5.6 第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)(二)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

　　　　　第２课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)(二) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．会根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象研究性质 ２．会根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定其解析式 ３．掌握利用y＝Asin(ωx＋φ)的图象解决问题 １．根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质培 养学生数学直观和逻辑推理素养 ２．通过学习y＝Asin(ωx＋φ)的性质提升 学生的数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] (１)若函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数,则φ应 满足什么条件? (２)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０)为 偶函数,则φ应满足什么条件? [知识梳理] [知识点一]　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ＞０)的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０)的 图象,我们可以得到函数y＝Asin(ωx＋φ) (A＞０,ω＞０)的性质． (１)定义域:R． (２)值域:[－A,A]．当x＝π２ω－ φ ω＋ ２kπ ω (k∈ Z)时,y 取得最大值A;当x＝３π２ω－ φ ω ＋ ２kπ ω (k∈Z)时,y取得最小值－A． (３)单调性:由２kπ－π２≤ωx＋φ≤２kπ＋ π ２ ,k ∈Z,解得单调递增区间; 由２kπ＋π２≤ωx＋φ≤２kπ＋ ３π ２ ,k∈Z,解得 单调递减区间． (４)奇偶性:当φ＝kπ(k∈Z)时,函数为奇函 数;当φ＝kπ＋ π ２ (k∈Z)时,函 数 为 偶 函数． (５)周期性:T＝２πω． (６)对称性:直线x＝π２ω－ φ ω＋ kπ ω (k∈Z)都是 其对称轴;点 －φω＋ kπ ω ,０ æ è ç ö ø ÷(k∈Z)都是其 对称中心． [知识点二]　由y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 或部分图象确定解析式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解决此类问题的关键在于确定参数A,ω,φ, 其基本方法是在观察图象的基础上,利用待 定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin (ωx＋φ),则在观察图象的基础上,可按以 下规律来确定A,ω,φ． (１)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|． (２)因为T＝２π|ω| ,所以往往通过求周期T 来 确定ω,可通过已知曲线与x 轴的交点从 而确定T,即相邻的最高点与最低点之间 的距离为T ２ ;相邻的两个最高点(或最低 点)之间的距离为T． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２２􀅰 第五章　三角函数 (３)从 寻 找 “五 点 法”中 的 第 一 零 点 －φω ,０ æ è ç ö ø ÷(也叫初始点)作为突破口,要从 图象的升降情况找准第一零点的位置, 从而确定φ,A,ω,φ三个量中初相φ 的确 定 是 一 个 难 点,除 使 用 初 始 点 －φω ,０ æ è ç ö ø ÷外,还可利用五点法中其他点确 定初相φ,即在五点中找两个特殊点列方 程组 解 出 φ,如: ωx１＋φ＝ π ２ , ωx２＋φ＝π ì î í ïï ï 解 出 ω, φ等． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠０)的 单调区间应注意什么? [预习自测] １．函数y＝sin(２x－π３ )在区间 －π２ ,πé ë êê ù û úú上的 简图是 (　　) ２．已知函数f(x)＝sin(ωx＋π３ )(ω＞０)的最 小正周期为π,则该函数图象 (　　) A．关于点(π３ ,０)对称 B．关于直线x＝π４ 对称 C．关于点(π４ ,０)对称 D．关于直线x＝π３ 对称 ３．函数y＝２sin(２x－π６ )的对称轴方程是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　由y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定其解析式 [例１]函数f(x)＝Asin (ωx ＋ φ ) A＞０,ω＞０,|φ|＜ π ２ æ è ç ö ø ÷的 一段图象如图所示,求f(x)的解析式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　此类问题可由最值确定A, 由周期确定ω,由图象上的点确定φ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定 解析式关键在于确定参数A,ω,φ的值． (１)一般可由图象上的最大值、最小值来确 定|A|． (２)因为T＝２π|ω| ,所以往往通过求周期T 来确定ω,可通过已知曲线与x轴的交 点从而确定T,即相邻的最高点与最低 点所对应的横坐标之间的距离为T ２ ;相 邻的两个最高点(或最低点)之间的距 离为T． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２２􀅰 数学􀅰必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋(３)求φ,常用方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入转 化求解． ②五点法:要确定φ值时,往往以寻找“五 点法”中的第一个点(－φω ,０)作为突破 口,具体如下: “第一点”(即图象上升时与x轴的交点) 为ωx＋φ＝０; “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ ＝π２ ; “第三点”(即图象下降时与x轴的交点) 为ωx＋φ＝π; “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ ＝３π２ ; “第五点”为ωx＋φ＝２π． 􀳀[变式训练] １．函数y＝３sin(ωx＋φ)(ω ＞０,φ∈[０,２π))的部分 图象如图所示,试求函数 y＝３sin(ωx＋φ)的 表 达式． 　　　三角函数图象的对称性 [例２](１)函数y＝sin(２x＋φ)(０≤φ≤π)是 R上的偶函数,则φ的值是 (　　) A．０　　　B．π４　　　C． π ２　　　D．π (２)函数y＝sin２x＋π３ æ è ç ö ø ÷的图象的对称轴是 　　　　,对称中心是　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　把“ωx＋φ”看作一个整体代 入基本函数性质． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三角函数对称轴、对称中心的求法 对称轴 对称中心 y＝Asin(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ ＋π２ (k∈Z) 令ωx＋φ＝ kπ(k∈Z)求 对称中心横 坐标 y＝Acos(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ (k∈Z) 令ωx＋φ＝ kπ＋π２ (k∈ Z)求对称中 心横坐标 y＝Atan(ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝ kπ ２ (k∈Z)求 对称中心横 坐标 􀳀[变式训练] ２．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞ ０,－π＜φ＜０),其图象最低点的纵坐标是－ ３,相邻的两个对称中心是(π３ ,０)和(５π６ , ０),则f(x)图象的对称轴方程为　　　　． 　　　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及其应用 [例３]设函数f(x)＝sin(２x＋φ)(－π＜φ＜ ０),y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x ＝π８． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２２􀅰 第五章　三角函数 (１)求φ; (２)求函数y＝f(x)的单调区间及最值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　本题关键是对图象的一条对 称轴为x＝π８ ,这一条件的利用,由图象的 一条 对 称 轴 为 x＝π８ 得:当 x＝π８ 时, ２x＋φ＝kπ＋ π ２ (k∈Z)进而可求φ值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型 函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶 性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ),当φ＝ kπ(k∈Z)时为奇函数,当φ＝kπ± π ２ (k ∈Z)时 为 偶 函 数;对 于 函 数 y ＝ Acos(ωx＋φ),当φ＝kπ(k∈Z)时为偶 函数,当φ＝kπ± π ２ (k∈Z)时为奇函数． ２．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求 解技巧 (１)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们 的单调区间． (２)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞ ０)单调区间的方法:采用“换元”法整体 代换,将ωx＋φ看作一个整体,可令“z ＝ωx＋φ”,即通过求y＝Asinz的单调 区间而求出函数的单调区间．若ω＜０, 则可利用诱导公式先将x的系数转变 为正数,再求单调区间． 􀳀[变式训练] ３．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０, ω＞０,|φ|＜ π ２ )的部分图象如 图所示,则 (　　) A．f(x)的一个对称中心为(４π３ ,０) B．f(x)的图象关于直线x＝－π１２ 对称 C．f(x)在 －π,－π２ é ë êê ù û úú上是增函数 D．f(x)的周期为π２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３２􀅰 数学􀅰必修第一册 １．如图是函数f(x)＝３sin(ωx＋ φ)ω＞０,|φ|＜ π ２ æ è ç ö ø ÷ 的 部 分 图 象,则ω,φ的值是 (　　) A．ω＝２,φ＝ π ３ B．ω＝２,φ＝ π ６ C．ω＝１２ ,φ＝ π ３ D．ω＝１２ ,φ＝ π ６ ２．(２０２３􀅰全国乙卷(文),１０)已知函数f(x) ＝sin(ωx＋φ)在区间 π ６ ,２π ３ æ è ç ö ø ÷ 单调递增,直 线x＝π６ 和x＝２π３ 为函数y＝f(x)的图像的 两条相邻对称轴,则f －５π１２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－ ３２ B．－ １ ２ C．１２ D． ３ ２ ３．函数f(x)＝sin(２x＋φ)(－π＜φ＜０)图象 的一 条 对 称 轴 是 直 线 x＝π６ ,则 φ 的 值 为　　　　． ４．若函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(其中 A＞ ０,ω＞０,－π＜φ＜π) 的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析 式为　　　　． ５．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示, 根据图象求: (１)f(x)的最小正周期; (２)f(x)的对称轴和对称中心; (３)f(x)的单调区间． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３２􀅰 第五章　三角函数 [例３]　[解]　令X＝２x＋π４ ,则x＝１２ X－ π ４( )． 列表: X ０ π２ π ３π ２ ２π x －π８ π ８ ３π ８ ５π ８ ７π ８ y ０ ２．５ ０ －２．５ ０ 描点连线,如图所示． 变式训练 １．(１)C　[因为y＝sin(２x＋ π３ )＝sin２(x＋ π６ ),所以将 函数y＝sin２x的图象向左平移 π６ 个单位长度,就可得 到函数y＝sin２(x＋π６ )＝sin(２x＋π３ )的图象．] (２)C　[y＝sin(２x－π６ )＝cos π２－ ２x－ π ６( )[ ] ＝cos ２π３－２x( ))＝cos ２x－ ２π ３( ) ＝cos ２ x－π３( )[ ]．故选 C．] ２．D　[C１:y＝cosx＝sin x＋ π ２( )． 即y＝sin x＋π２( ) C１ 上各点横坐标缩短为原来的 １ ２ 倍 → y＝sin ２x＋π２( )＝sin２ x＋ π ４( ) 向左平移 π １２ 个单位长度 →y＝sin２ x＋π４＋ π １２( ) ＝sin２ x＋π３( )＝sin ２x＋ ２π ３( )．] ３．解:列表: ２x－π６ － π ６ ０ π ２ π ３π ２ １１π ６ x ０ π１２ π ３ ７π １２ ５π ６ π f(x) －１ ０ ２ ０ －２ －１ 描点连线得: 随堂步步夯实 １．B　２．C　３．C　４．２π３ ５．解析:第一步:列表． x π８ ３π ８ ５π ８ ７π ８ ９π ８ ２x－π４ ０ π ２ π ３π ２ ２π sin ２x－π４( ) ０ １ ０ －１ ０ y ０ ２ ０ － ２ ０ 第二步:描点． 第三步:连线画出图象如图所示: 第２课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)(二) 课前预习学案 情境引入 (１)提示:因为y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数,所以f(０)＝０, 因此sinφ＝０,所以φ＝kπ,k∈Z． (２)提示:因为y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数,所以f(０)＝A 或f(０)＝－A,即Asinφ＝A 或Asinφ＝－A,所以有φ ＝kπ＋π２ ,k∈Z． [思考] 　提示:对于y＝Asin(ωx＋φ)的单调性而言,A 与ω 的正 负影响单调性,如果ω＜０,可以利用诱导公式sin(－α)＝ －sinα将负号转化到函数符号外,再求相应单调区间． 预习自测 １．A　２．A　３．x＝kπ２＋ π ３ (k∈Z) 课堂互动学案 [例 １]　 [解]　 方 法 一:由 图 象 可 知 A ＝３,T ＝ ４ ３ ４π－ π ４( )＝５π,∴ω＝ ２π T ＝ ２π ５π＝ ２ ５ ,此 时 f(x)＝ ３sin ２５x＋φ( )．由 于 图 象 过 点 π ４ ,０( ) ,得sin π１０＋φ( ) ＝０,∴π１０＋φ＝kπ ,k∈Z,φ＝kπ－ π １０ ,k∈Z． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３４􀅰 参考答案 ∵|φ|＜ π ２ ,∴φ＝－ π １０． ∴f(x)＝３sin ２５x－ π １０( )． 方法二:同方法一,求出f(x)＝３sin ２５x＋φ( )． ∵ π４ ,０( ) 对应了五点法作图的第一个点, ∴２５× π ４＋φ＝０ , ∴φ＝－ π １０． ∴f(x)＝３sin ２５x－ π １０( )． [例２]　[解析]　(１)因为y＝sin(２x＋φ)(０≤φ≤π)是 R 上的 偶 函 数,所 以 f(－x)＝f(x),所 以 f(π４ )＝ f(－π４ ),代入整理得cosφ＝０,所以φ＝ π ２． (２)要使sin(２x＋π３ )＝±１, 必有２x＋π３＝kπ＋ π ２ (k∈Z), ∴x＝kπ２＋ π １２ (k∈Z), 故函数y＝sin(２x＋π３ )的图象的对称轴为x＝kπ２＋ π １２ (k∈ Z)． ∵函数y＝sin(２x＋ π３ )的图象与x 轴的交点即为对称 中心,令y＝０,即sin(２x＋π３ )＝０, ∴２x＋π３＝kπ (k∈Z),即x＝kπ２－ π ６ (k∈Z), 故函数y＝sin(２x＋π３ )的图象的对称中心为(kπ ２－ π ６ , ０)(k∈Z)． [答案]　(１)C　(２)x＝kπ２ ＋ π １２ (k∈Z)　(kπ２ － π ６ , ０)(k∈Z) [例３]　[解]　(１)由２x＋φ＝kπ＋ π ２ ,k∈Z,得x＝kπ２＋ π ４－ φ ２ , 令kπ ２＋ π ４－ φ ２＝ π ８ ,解得φ＝kπ＋ π ４ ,k∈Z． ∵－π＜φ＜０,∴φ＝－ ３π ４． (２)由(１)知,f(x)＝sin ２x－３π４( )． 由２kπ－π２≤２x－ ３π ４≤２kπ＋ π ２ (k∈Z),解得 kπ＋π８≤x≤kπ＋ ５π ８ (k∈Z)． 故函数的单调递增区间是 kπ＋π８ ,kπ＋５π８[ ](k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是 kπ＋５π８ ,kπ＋９π８[ ](k∈Z)． 当２x－３π４＝２kπ＋ π ２ (k∈Z),即 x＝kπ＋５π８ (k∈Z)时,函数有最大值１; 当２x－３π４＝２kπ－ π ２ (k∈Z),即 x＝kπ＋π８ (k∈Z)时,函数有最小值－１． 变式训练 １．解:由题图知,函数的最小正周期 T＝２ ５π６－ π ３( ) ＝π, 所以ω＝２πT＝２ ,所以y＝３sin(２x＋φ)． 又图象过点 π ３ ,０( ) ,所 以 当x＝ π３ 时,y＝０,由“五 点 法”作图得２×π３＋φ＝２kπ＋π (k∈Z),由φ∈[０,２π),解 得φ＝ π ３ ,故所求函数的表达式为y＝３sin ２x＋π３( )． ２．解析:由题意,得A＝ ３,T＝２(５π６－ π ３ )＝π,∴２πω＝π , ∴ω＝２,∴f(x)＝ ３sin(２x＋φ)．又∵点( π ３ ,０)在f(x) 的图象上,∴f(π３ )＝０,∴ ３sin(２π３ ＋φ )＝０,∴sin(２π３ ＋φ)＝０．又 ∵ －π＜φ＜０,∴φ＝ － ２π ３ ,∴f(x)＝ ３sin(２x－２π３ )．令２x－２π３ ＝ π ２ ＋kπ (k∈Z),解得x＝ ７π １２＋ kπ ２ (k∈Z)．∴f(x)图象的对称轴方程是x＝７π１２＋ kπ ２ (k∈Z)． 答案:x＝７π１２＋ kπ ２ (k∈Z) ３．A　[根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞o,|φ|＜ π ２ ) 的部分图象, 可得A＝３,T２ ＝ π ω ＝ ５π ６ － π ３ ,所 以ω＝２,再 根 据 点 ５ ６π ,０( ) 是五点作图法中第五个点可得２× π３＋φ＝π, 所以φ＝ π ３ , 所以y＝３sin ２x＋π３( ) ,显然,它的周期为 ２π ２ ＝π ,故排 除 D; 当x＝４π３ 时,函数y＝f(x)＝３sin(２x＋ π３ )＝０,故函数 的图象关于点(４π ３ ,０)对称,故 A正确; 当x＝－π１２ 时,f(x)＝ ３２ ,不是最值,故f(x)的图象不 关于直线x＝－π１２ 对称,故排除 B．在[－π,－ π２ ]上,２x ＋π３∈ [－５π３ ,－２π３ ],y＝３sin(２x＋ π３ )不是增函数,故 排除 C．故选 A．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３４􀅰 数学􀅰必修第一册 随堂步步夯实 １．A　２．D　３．－５６π ４．f(x)＝２sin(２x＋π３ ) ５．解:(１)由图象知最小正周期 T＝４× １１π６ － ４π ３( )＝２π． (２)f(x)的对称轴为x＝π３＋kπ (k∈Z), 对称中心坐标为 ５ ６π＋kπ ,０( )． (３)在一个周期上的单调减区间为 π３ ,４ ３π[ ] , ∴整个定义域上的单调减区间为 ２kπ＋π３ ,２kπ＋４３π[ ](k∈Z), 同理易知单调增区间为 ２kπ－２３π ,２kπ＋π３[ ](k∈Z)． ５．７　三角函数的应用 课前预习学案 情境引入 　提示:(１)水深随时间呈周期性的变化． (２)若用平滑的曲线连接各点,则大致呈正弦曲线． 知识梳理 知识点一、A　ω２π [思考] １．提示:三角函数模型． ２．提示:利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的 某种关系,然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟 合这些散点,从而避免因盲目选择函数模型而造成的不 必要的失误． 预习自测 １．D　２．C　３．３　π６ 课堂互动学案 [例１]　[解析]　(１)当t＝０时,E＝１１０ ３(伏), 即开始时的电压为１１０ ３伏． (２)T＝ ２π１００π＝ １ ５０ (秒),即时间间隔为０．０２秒． (３)电压的最大值为２２０ ３伏． 当１００πt＋π６＝ π ２ ,即t＝ １３００ 秒时,第一次取得最大值． [例２]　[解]　(１)因为函数为y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋ b(A＞０,ω＞０,０＜|φ|＜π), 由①,得周期T＝２πω＝１２ ,所以ω＝π６． 由②,得f(２)最小,f(８)最大,且f(８)－f(２)＝４００,故 A＝２００． 由③,得f(x)在[２,８]上递增,且f(２)＝１００,所以f(８) ＝５００, 所以 －A＋b＝１００, A＋b＝５００,{ 解得 A＝２００, b＝３００．{ 因为f(２)最小,f(８)最大, 所以 sin(π６×２＋φ )＝－１, sin(π６×８＋φ )＝１． ì î í ïï ï 由于０＜|φ|＜π,因此φ＝－ ５π ６ , 所以入住客栈的游客人数y与月份x 之间的关系式为y ＝f(x)＝２００sin(π６x＋ ５π ６ )＋３００(x∈N∗ ,且 １≤x≤ １２)． (２)由条件可知２００sin(π６x－ ５π ６ )＋３００≥４００, 化简得sin(π６x－ ５π ６ )≥１２ ,所以２kπ＋π６≤ π ６x－ ５π ６≤ ２kπ＋５π６ (k∈Z)． 解得１２k＋６≤x≤１２k＋１０(k∈Z)． 因为x∈N∗ ,且１≤x≤１２, 所以x＝６,７,８,９,１０． 即只有６,７,８,９,１０五 个 月 份 要 准 备 不 少 于 ４００人 的 食物． [例３]　[解]　(１)如图． (２)最低气温为１月份２１．４,最高气温为７月份７３．０,故 T ２＝７－１＝６ ,所以T＝１２． 因为２A 的值等于最高气温与最低气温的差, 即２A＝７３．０－２１．４＝５１．６,所以A＝２５．８． (３)因为模型①的周期为１２π,所以由(２)知①错误;由模 型②知当x＝０时,y取最大值,而x＝月份－１,即１月 份的气温最高,这与(２)中的结论矛盾,所以应选③． 变式训练 １．解:(１)令t＝０,得h＝３sinπ４＝ ３ ２ ２ ,所以开始振动的位 置为(０,３ ２２ )． (２)由题意知,当h＝３时,t的最小值为 π８ ;即所求最高 点为(π ８ ,３);当h＝－３时,t的最小值为５π８ ,即所求最低 点为(５π ８ ,－３)． ２．解:(１)不妨设h(t)＝Asin(ωt＋φ)＋b,A＞０,ω＞０,由题 意得A＝８,T＝１２,b＝１０,则ω＝２πT＝ π ６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３４􀅰 参考答案