第十七章 因式分解（举一反三讲义）数学人教版2024八年级上册

该初中数学因式分解复习讲义以“知识点梳理+分层题型”构建全章知识体系，通过定义解析、特点归纳及拓展说明系统呈现因式分解概念、提公因式法、公式法等核心内容，清晰标注公因式确定“五看”要点、公式结构特征等重难点，形成逻辑连贯的知识脉络。 讲义亮点在于分层递进的练习设计，培优篇聚焦基础应用如公因式确定、公式法分解，拔尖篇融入图形面积（如利用长方形面积验证因式分解）、三角形综合等跨情境题型，培养几何直观与应用意识。通过“五看”提公因式等方法指导，帮助学生提升运算能力，支持不同层次学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

第十七章 因式分解（举一反三讲义）全章题型归纳 【人教版2024】 【培优篇】 3 【题型1 因式分解的概念】 3 【题型2 确定公因式】 4 【题型3 运用提公因式分解因式】 6 【题型4 运用公式法因式分解】 7 【题型5 运用提公因式法和公式法因式分解】 9 【拔尖篇】 11 【题型6 利用因式分解进行数的简便计算】 11 【题型7 利用因式分解进行求值】 13 【题型8 利用因式分解判断数的整除】 14 【题型9 因式分解与三角形的综合应用】 17 【题型10 因式分解与图形面积】 21 知识点1 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 知识点2 用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 知识点3 用平方差公式分解因式 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 知识点4 用完全平方公式分解因式 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 【培优篇】 【题型1 因式分解的概念】 【例1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是因式分解，则A选项不符合题意， B、，公因式未提尽，因式分解不彻底，则B选项不符合题意， C、符合因式分解的定义，则C选项符合题意， D、中等号右边不是积的形式，则D选项不符合题意， 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式相等的条件．设另一个因式为，则，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 【变式1-2】根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．    【答案】 【分析】根据图形的面积大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式． 【详解】解：图形的面积， 又图形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键． 【变式1-3】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键．先根据分解因式时，甲看错了9，分解结果为，求出，再分解因式即可． 【详解】解：∵分解因式时，甲看错了9，分解结果为， ∴在中，是正确的， ∴． 故答案为：． 【题型2 确定公因式】 【例2】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）多项式各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握确定多项式各项的公因式，需找出系数部分的最大公约数和各字母的最低次幂是解题关键． 根据公因式的定义即可求解． 【详解】解： ， 多项式各项的公因式是． 故选：C． 【变式2-1】写出一个公因式为的多项式： ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解，以及多项式的定义，掌握公因式的定义是解题关键．根据多项式的定义和公因式为作答即可． 【详解】解：公因式为的多项式：， 故答案为：（答案不唯一） 【变式2-2】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）小红和小华在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（    ） A．2 B．x C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了公因式的含义，解题的关键是掌握公因式的含义．根据公因式是指多项式中各项都含有的相同因式求解即可． 【详解】解：的公因式为． 故选：C． 【变式2-3】整式和的公因式为 . 【答案】 【分析】本题考查确定公因式，先对进行因式分解，再根据确定公因式的方法：“①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式；③定指数，即各项相同字母因式的指数的最低次幂”，求解即可． 【详解】解：∵， ∴和的公因式为， 故答案为：． 【题型3 运用提公因式分解因式】 【例3】（24-25九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲、乙的结果都正确 B．甲、乙的结果都不正确 C．只有甲的结果正确 D．只有乙的结果正确 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解，进行判断即可． 【详解】解：；； 故甲、乙的结果都正确． 故选A． 【变式3-1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式，即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）已知则 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将式子提公因式分解后，把相关式子的值代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴． 故答案为： 【变式3-3】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）若多项式可以因式分解成，则的值是 ． 【答案】3或 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案． 【详解】解：∵可以因式分解成， ∴ ， 故，或，， 则或． 故答案为：3或． 【题型4 运用公式法因式分解】 【例4】下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 【变式4-1】（24-25八年级下·山西运城·期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式分解因式． 根据平方差公式，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A：，不符合平方差公式； B：符合平方差公式，分解为，正确； C：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式； D：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式； 故选：B 【变式4-2】（2025·黑龙江大庆·一模）分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，分别运用因式分解法和公式法求解即可． 【详解】解： 【变式4-3】在有理数范围内分解因式: ． 【答案】 【分析】利用十字相乘法分解可得，转换成的形式，整理合并同类项即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【题型5 运用提公因式法和公式法因式分解】 【例5】（24-25八年级上·山东烟台·期中）请完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （2）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-1】（2025·山东聊城·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接利用提公因式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将原式化为，然后分组，再根据平方差公式和提公因式法进一步分解即可．掌握公式法和提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25八年级上·山西朔州·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（   ） A．113212 B．111232 C．123211 D．123011 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用,用提取公因式法和平方差公式因式分解，熟练掌握用提取公因式法和平方差公式因式分解是解题的关键．根据题中范例的提示，先提取公因式，再运用平方差公式因式分解，得到，可得到六种密码排列，即可判断答案． 【详解】解：，且，， 各个因式的值是，，， 组成的密码应包含11，12，32， 组成的密码共有6种：111232，113212，121132，123211，321112，321211， 不能组成的密码为123011． 故选：D． 【拔尖篇】 【题型6 利用因式分解进行数的简便计算】 【例6】计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 【变式6-1】已知，那么的值为（    ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021． 【答案】B 【分析】将进行因式分解为，因为左右两边相等，故可以求出x得值． 【详解】解： ∴ ∴x=2019 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正确的掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式6-2】利用因式分解计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行求解即可； （2）根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【变式6-3】简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先提取公因式2，再根据完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行变形进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7 利用因式分解进行求值】 【例7】（24-25八年级上·山东烟台·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用公式法分解因式、有理数的乘方．首先把等式的左边分解因式可得：，从而可得，然后整体代入求值即可． 【详解】解： 整理得：， 分解因式可得：， ， ． 故选：C． 【变式7-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级上·广东广州·期中）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．将左边分解因式得，由，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴（舍去）， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】已知实数a，b满足，则代数式的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题考查利用公式分解因式，非负数的性质，解题关键是找到a的取值范围．先整体代入，将原式转化为只含有a的代数式，直接求最大值即可． 【详解】解：∵，即， ∴ 时，的最大值为 故答案为： 【题型8 利用因式分解判断数的整除】 【例8】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）若是一个正整数，且除以3余2．判断是否一定能被9整除，并说明理由． 【答案】能被整除，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，整除，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据题意设，代入代数式，即可得，即能被整除． 【详解】解：能被整除，理由为： 由题意设（k为正整数）， 则 ， ∴能被整除． 【变式8-1】（2025·河南驻马店·模拟预测）对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解．多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断． 【详解】解： ， 无论为奇数或偶数，与必为一奇一偶，其乘积为偶数， 故． 该式恒为8的倍数，因此对任意整数，原式必被8整除． 故选：B． 【变式8-2】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知整式为任意有理数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由； (2)试说明：当m是整数时，的值一定能被24整除． 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，解题的关键是掌握平方差公式，整式的混合运算． （1）利用平方差公式，整式的混合运算计算； （2）利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：∵为任意有理数， ， ， ∴的值不可能为负数； （2）解： ， ∵是整数， ∴能被 24 整除． ∴是整数时，的值一定能被 24 整除． 【变式8-3】（24-25八年级下·河北保定·期末）观察： 观察下列各式：；；………… 发现： 比任意一个偶数大7的数与此偶数的平方差都能被7整除． 验证： （1）的结果是7的 倍； （2）设偶数为，试说明比大7的数与的平方差都能被7整除； 延伸： （3）请利用整数k说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3”． 【答案】（1）27；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式、分解因式的应用等知识点，灵活运用因式分解成为解题的关键． （1）先运用平方差公式化简即可解答； （2）根据“比大7的数与的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可解答； （3）根据“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可解答； 【详解】解：（1）∵， ∴的结果是7的27倍． 故答案为：27． （2）设偶数为，则比大7的数为， 由题意得：， ， ∵为整数， ∴能被7整除， ∴比大7的数与的平方差都能被7整除． （3）∵比整数k大3的数为， ∴， ∵， ∴被6整除的余数是3， ∴比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3． 【题型9 因式分解与三角形的综合应用】 【例9】阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ，， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求的最大边的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)的最大边的值为，，，或 (3) 【分析】（1）根据，应用完全平方公式得，根据平方的非负性质求出、的值再代入计算即可； （2）首先根据得，求出、的值；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出的范围，然后再确定的值即可； （3）把代入，得，可得、的值，继而得到的值，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴ 即的值为； （2）∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵的三边长都是正整数，且为最大边， ∴，， ∴， ∴的最大边的值为，，，或； （3）∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，完全平方公式的应用，三角形三边关系，一元一次不等式组的应用，正确理解阅读材料并能运用其方法及公式是解题的关键． 【变式9-1】已知a，b，c为三边的长，当时，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式对原式正确的因式分解是解题的关键． 先分组因式分解，然后再根据非负数的性质求得a、b、c的关系即可解答． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ， 是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【变式9-2】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）阅读理解： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如，但我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 解决问题： (1)分解因式：； (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形． 【分析】本题考查分组分解法分解因式，因式分解的应用，等腰三角形的定义． （1）先将前三项分为一组，运用完全平方公式分解，再运用平方差公式分解即可； （2）先运用因式分解，将等式变形为，从而得出或，再根据等腰三角形的定义，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， 或， 或， ∵a，b，c是的三边， ∴是等腰三角形． 【变式9-3】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题． 例：若，求和的值． 解：， 即 ，， ，， 为什么要对进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程． (1)若，求的值： (2)已知、、是等腰的三边长，且满足．求此三角形的周长． 【答案】(1) (2)三角形的周长为或 【分析】本题考查了配方法的应用、非负数的性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）已知等式变形后，利用完全平方公式变形，再结合非负数的性质计算即可得解； （2）已知等式变形后，利用完全平方公式变形，再结合非负数的性质计算得出，，再由等腰三角形的定义，分两种情况，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵、、是等腰的三边长， ∴当为腰长时，三边长为，，，能组成三角形，的周长； 当为腰长时，三边长为，，，能组成三角形，的周长； 综上所述，三角形的周长为或． 【题型10 因式分解与图形面积】 【例10】（24-25七年级下·山东聊城·期末）阅读以下材料： 材料1：如图所示，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是__________； (2)计算：；（结果用科学记数法表示） (3)根据材料2进行因式分解： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握整体思想换元． （1）原式利用图形面积即可求解； （2）原式中整理后，利用完全平方公式分解即可； （3）①原式中利用完全平方公式分解，令利用平方差公式分解，再将还原即可； ②原式添加辅助项利用完全平方公式分解，得，令利用平方差公式分解，再将还原即可． 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ， 令， 原式 ， 再将还原， 得到：原式； ② ， 令， 原式 ， 再将还原， 得到：原式． 【变式10-1】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小长方形，且．（以上长度单位：） (1)用含，的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和； (2)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________； (3)若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）根据整式的加减混合运算法则计算； （2）根据图形的面积的不同的表示方法解答； （3）变形完全平方公式，代入计算即可． 【详解】（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为， ∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：； （2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，由九个小图形之和可得， ∴ 即可以因式分解为：， 故答案为：； （3）解：依题意得，，， ， ， ． 【变式10-2】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，．． 归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化． 解决问题： (1)若x满足，则 ； (2)若x满足，求的值； (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式，因式分解的应用，阅读理解题目中提供的方法，是类比、推广的前提和关键． （1）根据题目提供的方法，进行计算即可． （2）根据题意可得，设，，将化成的形式，代入求值即可． （3）根据题意可得，，根据（1）中提供的方法，求出的结果就是阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵， 设，； 则，， ∴， 故答案为：． （2）解：设，，， ∴，， ∴ ． （3）解：由题意得，，， ∵长方形的面积为48， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ， ∴阴影部分的面积和为28． 【变式10-3】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． 【解决问题】 （1）请把表示图2面积的多项式因式分解：______（直接列出等式即可）； （2）若，，求的值； 【探索创新】 （3）如图3，有足够数量的边长分别为的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【答案】（1） （2） （3），作图见详解 【分析】本题主要考查整式的混合运算与图形面积的计算，理解图示，掌握整式的混合运算是关键． （1）根据图示，运用整式混合运算计算面积即可； （2）根据（1）中的计算方法代入求解即可； （3）根据因式分解得到长方形的长和宽，由此作图即可． 【详解】解：（1）根据图示得到， ； （2）根据（1）的计算得到， ， ∴； （3）∵， ∴作图为长为，宽为，如图所示， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解（举一反三讲义）全章题型归纳 【人教版2024】 【培优篇】 3 【题型1 因式分解的概念】 3 【题型2 确定公因式】 3 【题型3 运用提公因式分解因式】 4 【题型4 运用公式法因式分解】 4 【题型5 运用提公因式法和公式法因式分解】 4 【拔尖篇】 5 【题型6 利用因式分解进行数的简便计算】 5 【题型7 利用因式分解进行求值】 5 【题型8 利用因式分解判断数的整除】 5 【题型9 因式分解与三角形的综合应用】 6 【题型10 因式分解与图形面积】 7 知识点1 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 知识点2 用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 知识点3 用平方差公式分解因式 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 知识点4 用完全平方公式分解因式 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 【培优篇】 【题型1 因式分解的概念】 【例1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 【变式1-2】根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．    【变式1-3】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为 ． 【题型2 确定公因式】 【例2】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）多项式各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】写出一个公因式为的多项式： ．（写一个即可） 【变式2-2】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）小红和小华在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（    ） A．2 B．x C． D． 【变式2-3】整式和的公因式为 . 【题型3 运用提公因式分解因式】 【例3】（24-25九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲、乙的结果都正确 B．甲、乙的结果都不正确 C．只有甲的结果正确 D．只有乙的结果正确 【变式3-1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）已知则 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）若多项式可以因式分解成，则的值是 ． 【题型4 运用公式法因式分解】 【例4】下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【变式4-1】（24-25八年级下·山西运城·期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·黑龙江大庆·一模）分解因式： 【变式4-3】在有理数范围内分解因式: ． 【题型5 运用提公因式法和公式法因式分解】 【例5】（24-25八年级上·山东烟台·期中）请完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【变式5-1】（2025·山东聊城·三模）因式分解： ． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 【变式5-3】（24-25八年级上·山西朔州·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（   ） A．113212 B．111232 C．123211 D．123011 【拔尖篇】 【题型6 利用因式分解进行数的简便计算】 【例6】计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式6-1】已知，那么的值为（    ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021． 【变式6-2】利用因式分解计算： (1) (2) 【变式6-3】简便计算： (1) (2) 【题型7 利用因式分解进行求值】 【例7】（24-25八年级上·山东烟台·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的值为 ． 【变式7-2】（24-25七年级上·广东广州·期中）已知，则的值是 ． 【变式7-3】已知实数a，b满足，则代数式的最大值为 ． 【题型8 利用因式分解判断数的整除】 【例8】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）若是一个正整数，且除以3余2．判断是否一定能被9整除，并说明理由． 【变式8-1】（2025·河南驻马店·模拟预测）对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 【变式8-2】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知整式为任意有理数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由； (2)试说明：当m是整数时，的值一定能被24整除． 【变式8-3】（24-25八年级下·河北保定·期末）观察： 观察下列各式：；；………… 发现： 比任意一个偶数大7的数与此偶数的平方差都能被7整除． 验证： （1）的结果是7的 倍； （2）设偶数为，试说明比大7的数与的平方差都能被7整除； 延伸： （3）请利用整数k说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3”． 【题型9 因式分解与三角形的综合应用】 【例9】阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ，， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求的最大边的值； (3)已知，求的值． 【变式9-1】已知a，b，c为三边的长，当时，则的形状是 ． 【变式9-2】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）阅读理解： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如，但我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 解决问题： (1)分解因式：； (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 【变式9-3】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题． 例：若，求和的值． 解：， 即 ，， ，， 为什么要对进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程． (1)若，求的值： (2)已知、、是等腰的三边长，且满足．求此三角形的周长． 【题型10 因式分解与图形面积】 【例10】（24-25七年级下·山东聊城·期末）阅读以下材料： 材料1：如图所示，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是__________； (2)计算：；（结果用科学记数法表示） (3)根据材料2进行因式分解： ①； ②． 【变式10-1】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小长方形，且．（以上长度单位：） (1)用含，的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和； (2)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________； (3)若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，求的值． 【变式10-2】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，．． 归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化． 解决问题： (1)若x满足，则 ； (2)若x满足，求的值； (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【变式10-3】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． 【解决问题】 （1）请把表示图2面积的多项式因式分解：______（直接列出等式即可）； （2）若，，求的值； 【探索创新】 （3）如图3，有足够数量的边长分别为的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $