5.3 第2课时 诱导公式(二)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

第２课时　诱导公式(二) 课前预习学案 情境引入 (１)提示　它们的终边关于y＝x对称． (２)提示　由于角α的终边与角π２－α 的终边关于y＝x对 称,所以P２ 与P１ 关于y＝x对称,所以P２ 点的坐标为 (y,x)． 知识梳理 知识点一、１．cosα　sinα　cosα　－sinα　２　余弦(正弦) [思考] １．提示:sin(π２＋α )＝sin[π－(π２－α )] ＝sin(π２－α )＝cosα． cos(π２＋α )＝cos π－(π２－α )[ ] ＝－cos(π２－α )＝－sinα． ２．提示:函数名称改变,符号随象限变化而变化,即:函数 名改变,符号看象限． 预习自测 １．B　２．３　３．２３ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)sin (α－π)＋cos(π－α) sin(π２－α )＋cos(π２＋α ) ＝－sinα－cosαcosα－sinα ＝ －tanα－１ １－tanα ＝－３－１１－３ ＝２． (２)cos(π６＋α )􀅰sin(２π３＋α ) ＝cos π２－ (π ３－α )[ ] 􀅰sin π－(π３－α)[ ] ＝sin(π３－α )􀅰sin(π３－α ) ＝１２× １ ２＝ １ ４． [例２]　[解析]　(１)原式＝cos [－(π－α)] sinα 􀅰sin[－(π２－ α)](－sinα) ＝cos (π－α) sinα 􀅰[－sin(π２－α )](－sinα) ＝－cosαsinα 􀅰(－cosα)(－sinα) ＝－cos２α． (２)原式＝ tan(－α)sin(－α)sin[π＋(π２＋α )] sin[－(π－α)]cos[π＋(π２－α )] ＝ －tanα(－sinα)[－sin(π２＋α )] －sin(π－α)[－cos(π２－α )] ＝tanαsinα (－cosα) －sinα(－sinα) ＝－tanαsinαcosαsinαsinα ＝－１． [例３]　证明:右边＝ －２sin(３π２－θ )􀅰(－sinθ)－１ １－２sin２θ ＝ ２sin[π＋(π２－θ )]sinθ－１ １－２sin２θ ＝ －２sin(π２－θ )sinθ－１ １－２sin２θ ＝ －２cosθsinθ－１ cos２θ＋sin２θ－２sin２θ ＝ (sinθ＋cosθ)２ sin２θ－cos２θ ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ ＝左边,所以原等式成立． [例４]　解析　由已知得 sinA＝ ２sinB　①, ３cosA＝ ２cosB　②,{ 由①２＋②２,得２cos２A＝１,∴cosA＝± ２２． 当cosA＝ ２ ２ 时,cosB＝ ３２． 又A,B 是三角形的内角,∴A＝π４ ,B＝π６． ∴C＝π－(A＋B)＝７１２π． 当cosA＝－ ２２ 时,cosB＝－ ３２． 又A,B 是三角形的内角,∴A＝ ３４π ,B＝ ５６π．∵A＋B ＞π, ∴cosA＝－ ２２ 不符合题意,舍去． 综上可知,A＝π４ ,B＝π６ ,C＝７１２π． 变式训练 １．解析:(１)由cos(π２＋φ )＝－sinφ＝ ３ ２ , 得sinφ＝－ ３ ２． 又|φ|＜ π ２ ,∴φ＝－ π ３ ,∴tanφ＝－tan π ３＝－ ３． (２)∵cos(π１２－θ )＝１３ , ∴sin(５π１２＋θ )＝sin π２－ (π １２－θ )[ ] ＝cos(π１２－θ)＝ １ ３ , 故选 A． 答案:(１)C　(２)A ２．解析:因为sin(４π－α)＝sin(－α)＝－sinα, cos(９π２＋α )＝cos[４π＋(π２＋α )]＝cos(π２＋α ) ＝－sinα, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２４􀅰 数学􀅰必修第一册 sin(１１π２ ＋α )＝sin[４π＋(３π２＋α )]＝sin(３π２＋α )＝ sin[π＋(π２＋α )]＝－sin(π２＋α )＝－cosα, tan(５π－α)＝tan(π－α)＝－tanα,sin(３π－α)＝sin(π－ α)＝sinα,所以原式＝ sinαsinα－cosαcosα－ －tanα sinαcosα ＝－sin ２α cos２α ＋ １ cos２α ＝１－sin ２α cos２α ＝cos ２α cos２α ＝１． ３．证明:左边＝cosθsin (－θ)tan(－θ) cos(π２＋θ )sin(π２＋θ ) ＝cosθsinθtanθ－sinθcosθ ＝－tanθ＝ 右边． 所以原等式成立． ４．解:(１)f(α)＝ sinαcosαcosα－cosα(－sinα)＝cosα． (２)因为f(A)＝cosA＝３５ , 又A 为△ABC的内角: 所以由平方关系,得sinA＝ １－cos２A＝４５ , 所以tanA＝sinAcosA＝ ４ ３ , 所以tanA－sinA＝４３－ ４ ５＝ ８ １５． 随堂步步夯实 １．A　２．A　３．C　　４．－ １５２ ５．解:方程５x２－７x－６＝０的两根为x１＝－ ３ ５ ,x２＝２, 由α是第三象限角,得sinα＝－３５ , 则cosα＝－４５ , ∴ sin(－α－３π２ )cos(３π２－α ) cos(π２－α )sin(π２＋α ) 􀅰tan２(π－α) ＝ sin(π２－α )cos(π２＋α ) sinαcosα 􀅰tan２α ＝cosα (－sinα) sinαcosα 􀅰tan２α＝－tan２α ＝－sin ２α cos２α ＝－９１６． ５．４　三角函数的图象与性质 ５．４．１　正弦函数、余弦函数的图象 课前预习学案 情境引入 　提示:正、余弦函数的图象是“波浪起伏”的 连 续 光 滑 曲线． 知识梳理 知识点一、(２)②(π２ ,１)　(３π２ ,－１)　 知识点二、(２)①左　②(π,－１)　(２π,１)　 [思考] １．提示:作正弦函数y＝２＋sinx,x∈[０,２π]的图象时,起 关键作用的点有以下五个: (０,２),(π２ ,３),(π,２),(３π２ ,１),(２π,２)． ２．提示:因为cosx＝sin(x＋π２ ),所以y＝sinx(x∈R)的 图象向左平移 π ２ 个单位长度可得y＝cosx(x∈R)的 图象． 预习自测 １．BD　２．B　３．(０,０)　(π２ ,１)　(π,０)　(３π２ ,－１)　 (２π,０) 课堂互动学案 [例１]　[解析]　(１)按五个关键点列表: x ０ π２ π ３π ２ ２π sinx ０ １ ０ －１ ０ sinx－１ －１ ０ －１ －２ －１ 描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示． (２)按五个关键点列表: x ０ π２ π ３π ２ ２π cosx １ ０ －１ ０ １ ２＋cosx ３ ２ １ ２ ３ 描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示． [例２]　[解析]　(１)由２sin２x≥１得sin２x≥ １２． 把２x 当作整体t,画y＝sint的图象． 在[０,２π]内,满足sint≥１２ 有 π ６≤t≤ ５π ６ , 所以 π ６≤２x≤ ５π ６． 故在实数集 R上２x满足 π ６＋２kπ≤２x≤ ５π ６＋２kπ ,k∈Z, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２４􀅰 参考答案 １．cos(－１７π４ )tan１７π６ 的值为 (　　) A．－ ２２　B．－ ３ ３　C．－ ６ ６　D． ３ ２ ２．已知tan(π３－α )＝１３ ,则tan(２π３＋α )＝ (　　) A．１３　B．－ １ ３　C． ２ ３ ３ 　D．－ ２ ３ ３ ３．cos３３０°＋sin(－３０°)＋tan８３π＋cos９０°＝ 　　　　． ４．已知sin(４５°＋α)＝５１３ ,则sin(２２５°＋α) ＝　　　　． ５．已知f(α)＝sin (π＋α)cos(２π－α)tan(－α) tan(－π－α)sin(－π－α) ． (１)化简f(α); (２)若α是第三象限角,且sin(α－π)＝１５ , 求f(α)的值; (３)若α＝－３１π３ ,求f(α)的值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　诱导公式(二) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握诱导公式五、六的推导,并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题 ２．对诱导公式一至六,能作综合归纳,体会出六组公式的共性与个性,培养由 特殊到一般的数学推理意识和能力 ３．继续体会知识的“发生”“发现”过程,培养研究问题、发现问题、解决问题的 能力 通过诱导公式 的应用提升数 学抽象和逻辑 推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　留恋于湖光山色,观山赏水,看山在水中 倒映,山的巍峨、水的柔媚在那一刻融合􀆺􀆺 如果你的手中拿着一个度数为α的角的模型, 你观察一下湖中的这个角的模型与你手中的 这个角的模型有什么关系? 你当然会准确地 回答出来:对称! 角α关于水平面对称的角的 度数是多少? 这两个角的三角函数值有什么 关系呢? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０８１􀅰 数学􀅰必修第一册 观察如图单位圆及角α与π２－α 的终边． (１)角α的终边与π２－α 的终边有何关系? (２)若设任意角α的终边与单位圆的交点P１ 的坐标为(x,y),那么角π２－α 的终边与单位 圆的交点P２ 的坐标是什么? [知识梳理] [知识点]　诱导公式五、六 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．诱导公式五、六 公式五 公式六 终边 关系 角π ２－α 与角α 的终 边 关 于 直 线 y ＝x 对称． 角π ２＋α 与角 α 的 终 边 垂直． 图形 公式 sin(π２－α )＝ 　　　, cos(π２－α )＝ 　　　． sin(π２＋α )＝ 　　　, cos(π２＋α )＝ 　　　． ２．诱导公式五、六可用语言概括 (１)函数值:π２±α 的正弦(余弦)值,分别等于 α的　　　　函数值． (２)符号:函数值前面加上一个把α看成锐角 时原函数值的符号． (３)本质:单位圆中,终边关于y＝x对称,互相 垂直的角的三角函数之间的关系． (４)应用:与诱导公式一~四结合用于三角函 数式求值、化简、证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．如 何 由 公 式 四 及 公 式 五 推 导 公 式六? ２．从函数名称、符号两个方面观察诱导公式 五、六,有什么变化规律? [预习自测] １．若sin(π２＋θ )＜０,且cos(π２－θ )＞０,则θ是 (　　) A．第一象限角　　　　B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ２．sin９５°＋cos１８５°＋tan２４０°＝　　　　． ３．已 知 cos(π６－α )＝２３ ,则 sin(π３＋α ) ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１８１􀅰 第五章　三角函数 　　　利用诱导公式求值 [例１](１)已知tanα＝３,求sin (α－π)＋cos(π－α) sin(π２－α )＋cos(π２＋α ) 的值． (２)已知sin(π３－α )＝１２ ,求cos(π６＋α )􀅰 sin(２π３＋α )的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　先化简,再求值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 已知三角函数值,求其他三角函数值的解题思路 (１)观察:①观察已知的角和所求角的差 异,寻求角之间的关系; ②观察已知的三角函数名与所求的三角函 数名的差异． (２)转化:运用诱导公式将不同的角转化为 相同的角;将不同名的三角函数化为同名 的三角函数． 注意:如π ３－α 与π ６＋α ,π ３＋α 与π ６－α ,π ４ －α与π４＋α 等互余,π ３＋θ 与２π ３－θ ,π ４＋θ 与３π ４－θ 等互补,遇到此类问题,不妨考虑 两个角的和,要善于利用角的变换来解决 问题． 􀳀[变式训练] １．(１)已知cos(π２＋φ )＝ ３２ ,且|φ|＜ π ２ ,则 tanφ＝ (　　) A．－ ３３　B． ３ ３　C．－ ３　D．３ (２)cos(π１２－θ )＝１３ ,则sin(５π１２＋θ )＝ (　　) A．１３　B． ２ ２ ３ 　C．－ １ ３　D．－ ２ ２ ３ 　　　利用诱导公式化简三角函数式 [例２]化简: (１)cos (α－π) sin(π－α) 􀅰sin(α－π２ )cos(π２＋α ); (２) tan(２π－α)sin(－２π－α)sin(３π２＋α ) sin(α－π)cos(３π２－α ) ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思 路 点 拨 ] 　 确定角的变换 → 确定诱导公式 → 代入公式化简 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用诱导公式进行化简时的注意点 (１)化简后项数尽可能的少．(２)函数的种 类尽可能的少．(３)分母不含三角函数的 符号．(４)能求值的一定要求值．(５)含有 较高次数的三角函数式,多用因式分解、 约分等． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２８１􀅰 数学􀅰必修第一册 􀳀[变式训练] ２．化简: sin(４π－α)cos(９π２＋α ) sin(１１π２＋α )cos(２π－α) － tan (５π－α) sin(３π－α)sin(π２－α ) ． 　　　利用诱导公式证明恒等式 [例３]求证: sinθ＋cosθ sinθ－cosθ＝ ２sin(θ－３π２ )cos(θ＋π２ )－１ １－２sin２(π＋θ) ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　先化简,再证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三角恒等式的证明的策略 (１)遵循的原则:在证明时一般从左边到右 边,或从右边到左边,或左右归一,应遵 循化繁为简的原则． (２)常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角 法、公式变形法、“１”的代换法． 􀳀[变式训练] ３．求证:cos (６π＋θ)sin(－２π－θ)tan(２π－θ) cos(３π２＋θ )sin(３π２＋θ ) ＝－tanθ 　　　诱导公式的综合应用 [例 ４] 在 △ABC 中,若 sin(２π－A)＝ － ２sin(π－B),３cosA＝－ ２cos(π－B), 求△ABC的三个内角． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先利用诱导公式化简已知的 两个等式,然后结合sin２A＋cos２A＝１,求 出cosA 的值,再利用A＋B＋C＝π进行 求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８１􀅰 第五章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．诱导公式综合应用要“三看” 一看角:①化大为小;②看角与角间的联 系,可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称:一般是弦切互化． 三看式子结构:通过分析式子,选择合适 的方法,如分式可对分子分母同乘一个 式子变形． ２．利用诱导公式解决三角形中有关问题的 基本方法 利用诱导公式解决三角形中有关问题 时,既要注意综合运用诱导公式、同角三 角函数的基本关系式,还要注意三角形 的隐 含 条 件———三 角 形 内 角 和 等 于 １８０°,以及下面的公式的灵活运用． 在△ABC中,常用到以下结论: sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC, cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC, tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC, sin(A２＋ B ２ )＝sin(π２－ C ２ )＝cosC２ , cos(A２＋ B ２ )＝cos(π２－ C ２ )＝sinC２． 􀳀[变式训练] ４．已知f(α)＝ sin(π－α)cos(－α)sin(π２＋α ) cos(π＋α)sin(－α) ． (１)化简f(α); (２)若角A 是△ABC的内角,且f(A)＝３５ , 求tanA－sinA 的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．cos(π１２－θ )＝１３ ,则sin(５π１２＋θ )＝ (　　) A．１３　　　　　　B． ２ ２ ３ C．－１３ D．－ ２ ２ ３ ２．若cos(α＋π)＝－２３ ,则sin(－α－３π２ )＝ (　　) A．２３　B．－ ２ ３　C． ５ ３　D．－ ５ ３ ３．化简sin(α＋π２ )􀅰cos(α－３π２ )􀅰tan(π２－α ) 的结果是 (　　) A．１ B．sin２α C．－cos２α D．－１ ４．已 知 cos π３－x æ è ç ö ø ÷ ＝１４ ,且π ２＜x＜π ,则 cosπ６＋x æ è ç ö ø ÷＋sin２π３＋x æ è ç ö ø ÷的值为　　　　． ５．已知sinα是方程５x２－７x－６＝０的根,α是 第三象限角,求 sin(－α－３π２ )cos(３π２－α ) cos(π２－α )sin(π２＋α ) 􀅰 tan２(π－α)的值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４８１􀅰 数学􀅰必修第一册