5.4.2 第2课时 正弦函数、余张函数的性质(二)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

５．判断下列函数的奇偶性: (１)f(x)＝cos(π２＋２x )cos(π＋x); (２)f(x)＝ １＋sinx＋ １－sinx． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　正弦函数、余弦函数的性质(二) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握y＝sinx,y＝cosx的最大值与最小值,并会求简单三角函数 的值域和最值 ２．掌握y＝sinx,y＝cosx的单调性,并能利用单调性比较大小 ３．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间 三角函数的性质是高考 必考内容,通过应用,提 升学生逻辑推理和数学 运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　生活中许多美好的事物 都有对称性,如漂亮的蝴蝶, 它停飞展翅就是一幅异常美 丽的对称图案． 数学中的对称美也比比皆是,如圆、等腰三角 形、正方形、球、圆柱、正方体等． 正弦函数、余弦函数的图象也很美,它们有怎 样的对称性? 除此之外还有哪些性质呢? [知识梳理] [知识点]　正、余弦函数的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 函 数 名 称 图 象 与 性 质性质分类 y＝sinx y＝cosx 相 同 处 定义域 R R 值域 [－１,１] [－１,１] 周期性 最小正周期为２π 最小正周期为２π 不 同 处 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在　　　　　　 上递增;在　　　 　　　　　上递减 在　　　　　　　 上递增;在　　　 　　　　 最值 x＝　　　　　 时,ymax＝１;x＝ 　 　 　 　 　 　 时,ymin＝－１ x＝　　　　　 时,ymax＝１; x＝　　　　　 时,ymin＝－１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３９１􀅰 第五章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．用正、余弦的周期性考查它们的单 调性和最值,你有何发现? ２．从图象的变化趋势来看,正弦、余弦函数的 最大值、最小值点分别处在什么位置? ３．正弦函数在[－π２ ,３π ２ ]上函数值的变化有什 么特点? 推广到整个定义域呢? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋４．余弦函数在[－π,π]上,函数值的变化有什 么特点? 推广到整个定义域呢? [预习自测] １．函数y＝２sin(x＋２)的最大值是 (　　) A．－２　　　　　　　B．２ C．２sin２ D．－２sin２ ２．下列函数中,周期为π,且在区间 ０,π２ é ë êê ù û úú 上 单调递减的是 (　　) A．y＝sinx＋π３ æ è ç ö ø ÷ B．y＝cos１２x C．y＝sin２x D．y＝cos２x ３．函数y＝cosx０≤x≤π３ æ è ç ö ø ÷的值域为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　正、余弦函数的单调性 [例１](１)求函数y＝sin(１２x＋ π ３ )x∈R的单 调区间; (２)求函数y＝２sin(π４－x )的单调递增 区间． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　把“ωx＋φ”看作一个整体, 代入基本三角函数的单调区间． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)求y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０)的递 增区间由－π２＋２kπ≤ωx＋φ≤ π ２＋２kπ (x ∈Z)解出x的范围即可,求其递减区间由 π ２＋２kπ≤ωx＋φ≤ ３π ２＋２kπ (k∈Z)解出x 的范围即可． (２)对于y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＜０), 先将函数化为y＝－Asin(－ωx－φ),然后 由π ２＋２kπ≤－ωx－φ≤ ３π ２＋２kπ (k∈Z)解 出的x的范围是递增区间,由－π２＋２kπ≤ －ωx－φ≤ π ２＋２kπ (k∈Z)解出的x 的范 围是递减区间． 余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)(A＞０,ω≠０) 的单调性讨论同上．另外值得注意的是,k ∈Z这一条件不能省略． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４９１􀅰 数学􀅰必修第一册 􀳀[变式训练] １．求下列函数的单调区间: (１)y＝cos(x２＋ π ３ ); (２)y＝３sin(π４－２x )． 　　　比较三角函数值的大小 [例２]比较下列各组数的大小: (１)cos３２ ,sin１１０ ,－cos７４ ; (２)sinsin３π８ æ è ç ö ø ÷和sincos３π８ æ è ç ö ø ÷． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　对于不是同名函数的应先化 为同名函数,再用单调性来比较． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 比较三角函数值大小的方法 (１)比较两个同名三角函数值的大小,先利 用诱导公式把两个角化为同一单调区 间内的角,再利用函数的单调性比较． (２)比较两个不同名的三角函数值的大小, 先应利用诱导公式五、六将名称化为一 致．然后再利用正、余弦函数的单调性 进行比较,当角不在同一个单调区间 时,再利用诱导公式一~四将角转化为 同一单调区间内．对于正弦函数,一般 将两个角转化到[－π２ ,π ２ ]或[π ２ ,３π ２ ] 内,对于余弦函数,一般将两个角转化 到[－π,０]或[０,π]内． 􀳀[变式训练] ２．比较下列各组数的大小． (１)sin(－３２０°)与sin７００°; (２)cos１７π８ 与cos３７９π． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５９１􀅰 第五章　三角函数 　　　正、余弦函数的最值(值域) [例３](１)求函数y＝２cos(２x＋π３ ),x∈(－ π ６ ,π ６ )的值域; (２)求函数y＝cos２x＋４sinx的最值及取到 最大值和最小值时的x 的集合． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　根据单调性求最值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法 (１)形如y＝asinx(或y＝acosx)型,可利 用正弦函数,余弦函数的有界性,注意 对a正负的讨论． (２)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos (ωx＋φ)＋b)型,可先由定义域求得ωx ＋φ的范围,然后求得sin(ωx＋φ)(或 cos(ωx＋φ)的范围,最后求得最值． (３)形如y＝asin２x＋bsinx＋c(a≠０)型, 可利用换元思想,设t＝sinx,转化为 二次函数y＝at２＋bt＋c求最值,t的范 围需要根据定义域来确定． 􀳀[变式训练] ３．已知函数f(x)＝sin －２x－π６ æ è ç ö ø ÷＋１． (１)求f(x)的最小正周期,单调递增区间, 图象的对称中心; (２)求g(x)＝－f(x)在 ０,π２ é ë êê ù û úú上的值域． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．下列函数在区间[０,π]上是减函数的是(　　) A．y＝sinx　　　　　　B．y＝cosx C．y＝sin２x D．y＝cos２x ２．函数f(x)＝２cos π３－x æ è ç ö ø ÷的 单 调 递 增 区 间是 (　　) A．２kπ＋π３ ,２kπ＋４π３ é ë êê ù û úú(k∈Z) B．２kπ＋π２ ,２kπ＋２π３ é ë êê ù û úú(k∈Z) C．２kπ－２π３ ,２kπ＋π３ é ë êê ù û úú(k∈Z) D．２kπ－２π３ ,２kπ＋４π３ é ë êê ù û úú(k∈Z) ３．函数y＝sin２x＋sinx－１的值域为 (　　) A．[－１,１] B．[－５４ ,－１] C．[－５４ ,１] D．[－１,５４ ] ４．函数y＝１＋２sin(π６－x )的单调递增区间 是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６９１􀅰 数学􀅰必修第一册 ５．已知函数f(x)＝１２sin２x＋ π ４ æ è ç ö ø ÷,x∈R． (１)求f(x)的最小正周期; (２)求f(x)的最大值和对应x的取值; (３)求 f(x)在 －π２ ,π ２ é ë êê ù û úú 上 的 单 调 递 增 区间． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５．４．３　正切函数的性质与图象 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能够借助单位圆中的正切线画出函数y＝tanx的图象 ２．掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性． 并能利用其性质解决相关问题 通过正切函数图象和性质的学习 培养学生数学直观想象和数学运 算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　孔子东游,见两小儿辩斗,问其故．一儿 曰:“日初出沧沧凉凉,及其日中如探汤,此不 为近者热而远者凉乎?”事实上,中午的气温较 早晨高,主要原因是早晨太阳斜射大地,中午 太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里, 物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热 量多,这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图象有什么联 系呢? １．仿照利用正弦线作正弦曲线的作法,你能作 出正切函数的图象吗? ２．你还有其它方法吗? [知识梳理] [知识点]　正切函数的图象与性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解析式 y＝tanx 图象 定义域 {x|x≠π２＋kπ ,k∈Z} 值域 R 最小 正周期 　　　 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间　　　　　　 上都是增函数 对称性 对称中心　　　　　　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７９１􀅰 第五章　三角函数 (２)D　[因为f(x＋１)是周期为２的函数,所以f(x)的周期 为２．又因为f(x＋１)为奇函数,所以f(x＋１)＝－f(－x＋ １)． 因为当－１≤x≤０时,f(x)＝sinπx, 所以f －４３( )＝f － １０ ３＋２( )＝－f １０ ３( )＝ －f －２３( )＝－sin － ２π ３( )＝ ３ ２． ] 随堂步步夯实 １．A　２．ABC　３．B　　４．－３２ ５．解:(１)∵x∈R, f(x)＝cos(π２＋２x )cos(π＋x) ＝－sin２x􀅰(－cosx)＝sin２xcosx． ∴f(－x)＝sin(－２x)cos(－x)＝－sin２xcosx ＝－f(x)． ∴函数f(x)是奇函数． (２)对任意x∈R,－１≤sinx≤１, ∴１＋sinx≥０,１－sinx≥０． ∴f(x)＝ １＋sinx＋ １－sinx的定义域为 R． ∵f(－x)＝ １＋sin(－x)＋ １－sin(－x) ＝ １－sinx＋ １＋sinx＝f(x), ∴函数f(x)是偶函数． 第２课时　正弦函数、余弦函数的性质(二) 课前预习学案 知识梳理 知 识 点、 ２kπ－π２ ,２kπ[ ＋ π２ ](k ∈ Z)　 ２kπ＋ π ２[ , ２kπ＋３２π](k∈Z)　[２kπ－π,２kπ](k∈Z)　[２kπ,２kπ＋ π](k∈Z)上递减　２kπ＋ π２ (k∈Z)　２kπ－ π２ (k∈Z)　 ２kπ(k∈Z)　２kπ＋π(k∈Z) [思考] １．提示:对于正弦函数,任意的两个递增区间相差周期２π 的整数倍,任意的两个递减区间也相差周期２π的整数 倍,取得最大值的任意两个x 的值相差周期２π的整数 倍,取得最小值的任意两个x 的值相差周期２π的整数 倍．对于余弦函数,也有同样规律． ２．提示:正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐 弯的地方． ３．提示:观察图象可知: 当x∈[－π２ ,π ２ ]时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx的 值由－１增大到１; 当x∈[π２ ,３π ２ ]时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx的值 由１减小到－１． 推广到整个定义域可得 当x∈[－π２＋２kπ ,π ２ ＋２kπ ](k∈Z)时,正弦函数y＝ sinx是增函数,函数值由－１增大到１; 当x∈[π２ ＋２kπ ,３π ２ ＋２kπ ](k∈Z)时,正 弦 函 数y＝ sinx是减函数,函数值由１减小到－１． ４．提示:观察图象可知: 当x∈[－π,０]时,曲线逐渐上升,是增函数,cosx 的值 由－１增大到１; 当x∈[０,π]时,曲线逐渐下降,是减函数,cosx的值由１ 减小到－１． 推广到整个定义域可得 当x∈[２kπ－π,２kπ],k∈Z时,余弦函数y＝cosx是增 函数,函数值由－１增大到１; 当x∈[２kπ,(２k＋１)π],k∈Z时,余弦函数y＝cosx是 减函数,函数值由１减小到－１． 预习自测 １．B　２．D　３． １２ ,１[ ] 课堂互动学案 [例１]　[解析]　(１)设z＝１２x＋ π ３ ,则y＝sinz． 当z∈(２kπ－ π２ ,２kπ＋ π２ )(k∈Z)时,y＝sinz 为 增 函数． ∴２kπ－π２≤ １ ２x＋ π ３≤２kπ＋ π ２ 得４kπ－５３π≤x≤４kπ ＋π３ ,k∈Z． 当z∈(２kπ＋π２ ,２kπ＋３２π )时,y＝sinz为减函数． ∴２kπ＋π２≤ １ ２x＋ π ３≤２kπ＋ ３ ２π 得４kπ＋π３≤x≤４kπ＋ ７ ３π ,k∈Z． 故y＝sin(１２x＋ π ３ )的增区间为 (４kπ－５３π ,４kπ＋π３ ),k∈Z, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２４􀅰 数学􀅰必修第一册 减区间为(４kπ＋π３ ,４kπ＋７３π ),k∈Z． (２)y＝２sin(π４－x )＝－２sin(x－π４ ), 令z＝x－π４ ,则y＝－２sinz． 因为z是x 的一次函数,所以要求y＝－２sinz的单调递 增区间,即求sinz的单调递减区间, 即２kπ＋π２≤z≤２kπ＋ ３π ２ (k∈Z)． ∴２kπ＋π２≤x－ π ４ ≤２kπ＋ ３π ２ (k∈Z),即２kπ＋３π４ ≤x ≤２kπ＋７π４ (k∈Z)． ∴函数y＝２sin(π４ －x )的单调递增区间为[２kπ＋３π４ , ２kπ＋７π４ (k∈Z)]． [例２]　[解]　(１)∵sin１１０＝cos π ２－ １ １０( ) ≈cos１．４７, －cos７４＝cos π－ ７ ４( ) ≈cos１．３９, 而y＝cosx在[０,π]上单调递减, ∴cos３２＜cos π ２－ １ １０( ) ＜cos π－ ７ ４( ) , 故有cos３２＜sin １ １０＜－cos ７ ４． (２)∵cos３π８＝sin π ８ ,∴０＜cos３π８＜sin ３π ８＜１＜ π ２． 而y＝sinx在(０,π２ )内递增, ∴sin cos３π８( ) ＜sin sin ３π ８( )． 即sin sin３π８( ) ＞sin cos ３π ８( )． [例３]　[解]　(１)∵－π６＜x＜ π ６ , ∴０＜２x＋π３＜ ２π ３ , ∴－１２＜cos (２x＋π３ )＜１, ∴函数 y＝２cos(２x＋ π３ ),x∈ (－ π６ ,π ６ )的 值 域 为(－１,２)． (２)y＝cos２x＋４sinx ＝１－sin２x＋４sinx ＝－sin２x＋４sinx＋１ ＝－(sinx－２)２＋５． 所以当sinx＝１,即x＝２kπ＋π２ ,k∈Z时,ymax＝４; 当sinx＝－１,即x＝２kπ－π２ ,k∈Z时,ymin＝－４． 所以ymax＝４,此时x的取值集合是 {x|x＝２kπ＋π２ ,k∈Z}; ymin＝－４,此时x的取值集合是 {x|x＝２kπ－π２ ,k∈Z}． 变式训练 １．解:(１)当２kπ－π≤x２ ＋ π ３ ≤２kπ ,k∈Z时,函 数 单 调 递增, 故函数的单调递增区间是[４kπ－８３π ,４kπ－２３π ](k∈Z)． 当２kπ≤x２＋ π ３≤２kπ＋π ,k∈Z时, 函数单调递 减,故 函 数 的 单 调 递 减 区 间 是[４kπ－ ２３π , ４kπ＋４３π ](k∈Z)． (２)y＝３sin(π４－２x )＝－３sin(２x－π４ ), 要求y＝－３sin(２x－π４ )的增区间即求y＝sin(２x－π４ ) 的减区间, 即２kπ＋π２≤２x－ π ４≤２kπ＋ ３π ２ ,k∈Z, 所以kπ＋３π８≤x≤kπ＋ ７π ８ ,k∈Z． 所以函数y＝３sin(π４－２x )的递增区间为[kπ＋３π８ ,kπ＋ ７π ８ ](k∈Z)． 要求y＝－３sin(２x－π４ )的减区间即求y＝sin(２x－π４ ) 的增区间, 即２kπ－π２≤２x－ π ４≤２kπ＋ π ２ ,k∈Z, 所以kπ－π８≤x≤kπ＋ ３π ８ ,k∈Z． 所以函数y＝３sin(π４－２x )的递减区间为[kπ－π８ ,kπ＋ ３π ８ ](k∈Z)． ２．解:(１)∵sin(－３２０°)＝sin(－３６０°＋４０°)＝sin４０°, sin７００°＝sin(７２０°－２０°)＝sin(－２０°) 又函数y＝sinx在 －π２ ,π ２[ ] 上是增函数, ∴sin４０°＞sin(－２０°), ∴sin(－３２０°)＞sin７００°． (２)∵cos１７π８ ＝cos ２π＋ π ８( )＝cos π ８ , cos３７π９ ＝cos ４π＋ π ９( )＝cos π ９． 又函数y＝cosx在[０,π]上是减函数, ∴cosπ８＜cos π ９ ,∴cos１７π８ ＜cos ３７π ９ ． ３．解:(１)因 为 函 数 f (x)＝ sin －２x－π６( ) ＋ １ ＝－sin ２x＋π６( )＋１, 所以函数f(x)的最小正周期T＝２π２＝π． 令２kπ＋ π２ ≤ ２x＋π６≤２kπ＋ ３π ２ (k∈Z),解得kπ＋π６≤x≤kπ＋ ２π ３ (k ∈Z), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２４􀅰 参考答案 所以函数f(x)的单调递增区间为 kπ＋π６ ,kπ＋２π３[ ](k ∈Z)． 令２x＋π６＝kπ ,k∈Z,解得x＝kπ２－ π １２ ,k∈Z,所以函数 f(x)图象的对称中心为 kπ２－ π １２ ,１( )(k∈Z)． (２)因为f(x)＝－sin ２x＋π６( ) ＋１,g(x)＝－f(x),所 以函数g(x)＝sin ２x＋π６( )－１． 若x∈ ０,π２[ ] ,则２x＋ π ６∈ π ６ ,７π ６[ ] ,当２x＋ π ６＝ ７π ６ 时,函数g(x)取最小值－３２ ; 当２x＋π６＝ π ２ 时,函数g(x)取最大值０．所以函数g(x) 在 ０,π２[ ] 上的值域为 － ３ ２ ,０[ ]． 随堂步步夯实 １．B　２．C　３．C　 ４．[２３π＋２kπ ,５ ３π＋２kπ ](k∈Z) ５．解:(１)因 为 函 数f(x)＝ １２sin ２x＋ π ４( ) ,x∈R,所 以 f(x)的最小正周期为T＝２π２＝π． (２)因为f(x)＝１２sin ２x＋ π ４( ) ,x∈R, 由２x＋π４＝ π ２＋２kπ ,k∈Z,可得x＝π８＋kπ ,k∈Z． 所以当x＝π８＋kπ ,k∈Z时,函数f(x)有最大值１２． (３)由－π２＋２kπ≤２x＋ π ４ ≤ π ２＋２kπ ,k∈Z,可得－３π８ ＋kπ≤x≤π８＋kπ ,k∈Z,又x∈ －π２ ,π ２[ ] , 所 以 函 数 f (x)在 －π２ ,π ２[ ] 的 单 调 递 增 区 间 为 －３π８ ,π ８[ ]． ５．４．３　正切函数的性质与图象 课前预习学案 情境引入 １．提示:还可以利用单位圆中的正切线作正切函数y＝tan x的图象． ２．提示:描点法作y＝tanx在x∈[－ π２ ,π ２ ]上的草图描 出三点(－π４ ,－１),(０,０),(π４ ,１),两线x＝±π２． 知识梳理 知识点、π　(－π２＋kπ ,π ２＋kπ )(k∈Z)　(kπ２ ,０)(k∈Z) [思考] １．提示:y＝tanx是中心对称图形,对称中心为(kπ２ ,０)(k∈ Z),不是轴对称图形． ２．提示:不是．正切函数在每一个单调区间(－ π２＋kπ ,π ２ ＋kπ)(k∈Z)内都是增函数．但在整个定义域内不是,比 如１８０°＞３０°,但tan１８０°＝０＜tan３０°＝ ３３． ３．提示:画正切函数图象常用三点两线法:“三点”是指(－ π ４ ,－１),(０,０),(π４ ,１),“两线”是 指x＝－ π２ 和x＝ π ２ ,大致画出正切函数在(－ π２ ,π ２ )上的简图后向左、 向右扩展即得正切曲线． 预习自测 １．C　２．A ３．kπ－π３ ,kπ＋π３[ ] ,k∈Z 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由题意得 tanx＋１≥０ １－tanx＞０{ ,即－１≤tanx ＜１． 在 －π２ ,π ２( ) 内,满 足 上 述 不 等 式 的 x 的 取 值 范 围 是 －π４ ,π ４[ )． 又y＝tanx的周期为π, 所以－π４＋kπ≤x＜ π ４＋kπ ,k∈Z． 所以函数的定义域为 －π４＋kπ ,π ４＋kπ[ ) ,k∈Z． (２)令z＝２x＋π６ , ∵x∈ －５π２４ ,π １２( ] ,∴－ π ４＜z≤ π ３． ∵y＝tanz在 －π４ ,π ３( ] 上是增函数, ∴tan －π４( ) ＜y≤tan π ３ ,即－１＜y≤ ３． ∴函数的值域为(－１,３]． [例２]　[解]　(１)y＝tan －１２x＋ π ４( ) ＝－tan １２x－ π ４( ) , 由kπ－π２＜ １ ２x－ π ４＜kπ＋ π ２ ,k∈Z, 得２kπ－π２＜x＜２kπ＋ ３π ２ ,k∈Z, 所以 函 数 y＝tan －１２x＋ π ４( ) 的 单 调 递 减 区 间 是 ２kπ－π２ ,２kπ＋３２π( ) ,k∈Z． (２)tan２＝tan(２－π),tan３＝tan(３－π)． 因为 π ２＜２＜π ,所以－π２＜２－π＜０． 因为 π ２＜３＜π ,所以－π２＜３－π＜０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２４􀅰 数学􀅰必修第一册