5.5.1 第3课时 两角和与差的正张、余弦、正切公式(二)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

数学·必修第一册 随堂。步步夯实 1.sin20°cos10°-cos160°sinl0°= 5.化简下列各式： A.③ c.-2 0.2 (1)sin()+2sin(-cos() 2 2.√3sin15°+sin75°= ( (2)sin(2a2cos(a sin a A号 B.1 C.2 3.sin47°-sin17cos30 cos 179 4.已知A,B,C是△ABC的三个内角，sinA= 5,eosB=-2,则sinC ©温蓉提污 学习至此，请完成配套训练 第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二） 课程标准 素养解读 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切根据两个角和与差的正 公式 切公式的推导及应用， 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明 培养学生数学抽象及数 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用 学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 1.如何化简1an(受-)呢？ [知识点] 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 2.你能根据同角三角函数基本关系式tana= 两角和 a…3,a+g s,从两角和的正弦、余弦公式出发，推 的正切 T ian(a十3) k+受，k∈7 cos a 两角菊 a…3a一≠ 导出用任意角a,3的正切值表示tan(a十) tan(a一3》 的正切 T km十芝，kEZ 的公式吗？ ?思考1.两角和与差的正切公式中为什么限 制a,8.a十B.a一B都不等于k元十受(k∈Z)? ·208· 第五章三角函数 2.你能借助两角和与差的正、余弦公式推导 [预习自测] tan(a十)与tan(a-B)吗？ 1.已知tan(a十3)=3，tan(a一3)=5，则tan2a 3.对于两角和的正切公式你能写出它的几种 的值为 常见变形吗？ A.- C.g D.- 1 8 2.B-an308 1+√3tan30 3.已知tana= 则am( 4 一a)等于 课堂。互动学案 题型一】 三角公式的直接应用 ⊙[变式训练] [例1]已知cosa= ,a∈(0，r),tan(a-B) 4 1.求值tan15°= 题型二 三角公式的逆角及变形用 2 [例2]1已知cos(a-B)=2cos(a+)= 求(1)tan3的值； (2)tan(2a-B). 子求tan的值， [思路点拨](1)g=a-(a-B),(2)2a-B (2)tan20°+tan40°+√3tan20°tan40°. =a+(a-3) 思路点拔](I)考虑C+与C(。-m的联 系：(2)注意考虑T+m的变形， 规律方法 解给值（式）求值的策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表 规律方法 示为两个“已知角”的和或差的形式 对于和、差角的正弦、余弦、正切公式除了 (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于 正用、逆用外，还要注意利用它们的变形公 “所求角”与“已知角”的和或差的关系， 式来解题.对公式的变形应用既要考虑到 然后应用诱导公式把“所求角”变成“已 不同公式之间的联系，也要考虑公式自身 知角” 的变形应用. 209· 数学·必修第一册 ⊙[变式训练] 规律方法 2化横：m: 给值求角问题的步骤及选取函数的原则 (1)给值求角问题的步骤. 2π 9 ①求所求角的某个三角函数值. ②确定所求角的范围（范围过大或过小，会 使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找 出角。 (2)选取函数的原则. ①已知正切函数值，选正切函数 ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数， 若角的范图是(0，受)，选正弦或余弦函数 均可：若角的范围是(0，π)，选余弦函数：若 题型三 给值求角（值） [例3](2020·洛阳高一检测)已知tan(T+ 角的范国是（一受·受），选正弦函数。 给值求值问题的两种变换 a)=2,tan(a-)=2,a∈(0，F),ge( (1)式子的变换：分析已知式子的结构特 0 点，结合两角和与差的三角函数公式，通过 变形，建立与待求式子间的联系以实观 (1)求tana的值； 求值 (2)求2a-3的值. (2)角的变换：首先从已知角间的关系入 [思路点拨](1)利用两角和的正切公式 手，分析已知角与待求角间的关系，如用α 求解； =B-(B-a)、2a=(a十β)+(a-3)等关系， (2)由2a一B-a十(a一)，用两角和的正切公 把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地 式求值，再根据角的范围确定角的大小. 建立等量关系，从而求值. ◇[变式训练] 3.已知tana=3tan月-7且a,e(0,),求 2a+B的值. ·210· 第五章三角函数 题型四和（差）角的正切公式的综合应用 规律方法 [例4]已知△ABC中，tanB+tanC+ 三角形中的问题，A十B十C=π肯定要用， 3tan Btan C=3,3tan A++3tan B= 有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角 tan Atan B-1,试判断△ABC的形状. 之间的关系减少角. [思路点拔]tan（A十B) ◇[变式训练] AA会anA+anB=im(A+ 4.已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角，求 证：tanA十tanB+tanC=tan Atan Btan C. B)(1-tan Atan B). 随堂⊙步步夯实 1.tan a=2,tan B=3,tan(a-B)=() c. 5.已知2cos(x-a)-3sim(r+a】 -8 A-7B D.- 2.若tana=3tan(a十8)=分，则tanB aE(0.i). (1)求tana的值： ( A.月 B吉 c号 n号 2)若e0,引且o(任+=5，求 a十的值. 3.在△ABC中，tanA十tanB+3=√3 tan Atan B, 则角C等于 A晋 B等 c吾 D. 4求位：出 ;tan70°+ ©温馨提 学习至此，请完成配套训练 tan50°-W3tan50°tan70°= ·211·＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα ＝ １０１０ × ２ ５ ５ ＋ ３ １０ １０ × ５ ５＝ ２ ２． 因为β为锐角,所以β＝ π ４． ３．解析:因为０＜α＜π４＜β＜ ３π ４ , 所以３π ４＜ ３π ４＋α＜π ,－π２＜ π ４－β＜０ , 又sin(３π４＋α )＝５１３ ,cos(π４－β )＝３５ , 所以cos(３π４＋α )＝－ １－sin２(３π４＋α )＝－１２１３ , sin(π４－β )＝－ １－cos２(π４－α )＝－４５ , sin(α＋β)＝－cos[ π ２＋ (α＋β)] ＝－cos[(３π４＋α )－(π４－β )] ＝－cos(３π４＋α )cos(π４－β )－sin(３π４＋α )sin(π４－β ) ＝－(－１２１３ )×３５－ ５ １３× (－４５ )＝５６６５． ４．BC　 [由 题 意 f(x)＝ ３sin３x＋cos３x－２＝ ２ ３ ２sin３x＋ １ ２cos３x æ è ç ö ø ÷－２＝２sin ３x＋π６( ) －２,所 以 f(x)的最小正周期T＝２π３ ,A错误; 当x＝π９ 时,sin ３×π９＋ π ６( )＝sin π ２＝１ ,所以f(x)的 图象关于直线x＝π９ 对称,B正确; 当x＝５π１８ 时,sin ３×５π１８＋ π ６( ) ＝sinπ＝０,所以f(x)的 图象关于点 ５π １８ ,－２( ) 对称,C正确; 当x∈ ０,π４[ ] 时,３x＋ π ６ ∈ π ６ ,１１π １２[ ] ,所 以f(x)在 ０,π４[ ] 上不具有单调性,D错误．] 随堂步步夯实 １．D　２．C　　３．１２　４． ４ ３－３ １０ ５．解:(１)原式＝sinxcosπ３＋cosxsin π ３＋２sinxcos π ３－ ２cosxsinπ３－ ３cos ２π ３cosx－ ３sin ２π ３sinx ＝１２sinx＋ ３ ２cosx＋sinx－３cosx＋ ３ ２cosx－ ３ ２sinx ＝(１２＋１－ ３ ２ )sinx＋(３２－ ３＋ ３ ２ )cosx＝０． (２)原式＝sin [(α＋β)＋α]－２cos(α＋β)sinα sinα ＝sin (α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα sinα ＝sin [(α＋β)－α] sinα ＝ sinβ sinα． 第３课时　两角和与差的正弦、 余弦、正切公式(二) 课前预习学案 情境引入 １．提示:因为tan π２ 的值不存在,不能利用公式Tα－β,所以 改用诱导公式来解． tan(π２－β )＝ sin(π２－β ) cos(π２－β ) ＝cosβsinβ ． ２．提示:当cos(α＋β)≠０时, tan(α＋β)＝ sin(α＋β) cos(α＋β) ＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ ． 当cosαcosβ≠０时,分子分母同除以cosαcosβ,得tan(α＋β) ＝tanα＋tanβ１－tanαtanβ ． 知识梳理 知识点、tanα＋tanβ １－tanαtanβ 　tanα－tanβ１＋tanαtanβ [思考] １．提示:这是由正切函数的定义域决定的． ２．提示:tan(α＋β)＝ sin(α＋β) cos(α＋β) ＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ ＝ sinα cosα＋ sinβ cosβ １－sinαsinβcosαcosβ ＝tanα＋tanβ１－tanαtanβ ． 类似地可以推导tan(α－β),也可用－β代替tan(α＋β)中 的β,tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]＝ tanα＋tan(－β) １－tanαtan(－β) ＝tanα－tanβ１＋tanαtanβ ． ３．提示:它的常见变形主要有以下四种: (１)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(１－tanαtanβ); (２)１－tanαtanβ＝ tanα＋tanβ tan(α＋β) ; (３)tanα＋tanβ＋tanαtanβ􀅰tan(α＋β)＝tan(α＋β); (４)tanαtanβ＝１－ tanα＋tanβ tan(α＋β) ． 预习自测 １．A　２．３３　３．７ 课堂互动学案 [例１]　[解]　∵cosα＝４５＞０ ,α∈(０,π),∴sinα＞０． ∴sinα＝ １－cos２α＝ １－(４５ )２＝３５ , (１)tanα＝sinαcosα＝ ３ ５ ４ ５ ＝３４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３４􀅰 数学􀅰必修第一册 ∴tanβ＝tan[α－ (α－β)]＝ tanα－tan(α－β) １＋tanα􀅰tan(α－β) ＝ ３ ４－ １ ２ １＋３４× １ ２ ＝２１１． (２)tanα＝３４ , tan(２α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝ tanα＋tan (α－β) １－tanα􀅰tan(α－β) ＝ ３ ４＋ １ ２ １－３４× １ ２ ＝２． [例２]　[解](１)由已知得 cosαcosβ＋sinαsinβ＝ １ ２ ,　　① cosαcosβ－sinαsinβ＝ １ ４．　　② ì î í ïï ï ①－②得sinαsinβ＝ １ ８ , ①＋②得cosαcosβ＝ ３ ８． ∴tanαtanβ＝ sinαsinβ cosαcosβ ＝１３． (２)tan(２０°＋４０°)＝tan２０°＋tan４０°１－tan２０°tan４０°＝tan６０°＝ ３ , 去分母得tan２０°＋tan４０°＝ ３－ ３tan２０°tan４０°． ∴tan２０°＋tan４０°＋ ３tan２０°tan４０°＝ ３． [例３]　[解]　(１)tan(π４＋α )＝１＋tanα１－tanα＝２ , 得tanα＝１３． (２)因为tan(２α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝tanα＋tan (α－β) １－tanαtan(α－β) ＝１, 又α∈(０,π４ ),β∈(－ π ４ ,０), 得２α－β∈(０, ３π ４ ), 所以２α－β＝ π ４． [例４]　[解]　∵ ３tanA＋ ３tanB＝tanAtanB－１, ∴ ３(tanA＋tanB)＝tanAtanB－１, ∴tanA＋tanB１－tanAtanB＝－ ３ ３． ∴tan(A＋B)＝－ ３３． 又∵０＜A＋B＜π,∴A＋B＝５π６ ,∴C＝π６ , ∵tanB＋tanC＋ ３tanBtanC＝ ３,tanC＝ ３３ , ∴tanB＋ ３３＋tanB＝ ３ ,tanB＝ ３３ , ∴B＝π６ ,∴A＝２π３ , ∴△ABC为等腰钝角三角形． 变式训练 １．解析:tan１５°＝tan(６０°－４５°)＝ tan６０°－tan４５°１＋tan６０°tan４５°＝ ３－１ １＋ ３ ＝２－ ３． 答案:２－ ３ ２．解:(１)tan７４°＋tan７６°１－tan７４°tan７６° ＝tan(７４°＋７６°)＝tan１５０°＝－ ３３． (２)tan π９ ＋tan ２π ９ ＋ ３tan π ９tan ２π ９ ＝tan (π ９ ＋ ２π ９ )(１ －tanπ９tan ２π ９ )＋ ３tan π９tan ２π ９ ＝ ３ (１－tanπ９tan ２π ９ )＋ ３tanπ９tan ２π ９＝ ３． ３．解:∵tanα＝１３ ,tanβ＝ １ ７ 且α,β∈(０, π ２ ), ∴tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ １ ３＋ １ ７ １－１３× １ ７ ＝１２＞０ , ∴α＋β∈(０, π ２ ),２α＋β∈(０,π), ∴tan(２α＋β)＝tan[(α＋β)＋α]＝ tan(α＋β)＋tanα １－tan(α＋β)tanα ＝ １ ２＋ １ ３ １－１２× １ ３ ＝１, ∴２α＋β＝ π ４． ４．证明:∵A＋B＋C＝π,∴A＋B＝π－C． ∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB１－tanAtanB＝－tanC． ∴tanA＋tanB＝－tanC＋tanAtanBtanC． 即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC． 随堂步步夯实 １．D　２．A　３．A　　４．３　－ ３ ５．解:(１)∵ ６cosα－π２( )＋sinα＋ π ２( ) ２cos(π－α)－３sin(π＋α) ＝－８ , ∴ ６sinα＋cosα－２cosα＋３sinα＝ ６tanα＋１ －２＋３tanα＝ －８ ,解 得 tanα ＝１２． (２)∵β∈ ０, π ２( ) ,∴ π ４＜ π ４＋β＜ ３π ４． ∵cos π４＋β( )＝ ５ ５ , ∴sin π４＋β( )＝ ２ ５ ５ , ∴cosβ＝cos π ４＋β( )－ π ４[ ] ＝ ５ ５ × ２ ２ ＋ ２ ５ ５ × ２ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３４􀅰 参考答案 ＝３ １０１０ , ∴sinβ＝ １０ １０ ,则tanβ＝ １ ３ , ∴tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ １ ２＋ １ ３ １－１２× １ ３ ＝１, 又∵α＋β∈ ０, ３π ４( ) ,∴α＋β＝ π ４． 第４课时　二倍角的正弦、 余弦、正切公式 课前预习学案 情境引入 　提示:sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝２sinαcosα,即 sin２α＝２sinαcosα． cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαsinα＝cos２α－sin２α,即 cos２α＝cos２α－sin２α． tan(α＋α)＝ tanα＋tanα１－tanαtanα ＝ ２tanα １－tan２α ,即 tan ２α ＝ ２tanα １－tan２α ． 知识梳理 知识点、２sinαcosα　cos２α－sin２α　２cos２α－１　１－２sin２α 　 ２tanα １－tan２α [思考] １．提示:sin２α,cos２α中α为任意角,tan２α中,２α≠kπ＋π２ 即a≠kπ２＋ π ４ ,k∈Z． ２．提示:角α不一定是具体角,也可为角的关系式,二倍角 只是相对的,如４α是２α的二倍,α是α２ 的二倍,２α＋ π３ 是α＋π６ 的二倍． ３．提示:由cos２α＝１－２sin２α得sin２α＝１－cos２α２ ; 由cos２α＝２cos２α－１得cos２α＝１＋cos２α２ ． ４．提示:三式的结果分别是sinα,cos４α３ ,tanα２． 二倍角中 的“二倍”是相对的,只要公式中两个角是二倍的关系即 可,并不限定为α,２α． 预习自测 １．B　２．C　３．－３４ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)原式＝ sin π５cos π ５cos ２π ５ sin π５ ＝ １ ２sin ２π ５cos ２π ５ sin π５ ＝ １ ４sin ４π ５ sin π５ ＝ sin π５ ４sin π５ ＝１４． (２)原式＝－１２ ２cos ２ π ８－１( )＝－ １ ２cos π ４＝－ ２ ４． (３)原式＝ tan２ π１２－１ tan π１２ ＝ －２ １－tan２ π１２( ) ２tan π１２ ＝－２􀅰 １ tan ２×π１２( ) ＝ －２ tan π６ ＝－２ ３． [例２]　[解]　sin２x－２sin ２x １＋tanx ＝２sinx (cosx－sinx)cosx cosx＋sinx ＝sin２x (cosx－sinx) cosx＋sinx ＝sin２x１－tanx１＋tanx ＝sin２xtan π４－x( ) ＝cos π２－２x( )tan π ４－x( ) ＝ ２cos２ π４－x( )－１[ ]tan π ４－x( ) , ∵５π４＜x＜ ７π ４ , ∴－３π２＜ π ４－x＜－π． 又∵cos π４－x( )＝－ ４ ５ , ∴sin π４－x( )＝ ３ ５ ,tan π４－x( )＝－ ３ ４． ∴原式＝ ２×１６２５－１( )× － ３ ４( )＝－ ２１ １００． [例 ３]　 [解]　 (１)原 式 ＝ (１＋tanθ)－(１－tanθ) (１－tanθ)(１＋tanθ) ＝ ２tanθ １－tan２θ ＝tan２θ． (２)原式＝１＋２sin２αcos２α＋２cos ２２α－１ １＋２sin２αcos２α＋２sin２２α－１ ＝２cos ２２α＋２cos２αsin２α ２sin２２α＋２sin２αcos２α ＝２cos２α (cos２α＋sin２α) ２sin２α(sin２α＋cos２α) ＝ １tan２α． 变式训练 １．解析:(１)原式＝ ２sin π１２cos π １２ ２ ＝ sinπ６ ２ ＝ １ ４． (２)原式＝tan(２×１５０°)＝tan３００°＝tan(３６０°－６０°)＝ －tan６０°＝－ ３． (３)由３cos２α＝sin(π４－α ), 可得３cos２α＝ ２２ (cosα－sinα), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３４􀅰 数学􀅰必修第一册