2.1平方根（1）算术平方根（题型专练）数学苏科版2024八年级上册

2.1平方根（1）算术平方根 题型一、求一个数的算术平均数 1．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）的算术平方根为 ；的算术平方根是 ． 3．（24-25·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1)； (2)0.04； (3)． 5．（24-25·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)． 题型二、根据算术平方根进行化简 6．（·全国·课后作业）的算术平方根是 ． 7．（重庆市南川区2024-2025学年学期期末考试数学试题）化简的值是（   ） A． B． C．3 D．9 8．（24-25·重庆九龙坡·期末）计算：（   ） A．4 B． C． D．8 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： ； ； ． 10．（24-25·内蒙古呼和浩特·阶段练习）求下列各式的值： (1) (2) (3) 题型三、算术平方根的非负性 11．（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2024 12．（24-25八年级上·重庆·期中）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（    ） A．8 B．10 C．8或10 D．12 13．（24-25·山西大同·阶段练习）当 时，的值最大． 14．（24-25八年级上·四川成都·期末）若与互为相反数，则 ． 15．（21-22八年级下·吉林延边·阶段练习）若实数，满足，求代数式的值． 题型四、算术平方根的估算 16．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）估算的值是（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 17．（24-25·广东东莞·期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 18．（24-25·安徽合肥·期中）观察表格中的数据：由表格中的数据可知（   ） x 42 43 44 45 46 47 48 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 19．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数： ． 题型五、算术平方根的实际应用 20．（23-24·贵州安顺·阶段练习）小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽． (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 21． （23-24·四川广安·期末）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长，宽的长方形绣布，刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，他能裁出来吗？请说明理由．（取3） 22．（24-25·湖北武汉·期中）如图1，把一个面积为大正方形纸片沿对角线裁成四个三角形，然后再把这四个三角形拼成如图2所示的两个相同的小正方形． (1)直接写出小正方形的边长为___________； (2)小明要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，问能否成功，试说明理由． 题型一、整数部分与小数部分 23．（24-25·福建厦门·阶段练习）关于“”，下列说法不正确的是（　　） A．它的小数部分是 B．它表示19的平方根 C．它可以表示面积为19的正方形的边长 D．若（为整数），则 24．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 25．（23-24八年级上·吉林四平·期末）若的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 26．（24-25八年级上·广东深圳·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小欣用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 题型二、算术平方根的小数点移动规律 27．（24-25·山东德州·期中）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为（   ） A．9595 B．9995 C．9955 D．5995 28．（24-25·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·全国·假期作业）（1）填表： … 1 100 10000 … … 100 … （2）利用上表中的规律，解决下列问题：已知，，则的值为 ； （3）当时，比较和的大小． … 1 100 10000 … … 100 … 30．（24-25八年级下·全国·假期作业）按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 题型三、材料阅读问题 31．（24-25·广西南宁·期中）【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务：(1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 32．（24-25·贵州铜仁·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为一组“最美组合数”．例如：这三个数，，其结果2，3，6都是整数，所以这三个数称为一组“最美组合数”． (1)这三个数是一组“最美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数是“最美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为18．求的值； (3)结合（1）（2）“最美组合数”的特征，请你再列举符合条件不同的两组“最美组合数”，并用代数式加以推理说明． 题型四、规律探究问题 33．（2025·福建·专题练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算______；______． (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 34．（24-25八年级下·北京·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面等式提供的信息，请你写出式子化简后的值：______； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______ （直接写出）； (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，请直接写出式子的值：______． 35．（24-25八年级上·河南南阳·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 36．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知△ABC的三边长分别为，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级上·北京·期中）若，则的算术平方根为 ． 38．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）若a、b均为整数，当时，代数式的值为0，则的算术平方根为 ． 39．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，两两乘积的算术平方根分别为整数6，3，2，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为9，求m的值． 40．（24-25·湖北孝感·期中）学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1平方根（1）算术平方根 题型一、求一个数的算术平均数 1．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：． 2．（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）的算术平方根为 ；的算术平方根是 ． 【答案】 3 2 【分析】根据算术平方根的定义即可解答． 【详解】解：，9的算术平方根为3， 的算术平方根为：3； ∵，4的算术平方根为2， ∴的算术平方根为：2； 故答案为：3；2． 【点睛】本题考查了求算术平方根，掌握算术平方根的定义是解答本题的关键． 3．（24-25·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查算术平方根的概念，关键是掌握算术平方根的定义．如果一个正数的平方根等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，由此可计算． （1）由从而可得答案； （2）由从而可得答案； （3）由从而可得答案 【详解】（1）解：∵， 的算术平方根是； （2）解：∵， 的算术平方根是； （3）解：∵， 的算术平方根是 4．（24-25·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1)； (2)0.04； (3)． 【答案】(1) (2)0.2 (3)10 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义进行计算，即可作答． （2）根据算术平方根的定义进行计算，即可作答． （3）根据算术平方根的定义进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， （2）解：依题意，， （3）解：依题意，． 题型二、根据算术平方根进行化简 5．（24-25·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查算术平方根， （1）直接利用算术平方根的定义计算得出答案； （2）直接利用算术平方根的定义计算得出答案； （3）直接利用算术平方根的定义计算得出答案； 解题的关键是掌握：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．规定：的算术平方根是．据此解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的算术平方根是； （2）解：∵ 且， ∴的算术平方根是； （3）∵， ∴的算术平方根是． 6．（17-18·全国·课后作业）的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，先计算，再求的算术平方根，即可求解． 【详解】解： 5的算术平方根是. 故答案为：. 7．（重庆市南川区2024-2025学年学期期末考试数学试题）化简的值是（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 8．（24-25·重庆九龙坡·期末）计算：（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查算术平方根的定义；根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： ； ； ． 【答案】 / 【分析】本题考查了算术平方根的知识，根据算术平方根定义化简即可． 【详解】解：；；． 故答案为：；；． 题型三、算术平方根的非负性 10．（24-25·内蒙古呼和浩特·阶段练习）求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）对于两个非负实数a、b，满足，那么a就叫做b的算术平方根，，据此求解即可； （2）对于两个非负实数a、b，满足，那么a就叫做b的算术平方根，，据此求解即可； （3）对于两个非负实数a、b，满足，那么a就叫做b的算术平方根，，据此求解即可． 【详解】（1）解；； （2）解：； （3）解：． 11．（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2024 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方，偶次幂及算术平方根的非负性，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据偶次幂及算术平方根的非负性求得x，y的值后代入中计算即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， 则， 故选：B． 12．（24-25八年级上·重庆·期中）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（    ） A．8 B．10 C．8或10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值非负性、算术平方根的非负性以及三角形三边关系，由题意得；分类讨论若等腰三角形的三边长为或，利用三角形三边关系加以验证即可 【详解】解：∵，，， ∴，； 若等腰三角形的三边长为：， ∵，不能构成三角形， ∴此种情况不存在； 若等腰三角形的三边长为：， 则等腰三角形的周长为：, 故选：B 13．（24-25·山西大同·阶段练习）当 时，的值最大． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，根据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，的值最大， ∴， ， 故答案为： ． 14．（24-25八年级上·四川成都·期末）若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为，则这几个非负数分别等于，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再计算即可． 【详解】解：和互为相反数， ， ，， ，， ． 故答案为：． 15．（21-22八年级下·吉林延边·阶段练习）若实数，满足，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，根据非负数的性质求得的值，进而代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型四、算术平方根的估算 16．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）估算的值是（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根和无理数取值范围的估算，掌握平方根的定义是解题的关键．本题由即可选出答案． 【详解】因为，， 所以，即． 因此，的值在2和3之间，对应选项B． 故答案为：B． 17．（24-25·广东东莞·期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义和估算无理数的大小，由正方形的面积等于边长的平方，故根据已知的面积开方即可求出正方形的边长为，然后由可得的取值范围． 【详解】解：设正方形边长为， 由正方形的面积为8得：， 又， ， ， ， ， 即正方形的边长在2与3之间，故B正确． 故选：B． 18．（24-25·安徽合肥·期中）观察表格中的数据：由表格中的数据可知（   ） x 42 43 44 45 46 47 48 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 根据题意得到在之间，得到在之间，即可得到答案． 【详解】解：， 在之间， 在之间， 故选：C． 19．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数： ． 【答案】10（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算．由题意得，即，据此即可求解． 【详解】解：∵k的算术平方根在3和4之间， ∴，即， ∴， 故答案为：10（答案不唯一）． 题型五、算术平方根的实际应用 20．（23-24·贵州安顺·阶段练习）小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽． (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为 (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封；理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． （1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）解：∵信封的长、宽之比为， ∴设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ∴（负值舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）解：正方形贺卡的边长是， ∵， ∴， ∴， 即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 21．（23-24·四川广安·期末）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长，宽的长方形绣布，刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，他能裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】他不能裁出来，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根，估算无理数的大小的应用．设完整圆形绣布的半径为，依题意，得，进而得出，根据，即可求解． 【详解】解：他不能裁出来． 理由：设完整圆形绣布的半径为． 依题意，得． 取3，， 解得（负值已舍去）． ， ， 他不能裁出来． 22．（24-25·湖北武汉·期中）如图1，把一个面积为大正方形纸片沿对角线裁成四个三角形，然后再把这四个三角形拼成如图2所示的两个相同的小正方形． (1)直接写出小正方形的边长为___________； (2)小明要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，问能否成功，试说明理由． 【答案】(1)10； (2)能成功，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根，正方形的性质，长方形的性质，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键． (1)利用正方形的性质和算术平方根的意义解答即可； (2)设长方形的长宽分别为，，长方形的面积公式和算术平方根的意义求得长方形的长，再与小正方形的边长作比较即可． 【详解】（1）解∶面积为大正方形拼成如图2所示的两个相同的小正方形，每个小正方形的面积为， 小正方形的边长为． 故答案为∶10； （2）解：在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，能成功． 理由∶依题意设长方形的长、宽分别为，， 则， 即， 解得（不符合题意，舍去），， 则长方形的长、宽分别为， ， 即， 小明可以剪出这样的长方形． 题型一、整数部分与小数部分 23．（24-25·福建厦门·阶段练习）关于“”，下列说法不正确的是（　　） A．它的小数部分是 B．它表示19的平方根 C．它可以表示面积为19的正方形的边长 D．若（为整数），则 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义以及无理数的估算，无理数的估算关键是确定无理数的整数部分．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 分别根据无理数的定义，正方形面积公式以及无理数的估算方法判断即可． 【详解】解：， A．它的小数部分是，说法正确，故选项A不合题意； B．它表示19的算数平方根，故选项 B 不正确，符合题意； C．它可以表示面积为 19 的正方形的边长，说法正确，故选项C不合题意； D．∵，∴，故选项D 说法正确，不合题意； 故选：B． 24．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 25．（23-24八年级上·吉林四平·期末）若的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．由于，则，得到的整数部分为3，小数部分为，即，，然后把，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 的整数部分为3，小数部分为， ∴． 26．（24-25八年级上·广东深圳·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小欣用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)5， (2)1 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的减法运算，找到无理数的整数部分是解题的关键． （1）因为，从而知道的整数部分为，用减去得到其小数部分； （2）先求得和的整数部分，再得到的小数部分，再代入求值即可． 【详解】（1）解： 的整数部分是5，小数部分是 故答案为：5，， （2）解：∵ ∴的小数部分为： ∵ ∴的整数部分为： ∴ 题型二、算术平方根的小数点移动规律 27．（24-25·山东德州·期中）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为（   ） A．9595 B．9995 C．9955 D．5995 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根计算中的规律探究．根据已知计算，推出相应的计算规律，根据规律进行计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 故选：B． 28．（24-25·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 29．（24-25八年级下·全国·假期作业）（1）填表： … 1 100 10000 … … 100 … （2）利用上表中的规律，解决下列问题：已知，，则的值为 ； （3）当时，比较和的大小． … 1 100 10000 … … 100 … 【答案】（1）填表见解析；（2）；（3）当时，；当时，；当或时，； 【分析】本题考查实数的大小比较，算术平方根的规律探究，弄清题中的规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的含义填表即可； （2）根据表格得出规律，再利用得出的规律求出a的值即可； （3）分类讨论a的范围，再比较大小即可． 【详解】解：（1）填表如下： a … 1 100 10000 … … 1 10 100 … （2）观察表格可得规律：当被开方数a的小数点向左或向右移动2位，它的算术平方根的小数点相应地向左或向右移动1位； ∵，， 即从19到1900小数点向右移动2位，则a的小数点向右移动了4位 ∴； （3）根据题意得：当时，； 当时，； 当或时，； 30．（24-25八年级下·全国·假期作业）按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 【答案】（1）见解析 （2），68 （3）求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： a 0.0004 0.04 4 400 0.02 0.2 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 题型三、材料阅读问题 31．（24-25·广西南宁·期中）【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积的关系；根据关系进行计算，即可求解； （1）根据已知可得，即可求解； （2）①根据关系得，即可求解； ②根据关系得，即可求解； （3）可得面积为，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：① ； ② ； （3）解：由题意得 ， 答：这个长方形的面积为. 32．（24-25·贵州铜仁·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为一组“最美组合数”．例如：这三个数，，其结果2，3，6都是整数，所以这三个数称为一组“最美组合数”． (1)这三个数是一组“最美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数是“最美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为18．求的值； (3)结合（1）（2）“最美组合数”的特征，请你再列举符合条件不同的两组“最美组合数”，并用代数式加以推理说明． 【答案】(1)三个数是“最美组合数”，理由见解析 (2)或者 (3)，，，，，；推理见解析 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据“最美组合数”的定义进行求解判断即可； （2）先由算术平方根为18推出这两个数乘积为，再分三种情况讨论：分别是与乘积为324、与乘积为324、与乘积为324（此情况不成立舍去），进而求出m的值再根据“最美组合数”的定义进行判断即可． （3）依据“最美组合数”两种构成形式，代入正整数确定具体数字，再通过计算两两乘积算术平方根验证，说明其符合定义． 【详解】（1）解：因为，，，， 所以，以上三个数是“最美组合数”； （2）解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为18， ∴这两个数的乘积为324， 当时，，，此时，，符合； 当时，，，此时，，符合； 当时，不成立，舍去． 所以或． （3）情况一：每个数的绝对值都是完全平方数（形式为，a，b，c是正整数） 例子：，， 推理说明：设，，，三个数表示为，，． 计算两两乘积的算术平方根：；；，结果都是整数，符合“最美组合数”定义． 情况二：三个数的绝对值不是完全平方数，但它们乘积的算术平方根是整数（形式为，a，b，c，k是正整数） 例子：，， 推理说明：可变形为，，，即，，，，三个数表示为，，． 计算两两乘积的算术平方根：，而根据形式计算，这里；，形式计算为；，形式计算为，结果都是整数，符合“最美组合数”定义． 题型四、规律探究问题 33．（2025·福建·专题练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算______；______． (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)1013 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 34．（24-25八年级下·北京·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面等式提供的信息，请你写出式子化简后的值：______； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______（直接写出）； (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，请直接写出式子的值：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息计算即可； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 故答案为：； （2）解：根据题意得； 故答案为：； （3）解： 故答案为： 35．（24-25八年级上·河南南阳·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 【答案】(1)①4；②100 (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知算式得出规律，即可得出答案；②根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：； ②； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 36．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知△ABC的三边长分别为，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质，完全平方公式，三角形三边关系的应用，根据已知条件得到，再由非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 37．（24-25八年级上·北京·期中）若，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，完全平方公式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 设，，则，，所以，即，然后由算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴的算术平方根为， 故答案为：． 38．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）若a、b均为整数，当时，代数式的值为0，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式和算术平方根的定义，把x的值代入代数式中，根据已知条件即可求出a、b的值，然后再求出的算术平方根． 【详解】解：当时，代数式的值为0， ， ， 、b均为整数， ，， ，， ， 则的算术平方根为：， 故答案为：． 39．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，两两乘积的算术平方根分别为整数6，3，2，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为9，求m的值． 【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，理由见解析 (2)m的值是 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，新定义运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根定义，准确计算，并注意进行分类讨论． （1）根据“完美组合数”的定义进行判断即可； （2）分两种情况进行讨论，①当时，②当时，分别求出m的值即可． 【详解】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”， 理由如下： ∵，，， ∴，，这三个数是“完美组合数”； （2）解：∵， ∴分两种情况讨论： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴（不符合题意，舍之）； 综上，m的值是． 40．（24-25·湖北孝感·期中）学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化类，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可； （3）利用（1）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】解：（1）①第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ②第n个：， 故答案为：；； （2）、 ； （3）符合上述规律， ， 二、解答题 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$