第10章 空间直线与平面（单元测试·基础卷）数学沪教版2020必修第三册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第10章 空间直线与平面·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 假 3. 4. 或 5. 3 6. 7. 4 8. 9. 10 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 D D C D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17（14分） 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则，（7分） 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面.（14分） 18（14分） 【详解】取中点，连接，，，    因为是中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，故，（7分） 所以异面直线与所成角即为直线与所成角，为. 由题意知，， 故在△ 中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角为.（14分） 19（14分） 【详解】（1）取中点，连接，， 为的中点，且， 是的中点，底面是平行四边形，且， 且， 四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 平面.（7分） （2）平面，所以为与平面所成的角， ，又平面，，， 即为等腰直角三角形， 为中点，， 又平面，平面，， 又底面是平行四边形且，平行四边形为矩形，则， 又平面，平面， 平面，， 又平面， 平面， 由（1）可知，平面.（14分） 20（18分） 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面；（9分） （2）∵EG与HF交于点P，∴P，EG⊂平面ABC， ∴P平面ABC， 同理P平面DAC. 又∵平面平面， ∴PAC，∴P、A、C三点共线．（18分） 21（18分） 【详解】（1）    设，连接， 因为点为棱的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面.（6分） （2）由（1）得，，所以为异面直线与所成的角或其补角， 由题意得，， 所以，故三角形是等边三角形， 因为，所以， 所以异面直线与所成的角为.（12分） （3）连接， 因为平面，平面， 所以，为直线与平面所成的角. 由题意得，， 所以，即直线与平面所成的角的正切值为.（18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第10章 空间直线与平面·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若点与直线确定一个平面，则点与直线的位置关系是点 直线（用“”、“”、“”填空） 2．“一个点和一条直线确定一个平面”是 命题.（填“真”、“假”） 3．若与的两边分别平行且方向相同，若，则 . 4．已知空间两个角与，若，，，则 . 5．三棱柱的9条棱中，与AB异面的棱有 条. 6．直线是平面的一条斜线，与平面内的直线所成角的取值范围是 . 7．正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为 . 8．已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为 ． 9．如图， 在三棱锥中，，且分别是棱的中点，则和所成的角等于 .    10．在正方体中，平面与平面的交线是 所在的直线． 11．已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 12．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．二面角的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 14．若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（    ）. A． B． C． D． 15．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 16．已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 18．已知正方体 的棱长为2，，分别为，的中点，求异面直线与所成角.    19．在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面所成的角为，求证：平面. 20．如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 21．如图，在长方体中，，点为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求直线与平面所成角的正切值. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第10章 空间直线与平面·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若点与直线确定一个平面，则点与直线的位置关系是点 直线（用“”、“”、“”填空） 2．“一个点和一条直线确定一个平面”是 命题.（填“真”、“假”） 3．若与的两边分别平行且方向相同，若，则 . 4．已知空间两个角与，若，，，则 . 5．三棱柱的9条棱中，与AB异面的棱有 条. 6．直线是平面的一条斜线，与平面内的直线所成角的取值范围是 . 7．正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为 . 8．已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为 ． 9．如图， 在三棱锥中，，且分别是棱的中点，则和所成的角等于 .    10．在正方体中，平面与平面的交线是 所在的直线． 11．已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 12．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．二面角的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 14．若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（    ）. A． B． C． D． 15．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 16．已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 18．已知正方体 的棱长为2，，分别为，的中点，求异面直线与所成角.    19．在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面所成的角为，求证：平面. 20．如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 21．如图，在长方体中，，点为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求直线与平面所成角的正切值. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第10章 空间直线与平面·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若点与直线确定一个平面，则点与直线的位置关系是点 直线（用“”、“”、“”填空） 【答案】 【详解】直线与直线外的一点可以确定一个平面， 所以点A与直线的位置关系是点， 故答案为： 2．“一个点和一条直线确定一个平面”是 命题.（填“真”、“假”） 【答案】假 【详解】当点在直线上不能确定一个平面，故此命题为假命题. 故答案为：假. 3．若与的两边分别平行且方向相同，若，则 . 【答案】 【详解】由与的两边分别平行且方向相同，得. 故答案为： 4．已知空间两个角与，若，，，则 . 【答案】或 【详解】因为，，故或， 故答案为：或 5．三棱柱的9条棱中，与AB异面的棱有 条. 【答案】3 【详解】如图，    与AB异面的棱有，共3条. 故答案为：3. 6．直线是平面的一条斜线，与平面内的直线所成角的取值范围是 . 【答案】 【详解】由直线和平面所成角的概念可得与平面内的直线所成角的取值范围是. 故答案为： 7．正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为 . 【答案】 【详解】在正方体中， 平面、平面、平面、平面均与平面垂直， 平面与平面平行， 故正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为个. 故答案为： 8．已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为 ． 【答案】 【详解】方法一：由图知的直观图的面积为：， 则的面积为：. 方法二：根据的直观图作出的平面图为： 其中：，且， 则. 故答案为：. 9．如图， 在三棱锥中，，且分别是棱的中点，则和所成的角等于 .    【答案】 【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．   ，F分别是CD，AB的中点， ，，且，． 为EF与AC所成的角（或其补角）． 又，，， 为直角三角形，，又为锐角， ，即EF与AC所成的角为． 故答案为：. 10．在正方体中，平面与平面的交线是 所在的直线． 【答案】 【详解】在正方体中，平面，平面， 且直线，直线，因此直线平面， 同理直线平面，所以平面与平面. 故答案为：    11．已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 【答案】 【详解】在正方体中，平面， 所以直线与的距离即为点到的距离， 又因为正方形的对角线为，且， 所以点到的距离为， 即异面直线与之间的距离是. 故答案为：． 12．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为 . 【答案】 【详解】 过点P作,则O点为AB的中点，且平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 过作于，连接， 因为平面，， 所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，,， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 此时取得最小值， 故二面角的正弦值的最小值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．二面角的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由二面角的定义可知，二面角的平面角范围是. 故选：D 14．若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线和直线外的一点确定一个平面，可得D正确， 故选：D. 15．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【详解】A选项，，，则可能平行，也可能异面，也可能相交，A错误； B选项，，，，则可能平行，也可能相交，B错误； C选项，如图，，，， 由线面平行的性质得到， 因为，，所以，则，C正确； D选项，满足，，，，则或相交， 如图，满足，，，，但相交，D错误. 故选：C 16．已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 【答案】D 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面，则可能平行，如图， 也可能相交，如图， 也可能与异面，如图， 故选：D. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 18．已知正方体 的棱长为2，，分别为，的中点，求异面直线与所成角.    【详解】取中点，连接，，，    因为是中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角，为. 由题意知，， 故在△ 中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角为. 19．在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面所成的角为，求证：平面. 【详解】（1）取中点，连接，， 为的中点，且， 是的中点，底面是平行四边形，且， 且， 四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 平面. （2）平面，所以为与平面所成的角， ，又平面，，， 即为等腰直角三角形， 为中点，， 又平面，平面，， 又底面是平行四边形且，平行四边形为矩形，则， 又平面，平面， 平面，， 又平面， 平面， 由（1）可知，平面. 20．如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面； （2）∵EG与HF交于点P，∴P，EG⊂平面ABC， ∴P平面ABC， 同理P平面DAC. 又∵平面平面， ∴PAC，∴P、A、C三点共线． 21．如图，在长方体中，，点为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【详解】（1）    设，连接， 因为点为棱的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）由（1）得，，所以为异面直线与所成的角或其补角， 由题意得，， 所以，故三角形是等边三角形， 因为，所以， 所以异面直线与所成的角为. （3）连接， 因为平面，平面， 所以，为直线与平面所成的角. 由题意得，， 所以，即直线与平面所成的角的正切值为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$