专题2.17 有理数（全章知识梳理与题型分类讲解）基础知识专项突破讲与练-2025-2026学年七年级数学上册（苏科版）

专题2.17 有理数（全章知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 （1）明晰有理数概念体系，精准把握正数负数、数轴、相反数与绝对值的核心内涵及相互关联； （2）熟练掌握有理数四则运算、乘方运算法则与顺序，灵活运用运算律简化计算； （3）提升运用有理数解决实际问题与数学建模能力，能快速比较大小、进行科学记数法转化； （4）培养严谨的数学思维习惯，强化运算准确性与逻辑推理能力，为后续学习筑牢基础. 二、【全章知识梳理】 【知识点一】有理数的相关概念 （1）正数和负数：比 0 大的数是正数，比 0 小的数是负数，0 既不是正数也不是负数。正数有时可省略 ，负数前面的不能省略。正数和负数可表示具有相反意义的量。 （2）有理数：正整数、0、负整数统称为整数，正分数和负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。有理数可按意义或正、负分类，注意 π 不是有理数。 （3）数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。所有有理数都可在数轴上表示，但数轴上的点不都表示有理数。数轴上右边的数总比左边的大，可据此比较有理数大小。 （4）相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0。互为相反数的两数和为 0，在数轴上对应点关于原点对称。求一个数的相反数只需在其前面添，多重符号化简时，个数为奇数结果为负，为偶数结果为正。 （5）绝对值：数轴上表示数 的点与原点的距离叫 的绝对值，记作 。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。绝对值具有非负性，即。 【知识点二】有理数的运算 （1）加减法运算法则：加法法则为同号两数相加，取相同符号并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值。减法法则是减去一个数等于加这个数的相反数。 （2）乘除法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。除法法则是除以一个非零数等于乘这个数的倒数。乘方运算中，负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0 的任何非零次幂都是 0。 （3）运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小 括号、中括号、大括号依次进行。 运算律：加法交换律为；加法结合律为 ；乘法交换律为；乘法结合律为 ；分配律为。 【知识点三】有理数的大小比较与科学记数法 （1）大小比较方法：可利用数轴比较，右边的数大于左边的数；也可根据法则比较，正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，还可采用作差比较法、作商比较法、倒数比较法等。 （2）科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 a×10ⁿ的形式（其中 1≤|a|＜10，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法。 三、【考点题型目录】 【题型一】正数与负数.........................................................................................................................................2 【题型二】有理数的分类.....................................................................................................................................3 【题型三】 数轴....................................................................................................................................................5 【题型四】 相反数................................................................................................................................................6 【题型五】 绝对值................................................................................................................................................8 【题型六】科学记数法.......................................................................................................................................10 【题型七】 有理数的加减运算..........................................................................................................................11 【题型八】 有理数的乘除运算..........................................................................................................................12 【题型九】 有理数的乘方..................................................................................................................................14 【题型十】 有理数的混合运算..........................................................................................................................15 【题型十一】 有理数的简便运算......................................................................................................................17 【题型十二】有理数运算的应用.......................................................................................................................19 四、【题型展示与方法点拨】 【题型一】正数与负数 【例题1】（24-25七年级上·全国·单元测试）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】此题主要考查了正数和负数的意义，根据正负数的意义即可得出答案，理解正数和负数是具有相反意义的量是解题的关键． 解：∵收入3元记作元， ∴支出5元，记作元， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·开学考试）为计算方便，某果园以每筐水果为准，超过的质量记作正数，不足的质量记作负数．“”表示的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正负数的应用，首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题． 解：由题意，得 “”表示的实际千克数是千克． 故选C． 【变式2】（22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）一组数据：-8.4，22，，0，，-9，2021，，，其中是负数的是 ． 【答案】-8.4，，-9， 【分析】根据负数的定义求解此题即可． 解：因为，a无法确定是正数还是负数，则也无法确定是正数还是负数， 所以这组数据中，负数有-8.4，，-9，． 故答案为：-8.4，，-9，． 【点拨】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握相关概念是解题关键． 【题型二】有理数的分类 【例题2】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： 正有理数数集合：｛ ……｝ 负分数集合：｛ ……｝ 非负整数集合：｛ ……｝ 有理数集合：｛ ……｝ 【答案】见分析 【分析】本题考查了有理数的分类，化简多重符号，根据有理数的分类逐一填写即可． 解： 正有理数数集合：｛，……｝ 负分数集合：｛，，……｝ 非负整数集合：｛，……｝ 有理数集合：｛，，，，，，……｝ 【变式1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）在，，，0，，中，非负数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查非负数的定义，掌握非负数包含正数和0是解题关键．逐一计算各数的值，判断是否为非负数，再统计个数即可． 解：，8是非负数； ，1是非负数； ，是负数； 0是非负数； ，是负数； 是负数． 综上可知非负数有3个． 故选B． 【变式2】（2025·四川资阳·模拟预测）在，数中，其中整数有m个，非负数有n个，即 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类，代数式求值，掌握有理数的分类是解题的关键，注意0比较特殊，是整数，既不是正数也不是负数．根据整数，非负数的定义得出，，代入计算即可得到答案． 解：∵，，，， 整数有、，，，，共5个，即， 非负数有、，，，，，共6个，即， ， 故答案为：． 【题型三】 数轴 【例题3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接起来 、、0、、、 【答案】数轴表示见分析， 【分析】本题考查了相反数，绝对值，有理数的大小比较与数轴，需要熟练掌握数轴上的数右边的总比左边的大，把各数据正确标注在数轴上是解题的关键．先找出各数在数轴上的位置，然后根据数轴上的数，右边的数总比左边的数大即可按照从小到大的顺序进行排列． 解：如图所示： 从左到右用“”连接为： 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是 （填序号） ①；②；③；④． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用数轴确定，的取值范围．利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大． 先由数轴可得，且，再判定即可． 解：由图可得：，且， ，，， ∴①③正确，②④错误． 故答案为：①③． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，点A是硬币圆周上一点，点A与数2所对应的点重合．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点A恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，以及数轴上两点之间的距离，解题关键是求出硬币的周长．根据题意得到硬币的周长，再结合数轴上两点之间的距离求解，即可解题． 解：硬币的直径为1个单位长度， 硬币的周长为， 点A为2， 点对应的实数是， 故选：B． 【题型四】 相反数 【例题4】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）若，求的值．    （2）已知与互为相反数．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由等式和绝对值非负性质求出的值，再代入求值即可； （2）根据相反数的意义列出等式，由绝对值的非负性质求出的值，代入进行求解． 解：（1）由， 根据绝对值的非负数的性质， 可得，， 解得，， 把，代入得： ； （2）由与互为相反数， 可得， 根据绝对值的非负数的性质， 可得，， 解得，， 把，代入得： ． 【点拨】本题主要是考查了绝对值的非负性质，相反数的意义，理解绝对值的非负性质是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的化简，熟练掌握相反数和绝对值是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义进行计算即可． 解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 【变式2】（24-25七年级上·重庆·期末）已知是的相反数，比最小的正整数小，是相反数等于它本身的数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义，代数式求值，根据，最小的正整数是，相反数等于它本身的数是，进行求解即可． 解：∵是的相反数， ∴， ∵比最小的正整数小， ∴， ∵是相反数等于它本身的数， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型五】 绝对值 【例题5】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）已知有理数，0，，，，． （1）在数轴上表示：，，，； （2）比较大小：______；（填“”“”或“”号） （3）整数集合：｛______…｝． 【答案】（1）见分析；（2）；（3），， 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴，有理数的分类，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接在数轴找出各数即可； （2）根据负数大小比较方法求解； （3）按照整数包括正整数和0和负整数即可求解． 解：（1）解：数轴表示为： （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：在有理数，0，，，，中，整数有，0，， 故答案为：，，． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如果甲数的绝对值比乙数的绝对值大，那么（    ） A．甲数一定大于乙数 B．乙数一定大于甲数 C．这两个数不可能都大于零 D．无法判断 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值性质，以及有理数大小比较。解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，逐项判断即可． 解：A．当甲数为，乙数为时，，，满足甲数的绝对值比乙数的绝对值大，但，即甲数小于乙数，所以该选项错误，不符合题意； B．当甲数为，乙数为时，，，甲数的绝对值比乙数的绝对值大，且，即甲数大于乙数，所以该选项错误，不符合题意； C．当甲数为，乙数为时，，，满足甲数的绝对值比乙数的绝对值大，且两个数都大于，所以该选项错误，不符合题意； D．仅知道甲数的绝对值比乙数的绝对值大，而不知道两数的正负性，所以无法判断两数的大小关系．所以该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）用“>”“<”或“=”填空： ① 0.2 ② ③ 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较． ①根据正数大于负数判断即可． ②根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可． ③先化简多重符号，再把分数化成小数比较即可． 解：①， 故答案为：； ②， ，， 则， 故答案为：； ③，， ∴， 故答案为：． 【题型六】科学记数法 【例题6】（2025·广西梧州·一模）广西区统计局公布了广西区2024年经济运行情况，统计显示，2024年广西区GDP总量为万亿元．“万亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将“万亿”写成其中，n为整数的形式即可． 解：“万亿”． 故答案为：． 【变式1】（2025·湖北武汉·模拟预测）经文化和旅游部数据中心测算，2025年春节假期8天，全国出游人次，将数据用科学记数法表示是（   ） A．． B．． C．． D．． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 解：． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ． 【答案】47000 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可． 解：． 故答案为：47000． 【题型七】 有理数的加减运算 【例题7】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算； （1）根据有理数的加减法法则计算即可； （2）根据加法交换律和结合律以及有理数的加减法法则计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义和性质，有理数的减法，先利用绝对值的定义得出或，或，再根据，得，得出符合条件的a、b，再进行计算的值． 解：∵， ∴或，或， ∵， ∴， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 即的值是或， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴上点A和点B表示的数分别时和5，点P到A，B两点的距离之和为8，则点P表示的数是 ． 【答案】或6 【分析】本题考查数轴与有理数，两点间的距离，根据两点间的距离，分点在的左侧，和在的右侧，两种情况进行求解即可． 解：∵点A和点B表示的数分别时和5， ∴点A和点B之间的距离为：， ∴点在的左侧或在的右侧， 当点在点的左侧时，， ∴， ∴点表示的数为：； 当点在点的右侧时：， ∴， ∴点表示的数为：； 故答案为：或6． 【题型八】 有理数的乘除运算 【例题8】（24-25七年级下·全国·假期作业），求内应填的数． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键． 把□看作是未知数，先计算出小括号里的差，再计算除以的商；根据减法性质，原式化为：，即可解答． 解： ． 【变式1】（2025·河北保定·一模）若互为倒数，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的性质是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 解：由题意可知：， ， 故选B． 【变式2】（2025·河北邯郸·一模）如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点，，所表示的数的和是，该数轴的原点为． （1）分别计算出原点与点重合时、与的中点重合时的值． （2）原点沿着数轴每向左移动，的值将会如何变化？当的值为时，求原点的位置． 【答案】（1）当原点与点重合时，；当原点与的中点重合时，；（2）的值将会增大3，原点在点处 【分析】本题考查了数轴，相反数，有理数的加减运算，数轴上点的特点，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点． （1）求出当原点与点重合时，点A、B、C表示的数，再求出p的值；先求出原点与的中点重合时，点C表示的数，然后再求出p的值即可； （2）根据数轴特点，得出原点沿着数轴每向左移动，点A、B、C表示的数分别增加1，根据时，得出p增大了6，从而得出原点从与点重合的位置，向左移动，能得到． 解：（1）解：∵当原点与点重合时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为0， ∴， 当原点与的中点重合时，点，表示的数为一对相反数， ∴此时点表示的数为， ∴． （2）解：原点沿着数轴每向左移动，点A、B、C表示的数分别增加1，则的值将会增大3， 当时，， ∵， 原点从与点重合的位置，向左移动，能得到， 此时原点在点处． 【题型九】 有理数的乘方 【例题9】（24-25七年级上·广西防城港·期中）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来： ，，，，0，3． 【答案】数轴见分析， 【分析】本题主要考查了数轴，有理数乘方，绝对值，有理数大小比较的应用，先化简各数，再表示各个数，再根据数轴上右边的数总比左边的数大比较即可． 解：，，，， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）的含义正确的是（   ） A．与的积，即： B．个相乘的积，即： C．个相乘的积的相反数，即： D．个相乘的积的相反数，即： 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算； 根据有理数的乘方运算即可求出答案． 解：表示3个2相乘的积的相反数，即：； 故选：C 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图一只蚂蚁从点A沿数轴向左爬3个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数轴的特点、绝对值的性质及有理数的乘方等知识点，根据题意得到点表示的数，然后代入求解即可，解答此题的关键是利用数轴的特点，数形结合判断出的取值范围. 解：点表示，一只蚂蚁从点沿数轴向左直爬3个单位到达点， ∴点B所表示的数， ， 故答案为：6． 【题型十】 有理数的混合运算 【例题10】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先去括号和绝对值符号，再计算加减即可； （2）先计算乘方和括号内运算，再计算乘法，最后计算加减即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）14；（2）26 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可 （2）先计算乘方与求绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）24 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用． （1）先计算乘方和绝对值，再算乘除，最后加减即可； （2）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可． 解：（1）解：， ， ， ； （2）解：， ． 【题型十一】 有理数的简便运算 【例题11】（24-25七年级上·四川成都·期中）用简便方法计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用． （1）先变形，然后根据乘法分配律计算即可； （2）根据有理数的乘方和乘法分配律计算，再算加减即可． 解：（1）解： ； （2） 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0；（2）9 【分析】本题考查了有理数加减混合运算； （1）先去括号，再利用加法交换律和加法结合律进行简便运算，最后进行有理数加减混合运算，即可求解； （2）利用加法交换律和加法结合律进行简便运算，再进行有理数加减混合运算，即可求解； 能熟练利用加法运算律进行简便运算是解题的关键． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算，先去括号，再根据加法结合律和交换律进行计算即可； （2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解． 解：（1）解： ； （2）解： 【题型十二】有理数运算的应用 【例题12】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）小虫从某点O出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，． （1）小虫最后是否回到出发点O？如果没有，在出发点O的什么地方？ （2）小虫离开出发点O最远时多少厘米？ （3）在爬行过程中，如果每爬2厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【答案】（1）小虫最后是回到了出发点O；（2）12厘米；（3）54粒 【分析】本题考查了正负数的实际问题及有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）把记录数据相加，根据结果为正还是负，即可得出小虫最后离原点的位置； （2）根据正负数的性质，求出每次爬行与O点的距离，即可进行判断； （3）把所有的爬行路程的绝对值相加，即可得到小虫爬行的总路程，即可求出小虫共得芝麻的粒数． 解：（1）解： ， ∴小虫最后是回到了出发点O； （2）解：① 厘米， ② 厘米， ③ 厘米， ④ 厘米， ⑤ 厘米， ⑥ 厘米， ⑦ 厘米， ∴小虫离开出发点O最远时12厘米． （3）解：（厘米） （粒） 答：小虫一共得到54粒芝麻． 【变式1】（2025·山西·模拟预测）在山地，气温随着海拔的升高而降低，规律大致为海拔每升高米，气温下降．某登山队大本营所在地的海拔为米，某日测得大本营所在地气温为．登山队员由大本营向上行进，到达某位置时测得气温为，则此位置的海拔为 米． 【答案】 【分析】本题考查了有理数运算的应用，根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 解：由题意得， （米）， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）煤矿井下A点的海拔为． （1）若从A点到B点的水平距离是，每经过水平距离高度上升，已知B点在A点的上方，求B点的海拔； （2）若C点海拔为，每垂直升高用时，已知C点在A点的正上方，求从A点到C点所用的时间． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键． （1）根据每经过水平距离高度上升列式计算即可； （2）根据每垂直升高用时列式计算即可． 解：（1）解：， 答：B点的海拔为； （2）解：， 答：从A点到C点所用的时间为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.17 有理数（全章知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 （1）明晰有理数概念体系，精准把握正数负数、数轴、相反数与绝对值的核心内涵及相互关联； （2）熟练掌握有理数四则运算、乘方运算法则与顺序，灵活运用运算律简化计算； （3）提升运用有理数解决实际问题与数学建模能力，能快速比较大小、进行科学记数法转化； （4）培养严谨的数学思维习惯，强化运算准确性与逻辑推理能力，为后续学习筑牢基础. 二、【全章知识梳理】 【知识点一】有理数的相关概念 （1）正数和负数：比 0 大的数是正数，比 0 小的数是负数，0 既不是正数也不是负数。正数有时可省略 ，负数前面的不能省略。正数和负数可表示具有相反意义的量。 （2）有理数：正整数、0、负整数统称为整数，正分数和负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。有理数可按意义或正、负分类，注意 π 不是有理数。 （3）数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。所有有理数都可在数轴上表示，但数轴上的点不都表示有理数。数轴上右边的数总比左边的大，可据此比较有理数大小。 （4）相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0。互为相反数的两数和为 0，在数轴上对应点关于原点对称。求一个数的相反数只需在其前面添，多重符号化简时，个数为奇数结果为负，为偶数结果为正。 （5）绝对值：数轴上表示数 的点与原点的距离叫 的绝对值，记作 。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。绝对值具有非负性，即。 【知识点二】有理数的运算 （1）加减法运算法则：加法法则为同号两数相加，取相同符号并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值。减法法则是减去一个数等于加这个数的相反数。 （2）乘除法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。除法法则是除以一个非零数等于乘这个数的倒数。乘方运算中，负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0 的任何非零次幂都是 0。 （3）运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小 括号、中括号、大括号依次进行。 运算律：加法交换律为；加法结合律为 ；乘法交换律为；乘法结合律为 ；分配律为。 【知识点三】有理数的大小比较与科学记数法 （1）大小比较方法：可利用数轴比较，右边的数大于左边的数；也可根据法则比较，正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，还可采用作差比较法、作商比较法、倒数比较法等。 （2）科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 a×10ⁿ的形式（其中 1≤|a|＜10，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法。 三、【考点题型目录】 【题型一】正数与负数.........................................................................................................................................2 【题型二】有理数的分类.....................................................................................................................................3 【题型三】 数轴....................................................................................................................................................3 【题型四】 相反数................................................................................................................................................3 【题型五】 绝对值................................................................................................................................................4 【题型六】科学记数法.........................................................................................................................................4 【题型七】 有理数的加减运算............................................................................................................................5 【题型八】 有理数的乘除运算............................................................................................................................5 【题型九】 有理数的乘方....................................................................................................................................5 【题型十】 有理数的混合运算............................................................................................................................6 【题型十一】 有理数的简便运算........................................................................................................................6 【题型十二】有理数运算的应用.........................................................................................................................6 四、【题型展示与方法点拨】 【题型一】正数与负数 【例题1】（24-25七年级上·全国·单元测试）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·开学考试）为计算方便，某果园以每筐水果为准，超过的质量记作正数，不足的质量记作负数．“”表示的是（     ） A． B． C． D． 【题型二】有理数的分类 【例题2】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： 正有理数数集合：｛ ……｝ 负分数集合：｛ ……｝ 非负整数集合：｛ ……｝ 有理数集合：｛ ……｝ 【变式1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）在，，，0，，中，非负数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（2025·四川资阳·模拟预测）在，数中，其中整数有m个，非负数有n个，即 ． 【题型三】 数轴 【例题3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接起来 、、0、、、 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是 （填序号） ①；②；③；④． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，点A是硬币圆周上一点，点A与数2所对应的点重合．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点A恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【题型四】 相反数 【例题4】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）若，求的值．    （2）已知与互为相反数．求的值． 【变式1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（24-25七年级上·重庆·期末）已知是的相反数，比最小的正整数小，是相反数等于它本身的数，则的值是 ． 【题型五】 绝对值 【例题5】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）已知有理数，0，，，，． （1）在数轴上表示：，，，； （2）比较大小：______；（填“”“”或“”号） （3）整数集合：｛______…｝． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如果甲数的绝对值比乙数的绝对值大，那么（    ） A．甲数一定大于乙数 B．乙数一定大于甲数 C．这两个数不可能都大于零 D．无法判断 【变式2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）用“>”“<”或“=”填空： ① 0.2 ② ③ 【题型六】科学记数法 【例题6】（2025·广西梧州·一模）广西区统计局公布了广西区2024年经济运行情况，统计显示，2024年广西区GDP总量为万亿元．“万亿”用科学记数法表示为 ． 【变式1】（2025·湖北武汉·模拟预测）经文化和旅游部数据中心测算，2025年春节假期8天，全国出游人次，将数据用科学记数法表示是（   ） A．． B．． C．． D．． 【变式2】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ． 【题型七】 有理数的加减运算 【例题7】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴上点A和点B表示的数分别时和5，点P到A，B两点的距离之和为8，则点P表示的数是 ． 【题型八】 有理数的乘除运算 【例题8】（24-25七年级下·全国·假期作业），求内应填的数． 【变式1】（2025·河北保定·一模）若互为倒数，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（2025·河北邯郸·一模）如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点，，所表示的数的和是，该数轴的原点为． （1）分别计算出原点与点重合时、与的中点重合时的值． （2）原点沿着数轴每向左移动，的值将会如何变化？当的值为时，求原点的位置． 【题型九】 有理数的乘方 【例题9】（24-25七年级上·广西防城港·期中）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来： ，，，，0，3． 【变式1】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）的含义正确的是（   ） A．与的积，即： B．个相乘的积，即： C．个相乘的积的相反数，即： D．个相乘的积的相反数，即： 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图一只蚂蚁从点A沿数轴向左爬3个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．则 ． 【题型十】 有理数的混合运算 【例题10】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）计算 （1） （2） 【变式1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）计算： （1） （2） 【变式2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【题型十一】 有理数的简便运算 【例题11】（24-25七年级上·四川成都·期中）用简便方法计算： （1） （2） 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【变式2】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【题型十二】有理数运算的应用 【例题12】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）小虫从某点O出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，． （1）小虫最后是否回到出发点O？如果没有，在出发点O的什么地方？ （2）小虫离开出发点O最远时多少厘米？ （3）在爬行过程中，如果每爬2厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【变式1】（2025·山西·模拟预测）在山地，气温随着海拔的升高而降低，规律大致为海拔每升高米，气温下降．某登山队大本营所在地的海拔为米，某日测得大本营所在地气温为．登山队员由大本营向上行进，到达某位置时测得气温为，则此位置的海拔为 米． 【变式2】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）煤矿井下A点的海拔为． （1）若从A点到B点的水平距离是，每经过水平距离高度上升，已知B点在A点的上方，求B点的海拔； （2）若C点海拔为，每垂直升高用时，已知C点在A点的正上方，求从A点到C点所用的时间． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$