3.2.1 第2课时 函数的最大值、最小值-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

３．函 数 y＝x２ －２x 的 单 调 递 减 区 间 是 　　　　,单调递增区间是　　　　． ４．已知函数f(x)为定义在区间[－１,１]上的增函 数,则满足f(x)＜f(１２ )的实数x的取值范围 为　　　　． ５．用定义法证明:函数f(x)＝x３＋x 在 R上 是增函数． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　函数的最大值、最小值 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解函数的最大(最小)值及几何意义 ２．利用单调性求最值、比较大小、解不等式 在运用函数单调性充要条件过程中, 提升数学运算和逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 观察下列两个函数的图象,回答有关问题: (１)比较两个函数的图象,它们是否都有最 高点? (２)通过观察图①你能发现什么? [知识梳理] [知识点一]　函数的最大值与最小值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 最大值 最小值 条件 一般地,设函数y＝f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:∀x∈I, 都有 f(x)　　M f(x)　　M ∃x０∈I,使得　　　　 续表 结论 称M 是函数y＝ f(x)的最大值 称 M 是函数y＝ f(x)的最小值 几何 意义 f(x)图 象 上 最 高点的　　　 f(x)图象上最低 点的　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　如果函数f(x)对于定义域内的任意 x都满足f(x)≤M,那么 M 一定是函数 f(x)的最大值吗? [知识点二]　对函数最大(小)值的理解 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (１)注意对“存在”一词的理解．M 首先是一个 函数值,它是值域中的一个元素．如f(x) ＝－x２(x∈R)的最大值为０,有f(０)＝０． (２)对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M 成 立,“任意”是说每一个值都满足不等式． (３)两条缺一不可,若只有(１),M 不一定是最 大(小)值．如f(x)＝－x２(x∈R),对任意 x∈R,都有f(x)≤１成立,但１不是其最 大值,否则大于零的任意实数都是最大值 了,故不能只有(１)．同样,只有(２)时,M 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７􀅰 第三章　函数的概念与性质 也不一定是最大(小)值,最大(小)值的核 心就是不等式f(x)≤M(f(x)≥M),故不 能只有(２)． [预习自测] １．函数f(x)在[－２,２]上的图 象如图所示,则此函数的最小 值、最大值分别是 (　　) A．f(－２),０　　　　　　B．０,２ C．f(－２),２ D．f(２),２ ２．函数y＝－x＋１在区间 １２ ,２é ë êê ù û úú 上的最大 值是 (　　) A．－１２　　　B．－１　　　C． １ ２　　　D．３ ３．函数f(x)＝１x 在[１,b](b＞１)上的最小值 是１ ４ ,则b＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　图象法求函数的最值 [例１]求函数y＝|x＋１|－|x－２|的最大值 和最小值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　去掉绝对值,转化为分段函 数,再作出函数图象,由图象求最值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)利用函数图象求最值是求函数最值的 常用方法．这种方法以函数最值的几何意 义为依据,对较为简单的且图象易作出的 函数求最值较常用． (２)分段函数的最大值为各段上最大值的最 大者,最小值为各段上最小值的最小者,故求 分段函数的最大或最小值,应先求各段上的 最值,再比较即得函数的最大、最小值． 􀳀[变式训练] １．画出函数f(x)＝ －２x ,x∈(－∞,０), x２＋２x－１,x∈[０,＋∞) ì î í ï ï ïï 的 图象,并写出函数的单调区间及函数的最 小值． 　　　利用函数单调性求最值 [例２](１)若０＜t≤１４ ,则f(t)＝１t－t 的最小 值是 (　　) A．－２　　　B．１５４　　　C．２　　　D．０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７􀅰 数学􀅰必修第一册 (２)利用单调性定义证明函数f(x)＝x＋４x 在[１,２]上的单调性并求其最值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 [思路点拨]　(１)函数f(t)＝１t－t 的图 象不易作出．可判断其在所给区间上的单 调性来求最小值． (２)可考虑利用函数单调性来求函数最值, 即先判断函数的单调性,再求最值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性． ②利用单调性写出最值． (２)利用单调性求最值的三个常用结论 ①如果函数f(x)在区间[a,b]上是增 (减)函数,则f(x)在区间[a,b]的左、 右端点处分别取得最小(大)值和最大 (小)值． ②如果函数f(x)在区间(a,b]上是增 函数,在区间[b,c)上是减函数,则函 数 f(x)在 区 间 (a,c)上 有 最 大 值f(b)． ③如果函数f(x)在区间(a,b]上是减 函数,在区间[b,c)上是增函数,则函 数f(x)在 区 间(a,c)上 有 最 小 值 f(b)． 􀳀[变式训练] ２．已知函数f(x)＝ １x＋１ ,x∈[１,２]． (１)判断并证明函数f(x)的单调性; (２)求函数f(x)的最大值与最小值． 　　　二次函数的最值 [例３]求f(x)＝x２－２ax－１在区间[０,２]上 的最大值和最小值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　解答本题可先求出f(x)的 对称轴x＝a,然后就a与区间[０,２]的关 系进行讨论,分别求出f(x)的最大值和最 小值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３７􀅰 第三章　函数的概念与性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)求函数在某区间上的最值,一般应先判 定函数在该区间上的单调性． (２)求二次函数的最值时,应判断它的开口 方向及对称轴与区间的关系．若含有字母, 要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨 论,解题时要注意数形结合．本题是轴动区 间定．对于定轴动区间最值问题,同样要就 轴与区间的关系进行讨论． (３)二次函数在闭区间上的最值,如二次函 数f(x)＝a(x－h)２＋k(a＞０)在区间[m, n]上的最值可作如下讨论: 对称轴x＝h与 [m,n]的位置关系 最大值 最小值 h＜m f(n) f(m) h＞n f(m) f(n) m≤h≤n m≤h＜m＋n２ f (n) f(h) h＝m＋n２ f (m)或f(n) f(h) m＋n ２ ＜h≤n f (m) f(h) 􀳀[变式训练] ３．已知函数f(x)＝x２－(a－２)x＋a＋１,其中 a∈R． (１)若函数f(x)在(－∞,１]上单调递减,求 a的取值范围． (２)若函数f(x)在[０,１]上的最小值是３,求 实数a的值． 　　　实际应用中的最值问题 [例４]某公司生产一种电子仪器的固定成本为２００００ 元,每生产一台仪器需增加投入１００元,已知总收 益满足函数:R(x)＝ ４００x－１２x ２,０≤x≤４００, ８００００,x＞４００． ì î í ï ï ïï 其中 x是仪器的月产量． (１)将利润表示为月产量的函数f(x); (２)当月产量为何值时,公司所获利润最大? 最大利润为多少元? (总收益＝总成本＋ 利润) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨] (１)f(x)＝ －１２x ２＋３００x－２００００,０≤x≤４００ ６００００－１００x,x＞４００． ì î í ï ï ïï (２)分段分别求最值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４７􀅰 数学􀅰必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解实际应用问题的５个步骤 (１)审:审清题意,读懂题,找出各量之间的 关系． (２)设:从实际问题中抽象出数学模型,恰 当设出未知数． (３)列:根 据 已 知 条 件 列 出 正 确 的 数 量 关系． (４)解:转化为求函数的最值或解方程或解 不等式, (５)答:回归实际,明确答案,得出结论． 􀳀[变式训练] ４．将进货单价为４０元的商品按５０元一个出 售时,能卖出５００个,已知这种商品每涨价 １元,其销售量就减少１０个,为得到最大利 润,售价应为多少元? 最大利润为多少? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．函数f(x)在[－２,＋∞]上的图象如图所 示,则此函数的最大值、最小值分别为 (　　) A．３,０ B．３,１ C．３,无最小值 D．３,－２ ２．已知函数y＝x２－２x＋３在闭区间[０,m]上 有最大值３,最小值２,则m 的取值范围是 (　　) A．[１,＋∞) B．[０,２] C．(－∞,－２] D．[１,２] ３．函数f(x)＝ １ ７＋６x－x２ 的单调递减区间为 　　　　． ４．在如图所示的锐角三角形空地 中,欲建一个面积最大的内接矩 形花园(阴影部分),则其边长x 为　　　　m． ５．求函数f(x)＝ xx－１ 在区间[２,５]上的最大 值与最小值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５７􀅰 第三章　函数的概念与性质 随堂步步夯实 1.AB 2.C 3.(-∞，1][1，+∞) 4[-12 5.证明：设12是R上的任意两个实数，且x< 剥f(x)-f(x1)=(x+x)-(x+x1) =(x2一x1)(x+xx1十x)+(x-x) =(x2一1)(x2+x2无1十x+1) =-4汇a+受产+是+. +受+是+1>0-x>0, ∴.f(x2)-f(x1)>0,即f(x)>f(x1), 函数f(x)=x十x在R上是增函数 第2课时 函数的最大值、最小值 课前预习学案 情境引入 (1)提示：图①中函数y=一x”的图象上有一个最高点： 图②中函数y=一x的图象上没有最高点. (2)提示：对任意x∈R,都有f(x)≤f(0). 知识梳理 知识点一、≤≥f(.x,)=M纵坐标纵坐标 [思考] 提示：不一定.如函数f(x)=一x≤1恒成立，但是1不 是函数的最大值 预习自测 1.C2.C3.4 课堂互动学案 [例1][解]y=x+1-1x-2 3(x≥2)， =】2.x一1(-1<<2)，作出 -3(x≤-1). 函数的图象，由图可知，y∈[ 3,3].所以函数的最大值为3，最 小值为一3. [例2】[解析]1B[任取4∈(0，号]且<，则 )-)=(片-)（合-）（片） -t) =-,-4)=。-) 因为44∈(0，]且4<：故->0,1 >0. 故f4,)-f()>0,即f4)>f),故f)=- t 在(0，]上为减画数，当1=时)有最小值只，故 选B.] (2)任取x1x2∈[1,2]且x1<x ·3 参考答案 期)-，)-+会县 4 =-)+45）=x-)5二4 1≤x1<x2≤2.∴x1-x2<0,1<x1x2<4, ∴x1x2-4<0,∴.fx1)-f（x)>0. 即fx)>f(),∴f(x)=x+4在[1,2]上是减高数. 从而函数的最大值是f(1)=1十4=5，最小值是 f(2)=2+2=4. [例3][解析]∫(x)=(x一a)2一1一a,对称轴为x =d. 2 0 ④ ①当a<0时，由图①可知， f(x)mm=f(0)=-1, f(.x)ma.=f(2)=3-4a. ②当0≤a<1时，由图②可知， f(.x)mn=f(a)=-1-a2, f(x).=f(2)=3-4a. ③当1≤a≤2时，由图③可知， f(.x)n-f(a)=-1-a2. f(x)m.=f0)=-1. ④当a>2时，由图④可知， f（x)mm=f（2)=3-4a,f(x)x=f(0)=-1. [例4][解](1)设月产量为x台，则总成本为20000 +100x, 从而f(x) -7+300r-2000.0≤r≤40， 60000-100x,x>400. (2)当0≤x≤400时， fx)=- 号(x-300)+25000, .当x=300时，[f(x门]=25000. 当x>400时， f(x)=60000一100x是减函数， f(.x)<60000-100×400<25000. 当x=300时，f(x)mx=25000. 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为 25000元. 数学·必修第一册 变式训练 1.解：f(x)的图象如图所示， f(x)的单调递增区间是（一∞，0）和[0，十∞)，函教的最 小值为f(0)=-1. 2解：①五数)=在区同1,2上是减高载，证明 如下： 任取x1,x∈[1.2]且x<x, 则f(x)-f(x）=,1 1x2+1-x1-1 ++1(x+1)(x+ g一x1 =(+1)(+D' 因为x1x∈[1.2]且x<xe, 所以x-x>0,x1+1>0,x+1>0, -E 所以千1D+D>0: 即f(x1)>f(x), 所以)=是12]上的减禹数 (②)由（①为)-有送1,2]上的减高数. 所以x)=f2)=子 )=)= 3.解：(1)因为fx)=x-(a-2)x十a+1在(-co,1门上单调 递减.所以“>≥1，解得a≥4，即a的取值范国是[4，十 0∞). (2)周为)=-(a-2)x+a+1=（-2) +, 当4二2<0，即4<2时，函教f(x)在[0,1门上单调递增， a 所以f八x)=f(0)=a十1=3，得a=2(舍去)： 当0<2≤1，即2≤u≤4时，)-=f(2） 8a一a=3,解得u=2或a=6(舍去)： 4 当”22>1，即。>1时，画教fx)在[0.1门上单润递减， 所以f(x)m=f(1)=4≠3，不特合题意， 综上，实数a的值为2. 4.解：设售价为工元，利润为y元，单个涨价(x一50)元，销 量减少10(.x-50)个，销量为500-10(x-50)=(1000 -10.x)个，则y=(.x-40)(1000-10x)=-10(x-70) +9000≤9000. 故当x=70时，y.=9000. 即售价为70元时，利润最大值为9000元. ·3 随堂步步夯实 1.C2.D3.(-1,3)4.20 5.解：任取2≤x1<x2≤5， 期)-)-1马D C1一xg 因为2≤x1<x2≤5， 所以x1-<0,-1>0,x1-1>0. 所以f(x4)-f.x)<0. 即f(x)<f(x1. 所以八)=与在区间[2.5]上是单调减高数. 2 5 所以fx)=f2)-2号=2，fx)m=f6)= 5 3.2.2 奇偶性 第1课时函数奇偶性的概念 课前预习学案 情境引入 1.提示：整个图形对称。 2.提示：①是轴对称图形，②既是轴对称图形，又是中心 对称图形 知识梳理 知识点，1.(1)一x∈1f(-x)=f(x)(2)y轴偶 2.(1)-x∈1(2)原点奇 [思考] 1,提示：定义域一定关于原点对称，由函数奇偶性的定义 知，若x在定义域内，则一x一定也在定义城内（若一x 不在定义城内，则f(一x)无意义)，因此，具有奇偶性的 函数的定义城必关于原，点对称 2.提示：由于函数f(x)是奇函数，则f(一x)=一f(x),又 画数f(x)在x=0处有意义，于是f(0)=f(一0) -f(0),即2f(0)=0,所以f(0)=0. 预习自测 1.A2.C3.②④①③ 课堂互动学案 [例1][解](1)f(x)的定义战为（一∞，0）U(0,+∞). 关于原点对称， 又-x)=-x+2x-(e+)-f… ,f(x)是奇函数」 (2)f(x)的定义域为R,关于原，点对称， 又f(-x)=(-x)2-|-x+1=x-1x+1=f(x), f(x)是偶函数. (3)函数f(x)的定义战为{x|x≠1}，显然不关于原点对 称，∴.f(x)是非奇非祸函数. [例2][解析门(1)由题意作出函数图象如图： 8