4.7相似三角形的性质 (2) 导学案 2024-2025学年 北师大版九年级数学上册

4.7相似三角形的性质 (2) 导学案 【学习目标】理解相似三角形周长比、面积比与相似比的关系. 【学习重难点】会应用这些性质解决问题． 【导学过程】 一.复习回顾: 1.相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比都=相似比. 2.若,则：k 二.探究新知图1 1.如图1中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相互相似． （2）与（1）的相似比＝2，（2）与（1）的周长比＝2；（2）与（1）的面积比＝4； （3）与（1）的相似比＝3，（3）与（1）的周长比＝3．（3）与（1）的面积比＝9． 【结论】：相似三角形的周长比等于相似比.．相似三角形的面积比等于相似比的平方.． 2.已知：如图2△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，求证：(1）, (2)． 证：(1)∵△ABC∽△A′B′C′,相似比为k∴图2 (2)∵△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,∴ 三.典例与练习： 例1.若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（ C ） A．1:2 B．2:1 C．1:4 D．4:1 练习:1.如图3，DE//BC，，则DE∶BC＝（ C ）图3 A．1∶2 B．1∶4 C．∶2 D．4∶1 2.如图4，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使DE=EF，连接CF，则 的值为（C）图4 A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶5 例2.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图5中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，已知BC=2，求平移的距离． 解：由平移知：△ABC∽△GEC,∵∴图5 ∴CE=∴BE=2-∴平移的距离是：(2-) 练习:3.如图6，Rt∆ABC∽Rt∆EFG，EF=2AB，BD和FH分别是它们的中线，∆BDC与∆FHG是否相似？如果相似，试确定它们的周长比与面积比． 解：相似.∵Rt∆ABC∽Rt∆EFG，∴GE:CA=GF:CB=EF:AB=2,∠G=∠C, ∵BD和FH分别是它们的中线，∴GH:CD=GF:CB=2∴∆BDC∽∆FHG.图6 相似比为2；∴它们的周长比是2，面积比是4. 四.课堂小结：1.两三角形相似则：①对应角相等对应边成比例 ②对应高的比=相似比 ③对应中线的比=相似比 ④对应角平分线的比=相似比 ⑤周长比=相似比⑥面积比=相似比的平方. 5. 分层过关： 1．把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的边长都扩大为原来的3倍． 2．如图7，在平行四边形ABCD中，E为上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，＝4：25，则DE：EC=_2：5__． 图7 3.如图8，在正方形网格上有和，这两个三角形相似吗？如果相似， 请给出证明，并求出和的面积比． 解：相似.∵A1C1：A2C2=A1B1：A2B2=B1C1：B2C2=2∴△A1B1C1∽△A2B2C2 相似比是2；面积比是4.O C P D A B 图8 4.如图9，已知矩形ABCD的一条边DA=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落 在CD边上的点P处，已知折痕与边BC交于点O，连接OP、AP、OA． （1）求证：∆OCP∽∆PDA．（2）若∆OCP与∆PDA的面积之比为1∶4，求边AB的长． 证：（1）由折叠知：∠APO=90°,∵∠CPO+∠DPA=90°,∠DAP+∠DPA=90°图9 ∴∠CPO=∠DAP∵∠D=∠C=90°∴∆OCP∽∆PDA. （2）∵∆OCP∽∆PDA∴AD:PC=2:1=2∵AD=8∴PC=4,设AP=AB=x,则DP=x-4,在 Rt△ADP中由勾股定理得：解得：x=10,答：边AB的长是10.D B C A E 5．如图10，在△ABC中，AB=16，，DE∥BC，CD⊥AB，CD=12；求△ADE的面积和周长． 解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC,∵∴∴图10 ∵S△ABC=96,∴S△ADE=6,∵BD=12,CD=12,∠CDB=90°,∴BC=12,DE=3 AC=4,AE=∴△ADE的周长是：AD+AE+DE=4++3；△ADE的面积是：6. 思考题： 如图11，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线。若∠ABE=∠C，AE:ED=2:1,则△BDE与△ABC的面积比为何? 解：∵AE：ED＝2：1，∴S△ABE：S△BED＝2：1，AE：AD＝2：3，图11 ∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD， ∴S△ABE：S△ACD＝4：9，∴S△ACD＝S△ABE， ∵S△ABE＝2S△BED，∴S△ACD＝S△ABE＝S△BED， ∵S△ABC＝S△ABE＋S△ACD＋S△BED＝2S△BED＋S△BED＋S△BED＝S△BED， ∴S△BDE：S△ABC＝2：15， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.7相似三角形的性质 (2) 导学案 【学习目标】理解相似三角形周长比、面积比与相似比的关系. 【学习重难点】会应用这些性质解决问题． 【导学过程】 一.复习回顾 1.相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比都=________. 2.若,则：___ 二.探究新知图1 1.如图1中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相互相似． （2）与（1）的相似比＝__，（2）与（1）的周长比＝__；（2）与（1）的面积比＝___； （3）与（1）的相似比＝__，（3）与（1）的周长比＝__．（3）与（1）的面积比＝___． 【结论】：相似三角形的周长比等于_______．相似三角形的面积比等于__________． 2.已知：如图2△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高， 求证：(1）, (2)． 图2 三.典例与练习： 例1.若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（ ） A．1:2 B．2:1 C．1:4 D．4:1 练习:1.如图3，DE//BC，，则DE∶BC＝（ ）图3 A．1∶2 B．1∶4 C．∶2 D．4∶1 2.如图4，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使DE=EF，连接CF， 则的值为（ ）A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶5图4 例2.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分 （图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，已知BC=2，求平移的距离． 图5 练习:3.如图6，Rt∆ABC∽Rt∆EFG，EF=2AB，BD和FH分别是它们的中线，∆BDC与∆FHG是否相似？如果相似，试确定它们的周长比与面积比． 图6 4. 课堂小结： 1.两三角形相似：①对应角_____对应边______②对应高的比=______ ③对应中线的比=________④对应角平分线的比=________⑤周长比=________⑥面积比=_______. 5. 分层过关： 1．把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的边长都扩大为原来的_____倍． 2．如图7，在平行四边形ABCD中，E为上一点，连接AE，BD，且AE、BD交于点F，＝4：25，则DE：EC=____________． 图7 3.如图8，在正方形网格上有和，这两个三角形相似吗？如果相似， 请给出证明，并求出和的面积比． 图8 O C P D A B 4.如图9，已知矩形ABCD的一条边DA=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落 在CD边上的点P处，已知折痕与边BC交于点O，连接OP、AP、OA． （1）求证：∆OCP∽∆PDA．图9 （2）若∆OCP与∆PDA的面积之比为1∶4，求边AB的长． 5．如图10，在中，AB=16，，，，；求的面积和周长．D B C A E 思考题：图10 如图11，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线。若∠ABE=∠C，AE:ED=2:1,则△BDE与△ABC的面积比为何? 图11 1 学科网（北京）股份有限公司 $$