正确； 对于B，，在上单调递减，故B正确； 对于C，，令，令， 故在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，，令，令， 在上单调递减，在上单调递增，故D错误； 故选：AB. 10. 已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 设，则的最小值为12 C. 若对任意的恒成立，则 D. 设，若数列的前n项和为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：先求，结合等比数列性质分析求解；对于B：由，利用基本不等式判断；对于C：由对恒成立求解判断；对于D：由，利用裂项相消法求解判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以当时，，当时，， 因为为等比数列，所以，即，解得， 此时符合，则，，即为等比数列，故A正确； 对于选项B：因为，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以不能取到，故B错误； 对于选项C：因为， 所以当时，，当时，，则， 因为符合上式，所以， 若对任意的恒成立，则对恒成立， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 所以，则，故C正确； 对于选项D：由题意得，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上（A在第一象限），点在上，以为直径的圆过点，且，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的面积的最小值为 D. 的面积大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用抛物线的定义及平行线分线段成比例计算即可判定A；利用抛物线的定义及三角形全等判定为等边三角形即可得B正确；设，利用焦半径的倾斜角公式结合辅助角公式计算最值可判定C，利用线段关系结合C项结论可判定D项. 【详解】设在上的投影为与轴交于点，因为两点在上，则， 又，则，得，A正确； 设A在上的投影为，则，所以， 又，则， 即，为等边三角形， 则，，B正确； 若在第四象限，设，则， ，令， 则， 则，当且仅当时取最小值，易知错误； 易知，所以，当且仅当轴时取等号， 由C知，此时，故，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：对于C项，由于三角形为直角三角形，可根据焦半径的倾斜角公式利用角来表示三角形面积，求最值过程用到了三角函数的平方关系，换元法求最值即可，对于D项，借助三角形面积的大小关系及C结论即可判定. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卷中的横线上） 12. 设函数，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】代入计算即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知数列的前n项和分别为，且，将两个数列的公共项按原顺序构成新数列，若，则n的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分别求出，再通过列举即可得到公共项，进而可得解. 【详解】，当时，， 当时，， 当时也满足，故； 又，当时，，， 当时，，，即， 是首项为，公比为的等比数列，， 数列是数列的公共项， 又，，，， ，，， ，，，，且为单调递增数列， 满足的的最大值为. 故答案为：. 14. 已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据②将方程变形为，由①知为增函数，从而，变形构造函数可得，代入可得结果. 【详解】由②及题设条件，得. 由①，知为增函数，得，即 即. 令，则. 又为增函数，所以，即，所以， 故. 故答案为：2. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）构造等比数列即可求解； （2）由公式法求和、分组求和法即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 已知函数，为的导函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在处取得极值，求的单调区间和最值． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程； （2）根据题意可得，可得，进而求解函数的单调区间和最值. 【小问1详解】 当时，， 则，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由，，则， 所以， 则， 因为函数在处取得极值， 所以，解得， 此时， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，函数取得极小值，满足题意，即， 则函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，函数取得最小值，无最大值. 17. 数列和它的前项的和满足. （1）求证：数列是等比数列，并求出该数列的通项公式； （2）已知，. ①求； ②是否存在、、，且，使得、、成等差数列？如果存在，求出、、，如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析，；（2）①；②不存在，详见解析. 【解析】 【分析】（1）令求得的值，令，由得出，两式作差后利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列，确定该数列的公比，可求得数列的通项公式； （2）①求得，进而利用裂项相消法可求得； ②假设存在、、，且，使得、、成等差数列，运用等差数列中项性质，以及不等式的性质，即可判断存在性． 【详解】（1）当时，，得； 当时，①，②， ①②，得，，则. 是以为首项与公比的等比数列，； （2）①， ； ②假设存在、、，且，使得、、成等差数列，则. 去分母，整理得， （*） 、、三个互不相等，且，不妨设，，. ，. 显然等式（*）不成立，、、不可能成等差数列. 【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题． 18. 在三棱锥中，，，与平面所成的角为． （1）若，，如图，过点作平面，分别交，于点，． ①求证：平面； ②设，为平面内的动点，求周长的最小值． （2）若，，求二面角的取值范围． 【答案】（1）①证明：由⊥平面，平面，得⊥， 由，得⊥平面BCD，而平面，则⊥， 又，，平面，则⊥平面， 又平面，则⊥，而，平面， 所以平面PCD； ②1； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）根据线面垂直得到⊥，⊥，从而得到⊥平面，所以⊥，所以平面PCD. （ii）建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，设点关于平面对称的点为，则，要想最小，则需三点共线，此时的最小值为的长，设，且，从而得到方程组，解得，故，，故△CGH周长的最小值为. （2）在平面BCD的投影为以为圆心，为半径的圆，设，求出两平面的法向量，设二面角的大小为，则，换元得到，从而求出答案. 【小问1详解】 （i）略 （ii）由，得，，则， 过点作，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，得，， 则，，， 则平面的一个法向量为， 设点关于平面对称的点为，则， ，要最小，则需三点共线， 此时的最小值为的长，其中，且， 则且，而，解得， 故，； 所以△CGH周长的最小值为. 【小问2详解】 PB与平面BCD所成的角， 以为坐标原点，所在直线为轴，平行的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，故， PB与平面BCD所成的角，，则点在平面BCD的投影为以为圆心，为半径的圆， 设，， 设平面的法向量为，则， 令，得，平面的法向量为， 设二面角的大小为，由图形知，二面角是锐二面角，， 则， 令，则， 又在上单调递减，因此， 所以二面角的取值范围为. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数有两个极值点，． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）答案见解析； （2）（i），（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题设且，讨论研究导数的符号，即可确定函数单调性； （2）（i）将问题转化为在上有两个不等实根，结合对应二次函数性质求参数范围； （ii）由（i）并应用韦达定理得，分析法转化为在上恒成立，利用导数研究单调性并确定值域范围，即可证结论. 【小问1详解】 由定义域为，且， 令得，或， ①当时，，，单调递增， ，，单调递减， ，，单调递增， ②当时，，在单调递增， ③当时，，，单调递增， ，，单调递减， ，，单调递增， 综上： 当时，的单调递增区间为、，的单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为、，的单调递减区间为. 【小问2详解】 （i）由已知，，则， 函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根， 令，只需，故， （ii）由（i）知，，，且， ， 要证，即证，只需证， 令，，则， 因为恒成立，所以在上单调递减， 又，， 由零点存在性定理得，使得，即， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 则， ∵在上显然单调递增， ∴， ∴，即，得证． 【点睛】关键点点睛：第二问二小问，由，综合应用分析法、函数思想转化为证明在上恒成立，再利用导数研究单调性判断即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $