2.4 自由落体运动 讲义 -2024-2025学年高一上学期物理人教版（2019）必修第一册同步考点题型练

目录 第09课时　自由落体运动 1 考点一　自由落体运动及自由落体加速度的理解 1 考点二　自由落体运动规律及其应用 3 题型1：基本规律 4 题型2：比例关系 5 题型3：多物体的自由落体运动 7 题型4：非质点类的自由落体运动 8 考点三　测量自由落体加速度的方法 10 巩固训练·提升能力 14 第09课时　自由落体运动 考点一　自由落体运动及自由落体加速度的理解 必备知识·回顾梳理 1、伽利略对自由落体运动的研究 （1）亚里士多德的观点:物体下落的快慢是由它们的重量决定的。 （2）伽利略的研究:①逻辑归谬②猜想与假说③数学推理④实验验证⑤合理外推。 2、自由落体运动 （1）定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。（2）特点:只受重力作用;初速度为0。 3.实际落体运动的处理：如果空气阻力的影响比较小，可以忽略，物体从静止开始下落的运动可以近似看作自由落体运动。 4、自由落体加速度 （1）定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫作重力加速度。 （2）方向：竖直向下　。 （3）大小：在地球上同一个地点，g的大小相同；在地球表面不同的地方，g的大小一般是不同的。在一般的计算中，g可以取9.8 m/s2或10 m/s2。 关键能力·规律方法 1.对自由落体运动的理解 （1）“自由”的含义：物体的初速度为零且只受重力作用。 （2）自由落体运动在其他星球上也可以发生，但自由落体加速度和地球上的一般不同。 2.对自由落体加速度（重力加速度）的理解 （1）产生原因：地球上的物体受到地球的吸引而产生的。 （2）大小变化 与纬度的关系 随纬度的增加而增大。赤道处最小，两极处最大，但差别很小 与高度的关系 随高度的增加而减小。但在一定的高度内，可认为重力加速度的大小不变 （3）方向：竖直向下。由于地球是一个球体，各处的重力加速度的方向是不同的。 例题分析·考点题型 【例题1】（单选） “自由落体”演示实验装置如图所示，当牛顿管被抽成真空后，将其迅速倒置，管内轻重不同的物体从顶部下落到底端的过程中，下列说法正确的是(    ) A. 时间相同，加速度相同 B. 时间相同，加速度不同 C. 时间不同，加速度相同 D. 时间不同，加速度不同 【答案】A  【解答】轻重不同的两物体在牛顿管中做自由落体运动，加速度相等，等于，由于下降的高度相等，根据知，运动的时间相同，故A正确，、、D错误。 故选A。 【变式训练1】（单选）伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合．关于该实验，下列说法正确的是(    ) A. 图甲所示实验可“冲淡”重力的作用，使时间容易测量 B. 图丁所示是实验现象，图甲所示是经过合理外推后的现象 C. 伽利略直接测量的是小球运动的速度，验证速度随时间均匀变化 D. 伽利略直接测量的是小球自由落体的位移，验证位移与时间的平方的关系 【答案】A  【解析】A、因为伽利略所处的时代自由落体时间无法准确测量，所以伽利略让铜球从阻力很小的斜面下滑，用来“冲淡”重力的作用，延长运动时间，便于测量时间，A正确 B、题图甲、乙、丙是现象，丁是合理外推的结论，B错误。 C、伽利略所处的时代无法直接测定瞬时速度，所以无法直接得到速度的变化规律，C错误 D、伽利略通过数学计算得出结论：如果物体初速度为零，且速度与时间成正比，即，那么它通过的位移与时间的平方成正比，即，这样只需测出通过不同位移所用的时间，验证位移与时间的平方的关系，就可以验证物体的速度是否随时间均匀变化，但是伽利略所处的时代自由落体的时间无法准确测量，D错误 【变式训练2】（单选）下列关于自由落体运动的说法正确的是(    ) A. 自由落体运动是一种初速度为零的匀加速直线运动 B. 从竖直上升的热气球吊篮中掉下的物体的运动是自由落体运动 C. 在空气中下落的雪花的运动是自由落体运动 D. 只在重力作用下的运动必定是自由落体运动 【答案】A  【解答】A.自由落体运动是初速度为零、加速度为的匀加速直线运动，故A正确； B.从竖直上升的热气球吊篮中掉下来的物体具有向上的初速度，所以不是自由落体运动，故B错误； C.在空气中下落的雪花受到的空气阻力不能忽略不计，不是自由落体运动，故C错误； D.只在重力作用下但初速度不为零的运动不是自由落体运动，故D错误． 考点二　自由落体运动规律及其应用 必备知识·回顾梳理 1.运动性质：自由落体运动是初速度为0、加速度为g的匀加速直线运动。 2.基本规律 （1）速度与时间的关系式：v＝gt。 （2）位移与时间的关系式：x＝gt2。 关键能力·规律方法 1.基本规律 匀变速直线运动 自由落体运动 速度与时间的关系式 v＝v0＋at v＝gt 位移与时间的关系式 x＝v0t＋at2 x＝gt2 速度与位移的关系式 v2－＝2ax v2＝2gx 2.常用推论 匀变速直线运动的一切推论，如：①平均速度公式、②位移中点的速度公式、③逐差公式、④初速度为零的匀加速直线运动的比例式，都适用于自由落体运动。 例题分析·考点题型 题型1：基本规律 【例题1】高空抛物会造成严重的安全隐患，刑法修正案十一新设高空抛物罪，“高空抛物”正式入刑。若一小玻璃球从高度处的楼层由静止滑落，不计空气阻力，取重力加速度，求： 小玻璃球经过多长时间落到地面； 落地时小玻璃球的速度大小； 下落过程中，小玻璃球在最后内的位移大小。 【答案】小玻璃球做自由落体运动，由  解得  由  解得  前小玻璃球下落的位移大小为  解得  最后内的位移大小为  解得  【变式训练1】从某一高度先后由静止释放两个相同的小球甲和乙，若两球被释放的时间间隔为，在不计空气阻力的情况下，它们在空中的运动过程中(    ) A. 甲、乙两球速度之差越来越大 B. 甲、乙两球速度之差越来越小 C. 甲、乙两球间的距离始终保持不变 D. 甲、乙两球间的距离越来越大 【答案】D  【解析】、甲、乙两球的速度差，两球的速度差保持不变，故AB错误； 、甲、乙两球的位移差，即两球间的距离，两球间的距离越来越大，故C错误，D正确。 故选：。 【变式训练2】屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水，当第滴正欲滴下时，第滴刚好到达地面，而第滴与第滴分别位于高为的窗户的上、下沿，如图所示，问：不计空气阻力，取 此屋檐离地面多高？ 滴水的时间间隔是多少？ 此时刻第滴水离地面多高？ 【答案】解：、设第二滴水的位移为，第三滴水的位移为，水滴落下的时间间隔为。 由得 ， ， 得： 此屋檐高度为： 第三滴离地面高为：；  题后反思·方法与技巧 （1）自由落体运动的运动时间由下落的高度决定。 （2）下落的高度与离地高度是两个不同的概念，处理问题时要注意区分。 题型2：比例关系 【例题1】.如图所示是用频闪周期为的相机拍摄的一张真空中羽毛与苹果从同一高度自由下落的局部频闪照片。关于提供的信息及相关数据处理，下列说法中正确的是 A. 羽毛下落到点的速度大小为 B. 苹果下落的加速度大小为 C. 若满足关系，则为苹果释放的初始位置 D. 一段时间后苹果会在羽毛下方 【答案】AC  【解析】B.根据位移差公式，苹果的加速度为，故B错误； A.根据匀变速直线运动中间时刻的速度等于这段时间的平均速度，羽毛下落到点的速度大小为，故A正确； C.只有初速度为零时，才满足关系，所以为苹果释放的初始位置，故C正确； D.真空中苹果和羽毛下落加速度均为，下落快慢相同，故D错误。 故选AC． 【变式训练1】（多选）如图所示，自来水管通过调节阀门每隔相同的时间滴下一滴水，当第滴水刚要滴下时。第滴水刚好到达地面。已知管口到水平地面的高度为，水滴均可视为质点，忽略空气阻力，下列说法正确的是(    ) A. 图示状态第滴水和第滴水的间距为 B. 图示状态第滴水和第滴水的间距为 C. 当地的重力加速度大小为 D. 图示状态第滴水的速度大小为 【答案】AC  【解析】相邻两滴水的时间间隔相等，根据自由落体相邻相等时间内的位移比为可知，图示状态第滴水和第滴水的间距为 图示状态第滴水和第滴水的间距为 故A正确，B错误； C.由题意可知，每滴水落地所需时间为，则有 解得，故C正确； D.图示状态第滴水的速度大小为，故D错误。 故选AC。 【变式训练2】（单选）一个物体从某一高度做自由落体运动。已知它在第内的位移恰为它在最后内位移的三分之一、则它开始下落时距地面的高度为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：初速度为的匀变速直线运动，从开始运动在连续相等时间内的位移比为：：：。 最后秒内的位移恰为它最初秒内位移的倍，知运行的时间为。 第一秒内的位移，所以总位移为。故B正确，ACD错误。 故选：。 解决本题的关键掌握初速度为的匀变速直线运动的特殊推论，从开始运动在连续相等时间内的位移比为：：：本题用该推论解题比较方便。 题型3：多物体的自由落体运动 【例题1】（单选）、两小球从不同高度自由下落，同时落地，球下落的时间为，球下落的时间为，当球开始下落的瞬间，、两球的高度差为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】由可得：下落的高度为；而下落的高度为：；而在下落的瞬间已下落了：； 故AB两球的高度差为：；故选：。 【变式训练1】（单选）有、两球质量分别是和，通过长为的竖直轻绳相连。用手拿着球，球距地面高度为，释放后两球落地时间差为，不计空气阻力，则以下说法中正确的是(    ) A. 若将两小球位置互换，则时间差增大 B. 若将增大，则时间差增大 C. 若将增大，则时间差增大 D. 若将小球质量也增大到，则时间差增大 【答案】B  【解答】根据速度位移公式：，得：，球着地后，球做匀加速运动到地面，时间为，根据匀变速直线运动的位移公式：，联立得，由该式可得时间差与物体的质量无关，故AD错误； B.若将增大，不变，时间差增大，故B正确； C.若将增大，增大，时间差减小，故C错误。 故选B。 【变式训练2】（单选）在飞机飞行表演活动中，飞行员在悬停的飞机上先由静止释放小球甲，间隔又由静止释放小球乙。已知小球甲在下落的第内与最后内的位移之比为：，重力加速度，不计空气阻力。下列判断正确的是(    ) A. 悬停的飞机离地面的高度为 B. 甲球从释放到落地共用时 C. 甲球落地瞬间，乙球的速度大小为 D. 甲球落地瞬间，乙球距地面的高度为 【答案】D  【解析】A.小球甲在下落的第内位移，则最后内的位移为，最后内的平均速度为，落地时的瞬时速度为 根据  ，可得悬停的飞机离地面的高度为 故A错误； 根据  ，可得小球甲下落时间为 因此甲球落地瞬间，乙球下落时间为，根据自由落体运动的规律，可知此时乙球速度大小为 下落高度为 乙球距地面的高度为 故BC错误，D正确。 故选D。 题型4：非质点类的自由落体运动 【例题1】（单选）如图所示为“眼疾手快”游戏装置示意图，游戏者需接住从支架上随机自由落下长为的圆棒。某次游戏中，一未被接住的圆棒下落过程依次经过、两点，、间距为，该棒未下落时下端距点。已知点距离地面足够高，圆棒下落过程中始终保持竖直，不计空气阻力，取，该棒经过段距离所需的时间为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设圆棒下端运动到点的时间为，则 解得： 设圆棒上端运动到点的时间为，则 解得： 故棒经过段距离所需的时间为：，故A正确，BCD错误。 故选：。 【变式训练1】（单选）甲、乙两同学通过下面的实验测量人的反应时间：如图所示，甲握住直尺让其自然下垂，乙把手放在尺的下端附近准备用手指夹住下落的尺。甲在不通知乙的情况下，突然松手，尺子下落，乙看到尺子下落后快速用手指夹住尺子，从甲释放到乙捏住尺子，尺子下落的时间为乙的反应时间。若某次测量时尺子下落后被乙捏住，取重力加速度，则此次测量乙的反应时间为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据位移公式有 解得。 故选B。 【变式训练2】（多选）3.如图所示，在足够高的空间内，将一位于竖直空心管的正上方的小球由静止释放，经过时间后，开始释放空心管，此时小球恰好位于空心管上方处。已知空心管长为，小球球心在管的轴线上，小球的直径小于管的内径，小球可以无阻碍地穿过空心管，不计空气阻力。下列说法正确的是(    ) A. 若大于某一值，小球一定不能穿过空心管 B. 越大，小球穿过空心管的时间就越短 C. 越大，小球穿过空心管的时间就越短 D. 小球穿过空心管的时间与的大小无关 【答案】CD  【解析】开始释放空心管时小球的速度 由于小球和空心管加速度相同，所以以空心管为参考系，可看成小球相对于空心管以速度向下匀速运动，则穿过空心管的时间为 可以分析出，越大，小球穿过空心管的时间就越短，小球穿过空心管的时间与的大小无关。 故选CD。 考点三　测量自由落体加速度的方法 关键能力·规律方法 方法一　打点计时器法 1.实验装置如图所示，打点计时器固定在铁架台上，纸带一端系着重物，另一端穿过打点计时器。用夹子夹住纸带，启动打点计时器，松开夹子后重物自由下落，打点计时器在纸带上留下一串小点。 2.改变重物的质量，重复打出几条纸带，选点迹清晰，且1、2两点间距离小于或接近2 mm的纸带分析研究。对纸带上计数点间的距离x进行测量，利用g＝求出自由落体加速度。 特别提醒 （1）为尽量减小阻力的影响，重物应选密度大的，打点计时器应竖直固定好。 （2）重物应靠近打点计时器释放，且要先打开打点计时器的电源再放开重物。 方法二　频闪照相法 　频闪照相机可以每间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机可追踪记录做自由落体运动的物体的位置，根据Δx是否为恒量，可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动。根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，可求出自由落体加速度g＝。由g＝也可求出自由落体加速度g。 方法三　滴水法 1.如图所示，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节盘的高度使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头开始下落，并且能依次持续下去。 2.用刻度尺测出水龙头距盘面的高度h。 3.测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启停表开始计时，之后每落下一滴水依次计数1、2、3，当数到n时按下停表停止计时，则每一滴水下落的时间T＝。 4.由h＝gT2，得g＝＝。 例题分析·考点题型 【例题1】某同学利用如图所示的装置测量当地的重力加速度，小铁球吸附在电磁铁下方，在小球正下方固定一光电门，断开电磁铁的电源，小球自由下落。 关于本实验，下列操作或测量正确的是          填正确答案标号。 A.用天平测量小球的质量 B.用毫米刻度尺测量小球底部到光电门中心的距离 C.用游标卡尺测量小球的直径 D.用数字计时器测量小球经过光电门的挡光时间 小球经过光电门时的速度大小为          ，重力加速度的测量值为          。用中测量物理量的字母表示 若小球通过光电门时球心偏离光电门的中心，则测得的重力加速度将          填“偏大”或“偏小”。 【答案】   偏大  【解析】小球通过光电门的速度大小为，所以需要用数字计时器测量小球经过光电门的挡光时间和用游标卡尺测量小球的直径，小球从静止释放到经过光电门过程，根据自由落体运动规律可得，还需要用毫米刻度尺测量小球底部到光电门中心的距离，故B、、项正确。 小球通过光电门的速度大小为，根据自由落体运动规律可得，联立解得。 若小球通过光电门时球心偏离光电门的中心，则挡光时间偏小，测得的重力加速度将偏大。 【变式训练1】某同学用如图所示的装置来测量当地的重力加速度，为竖直木板，让小球从点等高处由静止释放，右侧用一束平行光照射小球，小球在下落的过程中在木板上留下影子。在释放小球的同时用频闪照相机连续拍摄小球在木板上影子的位置，如图中的、、、、点。现测得点到各点的距离分别为、、、，回答下列问题： 为了减小空气阻力的影响，应选择体积小，质量          选填“小”或“大的小球来做实验。 由匀加速直线运动的规律可得影子在点时的速度是在点时的速度的          倍，若照相机的闪光周期为，则当地重力加速度的表达式为          用、、表示。 【答案】大 【解析】为了减小空气阻力的影响，应选择体积小，质量大的小球来做实验。 点位于、两点的中间时刻，由匀加速直线运动的规律  ，可得影子在点时的速度是在点时速度的倍。 由公式 ，可得 则当地重力加速度的表达式为。 【变式训练2】出于对物理实验的热爱，小明同学在家自主开展实验探究用手机拍摄物体自由下落的视频，得到分帧图片，利用图片中小球的位置来测量当地的重力加速度，实验装置如图所示． 家中有等体积乒乓球、实心木球和实心钢球，其中最适合用作实验中下落物体的是           下列主要操作步骤的正确顺序是          填写标号 将小球从刻度尺旁由静止释放 手机固定在三脚架上，调整好手机镜头的位置 把刻度尺竖直固定在墙上 打开手机录像功能，开始拍摄 将小球顶部与刻度尺刻度对齐，由静止释放，用手机拍其下落过程选取其中张分帧照片如图所示，相邻两帧之间的时间间隔为，读出第一张和第二张照片中小球顶部对应的刻度分别为、，读得第三张照片中小球顶部对应的刻度为          拍第二张照片时小球的速度为          ，计算得到当地的重力加速度          最后两空保留位有效数字 为了得到更精确的加速度值，该同学利用多帧图片测算其对应的速度和下落的高度，绘制了图像，如图所示其中、分别为两个体积不同，质量相同的小球下落的图像，由图像可知          填标号． A.图像的斜率表示小球下落的加速度 B.小球的体积大于小球的体积 C.小球的体积小于小球的体积 D.由图像可知小球测出的加速度值更接近当地重力加速度 【答案】实心钢球 【解析】实验中应使用质量最大的实心钢球，可以把空气阻力产生的相对误差降到最小。 实验时应先把刻度尺竖直固定在墙上，再把手机固定在三脚架上，调整好手机镜头的位置，使镜头能垂直拍到刻度尺上尽可能大的范围，然后打开手机摄像功能并开始摄像，最后捏住小球，从刻度尺旁由静止释放。所以正确顺序是。 由图可知，第三张照片中小球顶部对应的刻度在之间。 拍第二张照片时小球的瞬时速度等于小球从第一张照片位置运动到第三张照片位置之间的平均速度， 即， 根据公式可得。 由速度位移公式可得，所以图像的斜率表示小球下落的加速度的倍，故A错误 由于空气阻力的存在，实验中测得的加速度总是小于当地的重力加速度，即根据图像的斜率计算出来的重力加速度，总是小于实际的重力加速度所以斜率越大的图像越接近真实值，对应的实验过程中的相对误差就越小。由图可知采用了小球的实验结果更理想，说明在质量相同的情况下，小球的体积更小，故 B错误、C正确 D.斜率越大的图像越接近真实值，由图可知小球测出的加速度值更接近当地重力加速度，故 D正确。 故选CD。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.伽利略通过提出问题、猜想、验证并合理外推，得出了自由落体运动的规律。在不计空气阻力的情况下，下列说法正确的是(    ) A. 重力加速度的方向始终竖直向下 B. 在同一地点距地面相同高度由静止释放轻重不同的物体，重的物体先落地 C. 纬度越高的地方，重力加速度越小 D. 伽利略对斜面倾角为的情况也进行了测量并得出结论 【答案】A  【解析】【解答】 A.重力加速度方向始终竖直向下，故A正确； B.在同一地点距地面相同高度由静止释放轻重不同的物体，重的物体和轻的物体同时落地，故B错误； C.纬度越高的地方，重力加速度越大，故C错误； D.伽利略对斜面倾角较小的情况进行了测量，通过合理外推得出自由落体运动的规律，故D错误。 故选：。 2.如图所示，某同学为测量一个地洞的深度，将两个石块、用长为的不可伸长的细线相连。用手抓住石块使其与洞口边缘等高，让石块悬挂在其正下方，将两石块由静止释放，测得二者落到地洞底部的时间差约为，试估算地洞的深度约为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】设地洞深，则  ，  ，  解得。 故选C。 3.某同学采用频闪摄影的方法拍摄到如图所示的小球做自由落体运动的照片，将一小球从高为处静止释放，重力加速度取，忽略空气阻力，该频闪摄影的闪光频率为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】设频闪周期为，则根据自由落体运动规律有，代入数据解得，则闪光频率，故选：。 4.小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其速度随时间变化的关系如图所示，取，则不正确的是(    ) A. 小球下落的最大的速度为 B. 小球第一次反弹初速度的大小为 C. 小球能弹起的最大高度为 D. 小球能弹起的最大高度为 【答案】D  【解析】解：、由图可知，小球下落到时的速度最大，最大速度为；故A正确； B、由图可知，反弹后的速度的大小为，故B正确； 、弹起后的负向位移为：，故C正确、D错误； 本题选错误的，故选：。 5.雨后，某人用高速相机拍下一幅水滴下落的照片，如图所示，其中第滴水刚要离开屋檐，若滴水的时间间隔相同，第滴与第滴水的实际间距为，取重力加速度大小，不计空气阻力，则拍下照片的瞬间，图中第滴水的速度大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】设滴水间隔为，据题意可得第滴与第滴水的实际间距， 解得， 则第滴水的速度大小，故C正确，ABD错误。 6.一石块从楼房阳台边缘向下做自由落体运动到达地面，把它在空中运动的时间分为相等的三段，如果它在第一段时间内的位移是，那么它在第三段时间内的位移是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】将该自由落体运动的时间分成了相等的三段，由其规律知：第内、第内、第内的位移之比为ⅠⅡⅢ，第一段时间内的位移为，则第三段时间内的位移为Ⅲ，故C正确． 7.蹦床是一项专业运动员利用蹦床的反弹效果表现技巧的竞技运动，属体操项目之一。朱雪莹在东京奥运会夺冠一跳如图所示。某段过程中，她自距水平网面高处由静止下落，与网作用后，竖直向上弹离水平网面的最大高度为，若忽略触网过程中蹬网发力动作而将其视为质点，不计空气阻力且规定竖直向下为正方向，取。下列说法正确的是(    ) A. 她下落到刚接触网面时的速度为 B. 她自最高点向下运动到最低点的过程历时 C. 她与网作用过程中的平均加速度为 D. 她自静止下落到弹回至最高点的过程中，平均速度为 【答案】D  【解析】解：、朱雪莹下落的高度为，根据：可得她下落到刚接触网面时的速度大小为：，故A错误； B、她自最高点向下运动到触网的过程的时间：，她与网接触后仍然要继续下降一段时间才能到达最低点，所以她自最高点向下运动到最低点的过程的时间一定大于，故B错误； C、朱雪莹上升的高度为，根据：可得她刚离开网面时的速度大小为：，所以她与网作用过程中的平均加速度为：，故C错误； D、她刚离开网面后上升的时间：，她自静止下落到弹回至最高点的过程中的位移：，则平均速度为：，故D正确。 故选：。 8.如图甲，某同学利用光电门计时器测自由落体运动的加速度，小球的直径为。小球被电磁铁吸住时，球心到光电门的距离为，小球通过光电门的时间为，画出如下图像，下列说法正确的是(    ) A. 实验中可以选密度较小的泡沫球 B. 实验中应该先释放小球再接通光电门计时器的电源 C. 比小球球心通过光电门的真实速度偏大 D. 若图乙中直线斜率为，则重力加速度 【答案】D  【解析】A.为了减小空气阻力带来的影响，实验中应选密度较大的金属球，故A错误； B.根据实验顺序，实验中应该先接通光电门计时器的电源再释放小球，防止打开计时器时，小球已经下落到计时器下面，故B错误； C.  是平均速度，等于中间时刻的瞬时速度，根据匀变速规律可知，中间时刻的速度小于中间位置的速度，所以  比小球球心通过光电门的真实速度偏小，故C错误； D.小球经过光电门的速度，根据，整理得，若图乙中直线斜率为，则，可得，故D正确。 故选D。 9.从高度为的塔顶自由释放小球，不计空气阻力。有关小球在空中的运动，以下判断不正确的是(    ) A. 小球在最后内下落的高度为 B. 在小球接触地面之前，速度和加速度均逐渐增加 C. 小球下落的高度为时，小球的速度大小为 D. 小球下落过程中，第内和第内的位移之比为 【答案】B  【解析】B、小球释放后做自由落体运动，则在小球接触地面之前，其速度逐渐增大，加速度不变，故B错误，符合题意； A、由解得小球落地所用的时间，则小球在最后内下落的高度为，故A正确，不符合题意； C、由知，小球下落的高度为时，小球的速度大小为，故C正确，不符合题意； D、由“做初速度为的匀变速直线运动的物体连续相等时间内位移之比为”知，小球下落过程中，第内和第内的位移之比为，故D正确，不符合题意。 10.如图所示是一张在真空实验室里拍摄的羽毛与苹果同时下落的局部频闪照片。已知频闪照相机的频闪周期为，重力加速度为。下列说法中正确的是(    ) A. 一定满足 B. 羽毛下落到点的速度大小为 C. 苹果在点的速度大小为 D. 羽毛下落的加速度大小为 【答案】D  【解析】A.羽毛与苹果在真空中做自由落体运动，点并不一定是下落点，故A点速度不一定等于零，则羽毛与苹果的位移不一定满足关系：：：：，故A错误； B.羽毛下落到点的速度大小为，故B错误； C.苹果做自由落体运动，则苹果下落到点的速度大小为，因为点速度不为零，故苹果在点的速度大小不能用表示，故C错误； D.根据可得苹果的加速度为，故D正确。 11.如图所示，一长为的金属管从楼顶自由下落，金属管下端的正下方处有一高为的窗户，取，则下列说法正确的是(    ) A. 金属管穿过窗户所用时间为 B. 金属管下端到达窗户上沿的速度为 C. 金属管下端到达窗户下沿的速度为 D. 金属管上端到达窗户下沿的速度为 【答案】D  【解析】A.根据，解得金属管下端到达窗户上沿的时间 根据，解得金属管上端过窗户下沿时间 金属管穿过窗户所用时间，故A错误； B.根据，解得金属管下端到达窗户上沿的速度，故B错误； C.根据，解得金属管下端到达窗户下沿的速度，故C错误； D.根据，解得金属管上端到达窗户下沿的速度，故D正确。 故选D。 12.如图所示，长为的圆筒竖直静止在空中，筒的下端离地高为，一个小球在筒正上方距其上端高为处由静止释放，此后某时刻由静止释放圆筒，圆筒和球同时落地且不反弹，不计球的大小，不计空气阻力，重力加速度为，则小球在筒内运动的时间为 A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据可得球下落的时间，圆筒下落的时间，则释放圆筒时小球已经运动的时间为，释放筒时，小球的速度，落地前，小球相对筒做速度为的匀速直线运动，则小球穿过圆筒的时间，项正确。 故选B。 二、计算题。 13.某人在室内以窗户为背景摄影时，恰好把窗外从高处落下的一个小石子拍摄在照片中，已知本次摄影的曝光时间是。测得照片中石子运动痕迹的长度为，实际长度为的窗框在照片中的长度为。 根据照片估算曝光时间内石子下落了多少距离？ 估算曝光时刻石子运动的速度是多大？ 估算这个石子大约是从距离窗户多高的地方落下的？取。 【答案】解：设在曝光时间 内，石子实际下落的距离为， 由题意得：， 解得：  。 石子在这 内的速度为：  。 石子做自由落体运动，故 。 答：根据照片估算曝光时间内石子下落了 ； 曝光时刻石子运动的速度是 ； 这个石子大约是从距离窗户 高的地方落下的。  14.如图甲所示是年河北杂技龙跃神州：中幡舞上春晚。表演者用身体各个部位不断晃动、抛起、接住中幡，始终不让幡杆落地，十分精彩。某次动作中，表演者将中幡竖直向上抛起，又在原地接住中幡。若中幡在被抛出和接住时，幡底离地高度均为，从抛出到接住经历时间。不计空气阻力，重力加速度取。 求这次动作中，幡底离地的最大高度； 在另一动作中，一名持幡者将幡竖直向上抛出时，另一名表演者迅速爬上他的肩头，在幡底离地时将幡接住，运动简化示意图如图乙所示。若幡抛出时幡底离地仍为，两人配合完成这套动作用时，则将中幡竖直抛出时的速度是多少？接幡时幡的速度大小是多少？ 【答案】幡底竖直向上抛起后运动的距离 解得 幡底离地的最大高度 解得； 两人配合完成这套动作有 中幡竖直抛出时的速度 接幡时幡的速度 解得，负号表示速度方向向下 接幡时幡的速度大小为。 答：这次动作中，幡底离地的最大高度； 将中幡竖直抛出时的速度，接幡时幡的速度。  15.跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当下降时立即打开降落伞，伞张开后可认为运动员以匀减速运动，到达地面时速度为，重力加速度。求： 运动员打开降落伞时的速度的大小。 运动员离开飞机后，经过多少时间才能到达地面。 【答案】解：下降时打开降落伞，根据自由落体运动公式可得 解得运动员打开降落伞时的速度为 运动员做自由落体运动的时间为 运动员打开降落伞做匀减速直线运动的时间为 可得运动员离开飞机后，到达地面所用时间为 解得  12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 目录 第09课时　自由落体运动 1 考点一　自由落体运动及自由落体加速度的理解 1 考点二　自由落体运动规律及其应用 3 题型1：基本规律 3 题型2：比例关系 4 题型3：多物体的自由落体运动 5 题型4：非质点类的自由落体运动 6 考点三　测量自由落体加速度的方法 7 巩固训练·提升能力 10 第09课时　自由落体运动 考点一　自由落体运动及自由落体加速度的理解 必备知识·回顾梳理 1、伽利略对自由落体运动的研究 （1）亚里士多德的观点:物体下落的快慢是由它们的重量决定的。 （2）伽利略的研究:①逻辑归谬②猜想与假说③数学推理④实验验证⑤合理外推。 2、自由落体运动 （1）定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。（2）特点:只受重力作用;初速度为0。 3.实际落体运动的处理：如果空气阻力的影响比较小，可以忽略，物体从静止开始下落的运动可以近似看作自由落体运动。 4、自由落体加速度 （1）定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫作重力加速度。 （2）方向：竖直向下　。 （3）大小：在地球上同一个地点，g的大小相同；在地球表面不同的地方，g的大小一般是不同的。在一般的计算中，g可以取9.8 m/s2或10 m/s2。 关键能力·规律方法 1.对自由落体运动的理解 （1）“自由”的含义：物体的初速度为零且只受重力作用。 （2）自由落体运动在其他星球上也可以发生，但自由落体加速度和地球上的一般不同。 2.对自由落体加速度（重力加速度）的理解 （1）产生原因：地球上的物体受到地球的吸引而产生的。 （2）大小变化 与纬度的关系 随纬度的增加而增大。赤道处最小，两极处最大，但差别很小 与高度的关系 随高度的增加而减小。但在一定的高度内，可认为重力加速度的大小不变 （3）方向：竖直向下。由于地球是一个球体，各处的重力加速度的方向是不同的。 例题分析·考点题型 【例题1】（单选） “自由落体”演示实验装置如图所示，当牛顿管被抽成真空后，将其迅速倒置，管内轻重不同的物体从顶部下落到底端的过程中，下列说法正确的是(    ) A. 时间相同，加速度相同 B. 时间相同，加速度不同 C. 时间不同，加速度相同 D. 时间不同，加速度不同 【变式训练1】（单选）伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合．关于该实验，下列说法正确的是(    ) A. 图甲所示实验可“冲淡”重力的作用，使时间容易测量 B. 图丁所示是实验现象，图甲所示是经过合理外推后的现象 C. 伽利略直接测量的是小球运动的速度，验证速度随时间均匀变化 D. 伽利略直接测量的是小球自由落体的位移，验证位移与时间的平方的关系 【变式训练2】（单选）下列关于自由落体运动的说法正确的是(    ) A. 自由落体运动是一种初速度为零的匀加速直线运动 B. 从竖直上升的热气球吊篮中掉下的物体的运动是自由落体运动 C. 在空气中下落的雪花的运动是自由落体运动 D. 只在重力作用下的运动必定是自由落体运动 考点二　自由落体运动规律及其应用 必备知识·回顾梳理 1.运动性质：自由落体运动是初速度为0、加速度为g的匀加速直线运动。 2.基本规律 （1）速度与时间的关系式：v＝gt。 （2）位移与时间的关系式：x＝gt2。 关键能力·规律方法 1.基本规律 匀变速直线运动 自由落体运动 速度与时间的关系式 v＝v0＋at v＝gt 位移与时间的关系式 x＝v0t＋at2 x＝gt2 速度与位移的关系式 v2－＝2ax v2＝2gx 2.常用推论 匀变速直线运动的一切推论，如：①平均速度公式、②位移中点的速度公式、③逐差公式、④初速度为零的匀加速直线运动的比例式，都适用于自由落体运动。 例题分析·考点题型 题型1：基本规律 【例题1】高空抛物会造成严重的安全隐患，刑法修正案十一新设高空抛物罪，“高空抛物”正式入刑。若一小玻璃球从高度处的楼层由静止滑落，不计空气阻力，取重力加速度，求： 小玻璃球经过多长时间落到地面； 落地时小玻璃球的速度大小； 下落过程中，小玻璃球在最后内的位移大小。 【变式训练1】从某一高度先后由静止释放两个相同的小球甲和乙，若两球被释放的时间间隔为，在不计空气阻力的情况下，它们在空中的运动过程中(    ) A. 甲、乙两球速度之差越来越大 B. 甲、乙两球速度之差越来越小 C. 甲、乙两球间的距离始终保持不变 D. 甲、乙两球间的距离越来越大 【变式训练2】屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水，当第滴正欲滴下时，第滴刚好到达地面，而第滴与第滴分别位于高为的窗户的上、下沿，如图所示，问：不计空气阻力，取 此屋檐离地面多高？ 滴水的时间间隔是多少？ 此时刻第滴水离地面多高？ 题后反思·方法与技巧 （1）自由落体运动的运动时间由下落的高度决定。 （2）下落的高度与离地高度是两个不同的概念，处理问题时要注意区分。 题型2：比例关系 【例题1】.如图所示是用频闪周期为的相机拍摄的一张真空中羽毛与苹果从同一高度自由下落的局部频闪照片。关于提供的信息及相关数据处理，下列说法中正确的是 A. 羽毛下落到点的速度大小为 B. 苹果下落的加速度大小为 C. 若满足关系，则为苹果释放的初始位置 D. 一段时间后苹果会在羽毛下方 【变式训练1】（多选）如图所示，自来水管通过调节阀门每隔相同的时间滴下一滴水，当第滴水刚要滴下时。第滴水刚好到达地面。已知管口到水平地面的高度为，水滴均可视为质点，忽略空气阻力，下列说法正确的是(    ) A. 图示状态第滴水和第滴水的间距为 B. 图示状态第滴水和第滴水的间距为 C. 当地的重力加速度大小为 D. 图示状态第滴水的速度大小为 【变式训练2】（单选）一个物体从某一高度做自由落体运动。已知它在第内的位移恰为它在最后内位移的三分之一、则它开始下落时距地面的高度为(    ) A. B. C. D. 题型3：多物体的自由落体运动 【例题1】（单选）、两小球从不同高度自由下落，同时落地，球下落的时间为，球下落的时间为，当球开始下落的瞬间，、两球的高度差为(    ) A. B. C. D. 【变式训练1】（单选）有、两球质量分别是和，通过长为的竖直轻绳相连。用手拿着球，球距地面高度为，释放后两球落地时间差为，不计空气阻力，则以下说法中正确的是(    ) A. 若将两小球位置互换，则时间差增大 B. 若将增大，则时间差增大 C. 若将增大，则时间差增大 D. 若将小球质量也增大到，则时间差增大 【变式训练2】（单选）在飞机飞行表演活动中，飞行员在悬停的飞机上先由静止释放小球甲，间隔又由静止释放小球乙。已知小球甲在下落的第内与最后内的位移之比为：，重力加速度，不计空气阻力。下列判断正确的是(    ) A. 悬停的飞机离地面的高度为 B. 甲球从释放到落地共用时 C. 甲球落地瞬间，乙球的速度大小为 D. 甲球落地瞬间，乙球距地面的高度为 题型4：非质点类的自由落体运动 【例题1】（单选）如图所示为“眼疾手快”游戏装置示意图，游戏者需接住从支架上随机自由落下长为的圆棒。某次游戏中，一未被接住的圆棒下落过程依次经过、两点，、间距为，该棒未下落时下端距点。已知点距离地面足够高，圆棒下落过程中始终保持竖直，不计空气阻力，取，该棒经过段距离所需的时间为(    ) A. B. C. D. 【变式训练1】（单选）甲、乙两同学通过下面的实验测量人的反应时间：如图所示，甲握住直尺让其自然下垂，乙把手放在尺的下端附近准备用手指夹住下落的尺。甲在不通知乙的情况下，突然松手，尺子下落，乙看到尺子下落后快速用手指夹住尺子，从甲释放到乙捏住尺子，尺子下落的时间为乙的反应时间。若某次测量时尺子下落后被乙捏住，取重力加速度，则此次测量乙的反应时间为(    ) A. B. C. D. 【变式训练2】（多选）3.如图所示，在足够高的空间内，将一位于竖直空心管的正上方的小球由静止释放，经过时间后，开始释放空心管，此时小球恰好位于空心管上方处。已知空心管长为，小球球心在管的轴线上，小球的直径小于管的内径，小球可以无阻碍地穿过空心管，不计空气阻力。下列说法正确的是(    ) A. 若大于某一值，小球一定不能穿过空心管 B. 越大，小球穿过空心管的时间就越短 C. 越大，小球穿过空心管的时间就越短 D. 小球穿过空心管的时间与的大小无关 考点三　测量自由落体加速度的方法 关键能力·规律方法 方法一　打点计时器法 1.实验装置如图所示，打点计时器固定在铁架台上，纸带一端系着重物，另一端穿过打点计时器。用夹子夹住纸带，启动打点计时器，松开夹子后重物自由下落，打点计时器在纸带上留下一串小点。 2.改变重物的质量，重复打出几条纸带，选点迹清晰，且1、2两点间距离小于或接近2 mm的纸带分析研究。对纸带上计数点间的距离x进行测量，利用g＝求出自由落体加速度。 特别提醒 （1）为尽量减小阻力的影响，重物应选密度大的，打点计时器应竖直固定好。 （2）重物应靠近打点计时器释放，且要先打开打点计时器的电源再放开重物。 方法二　频闪照相法 　频闪照相机可以每间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机可追踪记录做自由落体运动的物体的位置，根据Δx是否为恒量，可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动。根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，可求出自由落体加速度g＝。由g＝也可求出自由落体加速度g。 方法三　滴水法 1.如图所示，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节盘的高度使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头开始下落，并且能依次持续下去。 2.用刻度尺测出水龙头距盘面的高度h。 3.测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启停表开始计时，之后每落下一滴水依次计数1、2、3，当数到n时按下停表停止计时，则每一滴水下落的时间T＝。 4.由h＝gT2，得g＝＝。 例题分析·考点题型 【例题1】某同学利用如图所示的装置测量当地的重力加速度，小铁球吸附在电磁铁下方，在小球正下方固定一光电门，断开电磁铁的电源，小球自由下落。 关于本实验，下列操作或测量正确的是          填正确答案标号。 A.用天平测量小球的质量 B.用毫米刻度尺测量小球底部到光电门中心的距离 C.用游标卡尺测量小球的直径 D.用数字计时器测量小球经过光电门的挡光时间 小球经过光电门时的速度大小为          ，重力加速度的测量值为          。用中测量物理量的字母表示 若小球通过光电门时球心偏离光电门的中心，则测得的重力加速度将          填“偏大”或“偏小”。 【变式训练1】某同学用如图所示的装置来测量当地的重力加速度，为竖直木板，让小球从点等高处由静止释放，右侧用一束平行光照射小球，小球在下落的过程中在木板上留下影子。在释放小球的同时用频闪照相机连续拍摄小球在木板上影子的位置，如图中的、、、、点。现测得点到各点的距离分别为、、、，回答下列问题： 为了减小空气阻力的影响，应选择体积小，质量          选填“小”或“大“)做实验。 由匀加速直线运动的规律可得影子在点时的速度是在点时的速度的          倍，若照相机的闪光周期为，则当地重力加速度的表达式为          用、、表示。 【变式训练2】出于对物理实验的热爱，小明同学在家自主开展实验探究用手机拍摄物体自由下落的视频，得到分帧图片，利用图片中小球的位置来测量当地的重力加速度，实验装置如图所示． 家中有等体积乒乓球、实心木球和实心钢球，其中最适合用作实验中下落物体的是           下列主要操作步骤的正确顺序是          填写标号 将小球从刻度尺旁由静止释放 手机固定在三脚架上，调整好手机镜头的位置 把刻度尺竖直固定在墙上 打开手机录像功能，开始拍摄 将小球顶部与刻度尺刻度对齐，由静止释放，用手机拍其下落过程选取其中张分帧照片如图所示，相邻两帧之间的时间间隔为，读出第一张和第二张照片中小球顶部对应的刻度分别为、，读得第三张照片中小球顶部对应的刻度为          拍第二张照片时小球的速度为          ，计算得到当地的重力加速度          最后两空保留位有效数字 为了得到更精确的加速度值，该同学利用多帧图片测算其对应的速度和下落的高度，绘制了图像，如图所示其中、分别为两个体积不同，质量相同的小球下落的图像，由图像可知          填标号． A.图像的斜率表示小球下落的加速度 B.小球的体积大于小球的体积 C.小球的体积小于小球的体积 D.由图像可知小球测出的加速度值更接近当地重力加速度 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.伽利略通过提出问题、猜想、验证并合理外推，得出了自由落体运动的规律。在不计空气阻力的情况下，下列说法正确的是(    ) A. 重力加速度的方向始终竖直向下 B. 在同一地点距地面相同高度由静止释放轻重不同的物体，重的物体先落地 C. 纬度越高的地方，重力加速度越小 D. 伽利略对斜面倾角为的情况也进行了测量并得出结论 2.如图所示，某同学为测量一个地洞的深度，将两个石块、用长为的不可伸长的细线相连。用手抓住石块使其与洞口边缘等高，让石块悬挂在其正下方，将两石块由静止释放，测得二者落到地洞底部的时间差约为，试估算地洞的深度约为(    ) A. B. C. D. 3.某同学采用频闪摄影的方法拍摄到如图所示的小球做自由落体运动的照片，将一小球从高为处静止释放，重力加速度取，忽略空气阻力，该频闪摄影的闪光频率为(    ) A. B. C. D. 4.小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其速度随时间变化的关系如图所示，取，则不正确的是(    ) A. 小球下落的最大的速度为 B. 小球第一次反弹初速度的大小为 C. 小球能弹起的最大高度为 D. 小球能弹起的最大高度为 5.雨后，某人用高速相机拍下一幅水滴下落的照片，如图所示，其中第滴水刚要离开屋檐，若滴水的时间间隔相同，第滴与第滴水的实际间距为，取重力加速度大小，不计空气阻力，则拍下照片的瞬间，图中第滴水的速度大小为(    ) A. B. C. D. 6.一石块从楼房阳台边缘向下做自由落体运动到达地面，把它在空中运动的时间分为相等的三段，如果它在第一段时间内的位移是，那么它在第三段时间内的位移是(    ) A. B. C. D. 7.蹦床是一项专业运动员利用蹦床的反弹效果表现技巧的竞技运动，属体操项目之一。朱雪莹在东京奥运会夺冠一跳如图所示。某段过程中，她自距水平网面高处由静止下落，与网作用后，竖直向上弹离水平网面的最大高度为，若忽略触网过程中蹬网发力动作而将其视为质点，不计空气阻力且规定竖直向下为正方向，取。下列说法正确的是(    ) A. 她下落到刚接触网面时的速度为 B. 她自最高点向下运动到最低点的过程历时 C. 她与网作用过程中的平均加速度为 D. 她自静止下落到弹回至最高点的过程中，平均速度为 8.如图甲，某同学利用光电门计时器测自由落体运动的加速度，小球的直径为。小球被电磁铁吸住时，球心到光电门的距离为，小球通过光电门的时间为，画出如下图像，下列说法正确的是(    ) A. 实验中可以选密度较小的泡沫球 B. 实验中应该先释放小球再接通光电门计时器的电源 C. 比小球球心通过光电门的真实速度偏大 D. 若图乙中直线斜率为，则重力加速度 9.从高度为的塔顶自由释放小球，不计空气阻力。有关小球在空中的运动，以下判断不正确的是(    ) A. 小球在最后内下落的高度为 B. 在小球接触地面之前，速度和加速度均逐渐增加 C. 小球下落的高度为时，小球的速度大小为 D. 小球下落过程中，第内和第内的位移之比为 10.如图所示是一张在真空实验室里拍摄的羽毛与苹果同时下落的局部频闪照片。已知频闪照相机的频闪周期为，重力加速度为。下列说法中正确的是(    ) A. 一定满足 B. 羽毛下落到点的速度大小为 C. 苹果在点的速度大小为 D. 羽毛下落的加速度大小为 11.如图所示，一长为的金属管从楼顶自由下落，金属管下端的正下方处有一高为的窗户，取，则下列说法正确的是(    ) A. 金属管穿过窗户所用时间为 B. 金属管下端到达窗户上沿的速度为 C. 金属管下端到达窗户下沿的速度为 D. 金属管上端到达窗户下沿的速度为 12.如图所示，长为的圆筒竖直静止在空中，筒的下端离地高为，一个小球在筒正上方距其上端高为处由静止释放，此后某时刻由静止释放圆筒，圆筒和球同时落地且不反弹，不计球的大小，不计空气阻力，重力加速度为，则小球在筒内运动的时间为 A. B. C. D. 二、计算题。 13.某人在室内以窗户为背景摄影时，恰好把窗外从高处落下的一个小石子拍摄在照片中，已知本次摄影的曝光时间是。测得照片中石子运动痕迹的长度为，实际长度为的窗框在照片中的长度为。 根据照片估算曝光时间内石子下落了多少距离？ 估算曝光时刻石子运动的速度是多大？ 估算这个石子大约是从距离窗户多高的地方落下的？取。 14.如图甲所示是年河北杂技龙跃神州：中幡舞上春晚。表演者用身体各个部位不断晃动、抛起、接住中幡，始终不让幡杆落地，十分精彩。某次动作中，表演者将中幡竖直向上抛起，又在原地接住中幡。若中幡在被抛出和接住时，幡底离地高度均为，从抛出到接住经历时间。不计空气阻力，重力加速度取。 求这次动作中，幡底离地的最大高度； 在另一动作中，一名持幡者将幡竖直向上抛出时，另一名表演者迅速爬上他的肩头，在幡底离地时将幡接住，运动简化示意图如图乙所示。若幡抛出时幡底离地仍为，两人配合完成这套动作用时，则将中幡竖直抛出时的速度是多少？接幡时幡的速度大小是多少？ 15.跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当下降时立即打开降落伞，伞张开后可认为运动员以匀减速运动，到达地面时速度为，重力加速度。求： 运动员打开降落伞时的速度的大小。 运动员离开飞机后，经过多少时间才能到达地面。 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$