5.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

　　　　　　５．４．２　正弦函数、余弦函数的性质 　　　　　　　第１课时　正弦函数、余弦函数的性质(一) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解周期函数、周期、最小正周期的定义 ２．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期 ３．掌握函数y＝sinx,y＝cosx的奇偶性,会判断简单三角 函数的奇偶性 通过正、余弦函数性质的学习培 养学生数学直观和逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 如果现在是早上９点钟,问你:２４小时以后是 几点钟? 你会毫不犹豫地回答:还是早上９点 钟．因为你很清楚,０点、１点、２点、３点􀆺􀆺２３ 点,每隔２４小时就重复出现一次,如果今天是 星期一,问你:７天以后是星期几? 你也会回 答:还是星期一．因为你很清楚,星期一、星期 二􀆺􀆺星期天,每隔７天就重复出现一次．相 同的间隔重复出现的现象称为周期现象,如 “２４小时１天”“７天１星期”“３６５天１年”就是 我们所熟悉的周期现象．自然界中有很多周期 现象,如日出日落、月圆月缺、四季交替等．正 弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢? 继续探究: 观察f(x)的部分图象,思考下列问题: (１)观察图形,函数图象每相隔多少个单位重 复出现? (２)由诱导公式一: sin(x＋２kπ)＝sinx, cos(x＋２kπ)＝cosx,{ (k ∈Z)结合正(余)弦曲线,可以看出正(余)弦 函数怎样的特征? 图象变化趋势是怎样的? [知识梳理] [知识点一]　函数的周期性 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．对于函数f(x),如果存在一个　　　　,使 得当 x 取定义域内的　　　值时,都有 　　　　　,那么函数f(x)就叫作周期函 数,　　　　　叫作这个函数的周期． ２．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一 个　　　　,那么这个　　　　叫作f(x) 的最小正周期． ３．正弦函数、余弦函数都是周期函数,　　　 　　　　　都是它们的周期,最小正周期为 　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９８１􀅰 第五章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．对于函数f(x),如果存在一个非零常 数T,使得当x取定义域内无数个值时,都有 f(x＋T)＝f(x),那么f(x)是周期函数吗? ２．是不是所有的函数都是周期函数? 若一个 函数是周期函数,它的周期是否唯一? ３．周期函数都有最小正周期吗? ４．３π是正弦函数f(x)＝sinx的周期吗? 为 什么? [知识点二]　正弦、余弦函数的奇偶性 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．对于y＝sinx,x∈R恒有sin(－x)＝－sin x,所以正弦函数y＝sinx 是　　　　函 数,正弦曲线关于　　　对称; ２．对于y＝cosx,x∈R,恒有cos(－x)＝ cosx,所以余弦函数y＝cosx是　　　函 数,余弦曲线关于　　　对称． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５．函数的奇偶性反映了函数的对称 性,通过观察图象,请写出正弦函数,余弦函 数的对称中心与对称轴． [预习自测] １．若函数f(x)＝sinωx(ω＞０)的周期为π,则 ω＝　　　　． ２．函数f(x)＝１＋sinx的最小正周期是 (　　) A．π２　　　B．π　　　C． ３π ２　　　D．２π ３．函数y＝cos２x的奇偶性为 (　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　三角函数的周期及应用 [例１]求下列函数的周期: (１)y＝２sinx３－ π ６ æ è ç ö ø ÷;(２)y＝|sinx|． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)可用定义法或公式法求 周期,(２)可用图象法或定义法求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求三角函数的周期的方法 (１)定义法:紧扣周期函数的定义,寻求对 任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的 非零常数 T．该方法主要适用于抽象 函数． (２)公式法:对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y ＝Acos(ωx＋φ)(其中A,ω,φ是常数, 且A≠０,ω＞０)的函数,可利用T＝２πω 来求． (３)图象法:可画出函数的图象,借助于图 象判断函数的周期,特别是对于含绝对 值的函数一般采用此法． 三种方法各有所长,要根据函数式的结构 特征,选择适当方法求解,为了避免出现错 误,求周期之前要尽可能将函数化为同名 同角三角函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０９１􀅰 数学􀅰必修第一册 􀳀[变式训练] １．(多选)下列函数中,最小正周期为π的是 (　　) A．y＝|sinx|　　　　　B．y＝sin|x| C．y＝|cos２x| D．y＝cos|２x| 　　　三角函数的奇偶性的判断及应用 [例２]判断下列函数的奇偶性: (１)f(x)＝ ２sin２x; (２)f(x)＝sin３x４＋ ３π ２ æ è ç ö ø ÷; (３)f(x)＝ １－cosx＋ cosx－１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　首先求出函数的定义域,在 定义域关于原点对称的前提下,根据f(－ x)与f(x)及－f(x)的关系来判断． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)判断函数奇偶性的方法步骤为:先求函 数的定义域,看定义域是否关于原点对称, 再根据解析式判断f(x)与f(－x)的关 系,并根据奇偶性的定义作出判断,对于三 角函数,要特别注意诱导公式的应用． (２)若 已 知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或 Acos(ωx＋φ))为偶函数,则x＝０是其对 称轴,则 f(０)＝ ±A;若 已 知f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(或 Acos(ωx＋φ))为 奇 函 数,则(０,０)是其对称中心,则f(０)＝０． 􀳀[变式训练] ２．判断下列函数的奇偶性: (１)f(x)＝|sinx|＋cosx; (２)f(x)＝cos(２π－x)－x３􀅰sinx． 　　　三角函数的奇偶性与周期性的应用 [例３]定义在 R上的函数f(x)既是偶函数 又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π, 且当x∈[０,π２ ]时,f(x)＝sinx,求f(５π３ ) 的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１９１􀅰 第五章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据周期性,把要求角转化 到已知角范围中求解． f(５π３ )＝f(５π３－２π )＝f(－π３ )＝f(π３ )． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．利用周期性和奇偶性解决求值问题的 方法 利用函数的周期性,可以把x＋nT(n∈Z) 的函数值转化为x的函数值．利用奇偶 性,可以找到－x与x 的函数值的关系, 从而可解决求值问题． ２．判断y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋ φ)是否具有奇偶性的关键 判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos (ωx＋φ)是否具备奇偶性,关键是看它能 否通过诱导公式转化为y＝Asinωx(Aω≠ ０)或y＝Acosωx(Aω≠０)其中一个． 􀳀[变式训练] ３．(１)已知函数f(x)＝ ２sin(x＋π４＋φ )是奇 函数,则φ的值可以是 (　　) A．０　　　B．－π４　　　C． π ２　　　D．π (２)已知f(x＋１)是周期为２的奇函数,当 －１≤x≤０时,f(x)＝sinπx,则f －４３ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－１２　　B． １ ２　　C．－ ３ ２　　D． ３ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是 (　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 ２．(多选题)下列是定义在 R上的四个函数图 象的一部分,其中是周期函数的是 (　　) ３．设函数f(x)＝sin(２x－π２ ),则f(x)是 (　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为π２ 的奇函数 D．最小正周期为π２ 的偶函数 ４．函数f(x)＝３cos(ωx－π３ )(ω＞０)的最小正 周期为２π ３ ,则f(π)＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２９１􀅰 数学􀅰必修第一册 ５．判断下列函数的奇偶性: (１)f(x)＝cos(π２＋２x )cos(π＋x); (２)f(x)＝ １＋sinx＋ １－sinx． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　正弦函数、余弦函数的性质(二) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握y＝sinx,y＝cosx的最大值与最小值,并会求简单三角函数 的值域和最值 ２．掌握y＝sinx,y＝cosx的单调性,并能利用单调性比较大小 ３．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间 三角函数的性质是高考 必考内容,通过应用,提 升学生逻辑推理和数学 运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　生活中许多美好的事物 都有对称性,如漂亮的蝴蝶, 它停飞展翅就是一幅异常美 丽的对称图案． 数学中的对称美也比比皆是,如圆、等腰三角 形、正方形、球、圆柱、正方体等． 正弦函数、余弦函数的图象也很美,它们有怎 样的对称性? 除此之外还有哪些性质呢? [知识梳理] [知识点]　正、余弦函数的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 函 数 名 称 图 象 与 性 质性质分类 y＝sinx y＝cosx 相 同 处 定义域 R R 值域 [－１,１] [－１,１] 周期性 最小正周期为２π 最小正周期为２π 不 同 处 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在　　　　　　 上递增;在　　　 　　　　　上递减 在　　　　　　　 上递增;在　　　 　　　　 最值 x＝　　　　　 时,ymax＝１;x＝ 　 　 　 　 　 　 时,ymin＝－１ x＝　　　　　 时,ymax＝１; x＝　　　　　 时,ymin＝－１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３９１􀅰 第五章　三角函数 即 π １２＋kπ≤x≤ ５π １２＋kπ ,k∈Z, 所以定义域为{x|π１２＋kπ≤x≤ ５π １２＋kπ ,k∈Z}． (２)根据函数表达式可得 sinx≥０, ２５－x２≥０,{ ⇒ ２kπ≤x≤２kπ＋π(k∈Z), －５≤x≤５．{ 在数轴上表示如图所示． 由图示可得,函数定义域[－５,－π]∪[０,π]． [例３]　[解]　用五点法画出函数y＝１＋sinx,x∈[０, ２π]的图象,如图所示． (１)由图 象 可 知,当x∈(０,π)时,y＞１;当x∈(π,２π) 时,０＜y＜１． (２)在平面直角坐标系中作出直线y＝３２ ,如图所示,可 知此直线与函数y＝１＋sinx,x∈[０,２π]的图象有两个 交点． 变式训练 １．解:找五个关键点列表: x ０ π２ π ３π ２ ２π sinx ０ １ ０ －１ ０ １＋２sinx １ ３ １ －１ １ 在直 角 坐 标 系 中 描 出 五 点 (０,１), π２ ,３( ) ,(π,１), ３π ２ ,－１( ) ,(２π,１),然后用光滑曲线顺次连接起来,就 得到y＝１＋２sinx,x∈[０,２π]的图象． ２．解:(１)作出正弦函数y＝sinx,x∈[０,２π]的图象,如图 所示,由图 象 可 以 得 到 满 足 条 件 的x 的 集 合 为[π６ ＋ ２kπ,５π６＋２kπ ],k∈Z． (２)作出余弦函数y＝cosx,x∈[０,２π]的图象,如图所 示,自图象可以得到满足条件的x 的集合为[π３ ＋２kπ , ５π ３＋２kπ ],k∈Z． ３．解:由图象易知(１)当a ＝±１时,y＝a与函数 图象只有一个交点． (２)当a∈(０,１)∪(－ １,０)时,y＝a与函数图 象有两个交点． 随堂步步夯实 １．B　２．B　３．D　　４．２ ５．解:y＝１＋cos ３π２－x( )＝１＋cos π＋ π ２－x( ) ＝１－cos π２－x( ) ＝１－sinx 即y＝１－sinx　x∈[０, ２π]． 列表如下: x ０ π２ π ３π ２ ２π y １ ０ １ ２ １ 描点作图如下: ５．４．２　正弦函数、余弦函数的性质 第１课时　正弦函数、余弦函数的性质(一) 课前预习学案 情境引入 (１)提示:每相隔１个单位重复出现． (２)提示:自变量x增加２π的整数倍时,函数值重复出现, 图象发生“周而复始”的变化． 知识梳理 知识点一、１．非零常数T　每一个　f(x＋T)＝f(x)　非 零常数T　２．最小正数　最小正数　３．２kπ(k∈Z,且k≠ ０)　２π　 知识点二、１．奇　原点　２．偶　y轴　 [思考] １．提示:f(x)不 是 周 期 函 数,因 为x 应 取 定 义 域 内 每 一 个值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２４􀅰 数学􀅰必修第一册 ２．提示:并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周 期性,则其周期也不一定唯一． ３．提示:①最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量 x要加上的那个最小正数,这个正数是对x而言的,如y ＝sin２x的 最 小 正 周 期 是 π,因 为y＝sin(２x＋２π)＝ sin２(x＋π),即π是使函数值重复出现的自变量x加上 的最小正数,π是对x而言的,而非２x． ②并不是所有的周期函数都有最小正周期,譬如,常数 函数f(x)＝C,任一个正实数都是它的周期,因而不存 在最小正周期． ③未特别说明,周期一般都是指函数的最小正周期． ４．提示:不是．∵f(x＋３π)＝sin(x＋３π)＝sin(x＋π＋２π) ＝sin(x＋π)＝－sinx≠f(x)． ∴３π不是f(x)＝sinx的周期． ５．提示:通过观察图象可知: 正弦函数 的 对 称 中 心 为(kπ,０)(k∈Z),对 称 轴 为x＝ π ２＋kπ (k∈Z); 余弦函 数 的 对 称 中 心 为 π ２＋kπ ,０( )(k∈Z),对 称 轴 为x＝kπ(k∈Z)． 预习自测 １．２　２．D　３．B 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)方法一: ∵２sin x３－ π ６＋２π( )＝２sin x ３－ π ６( ) , 即２sin １３ (x＋６π)－π６[ ]＝２sin x ３－ π ６( ) , ∴y＝２sin x３－ π ６( ) 的周期是６π． 方法二: ∵２π１ ３ ＝６π,∴函数y＝２sin x３－ π ６( ) 的周期是６π． (２)方法一: ∵|sin(π＋x)|＝|－sinx|＝|sinx|． ∴函数y＝|sinx|的周期是π． 方法二: y＝|sinx|的图象如图所示． ∴y＝|sinx|的周期是π． [例２]　[解]　(１)显然x∈R, f(－x)＝ ２sin(－２x)＝－ ２sin２x＝－f(x), ∴f(x)是奇函数． (２)∵x∈R,f(x)＝sin ３x４＋ ３π ２( )＝－cos ３x ４ , ∴f(－x)＝－cos３ (－x) ４ ＝－cos ３x ４＝f (x), ∴函数f(x)＝sin ３x４＋ ３π ２( ) 是偶函数． (３)由 １－cosx≥０, cosx－１≥０{ 得cosx＝１,∴x＝２kπ(k∈Z), 此时f(x)＝０,故该函数既是奇函数又是偶函数． [例３]　[解]∵f(x)的最小正周期是π, ∴f(５π３ )＝f(５π３－２π )＝f(－π３ )． ∵f(x)是 R上的偶函数, ∴f(－π３ )＝f(π３ )＝sinπ３＝ ３ ２． ∴f(５π３ )＝ ３２． 变式训练 １．AD　[A选项,y＝|sinx|的图象如图所示,由此可知y ＝|sinx|的最小正周期为π． B选项,令f(x)＝sin|x|,则f －３π２( ) ＝sin ３π ２＝－１ , f －３π２＋π( ) ＝f － π ２( ) ＝sin π ２ ＝１ ,f －３π２( ) ≠ f －３π２＋π( ) ,所以B选项错误． C选项,令g(x)＝|cos２x|,则g x＋π２( ) ＝|cos(２x＋ π)|＝|－cos２x|＝|cos２x|＝g(x),所以 π不是y＝ |cos２x|的最小正周期． D选项,对于函数y＝cos|２x|,当２x≥０时,y＝cos２x, 当２x＜０时,y＝cos(－２x)＝cos２x,所以y＝cos|２x|＝ cos２x,其最小正周期为T＝２π２＝π ,D选项正确．] ２．解:(１)函数的定义域为 R, 又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝ f(x),所以f(x)是偶函数． (２)函数的定义域为 R,关于原点对称, 因为f(x)＝cosx－x３􀅰sinx, 所以f(－x)＝cos(－x)－(－x)３􀅰sin(－x) ＝cosx－x３􀅰sinx＝f(x), 所以f(x)为偶函数． ３．(１)B　[法一:f(x)＝ ２sin(x＋ π４＋φ )为奇函数,则只 需 π ４＋φ＝kπ ,k∈Z,从而φ＝kπ－ π ４ ,k∈Z． 显然当k＝０时,φ＝－ π ４ 满足题意． 法二:因为f(x)是奇函数,所以f(０)＝０,即 ２sin(π４＋ φ)＝０,所以φ＋ π ４＝kπ ,k∈Z,即φ＝kπ－ π ４ ,k∈Z．令k ＝０,则φ＝－ π ４． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２４􀅰 参考答案 (２)D　[因为f(x＋１)是周期为２的函数,所以f(x)的周期 为２．又因为f(x＋１)为奇函数,所以f(x＋１)＝－f(－x＋ １)． 因为当－１≤x≤０时,f(x)＝sinπx, 所以f －４３( )＝f － １０ ３＋２( )＝－f １０ ３( )＝ －f －２３( )＝－sin － ２π ３( )＝ ３ ２． ] 随堂步步夯实 １．A　２．ABC　３．B　　４．－３２ ５．解:(１)∵x∈R, f(x)＝cos(π２＋２x )cos(π＋x) ＝－sin２x􀅰(－cosx)＝sin２xcosx． ∴f(－x)＝sin(－２x)cos(－x)＝－sin２xcosx ＝－f(x)． ∴函数f(x)是奇函数． (２)对任意x∈R,－１≤sinx≤１, ∴１＋sinx≥０,１－sinx≥０． ∴f(x)＝ １＋sinx＋ １－sinx的定义域为 R． ∵f(－x)＝ １＋sin(－x)＋ １－sin(－x) ＝ １－sinx＋ １＋sinx＝f(x), ∴函数f(x)是偶函数． 第２课时　正弦函数、余弦函数的性质(二) 课前预习学案 知识梳理 知 识 点、 ２kπ－π２ ,２kπ[ ＋ π２ ](k ∈ Z)　 ２kπ＋ π ２[ , ２kπ＋３２π](k∈Z)　[２kπ－π,２kπ](k∈Z)　[２kπ,２kπ＋ π](k∈Z)上递减　２kπ＋ π２ (k∈Z)　２kπ－ π２ (k∈Z)　 ２kπ(k∈Z)　２kπ＋π(k∈Z) [思考] １．提示:对于正弦函数,任意的两个递增区间相差周期２π 的整数倍,任意的两个递减区间也相差周期２π的整数 倍,取得最大值的任意两个x 的值相差周期２π的整数 倍,取得最小值的任意两个x 的值相差周期２π的整数 倍．对于余弦函数,也有同样规律． ２．提示:正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐 弯的地方． ３．提示:观察图象可知: 当x∈[－π２ ,π ２ ]时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx的 值由－１增大到１; 当x∈[π２ ,３π ２ ]时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx的值 由１减小到－１． 推广到整个定义域可得 当x∈[－π２＋２kπ ,π ２ ＋２kπ ](k∈Z)时,正弦函数y＝ sinx是增函数,函数值由－１增大到１; 当x∈[π２ ＋２kπ ,３π ２ ＋２kπ ](k∈Z)时,正 弦 函 数y＝ sinx是减函数,函数值由１减小到－１． ４．提示:观察图象可知: 当x∈[－π,０]时,曲线逐渐上升,是增函数,cosx 的值 由－１增大到１; 当x∈[０,π]时,曲线逐渐下降,是减函数,cosx的值由１ 减小到－１． 推广到整个定义域可得 当x∈[２kπ－π,２kπ],k∈Z时,余弦函数y＝cosx是增 函数,函数值由－１增大到１; 当x∈[２kπ,(２k＋１)π],k∈Z时,余弦函数y＝cosx是 减函数,函数值由１减小到－１． 预习自测 １．B　２．D　３． １２ ,１[ ] 课堂互动学案 [例１]　[解析]　(１)设z＝１２x＋ π ３ ,则y＝sinz． 当z∈(２kπ－ π２ ,２kπ＋ π２ )(k∈Z)时,y＝sinz 为 增 函数． ∴２kπ－π２≤ １ ２x＋ π ３≤２kπ＋ π ２ 得４kπ－５３π≤x≤４kπ ＋π３ ,k∈Z． 当z∈(２kπ＋π２ ,２kπ＋３２π )时,y＝sinz为减函数． ∴２kπ＋π２≤ １ ２x＋ π ３≤２kπ＋ ３ ２π 得４kπ＋π３≤x≤４kπ＋ ７ ３π ,k∈Z． 故y＝sin(１２x＋ π ３ )的增区间为 (４kπ－５３π ,４kπ＋π３ ),k∈Z, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２４􀅰 数学􀅰必修第一册