专题04 绝对值的四类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题04 绝对值的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、含字母的绝对值化简 类型二、绝对值方程 类型三、绝对值的非负性 类型四、绝对值与数轴综合 压轴专练 类型一、含字母绝对值的化简 ①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0； ②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 例1 如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数的除法，绝对值的意义，利用，得出有一个正数，二个负数是解题关键．根据，得出中有1个正数，2个负数，设，，，化简绝对值即可求解．． 【详解】解：∵， ∴中有1个正数，2个负数． 不妨设，，，则 ． 故选：C． 变式1-1 有理数、、在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数与数轴，由数轴可得，，进而根据有理数的运算法则得，，，再绝对值的性质化简即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴原式， 故答案为：． 变式1-2如图，数轴上、两点分别对应实数、，有以下结论： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的运算，绝对值的性质，数轴上的点表示有理数， 根据题意可知，且，结合有理数的加法和乘法法则判断①②③；再根据题意可知，结合有理数的乘法法则判断④；然后根据数轴上点的位置可知，即可判断⑤；最后根据可知，可解答⑥． 【详解】解：根据题意可知，且， ∴， 所以①不正确，②不正确，③正确； ∵，， ∴， 所以④正确； ∵， ∴，所以⑤正确； ∵， ∴， ∴，所以⑥正确． 综上所述，正确的个数是4个． 故选：D． 变式1-3 已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法不正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴、有理数的大小比较法则、绝对值等知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 首先判断出，，，，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，，，， A． ∵，，∴ ∴，故选项A错误，符合题意； B．∵，， ∴，故B选项正确，不符合题意； C．，， ∴，故C选项正确，不符合题意； D．；故选项D正确，不符合题意． 故选：A． 类型二、绝对值方程 绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 例2．若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了含有绝对值的一元一次方程，把含有绝对值的方程化成一般形式的一元一次方程是解题关键．先根据绝对值的非负性判断的取值范围，然后根据绝对值的性质把含有绝对值的方程化成一元一次方程的形式，解方程求出，再根据方程解的情况判断的取值，从而求出方程的解，再求出它们的和即可． 【详解】解：根据题意，， 或或或， 方程有3个解，即有两个相等， 显然，不成立， 若，则，此时方程有两个解，不成立； 若，则，因为，不成立； 若，则，此时方程有三个解，分别为2，18，； 该方程三个解的和为：， 故答案为：6． 变式2-1 若，，且则 ． 【答案】或或 【分析】首先根据绝对值的定义求得x和y的值，然后根据确定x，y的值，从而确定答案． 【详解】解：， ，解得：， ， ， 或， ， 即， 当时，，则； 当时，或，则或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了绝对值，解题的关键是根据|x-y|=y-x确定x、y的大小关系，熟记绝对值具有非负性，绝对值是正数的数有两个，且互为相反数． 变式2-2 已知a，b，c均为整数，且，那么的值 ． 【答案】1或2或3或4 【分析】此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键．首先根据，，均为整数得，均为非负整数，再根据即可得出①，，②，，③，，据此根据每一种情况求出的值即可． 【详解】解：，，均为整数， ，均为非负整数， 又， ，，或，，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，，， ； ③当，时，此时或2， 或． 综上所述，的值是1或2或3或4． 故此题答案为：1或2或3或4． 类型三、绝对值的非负性 任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0. 几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 例3．已知若为一个有理数，则． (1)填空：当时，________；当时，________； (2)当等于多少时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了求绝对值及绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． （1）分别把和代入求解即可； （2）根据绝对值的非负性得，进而得当时，的值最小，最小值为． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （2）解：∵若为一个有理数，则， ∴， ∴当时，有最小值， ∴当时，的值最小，的最小值为． 变式3-1若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 变式3-2 当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【详解】解：当时，，则时，有最大值； 当时， 为定值； 当时， 为定值； 故当时，有最大值，且最大值为2； 当时， ，则时，有最小值； 当时， ； 当时， ； 故当时，取有最小值，且最小值为； 故答案为：，；，． 类型四、绝对值与数轴综合 例4 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若数轴上表示数的点位于与5之间，则______． (4)当______时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)； (2)或 (3) (4)； 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点距离，绝对值方程，结合数轴上两点的距离是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可． （2）化简绝对值方程即可． （3）根据题意可得原式表示数到的距离，从而可得答案． （4）根据题意可得表示数轴上表示数的点与点、、之间的距离之和，根据数轴即可得当时，的最小值是． 【详解】（1）解：∵数轴上表示数和数的两点之间的距离等于， ∴数轴上表示3和2的两点之间的距离是，表示和1两点之间的距离是， 故答案为：；． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：或． （3）解：∵数的点位于与5之间， ∴表示数到的距离 ∴， 故答案为：． （4）解：∵表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离， ∴结合数轴可知：表示数轴上表示数的点与点、、之间的距离之和， 当时，最小，最小值是， 故答案为：；． 变式4-1．先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则C点表示的数是______；B，C两点间的距离是______； (2)点D和E分别在数轴上表示数x和．如果D，E两点之间的距离为3，那么x为______； (3)借助数轴思考，当x为______时，与的值相等． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由图可知点和点表示的数，根据数轴上点的平移即可求出点表示的数，进而可求出、两点间的距离； （2）根据数轴上两点之间的距离建立绝对值方程，解方程即可求出的值； （3）根据和的含义，画出数轴，利用数形结合思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由图可知，点表示的数为， 把点A向左移动1.5个单位，得到点C， 点表示的数为：， 由图可知，点表示的数为， 、两点间的距离是：， 故答案为：，； （2）解：由题意可知： ， 解得：或， 故答案为：或； （3）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离， 又与的值相等， 如图所示： 当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的平移，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，用数轴上的点表示有理数等知识点，熟知数轴上两点之间距离的计算方法并运用数形结合思想是解题的关键． 变式4-2 我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与－3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如可理解为数轴上表示有理数的点与表示数的点之间的距离．试探索： (1)若，则 ； (2)若，则满足条件的的值为 ； (3)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． (4)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)或 (2)或 (3)有，最小值为 (4)有，最小值为 【分析】（）根据绝对值的意义即可求解； （）由绝对值的意义可知表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和等于，由可知不可能在和之间，再分在的左边和在的右边两种情况，利用两点间距离公式计算即可求解； （）由绝对值的意义可知式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和，可知当在和之间时，距离之和最小，据此即可求解； （）由绝对值的意义可知式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离与到对应的点的距离之和，可知当时，距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，理解绝对值是意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， 即表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和等于， ∵， ∴不可能在和之间， 当在的左边时，， 解得； 当在的右边时，， 解得； 综上，满足条件的的值为或， 故答案为：或； （3）解：有． ∵， 即式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和， 可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为； （4）解：有． 式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离与到对应的点的距离之和， 可知当时，距离之和最小，最小值为． 1．若，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了化简绝对值，分别讨论中正数和负数的个数，再去绝对值计算，判断的符号是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴若都为正数，则， 则， 若中个为正，个为负，不妨设，则， 则， 若中个为正，个为负，不妨设，则， 则， 若都为负数，则， 则， ∴的值可能是或或， 故选：． 2．已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 【答案】D 【分析】先根据相反数的定义以及绝对值的定义求得a、b的值，再根据非负数的性质求得m、n的值，然后计算即可．掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解题的关键． 【详解】解：∵与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数， ∴， ∵， ∴或， 又∵，或，， ∴或， ∴或， ∴或， ∴的值为3或5． 故选：D． 3．若，，则 ． 【答案】3 【分析】分两种情况：； ．依次解出即可解答． 【详解】当时， ， ， 解得：， 当是时， ， ， 此时方程无解， 综上，． 故答案为：3. 【点睛】本题考查解绝对值方程，注意：要分类讨论． 4．（1）已知与互为相反数，试求的值； （2）设a、b、c为整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）2 【分析】（1）根据相反数的定义以及绝对值和平方的非负性求得，将代入式子，化简求解即可； （2）根据平方的非负性以及题意，求得a、b、c的关系，代入绝对值式子，求解即可． 【详解】解：（1）由题可知+=， 解得，； 原式= = （2）因为，，为整数，且， 所以①，即，； ②，即，； 综上所述， 所以． 【点睛】此题考查了相反数的定义、绝对值以及平方的非负性，解题的关键是结合题意，利用性质正确求得的值或a、b、c的关系． 5．同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______；______； (2)若数轴上表示数的点位于与6之间，则的值为______； (3)若，则的值是______； (4)的最小值是______，满足最小值时整数x的和是______． 【答案】(1)2，6 (2)10 (3)，2 (4)12，10 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，化简绝对值及两点间的距离等知识点， （1）直接根据绝对值的意义求解即可； （2）直接化简绝对值即可； （3）分x在左边，在1右边和在与1之间三种情况讨论求解即可； （4）分当时，当时，当时，当时，当时，五种情况化简绝对值讨论求解即可； 熟练掌握绝对值的相关知识是解题的关键． 【详解】（1），， 故答案为：2；6； （2）∵数轴上表示数x的点位于与6之间， ∴， 故答案为：10； （3）∵表示x到1和到的距离之和为5， ∴当x在左边时，x到1和到的距离之和为， ∴ 当x在1右边时，x到1和到的距离之和为， ∴ 当x在与1之间时，x到1和到的距离之和为， ∴符合题意的整数x为，2， 故答案为：，2； （4）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴综上，当时，的值最小，最小为12， ∴满足最小值时整数x的和是， 故答案为：12；10； 6．阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 【答案】(1)，（写成也可） (2)或 (3)，，，，， (4)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的意义． 根据题干中提供的两点之间的距离公式计算即可； 根据绝对值的定义可得，解方程即可得到的值； 根据绝对值表示的意义分当、、时三段分别求解； 根据绝对值表示的意义可知数式表示到和的距离之和，所以可知当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间且和的距离是，可得，根据绝对值的意义解方程求出． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； 数轴上表示与的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）解：， ， 或， 或； （3）解：当时， ， ， 整理得：， 解得：， ， 不在取值范围之内，故不符合题意； 当时， 可得：， 整理得：， 即当时，恒成立， 在之间的整数有、、、、、； 当时，， 解得：，不在取值范围之内，故不符合题意； （4）解：代数式表示到和的距离之和， 当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间，且和的距离是， 即， ， 解得：或． 7．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离．因此数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 【答案】(1)，或； (2)，，； (3)的最大值为，的最大值为． 【分析】（）根据有理数的减法法则，把减法化成加法进行计算，然后求出绝对值，最后根据绝对值的性质，列出关于的方程，解方程即可； （）利用绝对值的几何意义和两点间的距离公式，第一、第二问各分三种情况讨论，求出最小值即可； （）先分，，，四种情况讨论，求出的最小值，再分，，，，五种情况讨论，求出的最小值, 从而求出，的取值范围，然后求出答案即可； 本题主要考查了数轴，绝对值的意义，化简绝对值，解题关键是熟练掌握知识点的应用，分类讨论思想． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得:或， 故答案为：，或； （2）解：可以看作表示的点到和的距离之和， ∴当点在与之间的线段上，即时，， ∴有最小值，最小值为：， 可以看作表示的点到的距离与到的距离以及到的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，的最小值为， 故答案为：，，； （3）解：当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， ∴当时，有最小值，为； 当时， ∴， 当时， ∴， 当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， ∴当时，有最小值为， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴的最大值为，的最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 绝对值的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、含字母的绝对值化简 类型二、绝对值方程 类型三、绝对值的非负性 类型四、绝对值与数轴综合 压轴专练 类型一、含字母绝对值的化简 ①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0； ②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 例1 如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 变式1-1 有理数、、在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于 ． 变式1-2如图，数轴上、两点分别对应实数、，有以下结论： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-3 已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法不正确的是（   ）    A． B． C． D． 类型二、绝对值方程 绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 例2．若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 变式2-1 若，，且则 ． 变式2-2 已知a，b，c均为整数，且，那么的值 ． 类型三、绝对值的非负性 任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0. 几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 例3．已知若为一个有理数，则． (1)填空：当时，________；当时，________； (2)当等于多少时，的值最小，最小值是多少？ 变式3-1若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-2 当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 类型四、绝对值与数轴综合 例4 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若数轴上表示数的点位于与5之间，则______． (4)当______时，的值最小，最小值是______． 变式4-1．先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则C点表示的数是______；B，C两点间的距离是______； (2)点D和E分别在数轴上表示数x和．如果D，E两点之间的距离为3，那么x为______； (3)借助数轴思考，当x为______时，与的值相等． 变式4-2 我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与－3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如可理解为数轴上表示有理数的点与表示数的点之间的距离．试探索： (1)若，则 ； (2)若，则满足条件的的值为 ； (3)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． (4)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 1．若，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 2．已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 3．若，，则 ． 4．（1）已知与互为相反数，试求的值； （2）设a、b、c为整数，且，求的值． 5．同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______；______； (2)若数轴上表示数的点位于与6之间，则的值为______； (3)若，则的值是______； (4)的最小值是______，满足最小值时整数x的和是______． 6．阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 7．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离．因此数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$