专题01 几何体的三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题01 几何体的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、几何体展开图 类型二、利用展开图补齐几何体 类型三、点、棱、面之间关系 压轴专练 类型一、几何体展开图 1.常见几何体类型 ①长方体/正方体（6个面，12条棱，8个顶点；相对面平行且相等）； ②圆柱体（2个圆形底面，1个长方形侧面）； ③圆锥体（1个圆形底面，1个扇形侧面）； ④棱锥体（1个多边形底面，若干三角形侧面）. 2.展开图基本特征 ①面的完整性；②面的连接性；③边的对应关系；④无重叠原则 【重要性质】 ①长方体/正方体展开图特点（由6个矩形/正方形组成，相邻面共边，不同面不能重叠，可以有多种展开方式） ②圆柱体展开图特点（侧面展开为矩形，两个圆形底面，底面直径等于侧面宽度） ③圆锥体展开图特点（底面是圆形，侧面是扇形，扇形弧长等于底面周长） 例1．综合与实践：制作一个无盖长方形盒子．用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． 【问题分析】 （1）如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为________，底面积为________，容积为________；（用含的代数式表示） 【实践探索】 （2）如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，通过计算得出部分结果如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m n 0 直接写出的值 【实践分析】 （3）观察绘制的统计表，你发现随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？ （4）【分析猜想】 当________时（b为整数），所得的无盖长方体的容积最大，此时容积是________． 变式1-1．某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有______（只填写序号）． 【制作纸盒】综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子． （2）如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，此时，表面展开图的外围周长为，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，制作成的无盖长方体盒子的体积是______； （3）如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，则，此时表面展开图的外围周长为______，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．求制作成的有盖盒子的体积． 【拓展探究】 若长方体的长、宽、高分别为4、3、6．将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则当该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时，该长方体形盒子表面展开图的外围的最大周长是______． 变式1-2．新年前夕，某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒．设计组提供了如图1所示的两种心愿语盒的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的心愿语盒（不考虑接缝） (1)按展开图2可以围成心愿语盒______（填“A”或“B”）， (2)材料组准备了以下三种类型的卡纸供选择，规格、成本如下表： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：） 卡纸成本（单位：元/张） 2 5 8 ①设计组用一张型号Ⅱ的卡纸，最多可以画出______个心愿语盒A的展开图，或______个心愿语盒B的展开图； ②制作组要制作16个心愿语盒．如果你是设计组的成员，请合理选择展开图的样式、卡纸的型号和数量，使所选卡纸的总成本最低，写出你的方案． 我的方案是：型号Ⅰ的卡纸______张，型号Ⅱ的卡纸______张，型号Ⅲ的卡纸______张，所选卡纸的总成本是______元． 变式1-3．在综合实践课上，老师提供了如图所示的长方形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒． 小明按照图方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图所示． (1)若，则_____（用含有的代数式表示）； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（   ） A．   B． C．    D． (3)现以小明设计的纸盒展开图（图）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用． 卡纸型号 型号 型号 型号 规格（单位：）                单价（单位：元） （要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案； ②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计； ③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上； ④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，方案合理即可得分，总费用最低的才能得满分； ⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用．） 类型二、利用展开图补齐几何体 常见几何体补全要点 ①长方体/正方体（相对面平行且相等，前后面相等，左右面相等，上下面相等，相邻面垂直，共棱处成90度，棱长关系固定） ②圆柱体（底面特征，两个底面完全相同，底面都是圆形，侧面特征，展开为矩形，宽度等于底面周长，高度等于圆柱高度） ③圆锥体（底面特征，圆形底面，侧面特征，扇形展开图，扇形半径是斜高，弧长等于底面周长） 例2．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成．从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图； (2)能不能在某些位置增加小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变？如果能，请画出两种不同位置摆放的从上面看的形状图，并在图上小正方形中标出该位置的小立方块的个数；如果不能，请说明理由； (3)能不能减少某些位置的小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变？最少可以用几个小立方块？ 变式2-1．如图，是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从左面，上面看到的这个几何体的形状图； (2)若抽出若干小立方块之后，该几何体从正面看到的形状图不变，则共有______种抽出方式，并说明是抽出哪块． 变式2-2．请按要求完成下列问题： (1)画出图1所示的圆柱的三视图； (2)如图2所示，用个大小相同的小正方体搭建一个几何体，小正方体的棱长为． ①从正面看和左面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多能再添加小立方体__________个； ②从正面看和上面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多能再添加小立方体__________个； ③从正面看和左面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多可移走小立方体__________个． 变式2-3．在解决问题时，研究对象存在多种情况，不能进行统一研究，这时就需要对研究对象按照某个标准进行适当的归类划分，然后根据分类的情况逐类讨论汇总，得出问题的最终答案．这就是数学的一种分析问题、解决问题的重要策略——分类讨论．请试用这个策略解决下面的问题． 用多个大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．这样的几何体共有多少种摆法？各需要多个小立方体？请简要说明理由． 类型三、点、棱、面之间关系 常见几何体的点、棱、面关系 1.长方体/正方体：①数量关系（8个顶点，12条棱，6个面）；②位置关系（每个顶点连接3条棱，每个面有4条棱，每条棱连接2个面） 2.棱柱：①数量关系（顶点数=2n（n为底面边数），棱数=3n，面数=n+2）；②位置关系（ 侧棱平行，底面形状相同） 3.棱锥：①数量关系（顶点数=n+1，棱数=2n，面数=n+1）；②位置关系（侧棱交于顶点，n个三角形侧面）. 【重要性质】 欧拉公式:顶点数-棱数+面数=2(适用于简单凸多面体) 例3．欧拉为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献，他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 正八面体 图形 顶点数 4 6 棱数 6 面数 4 (2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系：___________； (3)某个饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和五边形两种多边形拼接而成的，且有36个顶点，每个顶点处都有3条棱，请问该多面体表面三角形与五边形的个数之和是多少？ 变式3．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体． （1）根据要求填写表格： 面数（） 顶点数（） 棱数（） 图1 图2 图3 （2）猜想三个数量间有何关系； （3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数． 一、填空题 1．如图所示，这个几何体是由若干个完全相同的小正方体搭成的．如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持其从正面看和从左面看得到的图形不变，那么最多可以再添加 个小正方体． 2．如图，由12根铅丝焊接成一个正方体框架．现要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．如果已将涂成红色，涂成黄色，涂成蓝色，那么该涂成白色的铅丝有 ． 3．如图1为一个长方体，，，M为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中三角形的面积为 ； 4．一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则搭成这样的几何体最少需要 个小立方块． 二、解答题 5．用小立方块搭一个几何体，使从正面和上面看到的形状图如图所示，上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数． (1)求a的值和b的最大值； (2)这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 6．【问题情境】元旦节，班级需要进行文化布置，各个学习小组分工制作装饰品： (1)小颖所在的综合实践小组准备制作一些无盖正方体纸盒收纳班级讲台上的小物件．图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）． (2)小志组准备制作一个有盖的大正方体盒子，他们先用5个大小一样的正方形制成如图2，3所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图2，图3中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．    (3)小亮组制作了若干个小正方体盒子，搭成几何体的形状，它从正面和上面看到的图形如图4所示，则这样的几何体有______种？它最多需要______个小立方块？最少需要______个小立方块？请分别画出需要小立方块最少时，从左面看到的几何体的形状图．（画出所有可能的情况） 7．小林所在的综合实践小组准备制作一些大小相同的正方体纸盒，用来收纳班级讲台上的粉笔（盒盖单独制作）． (1)图1是综合实践小组的同学画出的一些形状图，其中______（填序号）经过折叠能围成一个无盖正方体形纸盒． (2)综合实践小组的同学用制作的8个正方体形纸盒摆成如图2所示的几何体． ①在图3中画出从正面观察图2的几何体所看到的形状图； ②如果在图2的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个正方体形纸盒． 8．一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ 9．将图1所示的大正方体在顶点处截去一个小正方体后，得到图2所示的几何体． (1)设原来大正方体的表面积为，图2所示的几何体表面积为，那么与的大小关系是：____；（填“>”“<”或“=”） (2)图3的实线图形是图2所示几何体表面展开图的一部分，请在图3的虚线区域将图2的展开图补全； (3)设原来大正方体的棱长之和为m，图2所示几何体的棱长之和为n，小明认为：n刚好比m多出大正方体3条棱的长度，小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，所截去的小正方体的棱长与原大正方体的棱长之间具备怎样的数量关系时，才会正确？ 10．在数学实践课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． (1)若，直接用含的代数式表示出的长； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是________． A．        B． C．        D． (3)今有两种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示： 卡纸型号 型号I 型号II 规格（单位：） 单价（单位：元） 3 5 现要制作10个这种底面是边长为的正方形，高为的礼品盒．请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），并计算出你所用卡纸的总费用． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 几何体的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、几何体展开图 类型二、利用展开图补齐几何体 类型三、点、棱、面之间关系 压轴专练 类型一、几何体展开图 1.常见几何体类型 ①长方体/正方体（6个面，12条棱，8个顶点；相对面平行且相等）； ②圆柱体（2个圆形底面，1个长方形侧面）； ③圆锥体（1个圆形底面，1个扇形侧面）； ④棱锥体（1个多边形底面，若干三角形侧面）. 2.展开图基本特征 ①面的完整性；②面的连接性；③边的对应关系；④无重叠原则 【重要性质】 ①长方体/正方体展开图特点（由6个矩形/正方形组成，相邻面共边，不同面不能重叠，可以有多种展开方式） ②圆柱体展开图特点（侧面展开为矩形，两个圆形底面，底面直径等于侧面宽度） ③圆锥体展开图特点（底面是圆形，侧面是扇形，扇形弧长等于底面周长） 例1．综合与实践：制作一个无盖长方形盒子．用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． 【问题分析】 （1）如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为________，底面积为________，容积为________；（用含的代数式表示） 【实践探索】 （2）如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，通过计算得出部分结果如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m n 0 直接写出的值 【实践分析】 （3）观察绘制的统计表，你发现随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？ （4）【分析猜想】 当________时（b为整数），所得的无盖长方体的容积最大，此时容积是________． 【答案】（1），，． （2），． （3）由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小； （4），． 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体、列代数式，解题的关键是能够通过折叠得到折叠后长方体的长、宽、高． （1）由减去的正方形边长可得到盒子的高和盒子底面的边长，进而得到底面的面积，然后由“体积底面积高”求得盒子的容积． （2）分别将，和，代入（1）中的容积公式求得对应的容积． （3）通过表中容积的变化可以直接得到结果． （4）由表中容积的最大值即可得到结果． 【详解】解：（1）∵原正方形纸片的边长为，减去的小正方形的边长为， ∴折成的无盖长方体盒子的高为，底面正方形的边长为， ∴底面积为， ∴无盖长方体纸盒的容积为， 故答案为：，，． （2）当，时，； 当，时，， ∴，． （3）答：由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小； （4）由表中数据可知，当时，容积最大为， 故答案为：，． 变式1-1．某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有______（只填写序号）． 【制作纸盒】综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子． （2）如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，此时，表面展开图的外围周长为，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，制作成的无盖长方体盒子的体积是______； （3）如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，则，此时表面展开图的外围周长为______，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．求制作成的有盖盒子的体积． 【拓展探究】 若长方体的长、宽、高分别为4、3、6．将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则当该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时，该长方体形盒子表面展开图的外围的最大周长是______． 【答案】（1）①⑤⑥（2）588（3）80， 拓展探究：70 【分析】本题主要考查了立体图形表面展开图．熟练掌握正方体、长方体表面展开图特征，是解题的关键． （1）是正方体的表面展开图的有①⑤⑥； （2）长方体的一边长为14，另一边长也为14，体积为588； （3）表面展开图的外围周长为80，盒子一边长为14，另一边长为4，体积为168； 拓展探究：画出该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时的图形，计算其周长为70． 【详解】解：（1）是正方体的表面展开图的有①⑤⑥； 故答案为：①⑤⑥； （2）长方体的另一边长为： 另一边长为：， 体积为：； 故答案为：588； （3）表面展开图的外围周长为：， 盒子一边长为：， 另一边长为：， 体积为：，故答案为：80； 拓展探究： 如图，是该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时的情形， 其周长为：． 故答案为：70． 变式1-2．新年前夕，某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒．设计组提供了如图1所示的两种心愿语盒的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的心愿语盒（不考虑接缝） (1)按展开图2可以围成心愿语盒______（填“A”或“B”）， (2)材料组准备了以下三种类型的卡纸供选择，规格、成本如下表： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：） 卡纸成本（单位：元/张） 2 5 8 ①设计组用一张型号Ⅱ的卡纸，最多可以画出______个心愿语盒A的展开图，或______个心愿语盒B的展开图； ②制作组要制作16个心愿语盒．如果你是设计组的成员，请合理选择展开图的样式、卡纸的型号和数量，使所选卡纸的总成本最低，写出你的方案． 我的方案是：型号Ⅰ的卡纸______张，型号Ⅱ的卡纸______张，型号Ⅲ的卡纸______张，所选卡纸的总成本是______元． 【答案】(1)B；(2)①2，3；②1，1，2，23 【分析】（1）根据几何体的展开图即可求解； （2）①分别在型号Ⅱ的卡纸上画出最多的心愿语盒A和心愿语盒B的展开图即可得出答案； ②由题意可得，每张型号Ⅲ卡纸可制作6个心愿语盒B，每张型号Ⅱ卡纸可制作2个心愿语盒A或3个心愿语盒B，每张型号Ⅰ卡纸可制作1个心愿语盒A或1个心愿语盒B，即可求解． 【详解】（1）解：心愿语盒B的底面和对应的顶面都是由两个长方形拼合成，只有展开图2有长方形， ∴展开图2可以围成心愿语盒B，故答案为：B； （2）解：①如图，一张型号Ⅱ的卡纸，最多可以画出2个心愿语盒A的展开图，或3个心愿语盒B的展开图； 故答案为：2，3； ②如图，型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作6个心愿语盒B，则每个心愿语盒B成本为，每张卡纸可制作不到6个心愿语盒A，则每个心愿语盒A成本大于， 由①得型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个心愿语盒A或3个心愿语盒B，则每个心愿语盒B成本为，每个心愿语盒A成本为， 型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个心愿语盒A或1个心愿语盒B，则每个心愿语盒B成本为，每个心愿语盒A成本为， ∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸1张，型号Ⅰ卡纸1张，则（个），此时总成本最低， ∴所用卡纸总费用为：（元）． ∴我的方案是：型号Ⅰ的卡纸1张，型号Ⅱ的卡纸1张，型号Ⅲ的卡纸2张，所选卡纸的总成本是23元． 故答案为：1，1，2，23． 【点睛】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键． 变式1-3．在综合实践课上，老师提供了如图所示的长方形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒． 小明按照图方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图所示． (1)若，则_____（用含有的代数式表示）； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（   ） A．   B． C．    D． (3)现以小明设计的纸盒展开图（图）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用． 卡纸型号 型号 型号 型号 规格（单位：）                单价（单位：元） （要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案； ②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计； ③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上； ④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，方案合理即可得分，总费用最低的才能得满分； ⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用．） 【答案】(1) (2) (3)元，填表见解析 【分析】（）由折叠和题意可知，，，由四边形是正方形，得到，即得，进而即可求解； （）根据几何体的展开图即可求解； （）由题意可得，每张型号卡纸可制作个正方体，每张型号卡纸可制作个正方体，每张型号卡纸可制作个正方体，据此即可求解； 本题考查了几何体的展开与折叠，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，由折叠和题意可知，，, ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴，即， ∵，∴，∴， 故答案为：； （2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，∴选项符合题意， 故选：； （3）解：由（）可得，卡纸每格的边长为，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为： 所以型号卡纸，每张卡纸可制作个正方体，如图： 型号卡纸，每张这样的卡纸可制作个正方体，如图： 型号卡纸，每张这样的卡纸可制作个正方体，如图： 所以可选择型号卡纸张，型号卡纸张，型号卡纸张， 则可制作正方体礼品盒个， 所以所用卡纸总费用为：元， 填表如下： 卡纸型号 型号 型号 型号 需卡纸的数量（单位：张） 所用卡纸总费用（单位：元） 类型二、利用展开图补齐几何体 常见几何体补全要点 ①长方体/正方体（相对面平行且相等，前后面相等，左右面相等，上下面相等，相邻面垂直，共棱处成90度，棱长关系固定） ②圆柱体（底面特征，两个底面完全相同，底面都是圆形，侧面特征，展开为矩形，宽度等于底面周长，高度等于圆柱高度） ③圆锥体（底面特征，圆形底面，侧面特征，扇形展开图，扇形半径是斜高，弧长等于底面周长） 例2．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成．从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图； (2)能不能在某些位置增加小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变？如果能，请画出两种不同位置摆放的从上面看的形状图，并在图上小正方形中标出该位置的小立方块的个数；如果不能，请说明理由； (3)能不能减少某些位置的小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变？最少可以用几个小立方块？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)能，4个 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体： （1）从正面看和从左面看的图形相同，都分为上下两层，共三列，从左边起，第一列下面一层有一个小正方形，第二列上下两层各有一个小正方形，第三列下面一层有一个小正方形，据此可得答案； （2）在从上面看到的图形中， 在的正方形中，任意一个位置添加一个小正方形都符合题意； （3）在从上面看到的图形中，把与有两个小立方块相邻的立方块去掉即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，最少的情形如下： ∴能减少某些位置的小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变，最少可以用4个立方块． 变式2-1．如图，是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从左面，上面看到的这个几何体的形状图； (2)若抽出若干小立方块之后，该几何体从正面看到的形状图不变，则共有______种抽出方式，并说明是抽出哪块． 【答案】(1)见解析；(2)2 【分析】本题主要考查了画出从三个方向看几何体的形状图．熟练掌握三个形状图的画法是解题的关键．从上面看到的形状与从正面看到的形状长对正，从左面看到的形状与从正面看到的形状高平齐，从左面看到的形状与从上面看到的形状宽相等． （1）按宽相等分别画出从左面，上面看到的两个形状图即可； （2）抽出右侧两个小正方体中的任一个，共2种抽取方式． 【详解】（1）解： （2）解：∵从正面看到的图形不变， ∴只有抽掉右侧两个小立方体任意一个即可，共有2种抽法． 故答案为：2． 变式2-2．请按要求完成下列问题： (1)画出图1所示的圆柱的三视图； (2)如图2所示，用个大小相同的小正方体搭建一个几何体，小正方体的棱长为． ①从正面看和左面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多能再添加小立方体__________个； ②从正面看和上面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多能再添加小立方体__________个； ③从正面看和左面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多可移走小立方体__________个． 【答案】(1)如图所示；(2)①；②；③ 【分析】本题考查了从不同方向看． （1）根据从不同方向看的意义画图即可； （2）①根据从正面看和左面看到的图形不变可以在第一层添加3个小立方体； ②根据从正面看和上面看到的图形不变可以在第二层最左边添加1个小立方体； ③根据从正面看和左面看到的图形不变结合体从上面看到的图形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）①如图所示，从正面看和左面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多能再添加小立方体个 故答案为：3． ②如图所示，从正面看和上面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多能再添加小立方体个 故答案为：． ③如图所示，③从正面看和左面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多可移走小立方体个 故答案为：． 变式2-3．在解决问题时，研究对象存在多种情况，不能进行统一研究，这时就需要对研究对象按照某个标准进行适当的归类划分，然后根据分类的情况逐类讨论汇总，得出问题的最终答案．这就是数学的一种分析问题、解决问题的重要策略——分类讨论．请试用这个策略解决下面的问题． 用多个大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．这样的几何体共有多少种摆法？各需要多个小立方体？请简要说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了从三个不同方向看几何体，熟练掌握作图，表面积的求解是解题的关键．根据从上面看的图形可得底面有5个小正方体，结合从正面和从上面看到的图形可得第二层“田”字上可能有2个或3个或4个或5个，进而可得答案． 【详解】根据从上面看的图形可得底面有5个小正方体，结合从正面和从上面看到的图形可得第二层可能有2个或3个或4个或5，共有7个、8个或9个或10个． 第二层可能有2个，如图所示（标有1的地方有2个小正方形，没有标注的有1个小正方形），需要7个小立方体，有种摆法； 第二层可能有3个，如图所示（标有1的地方有2个小正方形，没有标注的有1个小正方形），需要8个小立方体，有种摆法； 第二层可能有4个，如图所示（标有1的地方有2个小正方形，没有标注的有1个小正方形），需要9个小立方体，有种摆法； 第二层可能有5个，如图所示（标有1的地方有2个小正方形，没有标注的有1个小正方形），需要10个小立方体，有种摆法； 综上所述，共有种摆法， 类型三、点、棱、面之间关系 常见几何体的点、棱、面关系 1.长方体/正方体：①数量关系（8个顶点，12条棱，6个面）；②位置关系（每个顶点连接3条棱，每个面有4条棱，每条棱连接2个面） 2.棱柱：①数量关系（顶点数=2n（n为底面边数），棱数=3n，面数=n+2）；②位置关系（ 侧棱平行，底面形状相同） 3.棱锥：①数量关系（顶点数=n+1，棱数=2n，面数=n+1）；②位置关系（侧棱交于顶点，n个三角形侧面）. 【重要性质】 欧拉公式:顶点数-棱数+面数=2(适用于简单凸多面体) 例3．欧拉为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献，他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 正八面体 图形 顶点数 4 6 棱数 6 面数 4 (2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系：___________； (3)某个饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和五边形两种多边形拼接而成的，且有36个顶点，每个顶点处都有3条棱，请问该多面体表面三角形与五边形的个数之和是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)该多面体表面三角形与五边形的个数之和是20． 【分析】本题考查了探索规律，几何体中的点、棱、面，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，直接写出答案即可； （2）分析表格中的数据，发现； （3）根据有36个顶点，每个顶点处都有3条棱，得到总棱数，根据即可求解． 【详解】（1）解：依题意， 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 正八面体 图形 顶点数 4 6 10 6 棱数 6 9 15 12 面数 4 5 7 8 （2）解：分析表中的数据，能发现、、之间的关系为：， 故答案为：； （3）解：依题意，设该多面体表面三角形的个数为个，五边形的个数为个， 有36个顶点，每个顶点处都有3条棱， 共有（条， ，解得． ． ∴该多面体表面三角形与五边形的个数之和是20． 变式3．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体． （1）根据要求填写表格： 面数（） 顶点数（） 棱数（） 图1 图2 图3 （2）猜想三个数量间有何关系； （3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）2020 【分析】（1）根据图形数出即可． （2）根据（1）中结果得出． （3）代入求出即可． 【详解】解：（1） 面数（） 顶点数（） 棱数（） 图1 7 9 14 图2 6 8 12 图3 7 10 15 （2）猜想：； （3），， ， ， 即它的面数是2020． 【点睛】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律． 一、填空题 1．如图所示，这个几何体是由若干个完全相同的小正方体搭成的．如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持其从正面看和从左面看得到的图形不变，那么最多可以再添加 个小正方体． 【答案】4 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，为保持这个几何体的从左面看和从正面看到的形状图不变，可在最底层第二列第三行加1个，第三列第二行加2个，第三列第三行加1个，即可得最多可以再添加4个小正方体，熟练掌握从不同方向看几何体的方法是解决此题的关键． 【详解】保持从上面看到的图形和从左面看到的图形不变，最多可以再添加4个小正方体； 故答案为：4． 2．如图，由12根铅丝焊接成一个正方体框架．现要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．如果已将涂成红色，涂成黄色，涂成蓝色，那么该涂成白色的铅丝有 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体框架的涂色问题．先由正方体的特点得出可能涂红色的铅丝，进一步确定涂成红色的铅丝，同理得出涂成蓝色，黄色的铅丝，最后可得涂成白色的铅丝． 【详解】解：∵要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色，且涂成红色， ∴涂成红色的只可能为， ∵，都不能为红色， ∴若为红色，则面不可能有一条边涂成红色， ∴涂成红色的只有 同理可知涂成涂成蓝色的只有，涂成黄色的有， ∴涂成白色的有， 故答案为：． 3．如图1为一个长方体，，，M为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中三角形的面积为 ； 【答案】3 【分析】本题主要考查长方体的展开图，根据长方体展开图的特点求出展开图的对应边长，再结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，在展开图中标出对应的点， 则，， 那么，三角形的面积为， 故答案为：3． 4．一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则搭成这样的几何体最少需要 个小立方块． 【答案】7 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，具备较强的空间想象能力是解题关键．在从上面看得到的图形的对应位置上，根据从正面看得到的图形标注最少需要摆放的小立方块的个数，由此即可得． 【详解】解：在从上面看得到的图形的对应位置上，根据从正面看得到的图形标注最少需要摆放的小立方块的个数如下： 或 则搭成这样的几何体最少需要的小立方块的个数为（个）， 故答案为：7． 二、解答题 5．用小立方块搭一个几何体，使从正面和上面看到的形状图如图所示，上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数． (1)求a的值和b的最大值； (2)这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 【答案】(1)，b的最大值为2 (2)最少是11个，最多是16个 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握从不同方向看得到的形状图的画法是解题的关键； （1）根据题目中从正面和上面看到的形状图，即可判断求解； （2）根据题目中从正面和上面看到的形状图，进行分析即可求解． 【详解】（1）根据从正面看到的形状图可知，，b的最大值为2； （2）根据从正面和上面看到的形状图可知， 当搭这个几何体所用的小立方块最少时， 三个数之和为个； 两个数之和为个； 个； 故小立方块最少为个． 当搭这个几何体所用的小立方块最多时， 三个数之和为个； 两个数之和为个； 个； 故小立方块最多为个． 6．【问题情境】元旦节，班级需要进行文化布置，各个学习小组分工制作装饰品： (1)小颖所在的综合实践小组准备制作一些无盖正方体纸盒收纳班级讲台上的小物件．图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）． (2)小志组准备制作一个有盖的大正方体盒子，他们先用5个大小一样的正方形制成如图2，3所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图2，图3中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．    (3)小亮组制作了若干个小正方体盒子，搭成几何体的形状，它从正面和上面看到的图形如图4所示，则这样的几何体有______种？它最多需要______个小立方块？最少需要______个小立方块？请分别画出需要小立方块最少时，从左面看到的几何体的形状图．（画出所有可能的情况） 【答案】(1)①③④ (2)作图见解析：（答案不唯一） (3)3，7，8，作图见解析 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，从不同方向看立体图形，掌握正方体的表面展开图的模型以空间想象力是解题的关键． （1）根据正方体的展开图，逐个分析即可求解； （2）根据正方体的展开图每个面都有对面即可解答； （3）根据从正面看和上面看得到的图形，分析第2列小正方体的个数解答，根据左视图的定义即可画出最少和最多的情况即可． 【详解】（1）解：图①有5个面，可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒，图②经折叠后有两个面重复，因此折叠不能围成无盖正方体形纸盒；图③④有5个面，均可以折叠为无盖的正方体纸盒， ∴经过折叠能围成无盖正方体纸盒的有：①③④； 故答案为：①③④． （2）解：如图所示：（答案不唯一） （3）解：第2列小立方块前面1个，后面2个；第2列小立方块前面2个，后面1个；第2列小立方块前面2个，后面2个； 故这样的几何体有3种； 它最多需要个小立方块；最少需要个小立方块； 如图所示∶ ， 故答案为：3，7，8． 7．小林所在的综合实践小组准备制作一些大小相同的正方体纸盒，用来收纳班级讲台上的粉笔（盒盖单独制作）． (1)图1是综合实践小组的同学画出的一些形状图，其中______（填序号）经过折叠能围成一个无盖正方体形纸盒． (2)综合实践小组的同学用制作的8个正方体形纸盒摆成如图2所示的几何体． ①在图3中画出从正面观察图2的几何体所看到的形状图； ②如果在图2的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个正方体形纸盒． 【答案】(1)①③④；(2)①图见解析；②3 【分析】本题考查简单组合体，展开图折叠成几何体等知识． （1）根据要求动手操作可得结论； （2）①根据主视图的定义画出图形即可； ②根据要求作出判断即可． 【详解】（1）解：图1是综合实践小组同学制作的图形，其中①③④经过折叠能围成无盖正方体纸盒； 故答案为：①③④； （2）解：①如图所示： ②如果在图2的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加3个正方体形纸盒． 故答案为：3． 8．一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ 【答案】不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体 【分析】利用从上看的图形，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，可得结论． 【详解】结合左面看到的几何体，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，如图：    最多有：（个）， 最少有：（个）， 即可知：这样的几何体不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体． 【点睛】本题考查从不同角度观看几何体的知识，解题的关键是具有一定的空间想象力，属于中考常考题型． 9．将图1所示的大正方体在顶点处截去一个小正方体后，得到图2所示的几何体． (1)设原来大正方体的表面积为，图2所示的几何体表面积为，那么与的大小关系是：____；（填“>”“<”或“=”） (2)图3的实线图形是图2所示几何体表面展开图的一部分，请在图3的虚线区域将图2的展开图补全； (3)设原来大正方体的棱长之和为m，图2所示几何体的棱长之和为n，小明认为：n刚好比m多出大正方体3条棱的长度，小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，所截去的小正方体的棱长与原大正方体的棱长之间具备怎样的数量关系时，才会正确？ 【答案】(1)= (2) 作图见详解 (3)不正确，所截的小正方体的棱长是大正方体棱长的一半 【分析】本题主要考查立体结合图形的特点，掌握正方体截取的方法，数形结合分析是解题的关键． （1）根据图示，截去部分与增加部分的面积的比较，即可求解； （2）根据立体图形与展开图的特点进行分析即可求解； （3）根据截去部分与增加部分的棱长进行比较即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 截去的面与相等，面与相等，面与面相等， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意，作图如下， （3）解：不正确，理由如下， 根据题意，，，， 截去了，增加了，截去了，增加了，截去了，增加了， ∴截去的长为，增加的长为， ∴所截的小正方体的棱长是大正方体棱长的一半，才会正确 10．在数学实践课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． (1)若，直接用含的代数式表示出的长； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是________． A．        B． C．        D． (3)今有两种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示： 卡纸型号 型号I 型号II 规格（单位：） 单价（单位：元） 3 5 现要制作10个这种底面是边长为的正方形，高为的礼品盒．请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），并计算出你所用卡纸的总费用． 【答案】(1) (2)C (3)见解析 【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠和题意可知，，，四边形是正方形，得到，即，即可求解； （2）根据几何体的展开图即可求解； （3）由题意可得，每张型号卡纸可制作10个正方体，每张型号卡纸可制作2个正方体，每张型号卡纸可制作1个正方体，即可求解． 【详解】（1）解：如图： 上述图形折叠后变成： 由折叠和题意可知，，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴． （2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反， ∴C选项符合题意， 故选：C． （3）解：①只选型号Ⅰ卡纸：礼品盒展开图分步情况，如图所示： ∴用一张型号Ⅰ卡纸可以制作这样的礼品盒2个， ∴制作10个这样的礼品盒，需要的卡片张数为， 则需要的费用为：（元）； ②只选型号Ⅱ卡纸：礼品盒展开图分步情况，如图所示： ∴用一张型号Ⅱ卡纸可以制作这样的礼品盒3个， ∴制作10个这样的礼品盒，需要的卡片张数为， 则需要的费用为：（元）； ③用1张型号Ⅰ卡纸，3张型号Ⅱ卡纸，，也可以制作10个这样的礼品盒，需要的费用为：（元）； ④用2张型号Ⅰ卡纸，2张型号Ⅱ卡纸，，也可以制作10个这样的礼品盒，需要的费用为：（元）； ⑤用4张型号Ⅰ卡纸，1张型号Ⅱ卡纸，，也可以制作10个这样的礼品盒，需要的费用为：（元）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$