5.5.2 第1课时 简单的三角恒等交换(一)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

即３(cos２α－sin２α)＝ ２２ (cosα－sinα)． ∵α∈(π２ ,π),∴cosα－sinα≠０, ∴上式可化为sinα＋cosα＝ ２６ , 两边平方可得１＋sin２α＝１１８． ∴sin２α＝－１７１８． 答案:(１)１４　 (２)－ ３　(３)－１７１８ ２．(１)解析:由sinα＝３５ ,且α是第二象限角,可得cosα＝ －４５ ,所以tanα＝－３４ ,所以tanβ＝tan[(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tanα １＋tan(α＋β)tanα ＝ １－(－３４ ) １＋１×(－３４ ) ＝７, 所以tan２β＝ ２tanβ １－tan２β ＝－７２４． 答案:－７２４ (２)解析:∵０＜x＜π４ ,∴０＜π４－x＜ π ４． 又∵sin(π４－x )＝５１３ , ∴cos(π４－x )＝１２１３． ∵cos２x＝sin(π２－２x ) ＝２sin(π４－x )cos(π４－x ) ＝２cos[π２－ (π ４－x )]cos(π４－x ) ＝２cos(π４＋x )cos(π４－x ), ∴ cos２x cos(π４＋x ) ＝２cos(π４－x )＝２４１３． 答案:２４ １３ ３．证明:法一:左边＝ (１－cos４α)＋sin４α (１＋cos４α)＋sin４α ＝２sin ２２α＋２sin２αcos２α ２cos２２α＋２sin２αcos２α ＝２sin２α (sin２α＋cos２α) ２cos２α(sin２α＋cos２α)＝tan２α＝ 右边． 法二:左边＝１＋sin４α－ (１－２sin２２α) １＋sin４α＋(２cos２２α－１) ＝２sin２αcos２α＋２sin ２２α ２sin２αcos２α＋２cos２２α ＝２sin２α (sin２α＋cos２α) ２cos２α(sin２α＋cos２α)＝tan２α＝ 右边． 随堂步步夯实 １．B　２．D　 ３．３２　４．－４ ５．解:(１)tan α＋π４( ) ＝ tanα＋tan π４ １－tanαtan π４ ＝tanα＋１１－tanα＝ ２＋１ １－２＝ －３． (２) sin２α sin２α＋sinαcosα－cos２α－１ ＝ ２sinαcosα sin２α＋sinαcosα－(２cos２α－１)－１ ＝ ２sinαcosα sin２α＋sinαcosα－２cos２α ＝ ２tanα tan２α＋tanα－２ ＝ ２×２ ２２＋２－２ ＝１ ５．５．２　简单的三角恒等变换 第１课时　简单的三角恒等变换(一) 课前预习学案 情境引入 　提示:α２ 是α的半角,α是２α的半角． 知识梳理 (１)１－cosα２ 　 １＋cosα ２ 　 １－cosα １＋cosα [思考] １．提示:(１)当给出角α的具体范围时,先求α２ 的范围,然 后根据α ２ 的范围确定符号． (２)如果没有给出决定符号的条件,那么在根号前要保 留正、负号． ２．提示:公式 Cα ２ ,Sα ２ 对α∈R都成立,但公式 Tα ２ 要求α≠ (２k＋１)π(k∈Z)． ３．提 示:右 边 ＝２sinθ＋φ２ cos θ－φ ２ ＝２sin (θ ２ ＋ φ ２ ) 􀅰cos(θ２－ φ ２ ) ＝２(sinθ２cos φ ２ ＋cos θ ２sin φ ２ )􀅰(cosθ２cos φ ２ ＋ sinθ２sin φ ２ ) ＝２(sinθ２cos θ ２ 􀅰cos２ φ２ ＋sin ２ θ ２ 􀅰sinφ２cos φ ２ ＋ cos２ θ２sin φ ２cos φ ２＋sin ２ φ ２sin θ ２cos θ ２ ) ＝sinθ 􀅰 cos２ φ２ ＋ sin ２ θ ２ sinφ ＋ cos ２ θ ２ sinφ ＋sin２ φ２sinθ ＝sinθ＋sinφ＝左边． 故等式成立． 预习自测 １．C　２．C　３．４ １７１７ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３４􀅰 参考答案 课堂互动学案 [例１]　[解]　∵π＜α＜３π２ ,sinα＝－４５ , ∴cosα＝－３５ ,且 π ２＜ α ２＜ ３π ４ , ∴sinα２＝ １－cosα ２ ＝ ２ ５ ５ , cosα２＝－ １＋cosα ２ ＝－ ５ ５ , tanα２＝ sinα２ cosα２ ＝－２． [例２]　解:原式＝ ２cos２ α２＋２sin α ２cos α ２( ) sin α ２－cos α ２( ) ２􀅰２cos２ α２ ＝ ２cosα２ cos α ２＋sin α ２( ) sin α ２－cos α ２( ) ２ cosα２ ＝ cosα２ (－cosα) cosα２ 又因为１８０°＜α＜３６０°, 所以９０°＜α２＜１８０° ,所以cosα２＜０ , 所以原式＝ cosα２ 􀅰(－cosα) －cosα２ ＝cosα． [例３]　[证明]　右边＝ ２sinθcosθ＋cos２θ＝ ２sin ３θ２－ θ ２( ) cos ３θ２－ θ ２( )＋cos ３θ ２＋ θ ２( ) ＝ ２ sin３θ２cos θ ２－cos ３θ ２sin θ ２( ) ２cos３θ２cos θ ２ ＝ sin３θ２ cos３θ２ － sinθ２ cosθ２ ＝tan３θ２ －tan θ ２ ＝ 左 边．所 以 等 式 成立． 变式训练 １．解析:(１)因为５π２＜θ＜３π , 所以cosθ＝－ １－sin２θ＝－４５ ,５π ４＜ θ ２＜ ３π ２． 所以sinθ２＜０ ,cosθ２＜０． 所以sinθ２＝－ １－cosθ ２ ＝－ ３ １０ １０ , cosθ２＝－ １＋cosθ ２ ＝－ １０ １０ ． 所以tanθ２＝ sinθ２ cosθ２ ＝３． 所以tanθ２＋cos θ ２＝３－ １０ １０ ． (２)方法一:因为cosα＝－３５ ,α∈(π,３π２ ), 则α ２∈ (π ２ ,３π ４ ),则由半角公式,得 tanα２＝－ １－cosα １＋cosα＝－ １－ －３５( ) １＋ －３５( ) ＝－２． 方法二:因为cosα＝－３５ ,α∈ π,３π２( ) , 所以sinα＝－４５ , 所 以 tan α２ ＝ sinα２ cosα２ ＝ ２sin２ α２ ２sinα２cos α ２ ＝１－cosαsinα ＝ １－ －３５( ) －４５ ＝－２． 答案:(１)B　(２)－２ ２．解析:原式＝ sinα２＋cos α ２( ) ２ ２ cosα２ － ２ sin α ２ ＋ sinα２－cos α ２( ) ２ ２ cosα２ ＋ ２ sin α ２ , 因为π＜α＜３π２ ,所以π ２＜ α ２＜ ３π ４． 所以cosα２＜０ ,sinα２＞０． 所以原式＝ sinα２＋cos α ２( ) ２ － ２ sinα２＋cos α ２( ) ＋ sinα２－cos α ２( ) ２ ２ sinα２－cos α ２( ) ＝－ sinα２＋cos α ２ ２ ＋ sinα２－cos α ２ ２ ＝－ ２cosα２． ３．证明:方法一:左边＝tan α＋π４( )＋ α－ π ４( )[ ] 􀅰 １－tan α＋π４( )tan α－ π ４( )[ ] ＝tan２α􀅰 １－tanα＋１１－tanα 􀅰tanα－１ １＋tanα( ) ＝２tan２α＝右边．故原等式成立． 方法二:左边＝ tanα＋tan π４ １－tanαtan π４ ＋ tanα－tan π４ １＋tanαtan π４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３４􀅰 数学􀅰必修第一册 ＝tanα＋１１－tanα＋ tanα－１ １＋tanα＝ (１＋tanα)２－(１－tanα)２ １－tan２α ＝ ４tanα １－tan２α ＝２tan２α＝右边．故原等式成立． 随堂步步夯实 １．D　２．B　３．－７９　　４． ５ ６ ５．解: ２cos２ θ２－sinθ－１ ２sinθ＋π４( ) ＝ ２cos２ θ２－１( )－sinθ ２ sinθcosπ４＋cosθsin π ４( ) ＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝ １－sinθcosθ sinθ cosθ＋１ ＝１－tanθtanθ＋１＝ １－１３ １ ３＋１ ＝１２ , 即 ２cos２ θ２－sinθ－１ ２sinθ＋π４( ) ＝１２． 第２课时　简单的三角恒等变换(二) 课前预习学案 知识梳理 知识点、１．sinαcosβ±cosαsinβ　cosαcosβ∓sinαsinβ　 tanα±tanβ １∓tanαtanβ 　２．２sinαcosα　cos２α－sin２α　１－２sin２α　 ２cos２－１　 ２tanα １－tan２α 　３．± １－cosα２ 　± １＋cosα ２ ± １－cosα１＋cosα 预习自测 １．A　２．C　３．１ 课堂互动学案 [例１]　[解]　原式＝ ２cos２１０° ４sin１０°cos１０°－sin１０° cos５° sin５°－ sin５° cos５°( ) ＝cos１０°２sin１０°－２cos１０°＝ cos１０°－２sin２０° ２sin１０° ＝cos１０°－２sin (３０°－１０°) ２sin１０° ＝cos１０°－２sin３０°cos１０°＋２cos３０°sin１０°２sin１０° ＝cos３０°＝ ３２． [例２]　[解]　f(x)＝ ３sinxcosx－cosxsin π２＋x( ) －１２ ＝ ３sinxcosx－cos２x－１２ ＝ ３２sin２x－ １ ２cos２x－１ ＝sin ２x－π６( )－１． (１)T＝２π２＝π ,故f(x)的最小正周期为π． (２)因为０≤x≤π２ , 所以－π６≤２x－ π ６≤ ５π ６． 所以当２x－π６＝ π ２ ,即x＝π３ 时,f(x)有最大值０, 当２x－π６＝－ π ６ ,即x＝０时,f(x)有最小值－３２． [例３]　[解]　画出图形如图所示: 设 ∠AOB＝θ θ∈ ０,π２( )( ) ,则 AB＝asinθ,OA ＝ acosθ．设矩形ABCD 的面积为S,则S＝２OA􀅰AB, ∴S＝２acosθ􀅰asinθ＝a２sin２θ． 又∵θ∈ ０,π２( ) ,∴２θ∈(０,π),当２θ＝ π ２ ,即θ＝ π４ 时, Smax＝a２,此时A,D 距离O 点都为 ２ ２a． 变式训练 １．解 析:原 式 ＝ １sin１０°－ ３ cos１０°＝ cos１０°－ ３sin１０° sin１０°cos１０° ＝２ (sin３０°cos１０°－cos３０°sin１０°) １ ２sin２０° ＝４sin２０°sin２０°＝４ 答案:４ ２．解:(１)∵f(π４ )＝１,∴sin２ π４＋asin π ４cos π ４－cos ２ π ４ ＝１,解得a＝２． ∴f(x)＝sin２x＋２sinxcosx－cos２x＝sin２x－ cos２x＝ ２sin(２x－π４ )． 当２x－π４＝２kπ－ π ２ (k∈Z), 即x＝kπ－π８ (k∈Z)时,sin(２x－ π４ )有最小值－１,则 f(x)的最小值为－ ２． (２)令２kπ－π２≤２x－ π ４≤２kπ＋ π ２ (k∈Z), 整理得kx－π８≤x≤kπ＋ ３π ８ (k∈Z)． 又x∈[０,π２ ],∴０≤x≤３π８． ∴当x∈[０,π２ ]时,f(x)的单调递增区间是[０,３π８ ]． ３．解析:根据题图②可知,动点A~I将圆周九等分,所以 ∠AOB＝３６０°９ ＝４０° ,所以∠AOC＝α＝８０°． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３４􀅰 参考答案 　　　　５．５．２　简单的三角恒等变换 　　　　　第１课时　简单的三角恒等变换(一) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解学生推导半角公式、积化和差、和差化积的过程 ２．能利用公式进行三角恒等变换、求值 通过三角恒等变换公式的学习,提升 数学抽象和数学逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全 角”的区别吗? 半角、全角主要是针对标点符 号来说的,全角标点占两个字节,半角占一个 字节,但不管是半角还是全角,汉字都要占两 个字节．事实上,汉字字符规定了全角的英文 字符、图形符号和特殊字符都是全角字符,而 通常的 英 文 字 母、数 字 键、符 号 键 都 是 半 角 字符． [问题]　任意角中是否也有“全角”与“半角” 之分,二者有何数量关系? [知识梳理] [知识点]　半角公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (１)公式 降幂公式 sin２α２＝　　　　 cos２α２＝　　　　 tan２α２＝　　　　 (２)本质: ①半角公式的正弦、余弦公式实际上是由 二倍角公式变形得到的． ②半角公式给出了求α２ 的正弦、余弦、正切 的另一种方式,即只需知道cosα的值及相 应α 的 条 件,便 可 求 出 sinα２ ,cosα２ , tanα２． (３)应用:①求值;②化简;③证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．半角公式中的符号是如何确定的? ２．半角公式对α∈R都成立吗? 为什么? ３．sinθ＋sinφ＝２sin θ＋φ ２ cos θ－φ ２ 除了课本上 的证明方法,还有什么其它的证明方法吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１２􀅰 第五章　三角函数 [预习自测] １．若cos２θ＝－１３ ,则１－tan ２θ １＋tan２θ ＝ (　　) A．１３　　　　　　B． １ ２ C．－１３ D．－ １ ２ ２．sinα＝ ５５ ,cosα＝２ ５５ ,则tanα２ 等于 (　　) A．２－ ５ B．２＋ ５ C．５－２ D．±(５－２) ３．已知sinα＝－８１７ ,且π＜α＜３２π ,则sinα２ ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　应用半角公式求值 [例１]已知sinα＝－４５ ,π＜α＜３π２ ,求sinα２ ,cos α ２ ,tanα２ 的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　直接利用半角公式求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用半角公式求值的思路 (１)看角:若已知三角函数式中的角是待求 三角函数式中角的两倍,则求解时常常 借助半角公式求解． (２)明范围:由于半角公式求值常涉及符号 问题,因此求解时务必依据角的范围, 求出相应半角的范围． (３)选公式:涉及半角公式的正切值时,常 用tanα２＝ sinα １＋cosα＝ １－cosα sinα ,其优点 是计算时可避免因开方带来的求角的 范围问题;涉及半角公式的正、余弦值 时,常先利用sin２α２＝ １－cosα ２ ,cos２α２ ＝１＋cosα２ 计算． (４)下结论:结合(２)求值． 􀳀[变式训练] １．(１)已知sinθ＝３５ ,５π ２＜θ＜３π ,那么tanθ２ ＋cosθ２ 的值为 (　　) A．１０１０－３　　　　　　B．３－ １０ １０ C．－３－ １０１０ D．３＋ １０ １０ (２)已知cosα＝－３５ ,α∈(π,３π２ ),则tanα２ ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１２􀅰 数学􀅰必修第一册 　　　三角函数式的化简 [例２]化简: (１＋sinα＋cosα)(sinα２－cos α ２ ) ２＋２cosα (１８０°＜α ＜３６０°)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　化倍角为单角,统一角,α＝２ ×α２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．化简问题中的“三变” (１)变角:三角变换时通常先寻找式子中各 角之间的联系,通过拆、凑等手段消除 角之间的差异,合理选择联系它们的 公式． (２)变名:观察三角函数种类的差异,尽量 统一函数的名称,如统一为弦或统一 为切． (３)变式:观察式子的结构形式的差异,选 择适当的变形途径．如升幂、降幂、配 方、开方等． ２．化简的要求 (１)能求出值的应求出值; (２)尽量使三角函数种数最少; (３)尽量使项数最少; (４)尽量使分母不含三角函数; (５)尽量使被开方数不含三角函数． ３．化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降 幂或升幂等． 􀳀[变式训练] ２．化简: １＋sinα １＋cosα－１－cosα ＋ １－sinα １＋cosα＋１－cosα , (π＜α＜３π２ )． 　　　三角恒等式的证明 [例３]证明:tan３θ２－tan θ ２＝ ２sinθ cosθ＋cos２θ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　在要证明的题目中,既有θ２ , θ和２θ,还有３θ２ ,有切还有弦,可从消除恒 等式左、右两边的差异入手,将右边的角 θ,２θ配凑成３θ２ ,θ ２ 的形式,注意到: θ＝３θ２－ θ ２ ,２θ＝３θ２＋ θ ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１２􀅰 第五章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)证明三角恒等式的实质是消除等式两 边的差 异,有 目 的 的 化 繁 为 筒、左 右 归一． (２)三角恒等式的证明主要有两种类型:绝 对恒等式与条件恒等式． ①证明绝对恒等式要根据等式两边的 特征,化繁为简,左右归一,通过三角恒 等式变换,使等式的两边化异为同． ②条件恒等式的证明则要认真观察,比 较已知条件与求证等式之间的联系,选 择适当途径．常用代入法、消元法、两头 凑等方法． 􀳀[变式训练] ３．求证:tan α＋π４ æ è ç ö ø ÷＋tan α－π４ æ è ç ö ø ÷＝２tan２α． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知α∈ －π２ ,０ æ è ç ö ø ÷,cosα＝４５ ,则tanα２＝ (　　) A．３　　　　　　　　B．－３ C．１３ D．－ １ ３ ２．sin２０°􀅰cos７０°＋sin１０°􀅰sin５０°的值为 (　　) A．－１４ B． １ ４ C．１２ D．－ １ ２ ３．已知α－β＝ ２π ３ ,且cosα＋cosβ＝ １ ３ ,则 cos(α＋β)等于　　　　． ４．已知sin π６＋α æ è ç ö ø ÷＝２３ ,则cos２ π６－ α ２ æ è ç ö ø ÷＝　　 　　． ５．已知tanθ＝１３ ,求 ２cos２θ２－sinθ－１ ２sinθ＋π４ æ è ç ö ø ÷ 的值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１２􀅰 数学􀅰必修第一册