5.4.3 正切函数的性质与图象-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

所以函数f(x)的单调递增区间为 kπ＋π６ ,kπ＋２π３[ ](k ∈Z)． 令２x＋π６＝kπ ,k∈Z,解得x＝kπ２－ π １２ ,k∈Z,所以函数 f(x)图象的对称中心为 kπ２－ π １２ ,１( )(k∈Z)． (２)因为f(x)＝－sin ２x＋π６( ) ＋１,g(x)＝－f(x),所 以函数g(x)＝sin ２x＋π６( )－１． 若x∈ ０,π２[ ] ,则２x＋ π ６∈ π ６ ,７π ６[ ] ,当２x＋ π ６＝ ７π ６ 时,函数g(x)取最小值－３２ ; 当２x＋π６＝ π ２ 时,函数g(x)取最大值０．所以函数g(x) 在 ０,π２[ ] 上的值域为 － ３ ２ ,０[ ]． 随堂步步夯实 １．B　２．C　３．C　 ４．[２３π＋２kπ ,５ ３π＋２kπ ](k∈Z) ５．解:(１)因 为 函 数f(x)＝ １２sin ２x＋ π ４( ) ,x∈R,所 以 f(x)的最小正周期为T＝２π２＝π． (２)因为f(x)＝１２sin ２x＋ π ４( ) ,x∈R, 由２x＋π４＝ π ２＋２kπ ,k∈Z,可得x＝π８＋kπ ,k∈Z． 所以当x＝π８＋kπ ,k∈Z时,函数f(x)有最大值１２． (３)由－π２＋２kπ≤２x＋ π ４ ≤ π ２＋２kπ ,k∈Z,可得－３π８ ＋kπ≤x≤π８＋kπ ,k∈Z,又x∈ －π２ ,π ２[ ] , 所 以 函 数 f (x)在 －π２ ,π ２[ ] 的 单 调 递 增 区 间 为 －３π８ ,π ８[ ]． ５．４．３　正切函数的性质与图象 课前预习学案 情境引入 １．提示:还可以利用单位圆中的正切线作正切函数y＝tan x的图象． ２．提示:描点法作y＝tanx在x∈[－ π２ ,π ２ ]上的草图描 出三点(－π４ ,－１),(０,０),(π４ ,１),两线x＝±π２． 知识梳理 知识点、π　(－π２＋kπ ,π ２＋kπ )(k∈Z)　(kπ２ ,０)(k∈Z) [思考] １．提示:y＝tanx是中心对称图形,对称中心为(kπ２ ,０)(k∈ Z),不是轴对称图形． ２．提示:不是．正切函数在每一个单调区间(－ π２＋kπ ,π ２ ＋kπ)(k∈Z)内都是增函数．但在整个定义域内不是,比 如１８０°＞３０°,但tan１８０°＝０＜tan３０°＝ ３３． ３．提示:画正切函数图象常用三点两线法:“三点”是指(－ π ４ ,－１),(０,０),(π４ ,１),“两线”是 指x＝－ π２ 和x＝ π ２ ,大致画出正切函数在(－ π２ ,π ２ )上的简图后向左、 向右扩展即得正切曲线． 预习自测 １．C　２．A ３．kπ－π３ ,kπ＋π３[ ] ,k∈Z 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由题意得 tanx＋１≥０ １－tanx＞０{ ,即－１≤tanx ＜１． 在 －π２ ,π ２( ) 内,满 足 上 述 不 等 式 的 x 的 取 值 范 围 是 －π４ ,π ４[ )． 又y＝tanx的周期为π, 所以－π４＋kπ≤x＜ π ４＋kπ ,k∈Z． 所以函数的定义域为 －π４＋kπ ,π ４＋kπ[ ) ,k∈Z． (２)令z＝２x＋π６ , ∵x∈ －５π２４ ,π １２( ] ,∴－ π ４＜z≤ π ３． ∵y＝tanz在 －π４ ,π ３( ] 上是增函数, ∴tan －π４( ) ＜y≤tan π ３ ,即－１＜y≤ ３． ∴函数的值域为(－１,３]． [例２]　[解]　(１)y＝tan －１２x＋ π ４( ) ＝－tan １２x－ π ４( ) , 由kπ－π２＜ １ ２x－ π ４＜kπ＋ π ２ ,k∈Z, 得２kπ－π２＜x＜２kπ＋ ３π ２ ,k∈Z, 所以 函 数 y＝tan －１２x＋ π ４( ) 的 单 调 递 减 区 间 是 ２kπ－π２ ,２kπ＋３２π( ) ,k∈Z． (２)tan２＝tan(２－π),tan３＝tan(３－π)． 因为 π ２＜２＜π ,所以－π２＜２－π＜０． 因为 π ２＜３＜π ,所以－π２＜３－π＜０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２４􀅰 数学􀅰必修第一册 显然－π２＜２－π＜３－π＜１＜ π ２ , 又y＝tanx在 －π２ ,π ２( ) 内是增函数, 所以tan(２－π)＜tan(３－π)＜tan１． 即tan２＜tan３＜tan１． [例３]　[解]　(１)方法一: ∵tan ２x＋π３＋π( )＝tan ２x＋ π ３( ) , 即tan ２ x＋π２( )＋ π ３[ ]＝tan ２x＋ π ３( ) ∴f(x)＝tan ２x＋π３( ) 的周期是 π ２． 方法二:∵y＝tanx的周期是π． ∴f(x)＝tan ２x＋π３( ) 的周期是 π ２． (２)函数的定义域是 x x≠π２＋kπ ,k∈Z}{ , 又∵sin(－x)＋tan(－x)＝－(sinx＋tanx), ∴函数y＝sinx＋tanx是奇函数． 变式训练 １．解析:(１)由题意得 x≠kπ＋π２ (k∈Z), tanx＞０, { 即 x≠kπ＋π２ (k∈Z), kπ＜x＜kπ＋π２ (k∈Z), ì î í ïï ï 故定义域为(kπ,kπ＋π２ )(k∈Z)． (２)y＝(tanx－１)２＋２,由于tanx∈R,所以当tanx＝１ 时,函数取最小值２． 答案:(１)(kπ,kπ＋π２ )(k∈Z)　(２)２ ２．解:y＝３tan π６－ x ４( )＝－３tan x ４－ π ６( ) , 由kπ－π２＜ x ４－ π ６＜kπ＋ π ２ ,k∈Z, 得４kπ－４π３＜x＜４kπ＋ ８π ３ ,k∈Z． ∴y＝３tan π６－ x ４( ) 的单调递减区间为 ４kπ－４π３ ,４kπ＋８π３( ) ,k∈Z． ３．解:y＝tan(ωx＋π４ )(ω＜０)的周期为 x|ω|＝ π ２ ,解得ω＝ ２或ω＝－２． 因为ω＜０,所以ω＝－２, 故y＝tan(－２x＋π４ )＝－tan(２x－π４ )． 由２x－π４≠kπ＋ π ２ (k∈Z),解得x≠kπ２＋ ３π ８ (k∈Z), 所以该函数 的 定 义 域 为{x|x≠kπ２ ＋ ３π ８ ,k∈Z},值 域 为 R． 由于该函数的定义域不关于原点对称,所以该函数既不 是奇函数也不是偶函数． 随堂步步夯实 １．D　２．A　　３．C　 ４． －５π６＋２kπ ,π ３＋２kπ[ ] ,k∈Z ５．解:由 π３x＋ π ４≠kπ＋ π ２ ,k∈Z,得x≠３k＋３４ ,k∈Z, 故定义域为 x x≠３k＋３４ ,k∈Z{ }． T＝ π|ω|＝ π π ３ ＝３． 由－π２＋kπ＜ π ３x＋ π ４＜ π ２＋kπ ,k∈Z, 得－９４＋３k＜x＜ ３ ４＋３k ,k∈Z, 故增区间为 －９４＋３k ,３ ４＋３k( )(k∈Z), 由 π ３x＋ π ４＝ kπ ２ 得,x＝３２k－ ３ ４ ,k∈Z, 所以对称中心为 ３ ２k－ ３ ４ ,０( ) ,(k∈Z)． ５．５　三角恒等变换 ５．５．１　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第１课时　两角差的余弦公式 课前预习学案 情境引入 　提示:(１)不成立．因为cos(π－α)＝－cosα,cosπ－cosα ＝－１－cosα,若cos(π－α)＝cosπ－cosα,则－１＝０矛 盾,故不成立． (２)因为cos(π２－α )＝sinα,cos π２cosα＋sin π ２sinα＝ sinα． 所以cos(π２－α )＝cos π２ cosα＋sin π ２sinα 成立． 知识梳理 知识点、(１)cosαcosβ＋sinαsinβ　任意角 [思考] １．提示:差角的余弦简记:余余正正,符号反． ２．提示:cos(π２－α )＝cos π２cosα＋sin π ２sinα＝０＋sinα ＝sinα． ３．提示:一般情况下不相等．但在特殊情况下也有相等的 时候．例如:当α＝０°,β＝６０°时,cos(０°－６０°)＝cos０°－ cos６０°． 预习自测 １．C　２．A　３．１２ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)原式＝cos７５°cos１５°＋sin７５°sin１５°＝ cos(７５°－１５°)＝cos６０°＝１２． (２)原式＝cos６０°cos１５°＋sin６０°sin１５°＝cos４５°＝ ２２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２４􀅰 参考答案 ５．已知函数f(x)＝１２sin２x＋ π ４ æ è ç ö ø ÷,x∈R． (１)求f(x)的最小正周期; (２)求f(x)的最大值和对应x的取值; (３)求 f(x)在 －π２ ,π ２ é ë êê ù û úú 上 的 单 调 递 增 区间． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５．４．３　正切函数的性质与图象 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能够借助单位圆中的正切线画出函数y＝tanx的图象 ２．掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性． 并能利用其性质解决相关问题 通过正切函数图象和性质的学习 培养学生数学直观想象和数学运 算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　孔子东游,见两小儿辩斗,问其故．一儿 曰:“日初出沧沧凉凉,及其日中如探汤,此不 为近者热而远者凉乎?”事实上,中午的气温较 早晨高,主要原因是早晨太阳斜射大地,中午 太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里, 物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热 量多,这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图象有什么联 系呢? １．仿照利用正弦线作正弦曲线的作法,你能作 出正切函数的图象吗? ２．你还有其它方法吗? [知识梳理] [知识点]　正切函数的图象与性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解析式 y＝tanx 图象 定义域 {x|x≠π２＋kπ ,k∈Z} 值域 R 最小 正周期 　　　 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间　　　　　　 上都是增函数 对称性 对称中心　　　　　　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７９１􀅰 第五章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．正切曲线是中心对称图形吗? 若是 对称中心是什么? 是轴对称图形吗? ２．正切函数在定义域上是单调函数吗? ３．如何画正切函数的简图? [预习自测] １．与函数y＝tan２x＋π４ æ è ç ö ø ÷的图象不相交的一 条直线是 (　　) A．x＝π２　B．y＝ π ２　C．x＝ π ８　D．y＝ π ８ ２．函数y＝tan(x＋π)是 (　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 ３．函 数 f (x)＝ ３－tan２x 的 定 义 域 是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　与正切函数有关的定义域、值域问题 [例１](１)求函数y＝ tanx＋１＋lg(１－tanx) 的定义域; (２)求函数y＝tan２x＋π６ æ è ç ö ø ÷,x∈ －５π２４ ,π １２ æ è ç ù û úú的 值域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)先列不等式组,然后借助 正切函数的图象与性质解不等式;(２)令z ＝２x＋π６ ,转化为求tanz的值域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时, 除了求函数定义域的一般要求外,还要 保证正切函数y＝tanx有意义,即x≠ π ２＋kπ ,k∈Z,而对于构建的三角不等 式,常利用三角函数的图象求解．解形如 tanx＞a的不等式的步骤: 作图象 作在(－ π２ ,π ２ )上的正切函数图象→ 求界点 ↓ 求在(－ π２ ,π ２ )上使tanx＝a成立的x值→ 求范围 ↓ 求在(－π２ ,π ２ )上使tanx＞a成立的x的范围→ 定义域 ↓ 据正切函数的周期性,写出定义域→ ２．求正切函数的值域的方法 ①结合图象． ②利用单调性． ③在复杂情况下,利用换元法,设t＝ωx ＋φ,再求解． 􀳀[变式训练] １．(１)函数y＝ln(tanx)的定义域　　　　; (２)函数y＝tan２x－２tanx＋３的最小值 为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８９１􀅰 数学􀅰必修第一册 　　　与正切函数有关的函数单调性问题 [例２](１)求函数y＝tan －１２x＋ π ４ æ è ç ö ø ÷的单调 区间; (２)比较tan１、tan２、tan３的大小． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　解答(１)时先将函数化为y ＝－tan１２x－ π ４ æ è ç ö ø ÷,再把１ ２x－ π ４ 整体代入 －π２＋kπ ,π ２＋kπ æ è ç ö ø ÷,k∈Z这个区间内,解 出x便可．解答(２)的关键是利用tan２＝tan (２－π),tan３＝tan(３－π),把角化归到同 一 单 调 区 间 内,再 利 用 y＝tanx 在 －π２ ,π ２ æ è ç ö ø ÷上的单调性判断其大小关系． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A,ω,φ都是 常数)的单调区间的方法 (１)若ω＞０,由于y＝tanx在每一个单调 区间上都是增函数,故可用“整体代换” 的思想,令kπ－π２＜ωx＋φ＜kπ＋ π ２ ,k ∈Z,求得x的范围即可． (２)若ω＜０,可利用诱导公式先把y＝ Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx －φ)]＝－Atan(－ωx－φ),即把x的系 数化为正值,再利用“整体代换”的思想, 求得x的范围即可． ２．运用正切函数单调性比较大小的方法 (１)运用函数的周期性或诱导公式将角化 到同一单调区间内． (２)运用单调性比较大小关系． 􀳀[变式训练] ２．求函数y＝３tan π６－ x ４ æ è ç ö ø ÷的单调区间． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９９１􀅰 第五章　三角函数 　　　与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 [例３](１)求f(x)＝tan２x＋π３ æ è ç ö ø ÷的周期; (２)判断y＝sinx＋tanx的奇偶性． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)利用公式法或定义法求函 数的周期;(２)利用奇偶函数的定义判断函数 的奇偶性． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)一般地,函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b(A ≠０,ω＞０)的周期为T＝πω ,常常使用此公 式来求周期． (２)判断奇偶性一定要先求定义域,判断其 是否关于原点对称．若不对称则函数无奇 偶性,若对称,再判断f(－x)与f(x)间的 关系． 􀳀[变式训练] ３．已知函数y＝tan(ωx＋π４ )(ω＜０)的周期为 π ２ ,求该函数的定义域、值域．并判断函数的 奇偶性． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．下列说法正确的是 (　　) A．y＝tanx是增函数 B．y＝tanx在第一象限是增函数 C．y＝tanx在某一区间上是减函数 D．y＝tanx 在区间(kπ－π２ ,kπ＋π２ )(k∈ Z)上是增函数 ２．函数f(x)＝tanωx－π４ æ è ç ö ø ÷ 与函数g(x)＝ sin π４－２x æ è ç ö ø ÷的最小正周期相同,则ω＝ (　　) A．±１　　　　　　　B．１ C．±２ D．２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰００２􀅰 数学􀅰必修第一册 ３．关于函数y＝tan(２x－π３ ),下列说法正确的 是 (　　) A．是奇函数 B．在区间(０,π３ )上单调递减 C．(π６ ,０)为图象的一个对称中心 D．最小正周期为π ４．不等式－１≤tan １２x＋ π ６ æ è ç ö ø ÷≤ ３的解集是 　　　　． ５．求函数y＝tan π３x＋ π ４ æ è ç ö ø ÷的定义域、周期、单 调区间和对称中心． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５．５　三角恒等变换 ５．５．１　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第１课时　两角差的余弦公式 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．通过探索得到两角差的余弦公式、并能熟记公式,灵活 应用 ２．体会向量法在差角余弦公式推导过程中的作用 通过两角差的余弦公式的推导及 应用,提升逻辑推理和数学运算 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 回顾三角函数的诱导公式: (１)cos(π－α)＝cosπ－cosα能否成立? (２)cos(π２－α )＝cosπ２cosα＋sin π ２sinα 成 立吗? [知识梳理] [知识点]　两角差的余弦公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (１)公式:cos(α－β)＝　　　　　． ①简记符号:Cα－β． ②适用条件:公式中的角α,β都是　　　． (２)本质:两角差的余弦转化成减数角、被减数 角的正余弦计算． (３)应用:①化简,②求值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．公式的结构特征是怎样的? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１０２􀅰 第五章　三角函数