3.2.1 第1课时 函数的单调性-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

变式训练 1.解析：由已知，f(g(1)=f(3)=1. 答案：1 2.[解](1)函数y=一x十1，x∈Z的图象是直线y= 一x十1上所有横坐标为整敏的点，如图(a)所示， (2)由于0≤x<3,故函数的图象是抛物线y=2x一4x-3 介于0≤x<3之间的部分，如图(b). 1↑12 12343 -4-3-20·34元 4 到 (b) 3.解析：1)设x)=(k≠0).则f3)= k =一6.解得 k=-18, 所以fx)=-18(x≠0). x (2)设f(x)=kx十b(k≠0)，则 f(f(x))=k(kx+b)+b=4x-3, 3·解得 ,或/=-2 1k6+6=- {6=-1'{6=3 所以f(x)=2.x-1或f(x)=-2x+3. (3)由题意设f(x)=a.x十bx十c(a≠0)， [f(0)=c=1 a=1 所以{f(1)=a+b+c=2,解得{b=0,所以f(x)=x f(2)=4a+2b+c=5 c=1 +1. (4)方法一：（拼凑法）因为f(x一1)=x十2√x=(x 1)2+4(w元-1)+3，而W元-1≥-1. 所以f(x)=x十4x十3(x≥-1). 方法二：（换元法）令t=√匠-1， 则众=1+1，且t≥-1. 所以f(t)=(1+1)2+2(t+1)=+41+3, 即f(x)=x2十4.x十3(x≥-1). 4.C[画数fx)=,-2≤<1 定义城是[一2，十 -x+2,x21, o),故A错误：当一2≤x<1时，f(x)=x,f(x)∈[0， 4],当x≥1时，f(x)=-x+2,f(x)∈(-c∞，1]，故 f(x)的值域为（一o,4们，故B正确：由函数值的分布情 况可知f(x)=2在x≥1时无解，故当-2≤x<1时，有 f(x)=x2=2,解得x=一√2(x=√2舍去)，故C正确；当 -2≤x<1时，令f(x)=x2<1,解得x∈(-1,1)，当 x≥1时，令f(x)=一x+2<1,解得x∈(1，十)，故 f(.x)<1的解集为(-1,1)U(1,十∞)，故D错误.] ·38 参考答案 5.解：(1)由题意f(.x)=6x,x∈[12,30] 90,x∈[12.20]， g(x)= 2x+50,x∈(20,30]. (2)①12≤x≤20时，6.x=90,解得：r=15, 即当12≤x<15时，f(x)<g(x) 当x=15时，f(x)=g(x). 当15<x≤20时，f(x)>g(x). ②当20<x≤30时，f(x)>g(.x), 故当12≤x<15时，选A俱乐部合算 当x=15时，两家俱乐部一样合算， 当15<x≤30时，选B俱乐部合算. 随堂步步夯实 1.B2.C 3.(1)1(2)3 4.2 5.解：(1)函教的定义城为(0,12)，当0<x≤4时，f(x)= 是X4×=2:当4K<8时f0)=号×4X4=8:当 8<r<12时x)=合×4X(12-x)=24-2x 所以虽数解析式为 2x,.x∈(0,4 f(x)=8,x∈(4,8]. 24-2x,x∈(8.12). (2)图象如图所示，从图象可以看出∫(x)的值域 为(0,8]. 86 42 024681012元 3.2函数的基本性质 3.2.1函数的单调性与最大（小）值 第1课时函数的单调性 课前预习学案 情境引入 提示：(1)随着时间间隔1逐渐增大，函数值y逐渐变小， 这个试验告诉我们，在以后的学习中，我们应及时复习 刚学习过的知识 (2)“艾宾浩斯道忘曲线”是减函数曲线。 知识梳理 知识点一、(1)f(,)<f(x2)单调递增(2)f(x1)> f(.x2)单调递减 知识点二，单调递增单调递诚单调区间 [思考] 1.提示：不能， 2.提示：不一定，可能是定义战的一部分 品提示：y=上在定义域上不是减通数，但是它有两个单洞 递减区间(-∞，0).(0，十o0). 5 数学·必修第一册 预习自测 1.D2.D3.(-∞，1]和(1，+∞) 课堂互动学案 [例1门[证明]对于任意的x1·x2∈（一∞，0），且x1< x·有f(x1)一f(x2）= xiri =-)(x十1） Tir x,<x<0, .x2-x1>0,x1十x2<0,xix>0. ∴f(x1)-fx)<0,即f()<f（x2). “函数f(x)=在(-0,0)上是增函数. 对于任意的x1x∈(0，十)，且x<x2,有 fx)-f)=x)(x十x) TiT 0<x<x2x2-x>0,十x>0i>0. f(x1)-f(.x2)>0,即f(.x1)>f(x2. 六品餐)-子在0，十四)止是减高数 [例2][解]y=-x+2x+3 厂x+2红+3=-(x-1)2+4,(x≥0). {-2r+3=-(+1+4.<0. 函数周象如图所示. 3-013 函数在（一∞，-1），[0,1)上是增函数， 函数在[一1,0)，[1.十o0)上是减函数. ∴函数的单调增区间是（一00，一1）和[0,1)， 单调减区间是[一1,0)和[1，十∞). [例3][解析](1)B[,f(.x)在(0，+∞)上是减函数， 且-a+1=(-）+>>0： “-a+1≤f(径）门 (2)因为函数f(x)在定义域（一1,1）上是减函数，且f(1 一a)≤f(3a-2),所以-1<3a-2≤1-4<1.解得a (合] 答案（合】 [例4][解]f(.x)=x+2(a-1).x+2=[x+(a-1)] -(a-1)+2. ∴.此二次函数的对称轴为x=1一a .f(x)的单调递减区间为（一∞，1一a]. f(.x)在（一6,4]上是减函数， ∴.对称轴x=1一“必须在直线x=4的右侧或与其 重合 ∴.1一a≥4.解得a≤-3. ·3 变式训练 1.证明：设x为（一∞，0）上的任意两个实数且<，则 )-f)=--1-（- =t-x 1-x<0,x12x>0, <0 TiTe 即f(x1)-f（x2)<0, .f(x1)<fx). 所以函数)=-子-1在区同(-0,0)上是增画载。 2.解：f(x)= (-x-3,(x≤1) 的图象如图所示 (.x-2)2+3,(x>1) -20 由图可知，函数的单调递减区间为（一∞，1门和(1,2）：单 调增区间为[2，十∞) 3解析：f(x)是定义在(0，十∞)上的减函数，且f(x)< f(2x-3), ,x>0, 2x-3>0,解得是<<3 x>2x-3, 江的取值范国是（受3）. 4.(1)解析：当k=0时，∫(x)=一2x-5,显然此函数在 (-∞，1门上单调递减： 当k≠0时，函数∫(x)图象的对称轴为直线x= _3-2.要使函数f(x)在(-∞，1门上单调递减， 2k k>0, 只需满足 3k一2 解得0<k≤号。 2k 辩上所速，实数长的取位范国是[，号] 答案：[0，号] -a十3，x1, (2)BCD[因为函数f(x)= 2a⊥，t>1 是R上的 x -a<0, 减蓝数，所以有 2a-1>0. 解得<a<号 4 4·1+3≥2a-1 1 因此选项B,C,D符合题意，故选BCD.] 36 随堂步步夯实 1.AB 2.C 3.(-∞，1][1，+∞) 4[-12 5.证明：设12是R上的任意两个实数，且x< 剥f(x)-f(x1)=(x+x)-(x+x1) =(x2一x1)(x+xx1十x)+(x-x) =(x2一1)(x2+x2无1十x+1) =-4汇a+受产+是+. +受+是+1>0-x>0, ∴.f(x2)-f(x1)>0,即f(x)>f(x1), 函数f(x)=x十x在R上是增函数 第2课时 函数的最大值、最小值 课前预习学案 情境引入 (1)提示：图①中函数y=一x”的图象上有一个最高点： 图②中函数y=一x的图象上没有最高点. (2)提示：对任意x∈R,都有f(x)≤f(0). 知识梳理 知识点一、≤≥f(.x,)=M纵坐标纵坐标 [思考] 提示：不一定.如函数f(x)=一x≤1恒成立，但是1不 是函数的最大值 预习自测 1.C2.C3.4 课堂互动学案 [例1][解]y=x+1-1x-2 3(x≥2)， =】2.x一1(-1<<2)，作出 -3(x≤-1). 函数的图象，由图可知，y∈[ 3,3].所以函数的最大值为3，最 小值为一3. [例2】[解析]1B[任取4∈(0，号]且<，则 )-)=(片-)（合-）（片） -t) =-,-4)=。-) 因为44∈(0，]且4<：故->0,1 >0. 故f4,)-f()>0,即f4)>f),故f)=- t 在(0，]上为减画数，当1=时)有最小值只，故 选B.] (2)任取x1x2∈[1,2]且x1<x ·3 参考答案 期)-，)-+会县 4 =-)+45）=x-)5二4 1≤x1<x2≤2.∴x1-x2<0,1<x1x2<4, ∴x1x2-4<0,∴.fx1)-f（x)>0. 即fx)>f(),∴f(x)=x+4在[1,2]上是减高数. 从而函数的最大值是f(1)=1十4=5，最小值是 f(2)=2+2=4. [例3][解析]∫(x)=(x一a)2一1一a,对称轴为x =d. 2 0 ④ ①当a<0时，由图①可知， f(x)mm=f(0)=-1, f(.x)ma.=f(2)=3-4a. ②当0≤a<1时，由图②可知， f(.x)mn=f(a)=-1-a2, f(x).=f(2)=3-4a. ③当1≤a≤2时，由图③可知， f(.x)n-f(a)=-1-a2. f(x)m.=f0)=-1. ④当a>2时，由图④可知， f（x)mm=f（2)=3-4a,f(x)x=f(0)=-1. [例4][解](1)设月产量为x台，则总成本为20000 +100x, 从而f(x) -7+300r-2000.0≤r≤40， 60000-100x,x>400. (2)当0≤x≤400时， fx)=- 号(x-300)+25000, .当x=300时，[f(x门]=25000. 当x>400时， f(x)=60000一100x是减函数， f(.x)<60000-100×400<25000. 当x=300时，f(x)mx=25000. 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为 25000元.３．２　函数的基本性质　　　　　　　 　　　　　３．２．１　函数的单调性与最大(小)值 第１课时　函数的单调性　　 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．利用函数图象,直观地观察函数的单调性 ２．利用特殊函数,理解函数单调性及几何意义 ３．会根据函数的单调性定义,判断、证明单调性 １．结合实例,经历从具体的直观描述到形式的 符号表达的抽象过程,提升数学直观素养 ２．在函数单调性的应用过程中,提升逻辑推理 和数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测 试,得到了以下一些数据: 时间 间隔t 刚记 忆完 毕　 ２０分 钟后 ６０分 钟后 ８~９ 小时 后　 １天 后 ２天 后 ６天 后 一个 月后 记忆量 y(百 分比) １００ ５８．２４４．２３５．８３３．７２７．８２５．４２１．１ 以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数．艾 宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯 遗忘曲线”,如图． [问题]　(１)当时间间隔t逐渐增大,你能看出对 应的函数值y有什么变化趋势? 通过这个试验, 你打算以后如何对待刚学过的知识? (２)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降 的,对此,我们如何用数学观点进行解释? [知识梳理] [知识点一]　增函数、减函数的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I: (１)如果∀x１,x２∈D,当x１＜x２ 时,都有　　　 　　,那么就称函数f(x)在区间D 上单调 递增(如图①)． 特别地,当 函 数 f(x)在 它 的 定 义 域 上 　　　　时,我们就称它是增函数． (２)如 果∀x１,x２∈D,当 x１＜x２ 时,都 有 　　　　,那么就称函数f(x)在区间 D 上单调递减(如图②)． 特别地,当函数 f(x)在它的定义域上 　　　　时,我们就称它是减函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．在增函数和减函数定义中,能否把 “任意x１,x２∈D”改为“存在x１,x２∈D”? [知识点二]　函数的单调性与单调区间 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 如果函数y＝f(x)在区间 D 上　　　　或 　　　　,那么就说函数y＝f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性,区间D 叫做y＝f(x) 的　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６􀅰 第三章　函数的概念与性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．区间D 一定是函数的定义域吗? ３．函数y＝１x 在定义域上是减函数吗? [预习自测] １．下列结论中,正确的是 (　　) A．函数y＝kx(k为常数,且k＜０)在 R上 是增函数 B．函数y＝x２ 在R上是增函数 C．函数y＝１x 在定义域内是减函数 D．y＝１x 在(－∞,０)上是减函数 ２．设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调增区 间,且x１∈(a,b),x２∈(c,d),x１＜x２,则 f(x１)与f(x２)的大小关系是 (　　) A．f(x１)＜f(x２)　　B．f(x１)＞f(x２) C．f(x１)＝f(x２) D．不能确定 ３．函数y＝f(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的单调递增区间是　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　函数单调性的判定与证明 [例１]求证:函数f(x)＝１x２ 在(０,＋∞)上是 减函数,在(－∞,０)上是增函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　依函数单调性的定义证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．利用定义判断或证明函数单调性的４个 步骤 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．利用定义证明函数的单调性时,常用的 变形技巧有哪些? (１)因式分解．当原函数是多项式函数时, 作差后的变形通常进行因式分解．如f (x)＝x３－１． (２)通分．当原函数是分式函数时,作差后 往往进行通分,然后对分子进行因式分 解．如本例． (３)配方．当原函数是二次函数时,作差后 可以考虑配方,便于判断符号． (４)分子有理化．当原函数是根式函数时, 作差后往往考虑分子有理化．如f(x) ＝ x＋１ 􀳀[变式训练] １．证明函数f(x)＝－１x－１ 在区间(－∞,０) 上是增函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６􀅰 数学􀅰必修第一册 　　　求函数的单调区间 [例２]画出函数y＝－x２＋２|x|＋３的图象, 并指出函数的单调区间． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先转化为分段函数,再画其 图象． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　求函数单调区间的两个方法及三个关 注点 (１)两个方法: 方法一:定义法,即先求定义域,再用定 义法进行判断求解． 方法二:图象法,即先画出图象,根据函 数图象求单调区间． (２)三个关注点: 关注一:求函数的单调区间时,要先求函数 的定义域． 关注二:对于一次函数、二次函数、反比例 函数的单调区间作为常识性的知识,可以 直接使用． 关注三:函数图象不连续的单调区间要 分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪” 连接． 􀳀[变式训练] ２．作出函数f(x)＝ －x－３,　(x≤１) (x－２)２＋３,　(x＞１){ 的 图象,并指出函数的单调区间． 　　　利用单调性比较大小 [例３](１)若函数f(x)的定义域为 R,且在 (０,＋∞)上是减函数,则下列不等式成立 的是 (　　) A．f ３４ æ è ç ö ø ÷＞f(a２－a＋１) B．f ３４ æ è ç ö ø ÷≥f(a２－a＋１) C．f ３４ æ è ç ö ø ÷＜f(a２－a＋１) D．f ３４ æ è ç ö ø ÷≤f(a２－a＋１) (２)已知函数f(x)在定义域(－１,１)上是减 函数,且f(１－a)≤f(３a－２),则a的取值 范围是　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　依据单调性的定义判断． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．利用单调性比较大小的方法 (１)利用函数单调性可以比较函数自变量 (函数值)的大小,即已知f(x)在区间 D 上为增函数,则对x１,x２∈D,x１＜x２ ⇔f(x１)＜f(x２)． (２)利用单调性比较函数值的大小,务必将 自变量x的值转化到同一单调区间上 才能 进 行 比 较,最 后 写 结 果 时 再 还 原回去． ２．利用函数单调性解不等式 　与函数单调性有关的结论 (１)正向结论:若y＝f(x)在给定区间上是 增函数,则 当x１＜x２ 时,f(x１)＜f(x２); 当x１＞x２ 时,f(x１)＞f(x２); (２)逆向结论:若y＝f(x)在给定区间上是 增函数,则 当f(x１)＜f(x２)时,x１＜x２; 当f(x１)＞f(x２)时,x１＞x２． (３)当y＝f(x)在给定区间上是减函数时, 也有(１)(２)相应的结论． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９６􀅰 第三章　函数的概念与性质 􀳀[变式训练] ３．已知函数f(x)在(０,＋∞)上是减函数,且 f(x)＜f(２x－３),求x的取值范围． 　　　单调性的综合应用 [例４]已知函数f(x)＝x２＋２(a－１)x＋２在 区间(－∞,４]上是减函数,求实数a的取值 范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　解答本题可先将函数解析式 配方,然后找出图象的对称轴,再考虑对称 轴与所给区间的位置关系,利用数形结合 求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．函数单调性的定义具有“双向性”;利用 函数单调性的定义可以判断、证明函数 的单调性,反过来,若已知函数的单调 性,可以确定函数中参数的范围． ２．利用函数的单调性可以比较函数值或自 变量的大小．例如,若函数f(x)的解析 式是未知的,欲求x的取值范围,我们可 以根据函数单调性的定义(也就是函数 单调性的性质),将符号“f”脱掉,只要注意 到函数的定义域,即可列出关于x的不等 式(组)． ３．若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则 此函数在这一单调区间内的任意子集上 也是单调的． ４．已知函数的单调性求参数的取值范围, 要注意数形结合思想,采用逆向思维．利 用已知函数研究函数单调性问题,像一 次函数、二次函数、正、反比例函数的单 调性不必用定义研究,直接判断即可． 􀳀[变式训练] ４．(１)若函数f(x)＝kx２＋(３k－２)x－５在 (－∞,１]上单调递减,则实数k的取值范围 是　　　　． (２)(多选)f(x)＝ －ax＋３,x≤１, ２a－１ x ,x＞１ ì î í ï ï ïï 是 R上 的减函数,则实数a的取值可以是 (　　) A．１３　　　B． ２ ３　　　C．１　　　D． ４ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(多选)如果函数f(x)在[a,b]上单调递增, 对于任意的x１,x２∈[a,b](x１≠x２),则下列 结论中正确的有 (　　) A．f (x１)－f(x２) x１－x２ ＞０ B．(x１－x２)[f(x１)－f(x２)]＞０ C．f(a)≤f(x１)＜f(x２)≤f(b) D．f(x１)＞f(x２) ２．若函数f(x)＝４x２－kx－８在[５,８]上是单 调函数,则k的取值范围是 (　　) A．(－∞,４０]　　　　　　B．(４０,６４) C．(－∞,４０]∪[６４,＋∞)D．[６４,＋∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０７􀅰 数学􀅰必修第一册 ３．函 数 y＝x２ －２x 的 单 调 递 减 区 间 是 　　　　,单调递增区间是　　　　． ４．已知函数f(x)为定义在区间[－１,１]上的增函 数,则满足f(x)＜f(１２ )的实数x的取值范围 为　　　　． ５．用定义法证明:函数f(x)＝x３＋x 在 R上 是增函数． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　函数的最大值、最小值 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解函数的最大(最小)值及几何意义 ２．利用单调性求最值、比较大小、解不等式 在运用函数单调性充要条件过程中, 提升数学运算和逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 观察下列两个函数的图象,回答有关问题: (１)比较两个函数的图象,它们是否都有最 高点? (２)通过观察图①你能发现什么? [知识梳理] [知识点一]　函数的最大值与最小值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 最大值 最小值 条件 一般地,设函数y＝f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:∀x∈I, 都有 f(x)　　M f(x)　　M ∃x０∈I,使得　　　　 续表 结论 称M 是函数y＝ f(x)的最大值 称 M 是函数y＝ f(x)的最小值 几何 意义 f(x)图 象 上 最 高点的　　　 f(x)图象上最低 点的　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　如果函数f(x)对于定义域内的任意 x都满足f(x)≤M,那么 M 一定是函数 f(x)的最大值吗? [知识点二]　对函数最大(小)值的理解 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (１)注意对“存在”一词的理解．M 首先是一个 函数值,它是值域中的一个元素．如f(x) ＝－x２(x∈R)的最大值为０,有f(０)＝０． (２)对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M 成 立,“任意”是说每一个值都满足不等式． (３)两条缺一不可,若只有(１),M 不一定是最 大(小)值．如f(x)＝－x２(x∈R),对任意 x∈R,都有f(x)≤１成立,但１不是其最 大值,否则大于零的任意实数都是最大值 了,故不能只有(１)．同样,只有(２)时,M 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７􀅰 第三章　函数的概念与性质